数学实验分形实例

数学实验报告

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实验二分形

（一）练习题1

一．实验目的

1．了解分形几何的基本情况；

2．了解通过迭代方式，产生分形图的方法；

3．了解matlab软件中简单的程序结构。

二. 问题描述

对一个等边三角形，每条边按照Koch曲线的方式进行迭代，产生的分形图称为Koch雪花。编制程序绘制出它的图形，并计算Koch雪花的面积，以及它的分形维数。

三．实验过程

仿照Koch曲线代码对三角形的每条边进行Koch曲线

化，建立函数“snow”的输入参数有三角形的边长R和迭代次数k,输出Koch雪花图形以及雪花所围面积S.

源代码如下：

function snow(R,k)

p=[0;R/2+1i*R*sin(pi/3);R;0];

S=0;

n=3;

A=exp(1i*pi/3);

for s=1:k

j=0;

for i=1:n

q1=p(i,:);

q2=p(i+1,:);

d=(q2-q1)/3;

j=j+1;r(j,:)=q1;

j=j+1;r(j,:)=q1+d;

j=j+1;r(j,:)=q1+d+d*A;

j=j+1;r(j,:)=q1+2*d;

end

n=4*n;

clear p

p=[r;q2];

end

figure

q(:,1)=real(p(:,1));

q(:,2)=imag(p(:,1));

plot(q(:,1),q(:,2))

fill(q(:,1),q(:,2),'b')

for i=0:k

S=S+(3.^(0.5-i))*0.25*(R.^2); end

S

axis equal

按照以上程序，输入参数，有以下结果：>> snow(1,1) S =0.5774 图形如下:

>>snow(1,2) S =0.6255 图形如下:

>>snow(1,3) S =0.6415 图形如下:

>>snow(1,4) S =0.6468 图形如下:

>>snow(1,5) S =0.6486 图形如下:

四．总结分析和心得体会

根据观察迭代的面积规律，即可推得面积递推公式：错误!未找到引用源。,其中错误!未找到引用源。即：面积公式错误!未找到引用源。，也就等于

错误!未找到引用源。

分形维数，根据迭代的规律得到：

相似形个数：m=4

边长放大倍数c=3，

维数d=ln m/ln c=ln 6/ln 3=1.631

（二）练习题2

一．实验目的

1．了解分形几何的基本情况；

2．了解通过迭代方式，产生分形图的方法；

3．了解matlab软件中简单的程序结构。

二. 问题描述

对一条竖线段，在其三分之一分点处，向左上方向画一条线段，在其三分之二点处，向右上方向画一条线段，线段长度都是原来的三分之一，夹角都为30度，迭代一次后变成图3-22.继续迭代得到分形图，可模拟树木花草，编制程序绘制出它的图形。

三．实验过程

代码如下：

function tree(z1,z2,N,n)

if n>N

return

end

if n==1

d=(z2-z1)/3;

q1=z1+d+d*exp(1i*pi/6);

q2=z1+2*d+d*exp(-1i*pi/6);

plot([z1+d,q1])

hold on

axis equal

plot([z1+2*d,q2])

plot([z1,z2])

tree(z1,z2,N,n+1)

else

d=(z2-z1)/3;

q1=z1+d+d*exp(1i*pi/6);

q2=z1+2*d+d*exp(-1i*pi/6);

plot([z1+d,q1])

plot([z1+2*d,q2])

tree(z1+d,q1,N,n+1);

tree(z1+d,z1+2*d,N,n+1);

tree(z1+2*d,q2,N,n+1);

tree(z1+2*d,z2,N,n+1);

end

其中N为迭代次数，n的初始值为1，输入以下代码：tree (0,10i,2,1) 图形如下：

tree (0,10i,3,1)

图形如下：

tree (0,10i,4,1) 图形如下：

tree (0,10i,5,1) 图形如下：

tree (0,10i,6,1) 图形如下：

四．总结分析和心得体会

通过本次的实验，我更了解了几合分形图以及用matlab软件产生几合分形图的方法、程序结构。总的来说，通过本次实验，学习到了matlab软件的一种

新的用法，对自己的数学实验能力又提升了不少。体验了通过图形迭代方式产生分形图的过程，迭代的规则非常简单，产生的结果却异常奇妙，并且这些图形很好地反映出了分形所具有的自相似的层次结构。