(完整版)平行四边形的性质及判定归纳
平行四边形及特殊的平行四边形的性质（文字语言和符号语言）
图形边角对角线
平行四边形
两组对边分别平行两组对边分别相等两组对角分别相等对角线互相平分
∵四边形ABCD是平
行四边形
∴AB∥CD,AD∥BC
∵四边形ABCD是平行四
边形
∴AB=CD,AD=BC
∵四边形ABCD是平行四
边形
∴∠ABC=∠ADC,
∠BAD=∠BCD
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC,OB=OD
矩形
两组对边分别平行两组对边分别相等四个角都是直角对角线相等且互相平分
∵四边形ABCD是矩形
∴AB∥CD,AD∥BC
∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD,AD=BC
∵四边形ABCD是矩形
∴∠ABC=∠ADC
=∠BAD=∠BCD=900
∵四边形ABCD是矩形
∴OA=OC,OB=OD且AC=BD
菱形
两组对边分别平行四条边都相等两组对角分别相等
对角线互相垂直、平分且每一条对角
线平分一组对角
∵四边形ABCD是菱形
∴AB∥CD,AD∥BC
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=CD=AD=BC
∵四边形ABCD是菱形
∴∠ABC=∠ADC,
∠BAD=∠BCD
∵四边形ABCD是菱形
∴OA=OC,OB=OD，AC⊥BD,且
AC平分∠BAD与∠BCD
BD平分∠ABC与∠ADC
正方形
两组对边分别平行四条边都相等四个角都是直角
对角线互相垂直平分、相等且每一条
对角线平分一组对角
∵四边形ABCD是正方形
∴AB∥CD,AD∥BC
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=CD=AD=BC
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ABC=∠ADC
=∠BAD=∠BCD=900
∵四边形ABCD是正方形
∴OA=OC=OB=OD，AC⊥BD且
AC平分∠BAD与∠BCD
BD平分∠ABC与∠ADC
平行四边形及特殊的平行四边形的定义及判定（关系图见背面，符号语言自己补充）
1
平行四边形
矩形
菱形正方形
两组对边分别平行两组对边分别相等一组对边平行且相等
两组对角分别相等
对角线互相平分
对角线互相平分且垂直（对角线互为垂直平分线）四边都相等一组邻边相等对角线互相垂直
对角线互相平分且相等有三个角是直角
有一个角是直角对角线相等一组邻边相等
对角线互相垂直
有一个角是直角对角线相等
四边都相等，且有三个角是直角
对角线互相垂直平分且相等（对角线相等且互为垂直平分线）四边形
2
平行四边形的性质(一)
第六章平行四边形 １. 平行四边形的性质（一） 杨家湾二中顾怀林 一、学生起点分析 学生知识技能基础：学生在小学已经学习过平行四边形，对平行四边形有直观的感知和认识。 学生活动经验基础：在掌握平行线和相交线有关几何事实的过程中，学生已经初步经历过观察、操作等活动过程，获得了一定的探索图形性质的活动经验；同时，在学习数学的过程中也经历了很多合作过程，具有了一定的学习经验，具备了一定的合作和交流能力。 二、学习任务分析 四边形和三角形一样，也是基本的平面图形，在三角形有关知识的基础上，探索并掌握四边形的基本性质，进一步学习说理和简单的推理，将为学生学习空间与图形的后继内容打下基础，本节将用多种手段（直观操作、图形的平移、旋转、说理及简单推理等）探索平行四边形的性质并培养学生的探索意识。 教学目标： 1．经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，在活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯； 2．探索并掌握平行四边形的性质，并能简单应用； 3．在探索活动过程中发展学生的探究意识。 教学重点：平行四边形性质的探索。 教学难点：平行四边形性质的理解。 教学方法：探索归纳法 三、教学过程设计 本节课分5个环节： 第一环节：实践探索，直观感知 第二环节：探索归纳，交流合作 第三环节：推理论证，感悟升华 第四环节：应用巩固，深化提高 第五环节：评价反思，概括总结
第一环节：实践探索，直观感知 1．小组活动一 内容： 问题1：同学们拿出准备好的剪刀、彩纸或白纸一张。将一张纸对折，剪下两张叠放的三角形纸片，将它们相等的一边重合，得到一个四边形。 （1）你拼出了怎样的四边形？与同桌交流一下； （2）给出小明拼出的四边形，它们的对边有怎样的位置关系？说说你的理由，请用简捷的语言刻画这个图形的特征。 目的： 通过学生动手实践，引出平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形； 平行四边形的相邻的两个顶点连成的一段叫做它的对角线。 教师进一步强调：平行四边形定义中的两个条件：①四边形，②两边分别分别平行即AD // BC 且AB // BC；平行四边形的表示“”。 2．小组活动二 内容：生活中常见到平行四边形的实例有什么呢？你能举例说明吗？ 目的：加强知识的直观体验，使学生感受数学来源于生活，数学图形和生活是紧密相联系的。 效果：通过动手实践、探索、感知，学生进一步探索了平行四边形的概念，明确了平行四边形的本质特征。 第二环节探索归纳、合作交流 小组活动三： 内容：⑴平行四边形是中心对称图形吗？如果是,你能找出他的对称中心并验证你的结论吗?⑵你还发现平行四边形的那些性质呢? 活动目的： 这个探索活动与第一环节的探索活动有所不同，是从整体的角度研究平行四边形中心对称性的特征,明确了两条对角线的交点就是其对称中心，感知平行四边形的对边,对角的性质：平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等等。
经典特殊的平行四边形讲义
特殊 的平行四边形 一、知识回顾 矩形、菱形、正方形 1、菱形的性质：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角． ③具有平行四边形所有性质． 2．菱形的判定：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形． ③四条边都相等的四边形是菱形． 3．矩形的性质：①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形具有平行四边形的所有性质． 4．矩形的判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形． ③有三个角是直角的四边形是矩形． 5．正方形的性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等． ②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 6．正方形的判定：①有一个角是直角的柳是正方形．②有一组邻边相等的矩形是正方形． ③对角线相等的菱形是正方形．④对角线互相垂直的矩形是正方形． 课前练习: 1．已知平行四边形ABCD 的周长是28cm ，CD-AD=2cm ，那么AB=______cm ，BC=______cm ． 2．菱形的两条对角线分别是6cm ，8cm ，则菱形的边长为_____，一组对边的距离为_____ 3．在菱形ABCD 中，∠ADC=120°，则BD ：AC 等于________ 4．已知正方形的边长为a ，则正方形内任意一点到四边的距离之和为_____． 5．矩形ABCD 被两条对角线分成的四个小三角形的周长之和是86cm ，对角线长是13cm ， 则矩形ABCD 的周长是_____________ 6．如图，有一张面积为1的正方形纸片ABCD ，M ，N 分别是AD ，BC 边的中点， 将C 点折叠至MN 上，落在P 点的位置，折痕为BQ ，连结PQ ，则PQ 二、例题讲解 矩形 例1．如图，已知矩形ABCD 的纸片沿对角线BD 折叠，使C 落在C ’处，BC ’边交AD 于E ，AD=4，CD=2 （1）求AE 的长 （2）△BED 的面积 巩固练习： 1．如图，矩形ABCD 中，AD=9，AB=3，将其折叠，使其点D 与点B 重合，折痕为 EF,求DE 和EF 的长。 2．如图，已知将矩形ABCD 沿EF 所在直线翻折，使点A 与C 重合，AB=6，AD=8,求折痕EF 的长 Ｍ Ｄ Ｑ ＢＡC ’ D A B C E F D A B C E C ’ E A D
八年级下册数学平行四边形的性质教学设计
《平行四边形的性质第一课时》教学设计 一、内容及内容解析 1．内容 北京师范大学出版社八年级下册第六章第一节平行四边形的性质第一课时．内容为平行四边形的定义，平行四边形边、角的性质． 2．内容解析 平行四边形是一种特殊的四边形，是“图形与几何”部分最基本的几何图形之一，它在生活中有着十分广泛的应用．按照图形概念的从属关系，平行四边形首先是四边形，是四边形中的一类特殊图形，两组对边分别平行是平行四边形的本质属性． 学生在小学就已经认识了平行四边形并了解了它的相关性质，初中阶段研究平行四边形与小学最大的不同是构建平行四边形相关知识的逻辑结构体系，利用平行线和全等三角形的相关知识用逻辑推理的方法研究平行四边形的性质，在研究与应用中进一步发展学生的数学抽象、几何直观和推理能力． 平行四边形是平行线和三角形知识的延续和发展，也是后续学习矩形、菱形、正方形的基础，在教材中起到承上启下的作用．作为章头起始课，承载着单元知识以及学习方法、研究方向的引领作用．类比等腰三角形的学习经验，明确研究几何图形的一般思路：定义——性质——判定——应用，主要从几何图形的构成要素（边、角）和相关要素（对角线）入手，经历观察、猜想、验证等过程来探究平行四边形的性质．学生掌握了平行四边形的研究思路和研究方法，才能运用类比的方法，进一步自主学习矩形、菱形、正方形相关知识，真正实现由学会到会学的目的．平行四边形的性质还为证明线段相等、角相等、两直线平行提供新的方法和依据． 教材中平行四边形的性质这一内容安排了两课时，第一课时研究平行四边形的定义及平行四边形边、角的性质；第二课时研究平行四边形对角线的性质，并应用性质解决简单问题．本节课是第一课时，主要从边、角两方面探究平行四边形的性质，进一步积累几何图形的研究思路和研究方法，在探究中将四边形问题转化为三角形问题，对于培养演绎推理、训练数学思维、积累活动经验等方面
平行四边形总复习讲义
平行四边形 【知识梳理】 平行四边形是由三角形绕其一边的中点旋转180°而成的中心对称图形。 （1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。 记作：□ABCD，读作平行四边形ABCD。如图： （2）平行四边形的性质：（证明） ①平行四边形的对边；②平行四边形的对边； ③平行四边形的对角；④平行四边形的对角 题型一、填空题： 【例题精讲】 1、如图1，平行四边形ABCD中，DB=DC，∠C=70°，AE⊥BD于E，则∠DAE等于. 2、如图2，过平行四边形ABCD的顶点A分别引高AE、AF，如果AE=3.5，AF=2.8，∠EAF=30°，则AB=，AD=． 3、如图3，平行四边形ABCD的周长是36，且AB：BC=5：4，对角线AC、BD相交于点O，且BD⊥AD，则BD=，AC=． 4、已知平行四边形的面积为4，O为两条对角线的交点，那么△AOB的面积为. 5、在平面直角坐标系内，点A、B、C的坐标分别为（1，2）、（0，0）、（3，0），若以点A、B、C、D为顶点构成平行四边形，则点D坐标为. 6、如图6，在周长为20cm的平行四边形ABCD中，AB≠AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为．
7、如图7，平行四边形ABCD中，∠A=70°，将平行四边形ABCD折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠BNE=. 8、如图8，□ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到□AB′C′D′（点B′与点B 是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），点B′恰好落在BC边上，则∠C=. 9、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点E为AB中点，连接CE，过点E作ED⊥BC于点D，在DE的延长线上取一点F，使AF=CE．求证：四边形ACEF是平行四边形．
平行四边形的性质简单应用
平行四边形的性质简单应用 一、学生起点分析 学生知识技能基础：学生在小学已经学习过平行四边形，对平行四边形有直观的感知和认识。 学生活动经验基础：在掌握平行线和相交线有关几何事实的过程中，学生已经初步经历过观察、操作等活动过程，获得了一定的探索图形性质的活动经验；同时，在学习数学的过程中也经历了很多合作过程，具有了一定的学习经验，具备了一定的合作和交流能力。 二、学习任务分析 四边形和三角形一样，也是基本的平面图形，在七年级下册有关知识的基础上，探索并掌握四边形的基本性质，进一步学习说理和简单的推理，将为学生学习空间与图形的后继内容打下基础，本节将用多种手段（直观操作、图形的平移、旋转、说理及简单推理等）探索平行四边形的性质并培养学生的探索意识。 学习目标： 1．经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，在活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯； 2．探索并掌握平行四边形的性质，并能简单应用； 教学重点：平行四边形性质的探索。 教学难点：平行四边形性质的理解。 教学方法：探索归纳法 三、教学过程设计 本节课分5个环节： 第一环节：实践探索，直观感知 第二环节：探索归纳，交流合作 第三环节：推理论证，感悟升华 第四环节：应用巩固，深化提高 第五环节：评价反思，概括总结 第一环节：实践探索，直观感知 1．小组活动一 内容：生活中常见到平行四边形的实例有什么呢？你能举例说明吗？ 目的：加强知识的直观体验，使学生感受数学来源于生活，数学图形和生活是紧密相联
系的。 效果：通过动手实践、探索、感知，学生进一步探索了平行四边形的概念，明确了平行四边形的本质特征。 2．小组活动二 内容： 问题1：同学们拿出准备好三对全等三角形纸片，将它们相等的一边重合，得到一个四边形。 （1）你拼出了怎样的四边形？与同桌交流一下； （2）给出小明拼出的四边形，它们的对边有怎样的位置关系？说说你的理由，请用简捷的语言刻画这个图形的特征。 目的： 通过学生动手实践，引出平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形； 平行四边形的相邻的两个顶点连成的一段叫做它的对角线。 教师进一步强调：平行四边形定义中的两个条件：①四边形，②两边分别分别平行即AD // BC 且AB // BC；平行四边形的表示”。 第二环节探索归纳、合作交流 小组活动三： 内容：⑴平行四边形是中心对称图形吗？如果是,你能找出他的对称中心并验证你的结论吗?⑵你还发现平行四边形的那些性质呢? 活动目的： 这个探索活动与第一环节的探索活动有所不同，是从整体的角度研究平行四边形中心对称性的特征,明确了两条对角线的交点就是其对称中心，感知平行四边形的对边,对角的性质：平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等等。 活动注意事项： 引导学生动手操作、复制、旋转、观察、分析,在剪切平行四边形纸片时，要保证上 下纸片的大小、形状完全相同。 第三环节推理论证、感悟升华
平行四边形及其性质
平行四边形及其性质
课题： 4 . 1 平行四边形及其性质 教材：北师大版义务教育课程标准实验教科书八年级上册 一、教材分析 1．教材的地位与作用 平行四边形是最基本的几何图形，也是“空间与图形”领域中研究的主要对象之一．它在生活中有着十分广泛的应用，这不仅表现在日常生活中有许多平行四边形的图案，还包括其性质在生产、生活各领域的实际应用． 本节课既是平行线的性质、全等三角形等知识的延续和深化，也是后续学习矩形、菱形、正方形等知识的坚实基础，在教材中起着承上启下的作用．平行四边形的性质还为证明两条线段相等、两角相等、两直线平行提供了新的方法和依据，拓宽了学生的解题思路．另外本节课是在学生掌握了平移、旋转知识的基础上探究平行四边形的性质，能使学生经历观察、实验、猜想、验证、推理、交流等数学活动，对于培养学生的合情推理能力、发散思维能力以及探索、体验数学思维规律等方面起着重要的作用． 2．教学目标： 知识技能：理解并掌握平行四边形的相关概念和性质，培养学生初步应用这些知识解决问题的能力． 数学思考：通过观察、实验、猜想、验证、推理、交流等数学活动进一步发展学生的演绎推理能力和发散思维能力． 解决问题：学生亲自经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，体会解决问题策略的多样性． 情感态度：培养学生独立思考的习惯与合作交流的意识，激发学生探索数学的兴趣，体验探索成功后的快乐． 3．教学重点、难点： 重点：理解并掌握平行四边形的概念及其性质． 难点：运用平移、旋转的图形变换思想探究平行四边形的性质． 4．教材处理： 基于“创造性地使用教材”和“真正地以学生为本”的教学理念，我将教材内容进行合理内化、整合． 首先，打破了原教材的知识结构，构建成一个新的教学体系，分为探索平行四边形的性质和平行四边形性质的应用这样两部分，本节课是探索平行四边形的性质．这样安排能很好地体现知识结构的完整性和系统性． 然后，将教材中平行四边形性质的探究活动完全开放，给学生充分探索的时间与空间，动手实验，动脑思考．力图构建学生主动探索、获取知识的平台，使学生真正成为实践的
平行四边形的性质与判定讲义精品
平行四边形的性质与判 定讲义精品 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
C F B E D A 平行四边形 一、知识梳理 1．平行四边形： (1)平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形用符号“”表示．平 行四边形ABCD 记作，读作平行四边形ABCD ． 2．平行四边形的性质： (1) 平行四边形的对边平行且相等． (2)．平行四边形的对角相等，邻角互补。 (3)平行四边形的对角线互相平分． (4)若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积． 例1．ABCD 中，∠A 的平分线分BC 成4cm 和3cm 两条线段， 则ABCD 的周长为 ． 例2．在ABCD 中，∠C=60o,DE ⊥AB 于E,DF ⊥BC 于F ． （1）则∠EDF= ； （2）如图，若AE=4，CF=7， 则ABCD 周长= ; 例3.在平行四边形ABCD 中，已知∠A ＝40°，则∠B ＝ ，∠C ＝ ，∠D ＝ . 例4..中，周长为20cm ，对角线AC 交BD 于点O ，△OAB 比△OBC 的周长多4，则边AB ＝____________，BC ＝____________． 变式训练.如图，在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，ΔAOB 的周长为15，AB ＝6，那么对角线AC 和BD 的和是多少 例5.如图，在□ABCD 中，O 是对角线的交点，过O 的直线交AB 于E ，交DC 于F ，图中全等三角 形共有 （ ） A ．2对 B ．3对 C ．6对 D ．8对 3．两条平行线间的距离： (1)定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离． (2)两平行线间的距离处处相等． 例6、有以下四个说法： ①两点的距离，点到直线的距离，两条平行线间的距离，都是指某种线段的长． ②如果两点的位置固定，那么它们的距离是定值． ③如果一点和一条直线的位置固定，那么它们的距离是定值． ④两条平行线间的距离不是定值 其中正确说法的个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．平行四边形的面积： (1)如图①， ． O F E D C B A
华师大版八年级数学下册平行四边形的性质与应用
平行四边形的性质与应用 一、考点、热点回顾 1.与平行四边形有关的知识 （1）平行四边形的定义及性质 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形用 符号“”表示．平行四边形ABCD 记作，读作平行四边 形ABCD． 性质： 文字叙述几何表示 两组对边平行AB∥CD AD∥BC 边 角 对角线 （2）平行四边形的判定 ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形． ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形． ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． ④两组对角分别相等的四边形是平行四边形． ⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形． 二、典型例题 专题一：性质“边”的应用 例1、如图，已知在□ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE＝DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG＝CH，连接GE、EH、HF、FG。 求证：四边形GEHF是平行四边形。
例2、如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两 点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE． 求证：（1）⊿AFD≌⊿CEB． （2）四边形ABCD是平行四边形． 练习 1．如图，在平行四边形中，对角线,相交于点 O，若，的和为18 cm，，△AOB的周长为13 cm，那么BC的长是（） A.6 cm B.9 cm C.3 cm D.12 cm 2．如图,△ABC是等边三角形,P是△ABC内一点,PE∥AC交AB于点E,PF∥AB交BC于点F,PD∥BC交AC 于点D.已知△ABC的周长是12 cm,则PD+PE+PF=______________ cm. 第1小题 第2小题 3．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO． 4．如图，在ABC ∠?,BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E错误！未找△中，90 ACB
18.1.1 平行四边形的性质(教学设计)
第十八章平行四边形 18.1 平行四边形 18.1.1 平行四边形的性质 第一课时 【岩帅中学李光兴】 一、教学目标： 1．理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．2．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证． 3．培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力． 二、重点、难点 【重点】平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用． 【难点】运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算． 三、课堂引入 1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象？ 平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？ 你能总结出平行四边形的定义吗？ (1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)表示：平行四边形用符号“”来表示． 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC， 那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”． ①∵AB//DC ,AD//BC，∴四边形ABCD是平行四边形（判定）； ②∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//DC， AD//BC（性质）． 平行四边形性质一：平行四边形的两组对边分别平行；
注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．（教学时要结合图形，让学生认识清楚）2．【探究】平行四边形是一种特殊的四边形，它除两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下． 猜想平行四边形的对边相等、对角相等． 下面证明这个结论的正确性． 已知：如图ABCD， 求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D， ∠BAD＝∠BCD． 分析：作ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论． （作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题．） 证明：连接AC， ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． 又AC＝CA， ∴△ABC≌△CDA （ASA）． ∴AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D． 又∠1＋∠4＝∠2＋∠3， ∴∠BAD＝∠BCD． 由此得到： 平行四边形性质二：平行四边形的对边相等． 平行四边形性质三：平行四边形的对角相等．
平行四边形培优讲义新打印版
平行四边形培优讲义新 打印版 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
平边四边形知识点 一．知识框架 二．知识概念 平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线。 平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。 平行四边形的判别方法： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，有两条对称轴） 矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 对角线相等的平行四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 S菱形=1/2×ab（a、b为两条对角线）或底×高 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有四条对称轴） 正方形常用的判定： 有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形；
平行四边形定义及性质教学活动设计
合作探究平行四边形定义及性质 [指导思想与理论依据] 杰瑞.布劳菲（著）张铁道（译）教学的基本策略文中认为，学生们以相互结对或结成小组的形式进行合作学习，有利于提高理解能力，发展新的技能．研究表明，采用学生结对或结成小组的形式，围绕学习活动、作业进行合作性学习，往往能取得事半功倍的学习效果．合作学习可以促进学生的情感性、社会发展性，唤起他们对学习科目的兴趣和重视，促进不同性别、种族及在学业成就水平及其他方面具有不同特点的同学相互之间的积极态度与社会交往． 而本节课中，对平行四边形的定义及性质的判定过程中，不同的学生会有不同的方法，通过合作探究的方式，学生们可以达到互相补充、互相学习的目的． [教学背景分析] 一．学生认知基础 在知识方面，八年级学生，对于“空间与图形”领域的学习已经具备了一定的基础．与本节相关的知识，学生前面已经学习了平行线的性质与判定，三角形相关知识，全等三角形等，已经具备了一定的识图能力和抽象思维能力及逻辑推理能力． 我的授课班级属于年级的中上等水平，对于平行线的性质和全等三角形的掌握情况较好，因此，课堂上对于平行四边形概念和相关性质的探究，会进行的比较顺利．但学生在学习三角形的有关性质时，体现出即使有了性质，还是更习惯于用全等三角形的知识去判断边和角的关系的特点，因此，在本节的教学中，一方面要强化学生的转化思想，另一方面，也要引导学生用新的方法解决问题，体会解决问题策略的多样性及共通性． 在授课方式方面，我在平时授课过程中某些知识点上会进行适当的拓展．学生的思维比较活跃，对于一些开放性问题有较高的兴趣．但在合作学习方面，平时主要是附近几个同学进行讨论，而没有按照学生的特点进行分组，这是本次的一个新尝试． 二．教学内容 1．知识方面： 平行四边形是最基本的几何图形，也是“空间与图形”领域中研究的主要对象之一，尤其是特殊平行四边形在生活、生产各领域中有着十分广泛的实际应用．
平行四边形全部讲义
平行四边形 1、平行四边形的性质 考点一、平行四边形的概念 （1）定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 （2）表示：平行四边形用符号”表示，平行四边形ABCD记作ABCD”, 读作“平行四边形ABCD”。平行四边形一定按顺时针或逆时针依次注明各顶点。（3）平行四边形定义的作用：平行四边形的定义既是判定，又是性质。 ①由定义知平行四边形两组对边分别平行； ②由定义可以得出只要四边形中两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形。 （4）平行四边形的基本元素：边、角、对角线。 例1、在ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF、GH相交于点P，写出图中的 平行四边形。 A E D G P H B F C 考点二、平行四边形的性质 （1）边的性质：平行四边形的对边平行且相等。 （2）角的性质：平行四边形的邻角互补，对角相等。 （3）对角线性质：平行四边形的对角线互相平分。 例2、在ABCD中，∠A+∠C=160°，求∠A、∠B、∠C、∠D的度数。 A B C D
考点三、平行四边形的对角线的性质 （1）平行四边形的对角线互相平分。 例3、在 中，对角线AC 、BD 相交于O 点，若AC=14，BD=8，AB=10，则△OAB 的周长为_______。 练习题 一、感受理解 1．已知O 是 ABCD 的对角线交点，AC=10cm ，BD=18cm ，AD=?12cm ，?则△BOC?的周长是_______． 2．已知 ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，△AOB 的面积为2，那么平行四边形ABCD 的面积为_____． 3．已知平行四边形的两邻边之比为2：3，周长为20cm ，?则这个平行四边形的两条邻边长分别为___________． 4．平行四边形的周长为30，两邻边的差为5，则其较长边是________． 5．平行四边形具有，而一般四边形不具有的性质是（ ） A ．外角和等于360° B ．对角线互相平分 C ．内角和等于360° D ．有两条对角线 6.如图，□ABCD 中，EF 过对角线的交点O ，AB =4，AD =3，OF =1.3，则四边形BCEF 的周长为（ ） A.8.3 B.9.6 C.12.6 D.13.6 A O D C B
新北师大版八年级下册数学-《平行四边形的性质(2)》教案
1. 平行四边形的性质（二） 一、学生起点分析 学生经历了对平行四边形性质探索的过程，掌握了平行四边形对边、对角的性质特征，并能简单应用，因此对平行四边形具有了一定的观察分析的能力和合情推理能力,具备了自行得出平行四边形对角线的性质的基础。 二、学习任务分析 本节的学习任务主要是进一步掌握平行四边形的性质，因此教学目标为： 1．进一步掌握平行四边形对角线互相平分的性质,学会应用平行四边形的性质；2．在应用中进一步发展学会合情推理能力，增强学生逻辑推理能力，使学生掌握说理的基本方法。 3．通过解决问题，探究并归纳：“平行线间的距离处处相等”这一性质。 教学重点：平行四边形性质的应用 教学难点：发展合情推理及逻辑推理能力 教学方法：启发诱导法，探索分析法 三、教学过程设计 本节课分5个环节 第一环节回顾思考，引入新课 第二环节探索发现，灵活运用 第三环节观察分析，理性升华 第四环节巩固反馈，总结提高 第五环节评价反思，目标回顾 第一环节回顾思考，引入新课 活动内容： 以问题串形式回顾平行四边形的概念和平行四边形的性质。温故知新。 1．平行四边形都有哪些性质？ 2．回顾思考 选择题 （1）平行四边形ABCD中，∠A比∠B大20°，则∠C的度数为（）
A．60°B．80°C．100°D．120° （2）平行四边形ABCD的周长为40cm，三角形ABC的周长为25cm, 则对角线AC 长为（） A．5cm B．15cm C．6cm D．16cm （3）平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于O，则全等三角形的对数有 参考答案： 1．C．2．A．3．4对． 活动目的： 1．通过（1）~（3）的问题串，反馈学生对平行四边形的对边、对角性质的理解和简单应用，同时总结结论：平行四边形对角线互相平分。 活动效果： 能真实客观反馈学生对上节“平行四边形性质”的情况，并有针对性的在本节补救强化。 第二环节探索发现，灵活运用 活动内容： 一、探索问题1 在上节课的做一做中,我们发现平行四边形除了边、角有特殊的关系以外，对角线还有怎样的特殊关系呢？ A．（学生思考、交流）得出：平行四边形的对角线互相平分。 B．请尝试证明这一结论 已知：如图6-4，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O. 求证:OA=OC,OB=OD. 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD AB//DC ∴∠BAO=∠DCO ∠ABO=∠CDO ∴△AOB≌△COD ∴OA=OC,OB=OD.
平行四边形的概念和性质
平行四边形的概念和性质（1） 冒合中学杜碧玲 [教学目标] 1﹑了解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质，并能熟练用其来解决实际问题。 2﹑通过探索、发现、论证培养学生类比、转化的数学思想方法锻炼学生的自学能力和缜密的逻辑思维能力 3、让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值，培养学生善于发现、积极思考、合作学习、勇于创新的学习态度 [教学重点、难点] （1）重点：掌握平行四边形的性质（2）难点：利用平行四边形的性质解决相关问题 [教学过程] 一、板书课题： 引入：在小学里，我们初步认识平行四边形，会计算平行四边形的周长和面积，这节课开始我们进一步来学习平行四边形的概念，研究它的性质—平行四边形的概念、和性质。 二、出示目标 出示事先写在小黑板上的教学目标： 1﹑了解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质，并能熟练用其来解决实际问题。 2﹑通过探索、发现、论证培养学生类比、转化的数学思想方法锻炼学生的自学能力和缜密的逻辑思维能力 3、让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值，培养学生善于发现、积极思考、合作学习、勇于创新的学习态度 三、自学指导 （一）过渡语：怎样才能当堂达到学习目标呢？请同学们按照指导认真自学。（二）出示自学指导 认真看课本（P83-84）练习前面的内容。 1．理解平行四边形的概念和记法； 2．掌握平行四边形的对边相等对角相等的性质，注意兰色书签的内容； 3．利用三角形全等证明上述性质。
四、先学 （一）学生看书，教师巡视，师督促每一位学生认真、紧张的自学，鼓励学生质疑问难。 （二）检测 1、过渡语：同学们，看完的请举手。懂了的请举手。好下面就比一比，看谁能正确做出检测题。 2、检测题P84：1、2、3 3、学生练习，请三名同学到黑板上进行板演，教师巡视。（改集错误解进行二次备课） 五、后教 （一）更正：请同学们仔细看一看这三名同学的板演，发现错解的请举手（指名更正） （二）讨论： 教师根据学生发言的情况进行评平行四边形的概念，研究它的性质价，（教师要强调解题格式） （三）归纳：我们已经学习了平行四边形的概念和性质，你能说一说今天的收获吗？（指名说） 六、当堂训练 （一）讲述：让同学口答新知识，能运用新知识做对作业吗？好，要注意解题格式，书写工整。 （二）出示作业题： P90-91第1题2题第3题 （三）学生练习，教师巡视。
第1讲平行四边形的性质和判定讲义
平行四边形的性质和判定 讲义1.已知平行四边形的周长是100cm ，AB :BC =4:1，则AB 的长是_____． 讲义5.平行四边形ABCD 的周长32，5AB =3BC ，则对角线AC 的取值范围为_______ 讲义2.已知平行四边形的面积是144，相邻两边上的高分别为8和9，则它的周长是______．作业4.在平行四边形ABCD 中，AB =3，BC ＝5，∠B 的平分线BE 交AD 于点E ，则DE 的长为． 作业5.平行四边形ABCD 的周长为22，两条对角线相交于O ，△AOB 的周长比△BOC 的周长大5，则AD 的边长为． 讲义3.在平行四边形ABCD 中，∠A :∠B =3:2，则∠C =_____度，∠D =___度． 讲义7.在平行四边形ABCD 中，∠B -∠A =20°，则∠D 的度数是_______ 讲义8.由等腰三角形底边上任一点(端点除外)作两腰的平行线，则所成的平行四边形的周长 等于等腰三角形的( )A ．周长 B ．一腰的长 C ．周长的一半 D ．两腰的和 讲义10.以长为5cm ，4cm ，7cm 的三条线段中的的两条为边，另一条为对角线画平行四 边形，可以画出形状不同的平行四边形的个数是( ) A.1B ．2C ．3D ．4讲义14.如图，平行四边形ABCD 中，AE =CG ，DH =BF ，连结E ，F ，G ，H ，E ，则四边形 EFGH 是_____．H G F E D C B A 讲义15.如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上的两点，且AE =CF ，连结B ，F ， D ， E ，B 则四边形BED F 是___________． G F E D C B A
平行四边形的性质知识点-例题-习题
第二十一讲平行四边形的性质 【要点梳理】 知识点一、平行四边形的定义 平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“Y ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条. 知识点二、平行四边形的性质定理 平行四边形的对角相等； 平行四边形的对边相等； 平行四边形的对角线互相平分； 要点诠释：（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系. （2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择. （3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决. 知识点三、平行线的性质定理 1.两条平行线间的距离： （1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值. 2．平行线性质定理及其推论 夹在两条平行线间的平行线段相等. 平行线性质定理的推论： 夹在两条平行线间的垂线段相等. 【典型例题】 类型一、平行四边形的性质 例1、如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，若AF、BE分别为∠DAB、∠CBA的平分线．求证：DF＝EC． 【答案与解析】 证明：∵在Y ABCD中，CD∥AB，
∠DFA＝∠FAB． 又∵AF是∠DAB的平分线， ∴∠DAF＝∠FAB， ∴∠DAF＝∠DFA， ∴AD＝DF． 同理可得EC＝BC． ∵在Y ABCD中，AD＝BC， ∴DF＝EC． 【总结升华】利用平行四边形的性质可以得到对角相等，对边平行且相等，为证明线段相等提供了条件．举一反三： 【变式】如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE＝AF，请你猜想：线段BE与线段DF 有怎样的关系？并对你的猜想加以证明. 【答案】 证明：猜想：BE ∥DF且BE＝DF. ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴CB=AD，CB∥AD ∴∠BCE＝∠DAF 在△BCE和△DAF中 CB AD BCE DAF CE AF = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴△BCE≌△DAF ∴BE＝DF，∠BEC＝∠DFA ∴BE∥DF 即BE ∥DF且BE＝DF. 例2.（2016·永州）如图，在?ABCD中，∠BAD的角平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E．（1）求证：BE=CD； （2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．
平行四边形的性质典型例题
《平行四边形的性质》典型例题 例1 一个平行四边形的一个内角是它邻角的3倍，那么这个平行四边形的四个内角各是多少度 例2 已知：如图，ABCD 的周长为60cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，AOB ?的周长比BOC ?的周长多8cm ，求这个平行四边形各边的长. 例3 已知：如图，在ABCD 中，BD AC 、交于点O ，过O 点作EF 交AB 、CD 于E 、F ，那么OE 、OF 是否相等，说明理由. 例4 已知：如图，点E 在矩形ABCD 的边BC 上，且DE AF AD DE ⊥=,，垂足为F .求证：.DC AF = 例5 O 是ABCD 对角线的交点，OBC ?的周长为59，38=BD ，24=AC ，则=AD ________，若OBC ?与OAB ?的周长之差为15，则=AB ______，ABCD 的周长=______. D C A B O
例6 已知：如图，ABCD 的周长是cm 36，由钝角顶点D 向AB ，BC 引两条高DE ，DF ，且cm DE 34=，cm DF 35=.求这个平行四边形的面积. 例7 如图，已知：ABCD 中，BC AE ⊥于E ，CD AF ⊥于F ， 若?=∠60EAF ，cm BE 2=，cm FD 3=. 求：AB 、BC 的长和ABCD 的面积.
参考答案 例 1 分析 根据平行四边形的对角相等，邻角互补可以求出四个内角的度数. 解 设平行四边形的一个内角的度数为x ，则它的邻角的度数为3x ，根据题意，得1803=+x x ，解得45=x ，∴.1353=x ∴这个平行四边形的四个内角的度数分别为45°，135°，45°，135°. 例2 分析 由平行四边形对边相等，可知=+BC AB 平行四边形周长的一半＝30cm ，又由AOB ?的周长比BOC ?的周长多8cm ，可知8=-BC AB cm ，由此两式，可求得各边的长. 解 ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴.,,OO AO BC AD CD AB === 60=+++BC AD CD AB Θ，∴.30=+BC AB 8)(=++-++OC BC OB OB AB AO ，∴.8=-BC AB ∴.11,19====AD BC CD AB 答：这个平行四边形各边长分别为19cm ，11cm ，19cm ，11cm. 说明：学习本题可以得出两个结论：（1）平行四边形两邻边之和等于平行四边形周长的一半.（2）平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差. 例3 分析 观察图形，DOF BOE CFO AEO CDO ABO ?????????,,，从而可说明.OF OE = 证明 在ABCD 中，BD AC 、Θ交于O ，∴.OC AO = CD AB //Θ，∴CFO AEO FCO EAO ∠=∠∠=∠,， ∴)(AAS CFO AEO ???，∴.OF OE = 例4 分析 观察图形，AFD ?与DCE ?都是直角三角形，且锐角DEC ADF ∠=∠，斜边DE AD =，因此这两个直角三角形全等。在这个图形中，若连结AE ，则ABE ?与AFE ?全等，因此可以确定图中许多有用的相等关系。 证明 ∵四边形ABCD 是矩形，∴?=∠90,//C BC AD ，∴.DEC ADE ∠=∠ DE AF ⊥Θ，∴?=∠=∠90C AFD ，
平行四边形的性质及判定(讲义)(含答案)
平行四边形的性质及判定（讲义） ?课前预习 （2）连接AC，BD，设AC，BD的交点为O．求证：OA=OC 1.平行四边形的定义 _________________________的四边形叫做平行四边形．平行四边形__________的两个顶点连成的线段叫做它的对角线．四边形ABCD是平行四边形，记作_________，读作“平行四边形ABCD”． 2.平行四边形的性质 平行四边形是______图形，两条对角线的交点是它的______； 边：________________________________________________； 角：________________________________________________； 对角线：____________________________________________．
3.平行四边形的判定 ?????①的四边形是平行四边形； 边 ②的四边形是平行四边形. 角：_____________________的四边形是平行四边形． 对角线：_____________________的四边形是平行四边形． ?精讲精练 1.在□ABCD中，已知AB，BC，CD三条边的长度分别为x+3，x-4，16，则这个平 行四边形的周长为___________． 2.如图，在□ABCD中，∠DAB的平分线AE交CD于点E，若AB=5，BC=3，则 EC的长为（） A．1 B．1.5 C．2 D．3 B C E D A F E D C B A 第2题图第3题图 3.如图，在□ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F．若∠B=60°，则∠ ECF=___________． 4.在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若△ABO的周长为15，AB=6，则 AC+BD=____________． 5.如图，在□ABCD中，已知AB=5，AD=3，AC⊥BC，则 □ABCD的面积为_______，线段BD的长为_______． O D C B A
小学数学平行四边形的性质
《平行四边形的性质》的教学设计 一、内容和内容解析 内容：本课是人教版新课标实验教科书八上第十九章的第一课时，其主要内容是平行四边形的概念及平行四边形的边、角的相关性质. 内容解析:四边形是几何中的基本图形，也是“空间与图形”领域研究的主要对象之一.平行四边形是特殊的四边形，较一般四边形而言，它与我们的关系更为密切，这不仅表现在日常生活中有众多的平行四边形图案，更重要的是，它的性质在日常生活及生产实践等各个领域中均有广泛的应用.此外，平行四边形的相关知识在建筑学、物理学、测绘学中也有较为重要的应用.平行四边形是一个四边形，但与一般四边形相比，它的对边分别平行.由这一本质特征，教材给出了定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.这一定义既给出了平行四边形的一种判断方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.也给出了平行四边形的一条性质：平行四边形的对边平行.这为判定一个四边形是平行四边形提供了重要的理论依据，也为证明两直线平行提供了新的方法.平行四边形从属于四边形，所以一般四边形所具有的性质它都具有，如：内角和是360°、外角和为360°、四边形的不稳定性等.同时，它还具有自己特有的性质：对边平行且相等、对角相等、邻角互补等.这些性质为学生证明或解决线段相等、角相等等问题提供了全新的思路，拓展了学生的视野.另外，平行四边形的这些性质还是所有特殊平行四边形的基本性质.本节课既是平行线的性质、全等三角形等知识的延续和深化，也是后续学习矩形、菱形、正方形等知识的坚实基础.在教材的编写上，本课还注意了使学生经历充分地观察、猜想、验证、推理、交流、应用等数学活动后获得结论，这对于培养学生的观察能力、推理能力、图形处理能力、探索及解决问题的能力等方面，都起着较为重要的作用. 教学重点：平行四边形的性质的探究与应用 二、目标和目标解析 目标：理解并掌握平行四边形的概念和性质，能运用平行四边形的概念及性质解决相关问题. 目标解析： 1、经历从现实情景中抽象出平行四边形的过程，发展学生的形象思维与抽象思维. 2、经历观察、实验、猜想、验证、推理、应用等数学活动，培养学生的观察能力、概括能力和演绎推理能力，渗透转化思想.