数学建模案例分析-- 插值与拟合方法建模3习题十

习题十

1、假定某天的气温变化记录见下表，试找出这一天的气温变化规律。

2、物价指数是反映不同时期商品价格水平、变动趋势和变动程度的相对数，例如月物价指数就可理解为该月购买同等商品的相对花费数，下表给出了某个国家从2002年1月到2004年4月间每月的物价指数，试根据这些数据的变化趋势估计2004年5、6、7三个月份的物价指数。

3、下表为美国人口两个世纪以来的统计数据，试依此建立美国人口增长的数学模型。并预测2010年和2020年的美国人口。

4、弹簧在力F的作用下伸长，一定范围内服从Hooke定律：F与x成正比，即F= kx ，k为弹性系数。现在得到下表的一组x，F数据，作图后就可看出，当F大到一定数值后，就不服从这个定律了。试由表中的数据确定k，并给出不服从Hooke定律时的近似公式。

5、一矿脉有13个相邻样本点，人为地设定一原点，现测得各样本点对原点的距离x，与样本点处某种金属含量y的一组数据见下表。试在直角坐标系中画出散点图观察二者的关系，再根据散点图建立合适的函数来对x,y进行拟合。如二次曲线、对数曲线、双曲线等。

建立数学建模案例分析

§15.4锁具装箱问题 [学习目标] 1.能表述锁具装箱问题的分析过程； 2.能表述模型的建立方法； 3.会利用排列组合来计算古典概型； 4.会利用Mathematica求解锁具装箱问题。一、问题某厂生产一种弹子锁具，每个锁具的钥匙有5个槽，每个槽的高度从{1，2，3，4，5，6}6个数（单位从略）中任取一数。由于工艺及其它原因，制造锁具时对5个槽的高度有两个要求：一是至少有3个不同的数；二是相邻两槽的高度之差不能为5。满足上述两个条件制造出来的所有互不相同的锁具称为一批。销售部门在一批锁具中随意地抽取，每60个装一箱出售。从顾客的利益出发，自然希望在每批锁具中不能互开（“一把钥匙开一把锁”）。但是，在当前工艺条件下，对于同一批中两个锁具是否能够互开，有以下实验结果：若二者相对应的5个槽的高度中有4个相同，另一个槽的高度差为1，则可能互开；在其它情况下，不可能互开。团体顾客往往购买几箱到几十箱，他们会抱怨购得的锁具中出现互开的情形。现请回答以下问题： 1．每批锁具有多少个，能装多少箱？ 2．按照原来的装箱方案，如何定量地衡量团体顾客抱怨互开的程度（试对购买一、二箱者给出具体结果）。二、问题分析与建立模型因为弹子锁具的钥匙有5个槽，每个槽的高度从{1，2，3，4，5，6}这6个数中任取一数，且5个槽的高度必须满足两个条件：至少有3个不同的数；相邻两槽的高度之差不能为5。所以我们在求一批锁具的总数时，应把问题化为三种情况，即5个槽的高度由5个不同数字组成、由4个不同数字组成、由3个不同数字组成，分别算出各种情况的锁具个数，然后相加便得到一批锁具的总个数。在分别求这三种情况锁具个数的时候，先求出满足第1个条件的锁具个数再减去不满足第2个条件的锁具个数。在求这三种情况锁具个数的时候，主要依靠排列组合的不尽相异元素的全排列公式。下面用一个5元数组来表示一个锁具： Key=（h1，h2，h3，h4，h5）其中h i表示第i个槽的高度，i=1，2，3，4，5。此5元数组表示一把锁，应满足下述条件：条件1：h i∈{1，2，3，4，5，6}，i = 1，2，3，4，5。

数学建模案例分析--对策与决策方法建模6决策树法

§6 决策树法对较为复杂的决策问题，特别是需要做多个阶段决策的问题，最常用的方法是决策树法。决策树法是把某个决策问题未来发展情况的可能性和可能结果所做的预测用树状图画出来。其步骤如下： 1、用方框表示决策点。从决策点画出若干条直线或折线，每条线代表一个行动方案，这样的直线或折线称为方案枝。 2、在各方案枝的末端画一个园圈，称为状态点，从状态点引出若干直线或折线，每条线表示一个状态，在线的旁边标出每个状态的概率，称为概率枝。 3、把各方案在各个状态下的损益期望值算出标记在概率枝的末端。 4、把计算得到的每个方案的损益期望值标在状态点上，然后通过比较，选出损益期望值最小的方案为最优方案。例1某厂准备生产一种新产品，产量可以在三种水平n1、n2、n3中作决策。该产品在市场上的销售情况可分为畅销、一般和滞销三种情况，分别为S1、S2、S3。通过调查，预测市场处于这三种情况的概率分别为0.5、0.3、0.2。三种决策在各种不同市场情况下的利润见下表：表1 基于各种决策的各种市场情况的利润表（万元）我们可以计算每种决策下利润的期望值：实行在水平n1下生产的利润的期望值为：90×0.5+30×0.3-60×0.2=42 实行在水平n2下生产的利润的期望值为：60×0.5+50×0.3-10×0.2=43 实行在水平n3下生产的利润的期望值为：10×0.5+9×0.3-6×0.2=6.5 由于在水平n2下生产利润的期望值最大，因而应选择产量水平n2生产。可以应用决策树帮助解决这样的决策问题，把各种决策和情况画在图1上：图1

图中的方框（□）称为决策点，圆圈（○）称为状态点，从方框出发的线段称为对策分支，表示可供选择的不同对策。在圆圈下面的线段称为概率分支，表示在此种对策下可能出现的各种情况。在概率分支上注明了该情况出现的概率。在每一个概率分支的末端注明了对应对策和对应情况下的收益（利润）。在计算时，我们把相应的期望值写在相应的状态点旁边，再由比较大小后选择最优决策，在图上用∥表示舍弃非最优的对策，并在决策点上注明最优决策所对应的期望利润。图2 利用决策树还可以解决多阶段的决策问题。例2 某公司在开发一种新产品前通过调查推知，该产品未来的销售情况分前三年和后三年两种情况。因此生产该产品有两种可供选择的方案：建造大厂和建造小厂。如果建造大厂，投资费用5000万元，当产品畅销时，每年可获利2000万元，当产品滞销时，每年要亏损120万元。如果建造小厂，投资费用1000万元，当产品畅销时，每年可获利300万元，当产品滞销时，每年仍可获利150万元。若产品畅销可考虑在后三年再扩建，扩建投资需2000万元，随后三年每年可获利1000万元；也可不再扩建。预测这六年该产品畅销的概率为0.6，滞销的概率为0.4。试分析该公司开发新产品应如何决策？根据问题的各种情况可以画出决策树如下：这是一个两阶段的决策问题。注意到图中有两个决策点，反映建小厂的方案中可以分成前三年和后三年两个阶段，并在后三年还要做出一次决策。图3 把各种数据填到图适当的位置后，由后向前计算获利的期望值。由图可见应采用决策：建造大厂。 500 900 1000*3=3000 300*3=900 6.5

插值拟合数学建模算法

1 20/"geometry.cfg" 20/"natbib.cfg" 20/"bblopts.cfg" 20/"english.cfg"20/"____________.aux"

插值算法February3,2020

需要根据已知的函数点进行数据，模型的处理和分析，有时候现有的数据是极少的，不足以分析支撑的比较，这时候需要数学的方法，模拟产生一些洗呢但又比较靠谱的值来满足需求。一维插值问题多项式插值分段插值拉格朗日插值多项式公式 L n(x)= n ∑ k=0 y k ωn+1(x) (x?x k)ω′ n+! (x k) 其中ωn+1(x)=(x?x0)(x?x1)....(x?x n) 龙格现象(runge phenomenon)高次插值会产生龙格现象,在两端处的波动计大,产生明显的震荡.在不熟悉曲线的运动趋势下,不要轻易使用高次插值. 采用分段低次插值的思路:在随便两个点之间,采用分段二次或者三次插值的方法/又叫分段抛物插值. 牛顿插值法:f(x)=f(x0)+f|x0,x1|(x?x0)+f|x0,x1,x2|(x?x0)(x?x1)+.....差商的定义:称f|x0,x k|=f(x k)?f(x0) x k?x0 两种插值的区别在于没有体现在导数的一致上埃尔米特插值法:要求节点处的函数值相同,同时要求对应的导数值也相同分段三次埃尔米特插值法: matlab里有内存的函数pchip(x,y,new_w)x是已知样本点的横坐标,y是已知样本点的纵坐标,new_x是要插入的对应的横坐标 n维数据的插值了解:p=interpn(x1,x2,...xn,y,new_x1,newx_2,....newx_n,method) x1,x2,x3...是样本点的横坐标 y是样本点的纵坐标输入的new是要输入点的横坐标 method是要插值的方法拟合算法拟合和插值的区别:找到一个确定的曲线保证误差足够小,不要求曲线经过每一个样本点,只要足够接近就可以.

数学建模案例分析

案例分析1: 自行车外胎的使用寿命问题：目前，自行车在我国是一种可缺少的交通工具。它小巧、灵活、方便、易学，而且价格适中，给广大居民带来了不小的益处。但是，自行车也有令人头痛的地方，最常见的问题莫过于扎胎了。扎胎的原因有很多，但相当一部分是由于外胎磨损，致使一些玻璃碴、小石子很容易侵入、扎破内胎。为了减少不必要的麻烦，如何估计自行车外胎的寿命，及时更换? 分析：分析角度：由于题目里未明确指出我们是应从厂家角度，还是应从用户角度来考虑这个问题，因此需要我们自己做出合理判断。若从厂家角度，我们面对的应当是一大批自行车外胎的平均寿命的估计。这样的估计要求一定精确度和相对明确的使用环境；而从用户角度来说，面对的仅是个人的一辆车，不需要很高的精确度，这样的寿命估计更简单，易于随时了解，下面仅从用户角度进行分析。产品的使用者需要了解产品的寿命，是基于安全性及更换的费用来考虑的。我们将这两个标准作为主要标准来分析，首先值得注意的两个关键性问题是如何定义寿命、何时为寿命的终止。寿命的定义要做到科学，直观，有可比性，在航空工业中航天飞机的使用寿命是用重复使用的次数来衡量，而工厂机器设备的寿命则以连续工作的时间来定义。本题外胎的寿命亦可用时间来表征，但由于外胎的寿命直接与其磨损速度相关；而磨损速度又与使用频率及行驶速度相互联系，致使外胎的寿命不一定与使用时间成正比(这种非正比关系使我们不能拿一辆—天跑200公里的自行车与一天只跑1公里的自行车进行寿命比较)，降低了可比性。如换成自行车的路程寿命来比较，就好得多。产品寿命是在安全性和更换费用相互制约下达到的一个点，在这个点上，外胎的安全系数降到用户不可接受的最低值，更换费用(寿命越长，在一定意义上更换费用越低)也达到了最大限度的节省。弄清了上面两个问题后，我们继续明确建立模型需要解决哪些问题及建立模型的重点难点。自行车使用过程中，一来影响因素多，二来这些因素之间彼此相关，十分复杂，要做到比较准确地估计使用寿命，不但要对外胎的性能有相当的了解，而且对使用环境更不能忽视。当然我们由于是站在用户角度上来考虑的，相对地就可忽略一些次要的影响因素。这样的数学模型面对着两个主要问题。一、自行车使用寿命与外胎厚度的关系，二、外胎能够抵御小石子破坏作用的最小厚度。后者可处理得相对简略些(如只考虑一块具有一般特征的小石子对外胎的破坏作用)，而重点(也是难点)是第一个问题。车重、人重、轮胎性质(力学的、热学的、甚至化学的)和自行车使用频率等都左右着它们的关系。这么多相关因素，不必一一都加以考虑(用户是不会在意这么多的)，有些因素，可以先不考虑，在模型的改进部分再作修改，采取逐步深入的方法，如：摩擦损耗有滑动摩擦和滚动摩擦损耗两种，由于滚动摩擦占用的时间(或路程)显然占绝对优势，因此可重点考虑。但滑动摩擦造成的一次损坏又比滚动摩擦大，在刹车使用过频的情况下，就不能不考虑了。最后，需对得出的结果用简单清晰的文字进行说明，以供用户参考。案例分析2：城市商业中心最优位置分析问题：城市商业中心是城市的基本构成要素之一。它的形成是一个复杂的定位过程。商业中心的选址涉及到各种因素制约，但其中交通条件是很重要的因素之一。即商业中心应位于城市“中心”，如果太偏离这一位置，极有可能在城市“中心”地带又形成一个商业区，造成重复建设。某市对老商业中心进行改建规划，使居民到商业中心最方便。如果你是规划的策划者，如何建立一个数学模型来解决这个问题。

数学建模案例分析插值与拟合方法建模1数据插值方法及应用

第十章插值与拟合方法建模在生产实际中，常常要处理由实验或测量所得到的一批离散数据，插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已经函数的参数，或寻求某个近似函数使之与已知数据有较高的拟合精度。插值与拟合的方法很多，这里主要介绍线性插值方法、多项式插值方法和样条插值方法，以及最小二乘拟合方法在实际问题中的应用。相应的理论和算法是数值分析的内容，这里不作详细介绍，请参阅有关的书籍。 §1 数据插值方法及应用在生产实践和科学研究中，常常有这样的问题：由实验或测量得到变量间的一批离散样点，要求由此建立变量之间的函数关系或得到样点之外的数据。与此有关的一类问题是当原始数据 ),(,),,(),,(1100n n y x y x y x 精度较高，要求确定一个初等函数)(x P y =（一般用多项式或分段多项式函数）通过已知各数据点（节点），即n i x P y i i ,,1,0,)( ==，或要求得函数在另外一些点（插值点）处的数值，这便是插值问题。 1、分段线性插值这是最通俗的一种方法，直观上就是将各数据点用折线连接起来。如果 b x x x a n =<<<= 10 那么分段线性插值公式为 n i x x x y x x x x y x x x x x P i i i i i i i i i i ,,2,1,,)(11 1 11 =≤<--+--= ----- 可以证明，当分点足够细时，分段线性插值是收敛的。其缺点是不能形成一条光滑曲线。例1、已知欧洲一个国家的地图，为了算出它的国土面积，对地图作了如下测量：以由西向东方向为x 轴，由南向北方向为y 轴，选择方便的原点，并将从最西边界点到最东边界点在x 轴上的区间适当的分为若干段，在每个分点的y 方向测出南边界点和北边界点的y 坐标y1和y2，这样就得到下表的数据（单位：mm ）。

数学建模插值及拟合详解

插值和拟合实验目的：了解数值分析建模的方法，掌握用Matlab进行曲线拟合的方法，理解用插值法建模的思想，运用Matlab一些命令及编程实现插值建模。实验要求：理解曲线拟合和插值方法的思想，熟悉Matlab相关的命令，完成相应的练习，并将操作过程、程序及结果记录下来。实验内容：一、插值 1．插值的基本思想 ·已知有n +1个节点（xj,yj），j = 0,1,…, n，其中xj互不相同，节点(xj, yj)可看成由某个函数y= f （x）产生； ·构造一个相对简单的函数y=P(x)； ·使P通过全部节点，即P (xk) = yk，k=0,1,…, n ； ·用P (x)作为函数f ( x )的近似。 2．用MA TLAB作一维插值计算 yi=interp1(x，y，xi，'method') 注：yi—xi处的插值结果；x，y—插值节点；xi—被插值点；method—插值方法（‘nearest’：最邻近插值；‘linear’：线性插值；‘spline’：三次样条插值；‘cubic’：立方插值；缺省时：线性插值）。注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。练习1：机床加工问题每一刀只能沿x方向和y方向走非常小的一步。表3-1给出了下轮廓线上的部分数据但工艺要求铣床沿x方向每次只能移动0.1单位. 这时需求出当x坐标每改变0.1单位时的y坐标。试完成加工所需的数据，画出曲线. 步骤1：用x0，y0两向量表示插值节点；步骤2：被插值点x=0:0.1:15; y=y=interp1(x0,y0,x,'spline'); 步骤3：plot(x0,y0,'k+',x,y,'r') grid on 答：x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15 ]; y0=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6 ]; x=0:0.1:15; y=interp1(x0,y0,x,'spline'); plot(x0,y0,'k+',x,y,'r') grid on

数学建模案例分析--灰色系统方法建模2灰色预测模型GM(1-1)及其应用

§2 灰色预测模型GM(1,1)及其应用蠕变是材料在高温下的一个重要性能。处于高温状态下的材料长期受到载荷作用时，即使其载荷较低，并且在短时间的高温拉伸试验中材料不发生变形，但在此情况下仍会有微小的蠕变，极端的情况下，甚至会使材料发生破坏。高温材料多应用于各种车辆的发动机及冶金厂中各种设备上，如果因蠕变引起破坏，可能造成很大的事故。为了保证设备的安全可靠，在某一使用温度下，预先知道该材料对不同载荷应力下断裂的时间是很重要的。过去，人们都是通过蠕变试验测量断裂时间。而做蠕变试验时，需要很长时间才能得到结果，即使通过试验得出的数据，也只是对某几个具体试样而言，存在很大的偶然性，不能代表普遍的规律。如果将实测的数据用灰色系统理论来处理，可以预测在某一温度下的任何载荷应力的断裂时间。一、灰色预测模型GM （1,1）建模步骤如下：（1）GM （1,1）代表一个白化形式的微分方程： u aX dt dX =+)1() 1( （1）式中，u a ,是需要通过建模来求得的参数；) 1(X 是原始数据) 0(X 的累加生成（AGO ）值。（2）将同一数据列的前k 项元素累加后生成新数据列的第k 项元素，这就是数据处理。表示为： ∑==k n n X k X 1 )0() 1()()( （2）不直接采用原始数据) 0(X 建模，而是将原始的、无规律的数据进行加工处理，使之变得较有规律，然后利用生成后的数据列来分析建模，这正是灰色系统理论的特点之一。（3）对GM （1,1），其数据矩阵为 ???? ?? ? ? ?+--+-+-=1)]()1([5.01)]3()2([5.01)]2()1([5.0)1()1()1()1()1()1(N X N X X X X X B （3）向量T N N X X X Y )](,),3(),2([)0()0()0( = （4）作最小二乘估计，求参数u a , N T T Y B B B u a 1)(?-=??? ? ??=α （4）（5）建立时间响应函数，求微分方程（1）的解为 a u e a u X t X at +-=+-))1(()1(?)0()1( （5）

数学建模曲线拟合

曲线拟合摘要根究已有数据研究y关于x的关系，对于不同的要求得到不同的结果。问题一中目标为使的各个观察值同按直线关系所预期的值的偏差平方和为最小，利用MATLAB中t lsqcurvefi函数在最小二乘法原理下拟合出所求直线。问题二目标为使绝对偏差总和为最小，使用MATLAB中的fminsearch函数，在题目约束条件内求的最优答案，以此方法同样求得问题三中最大偏差为最小时的直线。问题四拟合的曲线为二阶多项式，方法同前三问类似。问题五为求得最佳的曲线，将之前的一次曲线换成多次曲线进行拟合得到新的结果。经试验发现高阶多项式的阶数越高拟和效果最好。 ) 关键词：函数拟合最小二乘法线性规划 | < ￥

一、问题的重述已知一个量y 依赖于另一个量x ，现收集有数据如下：（1）求拟合以上数据的直线a bx y +=。目标为使y 的各个观察值同按直线关系所预期的值的偏差平方和为最小。（2）求拟合以上数据的直线a bx y +=，目标为使y 的各个观察值同按直线关系所预期的值的绝对偏差总和为最小。（3）求拟合以上数据的直线，目标为使y 的各个观察值同按直线关系所预期的值的最大偏差为最小。（4）求拟合以上数据的曲线a bx cx y ++=2，实现（1）（2）（3）三种目标。 } （5）试一试其它的曲线，可否找出最好的？二、问题的分析对于问题一，利用MATLAB 中的最小二乘法对数据进行拟合得到直线，目标为使各个观察值同按直线关系所预期的值的偏差平方和为最小。对于问题二、三、四均利用MATLAB 中的fminsearch 函数，在题目要求的约束条件下找到最佳答案。对于问题五，改变多项式最高次次数，拟合后计算残差，和二次多项式比较，再增加次数后拟合，和原多项式比较残差，进而找到最好的曲线。 ~

数学建模课件--最小二乘法拟合.(优选)

26 / 11word. 4.最小二乘法线性拟合我们知道，用作图法求出直线的斜率a 和截据b ，可以确定这条直线所对应的经验公式，但用作图法拟合直线时，由于作图连线有较大的随意性，尤其在测量数据比较分散时，对同一组测量数据，不同的人去处理，所得结果有差异，因此是一种粗略的数据处理方法，求出的a 和b 误差较大。用最小二乘法拟合直线处理数据时,任何人去处理同一组数据，只要处理过程没有错误，得到的斜率a 和截据b 是唯一的。最小二乘法就是将一组符合Y=a+bX 关系的测量数据，用计算的方法求出最佳的a 和b 。显然，关键是如何求出最佳的a 和b 。 (1) 求回归直线设直线方程的表达式为： bx a y += (2-6-1) 要根据测量数据求出最佳的a 和b 。对满足线性关系的一组等精度测量数据（x i ，y i ），假定自变量x i 的误差可以忽略，则在同一x i 下，测量点y i 和直线上的点a+bx i 的偏差d i 如下： 111bx a y d --= 222bx a y d --= n n n bx a y d --= 显然最好测量点都在直线上（即d 1=d 2=……=d n =0），求出的a 和b 是最理想的，但测量点不可能都在直线上，这样只有考虑d 1、d 2、……、d n 为最小，也就是考虑d 1+d 2+……+d n 为最小，但因d 1、d 2、……、d n 有正有负，加起来可能相互抵消，因此不可取；而|d 1|+ |d 2|+……+ |d n |又不好解方程，因而不可行。现在采取一种等效方法：当d 12+d 22+……+d n 2 对a 和b 为最小时，d 1、d 2、……、d n 也为最小。取（d 12+d 22+……+d n 2 ）为最小值，求a 和b 的方法叫最小二乘法。令 ∑== n i i d D 1 2＝21 1 2][i i n i n i i b a y d D --== ∑∑== (2-6-2) D 对a 和b 分别求一阶偏导数为： ][21 1∑∑==---=??n i i n i i x b na y a D

数学建模案例――最佳捕鱼方案.(优选)

最佳捕鱼方案摘要：本文解决的是一个最佳捕鱼方案设计的单目标线性规划问题，目的是制定每天的捕鱼策略，使得总收益最大。根据题设条件，结合实际情况，我们设计了成本与损失率随天数的增加成反比变化的函数曲线（见图三所示），并导出总收益的表达式： 212121 111i i i i i i i i W w p s q m =====?-?∑∑∑。由于价格是关于供应量的分段函数（见图一所示），我们引入“0－1”变量法编写程序（程序见附录一），并用数学软件LINGO 求解，得到最大收益(W)为441291.4元，分21天捕捞完毕。其中第1～16天，日捕捞量在1030～1070公斤之间，第17～21天的日捕捞量为1610～1670公斤之间（具体数值见正文）。由结果分析，我们对模型提出了优化方向，例如人工放水来降低成本。关键词：“0-1”整数规划，单目标线性规划，离散型分布。一．问题重述一个水库，由个人承包，为了提高经济效益，保证优质鱼类有良好的生活环境，必须对水库里的杂鱼做一次彻底清理，因此放水清库。水库现有水位平均为15米，自然放水每天水位降低0.5米，经与当地协商水库水位最低降至5米，这样预计需要二十天时间，水位可达到目标。据估计水库内尚有草鱼二万五千余公斤，鲜活草鱼在当地市场上，若日供应量在500公斤以下，其价格为30元/公斤；日供应量在500—1000公斤，其价格降至25元/公斤，日供应量超过1000公斤时，价格降至20元/公斤以下，日供应量到1500公斤处于饱和。捕捞草鱼的成本水位于15米时，每公斤6元；当水位降至5米时，为3元/公斤。同时随着水位的下降草鱼死亡和捕捞造成损失增加，至最低水位5米时损失率为10%。承包人提出了这样一个问题：如何捕捞鲜活草鱼投放市场，效益最佳？二．模型假设 1．池塘中草鱼的生长处于稳定状态，不考虑种群繁殖以及其体重增减，即在捕捞过程中草鱼总量保持在25，000公斤不变。 2．第一天捕捞时水位为15m ，每天都在当天的初始水位捕捞草鱼，水库水位每天按自然放水0.5m 逐渐降低，20天后刚好达到最低要求水位5m 。 3．在水库自然放水的21内将草鱼捕完。 4．在草鱼日供应量未达饱和的之前，市场供应量等于销售量。 5．每天草鱼的捕捞成本随着每天水位的降低呈等差数列递增分布。 6．随着水库水位的下降，草鱼的种群密度逐渐变大，存在着对空间、食物、氧气的竞争，种群死亡率逐渐升高。题设中给定草鱼死亡及捕捞损失率随着水位的降低而升高，在这里我们假设草鱼损失率是一个统计学概念，即已经综合了因自然死亡和捕捞等其他原因共同造成的损失。 7．草鱼损失率与水库水位成反比关系，每天捕捞量的损失率与当天池塘总鱼量的损失率是一致的，以每次捕捞时池塘总鱼数为当次基数。 8．捕捞上的草鱼中的死鱼将另行处理，不会放回水库也不会与活鱼一起出售。 9．日供应量在1000---1500公斤时，我们假定草鱼价格为20元每公斤这一常数。

数学建模：最小二乘拟合实验

《数学建模期末实验作业》院系：数学学院专业：信息与计算科学年级:2０14级试题编号：３7 胡克定律得综合评价分析背景摘要：利用一个打蛋器与一个物理学公式，毁掉一面六英寸厚得承重墙，这么天方夜谭得事您能相信吗？但它却真得发生了！《越狱》这一电视剧相信很多人都耳熟，即使没瞧过里面得内容,但应该都曾经听过它得大名.在《越狱》第一季第六集中,Michaeｌ要通过地下管道爬到医务室得下面,但就是一条重要通道就是被封死得,因此必须要把这个封死得墙破坏掉，由于就是混凝土结构,因此破坏起来很难,Miｃhael从纹身上拓下魔鬼得画像,投影在掩住管道入口得墙上,用“胡克定律”计算出最佳位置，再用小巧得打蛋器在承重墙上钻出了几个小洞，最后借助这几个小洞毁掉了这堵承重墙。相信大多数人都觉得很梦幻很不科学,但事实就就是这样得令人惊讶。搜狐娱乐曾经报道过,有《越狱》粉丝不相信这一情节,在现实生活中进行实验，结果真得重现了“胡克定律”凿墙这一情节。胡克定律得表达式为F=k·x或△F=k·Δｘ，其中k就是常数，就是物体得劲度（倔强）系数。在国际单位制中，Ｆ得单位就是牛,x得单位就是米，它

就是形变量（弹性形变）,ｋ得单位就是牛／米.倔强系数在数值上等于弹簧伸长（或缩短)单位长度时得弹力。弹性定律就是胡克最重要得发现之一,也就是力学最重要基本定律之一.在现代,仍然就是物理学得重要基本理论。胡克得弹性定律指出：弹簧在发生弹性形变时，弹簧得弹力Ff与弹簧得伸长量（或压缩量）x成正比，即F＝-k·x.k就是物质得弹性系数,它由材料得性质所决定，负号表示弹簧所产生得弹力与其伸长(或压缩）得方向相反。但当我们进行多次实验，便会发现随着F得逐步增大，便不再服从胡克定律.为此我们应当运用插值与拟合得内容，探索更加准确得公式。一、建模问题 1、问题提出 1、１问题背景弹簧在压力F 得作用下伸长x,一定范围内服从胡克定理：F与x成正比，即F＝kｘ。现在得到下面一组Ｆ,x数据，并在(x，F）坐标下作图,可以瞧到当F大到一定数据值后,就不服从这个定律了。表1—１试根据上述所给出得数据及已知得胡克公式，解决一下问题: (1）试由数据确定k (2）给出不服从胡克定理时得近似公式 1、3 问题分析这就是一道关于弹簧劲度系数得问题，对于此类建模有实际得价值,而且也可以让我们拓宽物理学习得视野,很有价值。二、模型假设通过阅读题目与查阅资料，我们可以发现，F得值就是随着Ｘ得改变而改变得，当X小于某一值时，F遵循胡克定律，而当X大于某一值时，F便不再遵循胡克定律，故我们可以提出以下假设。假设１：当Ｘ<9时,F遵循胡克定律。假设2：当X>9时，Ｆ不遵循胡克定律。

初中数学建模案例

中学数学建模论文指导中学阶段常见的数学模型有：方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型和统计模型等。我们也把运用数学模型解决实际问题的方法统称为应用建模。可以分五种模型来写。论文最好自己写，如果是参加竞赛的话从网上找的会被搜出来的。一、建模论文的标准组成部分建模论文作为一种研究性学习有意义的尝试，可以锻炼学生发现问题、解决问题的能力。一般来说，建模论文的标准组成部分由论文的标题、摘要、正文、结论、参考文献等部分组成。现就每个部分做个简要的说明。 1. 题目题目是给评委的第一印象，所以论文的题目一定要避免指代不清，表达不明的现象。建议将论文所涉及的模型或所用的计算方式写入题目。如“用概率方法计算商场打折与返券的实惠效应”。 2. 摘要摘要是论文中重要的组成部分。摘要应该使用简练的语言叙述论文的核心观点和主要思想。如果你有一些创新的地方，一定要在摘要中说明。进一步，必须把一些数值的结果放在摘要里面，例如：“我们的最终计算得出，对于消费者来说，打折比返券的实惠率提高了23%。”摘要应该最后书写。在论文的其他部分还没有完成之前,你不应该书写摘要。因为摘要是论文的主旨和核心内容的集中体现，只有将论文全部完成且把论文的体系罗列清楚后，才可写摘要。摘要一般分三个部分。用三句话表述整篇论文的中心。第一句，用什么模型，解决什么问题。第二句，通过怎样的思路来解决问题。第三句，最后结果怎么样。当然，对于低年级的同学，也可以不写摘要。 3. 正文正文是论文的核心，也是最重要的组成部分。在论文的写作中，正文应该是从“提出问题—分析问题—选择模型—建立模型—得出结论”的方式来逐渐进行的。其中，提出问题、分析问题应该是清晰简短。而选择模型和建立模型应该是目标明确、数据详实、公式合理、计算精确。在正文写作中，应尽量不要用单纯的文字表述，尽量多地结合图表和数据，尽量多地使用科学语言，这会使得论文的层次上升。 4. 结论论文的结论集中表现了这篇论文的成果，可以说，只有论文的结论经得起推敲，论文才可以获得比较高的评价。结论的书写应该注意用词准确，与正文所描述或论证的现象或数据保持绝对的统一。并且一定要对结论进行自我点评，最好是能将结论推广到社会实践中去检验。 5. 参考资料在论文中，如果使用了其他人的资料。必须在论文后标明引用文章的作者、应用来源等信息。二、建模论文的写作步骤 1. 确定题目选择一个你感兴趣的生活中的问题作为研究对象，并根据研究对象设置论文题目。最好是找一位或几位老师帮助安排研究课题。在确定好课题后，应该写一个写作计划给指导老师看看，并征求他们对该计划的建议。

数学建模案例分析--最优化方法建模6动态规划模型举例(新)

§6 动态规划模型举例以上讨论的优化问题属于静态的，即不必考虑时间的变化，建立的模型——线性规划、非线性规划、整数规划等，都属于静态规划。多阶段决策属于动态优化问题，即在每个阶段（通常以时间或空间为标志）根据过程的演变情况确定一个决策，使全过程的某个指标达到最优。例如：（1）化工生产过程中包含一系列的过程设备，如反应器、蒸馏塔、吸收器等，前一设备的输出为后一设备的输入。因此，应该如何控制生产过程中各个设备的输入和输出，使总产量最大。（2）发射一枚导弹去击中运动的目标，由于目标的行动是不断改变的，因此应当如何根据目标运动的情况，不断地决定导弹飞行的方向和速度，使之最快地命中目标。（3）汽车刚买来时故障少、耗油低，出车时间长，处理价值和经济效益高。随着使用时间的增加则变得故障多，油耗高，维修费用增加，经济效益差。使用时间俞长，处理价值也俞低。另外，每次更新都要付出更新费用。因此，应当如何决定它每年的使用时间，使总的效益最佳。动态规划模型是解决这类问题的有力工具，下面介绍相关的基本概念及其数学描述。（1）阶段整个问题的解决可分为若干个相互联系的阶段依次进行。通常按时间或空间划分阶段，描述阶段的变量称为阶段变量，记为k 。（2）状态状态表示每个阶段开始时所处的自然状况或客观条件，它描述了研究过程的状况。各阶段的状态通常用状态变量描述。常用k x 表示第k 阶段的状态变量。n 个阶段的决策过程有1+n 个状态。用动态规划方法解决多阶段决策问题时，要求整个过程具有无后效性。即：如果某阶段的状态给定，则此阶段以后过程的发展不受以前状态的影响，未来状态只依赖于当前状态。（3）决策某一阶段的状态确定后，可以作出各种选择从而演变到下一阶段某一状态，这种选择手段称为决策。描述决策的变量称为决策变量。决策变量限制的取值范围称为允许决策集合。用)(k k x u 表示第k 阶段处于状态k x 时的决策变量，它是k x 的函数，用)(k k x D 表示k x 的允许决策集合。（4）策略一个由每个阶段的决策按顺序排列组成的集合称为策略。由第k 阶段的状态k x 开始到终止状态的后部子过程的策略记为)}(,),(),({)(11n n k k k k k k x u x u x u x p ++=。在实际问题中，可供选择的策略有一定范围，称为允许策略集合。其中达到最优效果的策略称为最优策略。（5）状态转移方程如果第k 个阶段状态变量为k x ，作出的决策为k u ，那么第1+k 阶段的状态变量1+k x 也被完全确定。用状态转移方程表示这种演变规律，写作(1k k T x =+k x ，)k u （6）最优值函数指标函数是系统执行某一策略所产生结果的数量表示，是用来衡量策略优劣的数量指标，它定义在全过程和所有后部子过程上。指标函数的最优值称为最优值函数。下面的方程在动态规划逆序求解中起着本质的作用。

数学建模案例分析-- 插值与拟合方法建模2数据拟合方法及应用

§2数据拟合方法及应用在生产实践和科学研究中，常常有这样的问题：由实验或测量得到变量间的一批离散样点，要求由此建立变量之间的函数关系或得到样点之外的数据。与此有关的另一类问题是拟合问题。当原始数据),(,),,(),,(1100n n y x y x y x 有误差时，我们确定的初等函数)(x P y =并不要求经过数据点，而是要求在某种距离意义下的误差达到最小（通常考虑使各数据点误差平方和最小）。假设已知函数),(x c f y =（这里c 可以是多个未知参数）的一批有误差的数据 ) ,(,),,(),,(2211n n y x y x y x 要求据此确定参数c ，这样的问题称为数据拟合。最小二乘法就是求c 使得残差平方和 2 1 )),(()(i n i i x c f y c Q -=∑=达到最小。这里的建模原理实质上就是数理统计中的回归分析。 1、线性函数（1）建立回归方程若离散样点),(,),,(),,(2211n n y x y x y x 集中在一条直线的附近，这时可建立线性回归方程 x b a y ???+=按最小二乘法得到的具体算法是记 ∑∑∑∑∑=====-=-=-===n i i i xy n i i yy n i i xx n i i n i i y x n y x S y n y S x n x S y y x x 1 1 2 21 2 21 1 11则有 xx xy S S b =?x b y a ??-=（2）线性回归的显著性检验采用如下检验统计量： xx S b T σ ??= ，其中的)?(2 1?2xx yy S b S n --=σ 若)2(2 ->n t T α，则认为所建立的线性回归方程正确。（3）利用回归方程作区间预测当0x x =时，y 的置信度为α-1的预测区间是：

数学建模算法分类及应用

1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法） 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具） 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、 Lingo软件实现） 4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备） 5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中） 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用） 7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具） 8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的） 9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用）

数学建模拟合与差分习题答案

第一题解：由题意可设 2 123()s t a t a t a =++ 中的A=（1a ，2a ，3a ）使得： 2 6 1 [()]i i i s t s =-∑最小用多项式拟合的命令输入以下命令：输出结果：A = 2() 2.2488t 11.0814t 0.5834f x =+- 第二题输入以下命令： >> x=[19 25 31 38 44]; >> y=[ ]; >> A=polyfit(x,y,2)

>> z=polyval(A,x); >> plot(x,y,'k+',x,z,'r') 输出结果：A = 6882.00193.00497.0)(2++=x x x f 因为2 b )(x a x f +=，所以2 0497.06882.0)(x x f += 草图 >> x=1200:400:4000; >> y=1200:400:3600; >> height=[1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700; 1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850; 1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950; 1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010; 1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070; 1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550; 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980]; >> mesh(x,y,height) >>

数学建模～插值与拟合

插值与拟合 —、概述我们经常会遇到大量的数据需要处理, 而处理数据的关键就在于这些算法，例如数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB,这些方法都能游刃有余的用好。倒血观

110 预测点和实测点的图形插值后的图形 ■?】? Q "a* ^>4?八 )?2? 十 J*l ? D ?SI 丢R 咳娥□ Q 0 ? 1 ? L? i . 1 ?? ? ro>?? 昨 ■ :eERC?》□ k - B O uts nltt — l!fe wi ? i :;—4.直 ----- ? : w ? n .??< pr 瓷量 h ii I i ? —UE!. 2 冷爲 ,p bbb. it- —— ?t: ?..」！ bRB :: 黑就55r"A 数据拟合在很多赛题中有应用，与图形处理有关的问题很多与插值和拟合有关系，例如 98年美国赛A 题，生物组织切片的三维插值处理，94年A 题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，2003年吵的沸沸扬扬的“非典” 问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理， 2005年的雨量预报的评价的插值计算。2001年的公交车调度拟合问题， 2003年的饮酒驾车拟合问题。 * 22 12

喝两瓶酒的拟合曲线喝1?5瓶酒的拟合曲线 Az ? 2 4> LAs 在实际中，常常要处理由实验或测量所得到的一些离散数据。插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已知函数的参数或寻求某个近似函数，使所得到的近似函数与已知数据有较高的拟合精度。如果要求这个近似函数（曲线或曲面）经过所已知的所有数据点，则称此类问题为插值问题。（不需要函数表达式）

微积分方法建模万有引力定律的发现数学建模案例分析

§5 万有引力定律的发现历史背景德国天文学家、数学家开普勒（1571—1630）在第谷.布拉赫对于行星运动大量观测资料的基础上，经过对观测数据长期深入的分析，归纳出著名的所谓行星运动三定律，即：（1）各颗行星分别在不同的椭圆轨道上绕太阳运行，太阳位于这些椭圆的一个焦点上；（2）每颗行星运行过程中单位时间内太阳—行星向径扫过的面积是常数；（3）各颗行星运行周期的平方与其椭圆轨道长半轴的3次方成正比. 由于当时尚没有计算变速运动的工具，而从开普勒定律可以看出行星运行速度是变化的.十七、十八世纪许多科学家致力于行星沿椭圆轨道运行时受力状况的研究，终未得到有关引力的结果. 牛顿在研究变速运动过程中发明了微积分，又以此为工具在开普勒三定律和牛顿第二定律的基础上，成功地得到万有引力定律. 模型假设对任一行星椭圆运行轨道建立极坐标系),(θr ,以太阳为坐标原点，长半轴方向为0=θ，向径r 表示行星的位置. 1、轨道方程为 )1(,,cos 12222e a b a b e r -==+=ρθρ （1）其中b a ,为椭圆的长短半轴，e 为离心率. 2、单位时间内向径r 扫过的面积是常数A ，即 A r =?θ22 1 （2） 3、行星运行周期T 满足32a T λ= （3） 4、行星运行时受的作用力→f 等于行星加速度??r 和质量m 的乘积，即→ ??→=r m f （4）模型建立引入基向量 ?????+-=+=→→ θ θθθθcos sin sin cos j i u j i u r （5）向径→r 可表示为：→→=r u r r .以下记dt d ?= ?? （6）由（5）可得 ?????-==→?→→?→??r r u u u u θθθ θ （7）由（6）、（7）两式可得 → ?→?→→→+=+=?? θθu r u r u r u r r r r r （8）