高一新课元二次元高次不等式及分式不等式的解法

第八、九讲：一元二次、一元高次不等式及分式不等式的解法

教学要求：

1．在熟练掌握一元一次不等式（组）的解法基础上，掌握一元二次不等式的解法及其它的一些简单的高次不等式和分式不等式的解法。

2．掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式等复杂不等式化归为整式不等式（组）。

3．初步掌握含参不等式的解法，形成讨论思想，要注意它们的讨论依据的选取！

一、复习：

1.

类型（1

类型（2

类型（3

类型（4）（但去绝对值一般不要轻易采用平方法）

二、新课：

1．一元二次不等式的解法（型如2）

（一）解简单的一元二次不等式 例1.求下列不等式的解集：

（1）2

2320x x -->；（2）2

362x x -+≥；（3）2

4410x x -+>；（4）2

230x x -+->。 变式练习一：

解下列不等式：①2

32x x -<-； ②2320x x -+>。

变式练习二： 二次函数2

()y ax

bx c x R =++∈的部分对应值如下表：

则不等式的解集是______________________。

（二）含参一元二次不等式的解法

例2．解关于x 的不等式2

2(1)40()ax a x a R -++>∈。 变式练习： 设方程2

0(0)ax

bx c a ++=≠的两根为12,x x ，且12x x <，则关于x 的不等式

20ax bx c ++>的解集（用12,x x 表示）为_________________________。

（三）一元二次不等式解法的逆向问题 例3. 0αβ<<，已知不等式2

0ax bx c ++>的解集为{}x x αβ<<，求不等式

2()(2)0a c b x b a x a +-+-+>的解集。

变式练习： （1）{

}

2123

0x

x x ax bx c ?

?

=-<

?

++>，则{}

20x cx bx a =++<________________。

2．一元高次不等式的解法 ━━ 序轴标根法 引入：解不等式()

(3)(4)0x x <-+>。

递进：解不等式(3)(4)(5)0x x x -++<。

（2）标根：12n ααα<<L

的解集，下方线遮住的x 轴上的实数代表 12()()()0n x x x ααα---。

变式练习：解不等式：（1）322(44)(32)0x x x x x -++->；（2）222

(4)2(4)150.x x x x +-+-≤ 课后作业：

1.解关于x 的不等式：

（1）2

2

(2)(1)0x x x --+≤；（2）2341x x x -->+；（3）2

2

(21)(235)0x x x x -+--<； （4）2

2

2

(1)[(8)2(8)63]0x x x x x ----->；（5）223443x x x x -->-+； （6）(1)(2)(3)(4)120x x x x ++++≥。

2.（1）当0a b +>时，不等式()()0a x x b -+<的解集是__________________________。 （2）设全集{

}{}

2

,560,3U R A x x x B x x a ==-+>=-<，若5B ∈，则（ ）

A.A B U =U

B. U C A B U =U

C. U A C B U =U

D. U U C A C B U =U （3）已知不等式2

20ax

bx ++>的解集为1

12

3x x ?

?-<

?

，则a b +的值为______________。

（4）若不等式2

()(43)0x a x x +++>的解集是{}

312x x x -<<->或，则实数a 的值为 __________________。

（5）若关于x 的不等式2

60x ax a --<有解，且解的区间长度不超过5个单位，则实数a 的取值范围是_________________________。

（6）（09重庆卷理）不等式2

313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）

A ．(,1][4,)-∞-+∞U

B ．(,2][5,)-∞-+∞U

C ．[1,2]

D ．(,1][2,)-∞+∞U 3.（1）已知关于x 的不等式2

0ax

bx c ++<的解集是1

12

3x x x ?

?<->-???

?

或，求不等式

20cx bx a -+>的解集。

（2）设不等式257120x x ax bx ->++->与同解，求a b 、的值。 课后作业答案：

1.（1）{}

12x x -≤≤；（2）{}

1135x x x x <--<<>或或；（3）51112x x x ??

-<<<<

????

或； （4）{}11179x x x x -<<<<>或或；（5）757117x x x x ??+??

<--<<

>??????

或； （6）{}

61x x x ≤-≥或。

2.（1）{}

x x b x a <->或；（2）A ；（3）14-；（4）2-；

（5）252401a a -≤<-<≤或；（6）A 。

3. （1）{}

23x x <<；（2）4

9

a b =-???=-??。

（1）22

01

x x x -≥++；

（2）22340310x x x x --≥+-；（3）22411372x x x x -+<-+。 例2. 解下列不等式：

（1）513

12(21)2x x -≥+-；（2）322417145x x x x x x --->+--；（3）4132324

x x x x x x x ----+-<

----。 4.一元二次不等式含参问题及三个“二次”之间的关系

例1.（1）已知关于x 的不等式2

2

(45)4(1)30m m x m x +---+>对一切实数x 恒成立，求实

数m 的取值范围；

变式：对于（1）中的条件改为“解集为R ”，求实数m 的取值范围。 （2）集{

}

{}2,560(2)((2))0A x B x x x x a x a ==-+<--+<，若()R C A B ≠?I ，求实数a 的取值范围。

（3）集{}{}{}

2222,56,2813000A x

B x x

C x x x ax a x x ==-+=+--+-≥≤<，满足

(),()A B C A B C R =?=U I U U ，求实数a 的值集；

（4）已知{

}{

}

2

2

20,,2(52)50,A x x x x Z B x x k x k x Z =-->∈=+++<∈，且

{}2A B =-I ，求实数k 的取值范围。

变式：不等式2

053x mx ≤++≤恰好有一个实数解，求实数m 的值集。 例2．（1）已知集合2{|80}A x x ax =-+≥，2{|20}B x x ax b =--<，且{}|49A B x x =≤

（2）已知集合}02|{},023|{2

2

≤+-=≤+-=a ax x x S x x x P ，若P S ?，求实数a 的取值组成的集合A 。 变式练习：

已知集合}034|{},032

|

{22<+-=>--=a ax x x B x

x x A ，且B A ?，求实数a 的取值范围。 （3）已知集合2{|80}A x x ax =-+≥，{|20}B x x a =-<，且A B B =I ，求a 的取值范围。

课后作业：

1.解下列关于x 的不等式：

（1）11x x

x x >--；（2）324201x x x x +-≤-；（3）2223711x x x x +->++；（4）22

(21)(6)0231

x x x x x ---≥-+；

（5）9

5232x x

<+-；（6）22012x x x -<--；（7）212x ≥；（8）1203x x x -->-；

（9）27221x x ≥--；（10）2

22556011

x x

x x +-<++；（11）11114563x x x x +>+++++。 2.（1）若不等式2

230ax ax -+>对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A.03a << B.03a ≤< C. 03a a ≤>或 D. 3a >

（2）若不等式

11

ax

x <-的解集是{}12x x x <>或，则实数a 的值为_____________________。

（3）p 为何值时，不等式2(3)3

1231

p x x x ++-≤≤-+对任意实数x 恒成立。

（4）设集{}

24952,21032A x x B x x x k x ??

=<+=--+≥??-??

，若A B ?，求实数k 的取值

范围。

（5）设集{

}{}

2*2,4300,A x

B x mx n x x x m n N ==-+≤-+>∈、，若

{}34A B x x =<≤I ，求m n 、的值。

（6）已知集合2

2

2

215

{|(1)(1)0},{|,03},22

A y y a a y a a

B y y x x x =-++++>==-+≤≤ 若A B ≠?I ，求实数a 的取值范围。

（7）设集{

}{

}

{}

2

2

60,2(27)70,,A x x x B x x k x k C x x m m Z =-->=+++<==∈，若

{}3A B C =-I I ，求实数k 的取值范围。

（8）（09天津卷理10）01b a <<+,若关于x 的不等式2

()x b -＞2

()ax 的解集中的整数恰有3

个，则（ ）

A.10a -<<

B.01a <<

C. 13a <<

D. 36a << （9）已知{}

2

2

(,)|23M x y x y =+=，{}(,)|N x y y mx b ==+，若对于所有的R m ∈，均

有,M N ≠?I 则实数b 的取值范围是（ ） A ．[26,26-

] B.（26,26-） C.（332,332-） D.[3

32,332-] 课后作业答案：

1.（1）{}

01x x <<；（2）{}210x x x ≤--<≤或；（3）{}

42x x x <->或； （4）1121322x x x x ?

?-≤<

<<≥???

?或或；

（5）1332

52x x x ??

<<>????或； （6）{}3224x x x -<<-<<或；（7）{}4004x x x -≤<<≤或；（8）{}23x x x <>或；

（9）1

131132

2x x x x x ?

?-≤<-<≤-≤<≤???

?

或

； （10）112222x x x x ??<--<<>????或或；（11）965432x x x x ??<--<<--<<-????

或或。

2.（1）B ；（2）12；（3）6p =-；（4）55x x ??-≤≤?????

；（5）5674812m m m n n n ===??????===???或或；

（6）2a a <<>；（7）43k -≤<；

（8）C 提示：由题得不等式2()x b -＞2()ax 即222

(1)20a x bx b -+-<，它的解应在两根

之间，故有22222

44(1)40b b a a b ?=+-=>，不等式的解集为11

b b x a a -<<

-+或 011b b x a a -<<<+-。若不等式的解集为11b b x a a -<<-+，又由01b a <<+得011

b

a <<+，

故321b a --<<--，即231

b

a <<-，排除选项就选C 。

（9） 解法一：双?法；解法二：M N ≠?I 相当于点（0，b ）在椭圆22

23x y +=上或它的

内部2

21,3

b ∴≤b ≤≤A 。