空间力系和重心
第六章空间力系和重心
教学目标
1 能熟练地计算力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。
2 了解空间力系向一点简化的方法和结果。
3 能应用平衡条件求解空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系的平衡问题。
4 能正确地画出各种常见空间约束的约束力。
5 对重心应有清晰的概念，能熟练地应用组合法求物体的重心。
本章重点
1 力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。
2 空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系平衡方程的应用。
3 各种常见空间约束的约束力。
4 重心的坐标公式。
本章难点
空间矢量的运算，空间结构的几何关系和立体图。
教学过程（下页）
一、空间力系的简化 1．空间力系向一点简化
刚体上作用空间力系),,(21n F F F
，将力系中各力向任选的简化中心O 简化。
主矢：∑∑='=C i F F F
，与O 点选择无关。 （6-1）
主矩：∑∑∑?===)()(00i i i i F r F M M M
，与O 点的选择有关。 （6-2） 主矢F
和主矩0M 的解析表达式
222)()()(∑∑∑++=iz iy ix F F F F （6-3）
F
F
x F ix
∑=
),cos(
，F
F
y F iy
∑=
),cos(
，F
F
z F iz
∑=
),cos(
2
220))(())(())((i z i y i x F M F M F M M ∑∑∑++= （6-4）
0)
(),cos(M F M
x M i x
∑=
，0
0)
(),cos(M F M
y M i y
∑=
，0
0)
(),cos(M F M
z M i z
∑=
结论：空间力系向任一点简化，一般可得到一力和一力偶，该力通过简化中心，其大小和方向等于力系的主矢，该力偶的力偶矩矢等于力系对简化中心的主矩。 2．空间力系简化的最后结果 （1）空间力系平衡
0=F ，00=M
，此空间力系为平衡力系。
（2）空间力系简化为一合力偶
0=F ，00≠M ，此空间力系简化为一合力偶，合力偶矩矢等于力系主矩0M
与简
化中心的位置无关。
（3）空间力系简化为一合力
a ．0≠F ，00=M
，此空间力系简化为过O 点的一合力，合力的大小和方向与主
矢相同。
b ．0≠F ，00≠M ，00=?M F
，这时，F 与0M 共面，可看作一平面力系，由
平面力系简化理论知，此时空间力系简化为一合力。
此合力F '
的作用线过O '点，大小和方向决定于主矢，其作用线到O 点的距离
F M d 0= （6-5）
合力矩定理： 由图6-2知
F
F
∑=='?'=')()(000C F M M F O O F M
（6-6）
将上式向通过 点O 的任一轴z 投影，有
∑=')()(C z z F M F M （6-7）
若空间力系可以合成为一合力，则合力对任一点之矩等于力系中各力对同一点之矩
的矢量和；或合力对任一轴之矩等于力系中各力对同一轴之矩的代数和。
（4）空间力系简化为力螺旋（由一力和在该力垂直的平面内的一力偶组成的力系）
M
∥
O
0≠F ，00≠M ，00≠?M F
小结：空间力系可简化为四种情况，可用主矢F
与主矩0M 的点积是否为零分为两
大类，即
（1）???????≠?????≠===?力系简化为一合力
力系简化为一合力偶力系平衡
00000000F M M F M F
（2）00≠?M F
力系简化为力螺旋。
二、空间力系的平衡方程及其应用
从空间力系的简化结果可得到空间力系平衡的必要和充分条件是力系的主矢和对任一点的主矩为零，即：
0=F ，00=M
（6-8）
其解析式为：
??
?
??======∑∑∑∑∑∑0)(,0)(,0)(0
,0,0i z i y i x iz iy ix
F M F M F M
F F F （6-9）
空间力系平衡的必要与充分的解析条件是：力系中各力在直角坐标系每一坐标轴上投影的代数和为零，对每一坐标轴之矩的代数和为零。 特例：空间平行力系的平衡方程 令z 轴与力系各力的作用线平行，有
0=∑iz F ，0)(=∑i x F M ，0)(=∑i y F M
（6-10）
例1．镗刀杆的刀头在镗削工件时受到切向力z F 径向力y F 和轴向力x F 的作用，如图6-5所示。各力的大小 kN F z 5=，kN F y 5.1=，75.0=x F ，刀尖B 的坐标mm x 200=，mm y 75=，0=z 。试求镗刀杆根部约束力。
x
M
解：1 取研究对象：镗刀杆。
2．分析受力：镗刀杆根部是固定端约束，由于镗刀杆受天的主动是空间力系，因此当镗刀杆平衡时，固定端的约束力也是一个空间力系，将此力系向点O简化，得到
一约束力一约束力偶。约束力用直角坐标轴的三个分量
Ox
F、
Oy
F、
Oz
F表示，约束
力偶用三个正交分力偶矩
x
M、
y
M、
z
M表示，如图6-5所示。
3．列平衡方程求解：
∑=0
ix
F：0
=
-
x
Ox
F
F，kN
F
Ox
75
.0
=
∑=0
iy
F：0
=
-
y
O y
F
F，kN
F
O y
5.1
=
∑=0
iz
F：0
=
-
z
Oz
F
F，kN
F
Oz
5
=
∑=0
x
M：0
075
.0=
-
z
x
F
M m
kN
M
x
?
=375
.0
∑=0
y
M：0
2.0=
+
z
y
F
M m
kN
M
y
?
-
=1
∑=0
z
M：0
2.0
075
.0=
-
+
y
x
z
F
F
M m
kN
M
z
?
=244
.0
例2．图6-6所示传动系统，A是止推轴承，B是向心轴承，在把手端部施加一力N
F200
=，方向如图所示，试求系统平衡时所需重物的重量P以及A、B轴承的约束力。图中长度单位为mm。
解：1 取研究对象：整体系统。 2．分析受力：如图6-6所示。 3．列平衡方程求解：
∑=0z
M ： 060sin 25.01.0=- F P ， N P 433=
∑=0y
M ： 060sin 175.015.025.0=++- F F P Bz ， N F Bz 520= ∑=0x
M ： 045sin 60cos 175.045cos 60cos 25.015.0=-+- F F F By ,
N F By 4.35=
∑=0iz
F ： 045cos 60cos =- F F Ax , N F Ax 7.70=
∑=0iy F
： 045sin 60cos =-+
F F F By
Ay , N F Ay 3.35= ∑=0ix
F
： 060sin =--+ F P F F Bz Az , N F Az 8.86=
本题也可将作用于传动轴上的各力投影在坐标平面上，把空间力系的平衡问题转化
为平面力系的平衡问题来处理，对此读者可自行考虑。
例3．边长为l 、重量为W 的均质正方形平台，用六根不计自重的直杆支承如图6-7所示。设平台距地面高度为l ，处载荷F 沿AB 边，试求各杆内力。
G 4y
解：
1． 取研究对象：平台。
2． 分析受力，如图6-7所示，六根支承杆均为二力杆。 3． 列平衡方程求解：
∑=0G C M ： 02
2
6=+-
Fl l F ， F F 26= ∑=0BC M ： 02
2261=?--
-l
W l F l F ， 21W F F --=
∑=0H G M ： 02
21=++l
W l F l F ， F F =2 ∑=0FB M ： 0222265=-l F l F ， F F 25= ∑=0H D M ：
02
2
3=+Fl l F ， F F 23-= ∑=0AB M ： 02
2254=--
-l
W l F l F ， 24W F F --=
三、 重心
众所周知，重心在力学及工程技术中具有重要的意义。本小节将以平行力系中心为基础，引出重心概念及其计算公式。 1．平行力系中心
先以两个平行力为例，说明平行力系中心的概念
A
B
C
F
1
F
2
F
1F 、2F 的合力21F F F +=
合力作用线位置用合力矩定理确定
假定合力作用线与AB 连线交于C ，则0)()()(21=+=F M F M F M C C C
即：0sin sin 21=-ααCB F CA F 可得：
1
2
F F CB CA = 从动画可以看出，不管平行力方向如何，合力作用线总过C 点，此点称为两平行力
中心。
A 3
A 1
-Cn
显然，可以把上述概念及方法推广至任意平行力系，设几个力组成一平行力系
),,(21n F F F
如图6-9，我们可以逐渐运用两平行力合成的方法求得合力
∑=-i Cn F F
1。显然，若力系中各力大小和作用点保持不变，各力沿一转向转动任
一α角后，其合力仍然通过同一点，并且也转动α角，此点称为平行力系中心。 用上述的方法求平行力系是非常麻烦的，在工程实际一般用合力矩定理直接求合力
作用线的位置。设),,(21n F F F
是平行力系，令坐标系z 轴与力的作用线平行。各
力作用点为),,(),,(),,(1111n n n n i i i i z y x A z y x A z y x A 假定平行力系小心C 的坐标为),,(C C C z y x ，则由合力矩定理 对ox 轴取矩
∑==n i i x x F M F M 1
)()(
得 ∑=-=-n i i i C y F Fy 1
对oy 轴取矩∑==n i i y y F M F M 1
)()(
得∑==n i i i C x F Fx 1
将力系转过
90，使各力与oy 轴平行 对ox 轴取矩
∑==n i i x x F M F M 1
)()(
∑==n i i i C z F Fz 1
由上三式可得
?????????
????????
??
===
=∑∑∑∑∑∑∑======n i i n i i i C n i i i i C n
i i
n
i i
i n i i i C F z F z F y F y F
x
F F x F x 1111
1
1
（6-11）
2．重心
作用在一物体各质点上的重力可近似地看成是一平行力系，此平行力系中心就称为物体的重心。如将物体分割成许多微单元，每微单元的重力为
C P
?),,(i i i i z y x C )3,2,1(n i =，则由式（6-11）可得重心C 的近似公式为
??
?????
?
????????=
?=?=
∑∑∑===P z P z P y P y P x P x n
i i i C n i i i C n
i i i C 1
11
（6-12）
在极限情况下，∞→n ，0→?i P 时 重心坐标的一般公式为
???
????
?
???
?
?
????=?==?==
?=??∑??∑??∑=∞→=∞→=∞→V
V
n
i i
i n C V V
n
i i
i n C V V
n
i i
i n C gdV gzdV P z P z gdV gydV P y P y gdV gxdV P x P x ρρρρρρ111lim lim lim （6-13）
若物体是均质的，则比重g ρ对于整体物体是恒量，由（6-12）、（6-13）知，此时重
心位置与比重无关，仅决定于物体的几何形状和尺寸，故又称为物体的形心；或者说均质物体的重心与形心是重合的。
V
V
x x i
i
C ∑?=
V
V
y y i
i
C ∑?=
V
V
z z i
i
C ∑?=
若物体是均质的等厚薄板，设板厚用“t ”表示，则微小部分的体积i i S t V ?=?，板的整个体积tS V =（∑?=i
S
S 是板的整个面积），利用式Ⅳ可导出等厚薄板的
面积公式为
S
S
x x i
i
C ∑?=
S
S
y y i
i
C ∑?=
S
S
z z i
i
C ∑?=
Ⅴ
3．求形心的几种方法
（1）（1）（2）（3）（4）积分法（简单形体的形心可查表）； （2）组合法（分割法）； （3）负面积法（负体积法）； （4）实验法：悬挂法、称重法。
例4．用积分法求如图6-1的半径为R ，圆心角为α2的扇形OAB 的形心。
r
dr
θ
解：建立坐标系如图，由于关于x 轴对称，所以形心必定在x
轴上，即0=C y ，只需求C x 即可：
α
αθ
θ
θα
α
α
α
sin 32cos 0
2
2?=
=
=
?
??
???--R d dr r d dr r ds
xds
x R
R
s
s
C ∑=0ix
F
∑=0iy
F
∑=0iz
F
当2
π
α=
时，扇形OAB 为半圆其重心为)0,34(
π
R
。 例5．用分割法求图6-13所示均质面积重心的位置。设cm a 20=，cm b 30=，cm c 40=。
解：因ox 轴为对称轴，重心在此轴上，0=C y ，只需求C x ，由图上的尺寸可以算出这三块矩形的面积及其重心的x 坐标如下：
S I 2300cm =， cm x 151= S II 2200cm =， cm x 52=
S III 2300cm =， cm x 153=
得物体重心的坐标：cm S S S x S x S x S x C 5.123
213
32211=++++=
例6． 用负面积法求例5所示面积重心的位置。 解：这个复合形体也可以看由矩形ABCD 挖去矩EFGH 而得。按照例5所示的尺寸，可得这两个矩形的面积及其重心的坐标如下。 对于矩形ABCD ：
211200cm S =， cm x 151=， 01=y
对于矩形EFGH ：
22400cm S =， cm x 202=， 02=y
故两块矩形重心C 的坐标为：
cm S S x S x S x C 5.122
12
211=--=
0=C y
结果与前相同。
工程力学第三章空间力系与重心重点
课时授课计戈I 」 第三章空间力系与重心 掌握力在空间直角坐标系上的投影的计算 掌握力对轴的矩的计算 掌握空间力系的平衡条件 掌握重心的概念 空间力系的平衡条件 力对轴的矩的计算 第三章 空间力系与重心 第一节力在空间直角坐标系上的投影 第二节力对轴的矩 第三节 空间力系的平衡条件 第四节物体的重心 课本 教学方法 课堂教学 授课日期 2011.10.22 1044-3 目 的 要 求
教学过程： 复习：1、复习约束与约束反力概念。 2、复习物体受力图的绘制。 课: 第三章 空间力系与重心 第一节力在空间直角坐标系上的投影 1. 力在直角坐标轴上的投影和力沿直角坐标轴的分解 若已知力F 与正交坐标系Oxyz 三轴间的夹角分别为a 、p 、丫， 如图4-1 所示，则力在三个轴上的投影等于力F 的大小乘以与各轴夹角的余弦, 即 X=F cos a Y=W cos p Z=F cos 丫 当力F 与坐标轴Ox Oy 间的夹角不易确定时，可把力 F 先投影到坐 标平面Oxy 上，得到力F 砂，然后再把这个力投影到x 、y 轴上。在图4-2 中, 已知角丫和卩，则力F 在三个坐标轴上的投影分别为 (4-1) O 图4一 1 書
Z jr 乙Z
X=F sin 丫 COS 0 Y=F sin 丫 sin W Z=F cos 丫 若以人、人、人表示力F 沿直角坐标轴X 、y 、z 的正交分量，以i 、 j 、k 分别表示沿X 、y 、z 坐标轴方向的单位矢量，如图4-3所示，则 图4-2 戸=人+尸$+巧=为+Y +Zk 由此，力F 在坐标轴上的投影和力沿坐标轴的正交分矢 量间的关系可表示为 人=X ，人=Y ，人=zk (4-4) 如果己知力F 在正交轴系Oxyz 的三个投影，则力F 的大小和方向余弦为 F =J 护+尸+0 ￡ cos( F , i)= F (4-5) 例：图4-4所示的圆柱斜齿轮，其上受啮合力 E 的作用。已知斜齿 轮的齿倾角(螺旋角)P 和压力角a ，试求力E 沿x 、y 和z 轴的分力。 (4-2) (4-3)
空间力系
第三章 空间力系 一、空间汇交力系 （一）空间汇交力系的合成 1．空间力在坐标轴上的投影 （1）一次投影法 如图3-1所示,若已知力F 与三个坐标轴x,y,z 间的夹角分别为θ、β和γ，则 力F 在三个坐标轴上的投影分别为 ?? ? ?? ===γβθcos cos cos z y x F F F （3.1） 图3-1 相应的，若已知力F 的三个投影，可以求出力F 的大小和方向，即大小为 222z y x F F F F ++= （3.2） 方向 ?? ??? ???? === F F F F F F z y x γβθcos cos cos （3.3） （2）二次投影法
如图3-2所示,若已知力F 与坐标轴Oxy 的仰角γ以及力F 在Oxy 平面上的 投影xy F 与x 轴间的夹角?，则力F 在三个坐标轴上的投影分别为 γ?λ?γsin sin in cos in F F Fs F Fs F z y x ===，， 图3-2 2．合力投影定理 合力在某轴上的投影，等于各分力在同一坐标轴上投影的代数和。即 ∑=+++=xi xn x x Rx F F F F F 21 同理 ∑∑==zi Rz yi Ry F F F F ， 3．空间共点力系的合成 空间共点力系可以合成为一个合力，该合力的作用线通过力系的公共作用 点，合力的大小和方向为 ()()() 2 2 2 ∑∑∑++= z y x R F F F F （3.4） ()()()? ? ? ? ? ????===∑∑∑R z R R y R R x R F F F F F F k F j F i F ,cos ,cos ,cos （3.5） （二）空间汇交力系的平衡 1．空间汇交力系的平衡条件 空间汇交力系平衡的充要条件是合力等于零，即 ()()() 02 2 2 =++= ∑∑ ∑z y x R F F F F
第6章 力系的平衡—思考题-解答
第6章力系的平衡——思考题——解答 6-1 空间一般力系向三个相互相交的坐标平面投影，得到三个平面一般力系，每个平面一般力系都有三个独立的平衡方程，这样力系就有九个平衡方程，那么能否求解九个未知量为什么 6-1 解答： (1) 空间一般平衡力系，有六个独立的平衡方程，能求解六个未知量。 (2) 空间一般力系向三个相互相交的坐标平面投影，得到三个平面一般力系，每个平面一般力系都有三个独立的平衡方程，这样力系就有九个平衡方程，但并非独立，因为三个相互相交的坐标平面满足一定的几何关系（每一个坐标平面之间的夹角是确定的，共有三个确定的夹角），这样得到的三个平面一般力系，每个平面一般力系都有三个独立的平衡方程，力系就有九个平衡方程，其实独立的还是六个平衡方程，能求解六个未知量。
6-2 试问在下述情况下，空间平衡力系最多能有几个独立的平衡方程为什么 （1）各力的作用线均与某直线垂直； （2）各力的作用线均与某直线相交； （3）各力的作用线均与某直线垂直且相交； （4）各力的作用线均与某一固定平面平行； （5）各力的作用线分别位于两个平行的平面内； （6）各力的作用线分别汇交于两个固定点； （7）各力的作用线分别通过不共线的三个点； （8）各力的作用线均平行于某一固定平面，且分别汇交于两个固定点； （9）各力的作用线均与某一直线相交，且分别汇交于此直线外的两个固定点； （10）由一组力螺旋构成，且各力螺旋的中心轴共面； （11）由一个平面任意力系与一个平行于此平面任意力系所在平面的空间平行力系组成； （12）由一个平面任意力系与一个力偶矩均平行于此平面任意力系所在平面的空间力偶系组成。 6-2 解答： 空间的一般平衡力系共有六个独立的平衡方程 0=∑x F ，0=∑y F ，0=∑z F ，0=∑x M ，0=∑y M ，0=∑z M (1) 各力的作用线均与某直线垂直 —— 最多有五个独立平衡方程。 假设各力的作用线均与z 轴垂直，则0=∑z F 自动满足，独立的平衡方程有5个。 (2) 各力的作用线均与某直线相交 —— 最多有五个独立平衡方程。
第六章 空间力系 重心 习题
第六章空间力系重心习题概念题： 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 计算题：
4.2 4.3 4.4
4.5 4.6 4.7
4.8 课后习题 6-1已知力P大小和方向如图所示，求里P对z轴的矩。（题6-1图a中的P位于其过轮缘上作用点的切平面内，且与轮平面成α=60度角；图b中的力P位于轮平面内与轮的法线成β=60度角）。 6-2作用于手柄端的力F=600KN，试求计算力在x,y,z轴上的投影及对x,y,z 轴之矩。 6-3图示三脚架的三只角AD，BD，CD各与水平面成60度角，且AB=BC=AC，绳索绕过D处的滑轮由卷扬机E牵引将重物G吊起，卷扬机位于∠ACB的等分线上，且DE与水平线成60度角。当G=30KN时 被等速地提升时，求各角所受的力。 6-4重物Q=10KN，由撑杆AD及链条BD和CD所支持。杆的A端以铰链固定，又A，B和C三点在同一铅垂墙上。尺寸如图所示，求撑杆AD和链条BD，CD 所受的力（注：OD垂直于墙面，OD=20cm）。 6-5固结在AB轴上的三个圆轮，半径各为r1,r2,r3；水平和铅垂作用力大大小F1=F1’,F2=F2’为已知，求平衡时F3和F3’两力的大小。
6-6平行力系由5个力组成，各力方向如图所示。已知：P1=150N，P2=100N，P3=200N，P4=150N，P5=100N。图中坐标的单位为cm。求平行力系的合力。 6-7有一齿轮传动轴如图所示，大齿轮的节圆直径D=100mm，小齿轮的节圆直径d=50mm。如两齿轮都是直齿，压力角均为α=20度，已知作用在大齿轮上的圆周力P1=1950N，试求转动轴作匀速转动时， 小齿轮所受的圆周力P2的大小及两轴承的反力。
空间力系习题
第四章 空间力系 4-1 力系中，F 1=100 N 、F 2=300 N 、F 3=200 N ，各力作用线的位置如图所示。试将力系向原点O 简化。 解：由题意得 N 3455 2200132300R -=? -?-=x F N 25013 3300R =? =y F N 6.105 1200100R =?-=z F m N 8.513.05 12001.013 3300?-=?? -?? -=x M m N 6.361.0132 20020.0100?-=?? +?-=y M m N 6.1033.05 22002.0133300?=??+??=z M 主矢 N 4262R 2R 2R R =++= x y z F F F F ，N )6.10250345(R k j i ++-=F 主矩 m N 122222?=++= z y x O M M M M ，m N )1046.368.51(?+--=k j i O M 4-3 图示力系的三力分别为N 3501=F 、N 4002=F 和N 6003=F ，其作用线的位置如图所示。试将此力系向原点O 简化。 解：由题意得 N 1442 1 60018100 60350'R -=? -?=x F N 1010866 .0600707.040018100 80350'R =?+?+?=y F N 517707.040018100 90350'R -=?--? =z F 主矢 N 114 42'R 2'R 2'R R =++= z y x F F F 'F ， N )5171011144(R k j i F -+-='； m N 48mm N 48000120707.0400601810090 350?-=?-=??-?? -=x M m N 07.21mm N 21070901810090 350?=?=?? =y M 6021 60090866.06006018100 60350901810080350??+??-??-?? =z M m N 4.19mm N 19400?-=?-= 主矩 m N 55.9mm N 55900222?=?=++= z y x O M M M M m N )4.191.2148(?-+-=k j i M O
空间力系及重心
第六章 空间力系及重心 一、内容提要 1、空间力对点之矩和对轴之矩 1）空间力对点之矩是矢量，且F r F m o ?=)( 2）空间力对轴之矩是一代数量，其正负号按右手螺旋规则确定，大小有两种计算方法： （a ）先将力投影到垂直于轴的平面上，然后按平面上力对点之矩计算，即 )()(yz o Z F m F m = (b)若已知力在坐标轴上的投影F x 、F y 和F Z 及该力的作用点的坐标x 、y 、z ，则力对各坐标轴的矩可表示为 =)(F m x yF z -zF y =)(F m y zF x -xF z =)(F m z xF y -yF x 3) 力对点之矩和力对轴之矩的关系（力矩关系定理）： x o x F m F m )]([)(= y o y F m F m )]([)(= z o z F m F m )]([)(= 4）特殊情况 当力与轴平行或相交（即力与轴共面）时，力对轴之矩等于零。 2、空间任意力系的简化、合成 1）空间任意力系的简化、力系的主矢与主矩 主矢R /=∑F i , 主矢的大小和方向与简化中心的位置无关。 主矩M o =∑m o (F), 主矩的大小和转向一般与简化中心的位置有关。 2）空间任意力系的合成结果
空间任意力系的平衡方程的基本形式为 0=∑x F ，0=∑y F ，0=∑Z F 0)(=∑F m x ，0)(=∑F m y ，0)(=∑F m Z 2）几种特殊力系的平衡方程 （a ）空间汇交力系的平衡方程的基本形式为 0=∑x F ，0=∑y F ，0=∑Z F （b ）空间平行力系，若力系中各力与轴平行，则0≡∑x F ，0≡∑y F ， 0)(≡∑F m Z ，其平衡方程的基本形式为： 0=∑Z F ，0)(=∑F m x ，0)(=∑F m y （c ）空间力偶系的平衡方程的基本形式为 0)(=∑F m x ，0)(=∑F m y ，0)(=∑F m Z 4、本章根据合力矩定理推导了重心坐标公式。对于简单形状的均质物体，其重心可用积分形式的重心坐标公式确定，或直接查表。至于复杂形状的均质物体的重心，可采用分割法或负面积（负体积）法求得。
空间力系和重心
第六章空间力系和重心 教学目标 1 能熟练地计算力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。 2 了解空间力系向一点简化的方法和结果。 3 能应用平衡条件求解空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系的平衡问题。 4 能正确地画出各种常见空间约束的约束力。 5 对重心应有清晰的概念，能熟练地应用组合法求物体的重心。 本章重点 1 力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。 2 空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系平衡方程的应用。 3 各种常见空间约束的约束力。 4 重心的坐标公式。 本章难点 空间矢量的运算，空间结构的几何关系和立体图。 教学过程（下页）
一、空间力系的简化 1．空间力系向一点简化 刚体上作用空间力系),,(21n F F F ，将力系中各力向任选的简化中心O 简化。 主矢：∑∑='=C i F F F ，与O 点选择无关。 （6-1） 主矩：∑∑∑?===)()(00i i i i F r F M M M ，与O 点的选择有关。 （6-2） 主矢F 和主矩0M 的解析表达式 222)()()(∑∑∑++=iz iy ix F F F F （6-3） F F x F ix ∑= ),cos( ，F F y F iy ∑= ),cos( ，F F z F iz ∑= ),cos( 2 220))(())(())((i z i y i x F M F M F M M ∑∑∑++= （6-4） 0) (),cos(M F M x M i x ∑= ，0 0) (),cos(M F M y M i y ∑= ，0 0) (),cos(M F M z M i z ∑= 结论：空间力系向任一点简化，一般可得到一力和一力偶，该力通过简化中心，其大小和方向等于力系的主矢，该力偶的力偶矩矢等于力系对简化中心的主矩。 2．空间力系简化的最后结果 （1）空间力系平衡 0=F ，00=M ，此空间力系为平衡力系。 （2）空间力系简化为一合力偶 0=F ，00≠M ，此空间力系简化为一合力偶，合力偶矩矢等于力系主矩0M 与简 化中心的位置无关。
第5章空间力系与重心
第5章空间力系与重心 教学提示：本章介绍空间力系和重心、包括空间力的投影与分解、力对轴之 矩、空间力系的平衡、物体的重心.是静力学重要内容之一。 教学要求：本章是学生掌握以下内容，并学会实际应用。 (1) 空间汇交力系的概念 (2) 力对轴之矩和力对点之矩概念和计算 (3) 空间力偶系 (4) 空间力系的简化 (5) 空间力系的平衡条件和平衡方程 (6) 物体的重心 5.1力在直角坐标轴上的投影 已知力F与x轴如图5.1(a)所示，过力F的两端点A、B分别作垂直于x轴的平面M及N ，与x轴交于a、b，则线段ab冠以正号或负号称为力F在x轴上的投影，即 F x＝±ab 符号规定：若从a到b的方向与x轴的正向一致取正号，反之取负号。 已知力F与平面Q，如图5.1(b)所示。过力的两端点A、B分别作平面Q的 '称为力F在平面Q上的投影。应注意的是力在垂直线AA′、BB′，则矢量B A' 平面上的投影是矢量，而力在轴上的投影是代数量。 (a) (b) 图5.1 图5.2
现在讨论力F 在空间直角坐标系Oxy 中的情况。如图5.2(a)所示，过力F 的端点A 、B 分别作x 、y 、z 三轴的垂直平面，则由力在轴上的投影的定义知，OA 、OB 、O C 就是力F 在x 、y 、z 轴上的投影。设力F 与x 、y 、z 所夹的角分别是α、β、γ，则力F 在空间直角坐标轴上的投影为： ??? ??±=±=±=γβα c o s c o s c o s F F F F F F z y x (5－1) 用这种方法计算力在轴上的投影的方法称为直接投影法。 一般情况下，不易全部找到力与三个轴的夹角，设已知力F 与z 轴夹角为γ ,可先将力投影到坐标平面Oxy 上，然后再投影到坐标轴x 、y 上，如图5.2（b ）所示。设力F 在Oxy 平面上的投影为F xy 与x 轴间的夹角为θ，则 ??? ??±=±=±=γθγθγc o s s i n s i n c o s s i n F F F F F F z y x (5－2) 用这种方法计算力在轴上的投影称为二次投影法。 若已知力F 在坐标轴上的投影，则该力的大小及方向余弦为 ? ? ? ??===++=F Z F Y F X Z Y X F γβαcos ,cos ,cos 2 22 （5－3） 如果把一个力沿空间直角坐标轴分解，则沿三个坐标轴分力的大小等于力在这三个坐标轴上投影的绝对值。 例5.1 如图5.3所示，已知力F 1＝2kN ，F 2＝1kN ，F 3＝3kN ，试分别计算三力在x 、y 、z 轴上的投影。 图5.3 解：