使用颜色、纹理图像分割超复数的Gabor分析

信号与图像处理：国际期刊（SIPIJ）第一卷，第2期，2010年12月

使用颜色、纹理图像分割超复数的Gabor分析

B.D.Venkatramana 1

Reddy和 Dr.T.Jayachandra 2

Prasad 电子与通信工程学院技术与科学系，Madanapalle-517325，印度安得拉邦

电子与通信工程学院RGM工程技术系，Nandyal-518501，印度安得拉邦

摘要

纹理分析，如分割和分类在计算机视觉和模式识别中起着重要作用，得到广泛认可，并应用到许多领域，如工业自动化生物医学图像处理和遥感。在本文中，我们第一次扩展了著名的Gabor过滤器对彩色图像使用特定形式的复数数字称为四元数，这些筛选器被构造作为窗口基础功能的四元数傅里叶变换也称为傅里叶变换的超复数。在此基础上扩展本文提出了利用这些新的四元数Gabor滤波器的彩色纹理图像的分割。两个颜色纹理图像实验结果，我们通过添加到纹理图像的高斯噪声测试这种技术用于分割的鲁棒性。实验结果表明，即使在强烈噪声的存在下，该方法具有更好的分割效果。

关键词

彩色纹理图像分割，Gabor滤波器，超复数，四元数，四元数傅里叶变换

1、序言

纹理是人类认识对象的一个基本的提示，研究纹理是一个在计算机视觉及其应用中非常重要的任务。在过去的三十

年，这是一个非常积极的话题。有几个研究主要集中在纹理分析领域，主要是包括纹理分类，纹理分割，纹理合成，纹理塑造等。图象纹理处理的任务是将给定的图像转换成均匀纹理区域。这个纹理分割问题是一般图像分割问题的一个分支，是许多计算机视觉任务的重要一步。关于全局化的灰度值或平均值超过一些邻阈的灰度值，是由于大多数情况下没有足够的正确的分割。

提出的问题是相当模糊的，因为长期对于纹理没有明确的界定，并没有表征纹理的局部灰度值变化的数学表征作为人类观察员，出于这个重要原因采取了不同的纹理分割方法。由于局部纹理统计特性的表征和局部几何构造块已被使用，在纹理分割另一个分支研究的是，基于局部空间频率为特征的纹理。Gabor滤波器在局部频率分析中发挥特殊作用，一方面基于Gabor滤波器纹理分析方法是通过心理研究的动机，一方面因为二维Gabor滤波器已被证明是纹理的接受域配置文件，另一方面好的模型的物理学研究动机是Gabor滤波器纹理分析的方法，他们支持全领域的纹理引起了定期的灰度值结构的观察[1]。

在本文中，我们制定了Gabor滤波器为基础的方法和介绍以四元数Gabor滤波器为基础的彩色纹理分割，实验结果已经证明该方法的作用。本文的其余部分如下，第2节简要讨论了主要的相关工作，第3节介绍了四元数，第4节讨论

了使用四元数彩色像素表示，第五节谈了四元数傅里叶变换，第6节介绍了处理四元数Gabor滤波器并提出了纹理分割算法，第7节呈现分割算法对彩色纹理图的实验结果。第8节总结全文。

2、相关工作

有很多项活动在纹理分割中使用Gabor过滤器，我们将对这些方法做一些评论。在文献[2，3]邓恩引入找到一个最佳的二维Gabor的方法筛选了两个纹理图像的识别。该过滤器是这样设计的，这种过滤图像的大小的不连续性在纹理边界最重要。参考文献[4] Teuner，指出的是占主导地位的频率并不一定符合那些重要的分割。一个占主导地位的频率只是分割时帮助它不发生带纹理的图像，作者提供了一个称为光谱特征对比方法，证明Gabor歧视性权力的功能。

比洛中[1]通过应用高斯窗的制定四元数Gabor滤波器（QGF）四元数傅里叶变换，并提出了灰度纹理的分割方法基于四元数Gabor滤波器的图像。然而，布洛不适用的四元数Gabor滤波器颜色或矢量值图像，里弄石和Brian凡特[5]提出了一种颜色纹理分割方法，使可能的编码结构和颜色特征作为四元数颜色的表示，并使用四元数主成分整机分析（QPCA）用不同的颜色编码为四元数来计算颜色纹理的基础。我们的方法彩色纹理分割是直接用比洛的方法。在这里，我们扩展Gabor滤波器的颜色用四元数图像，并使用这些新

的四元数Gabor 滤波器在彩色纹理图像分割。

3、四元数

四元数的概念是由汉密尔顿在1843年推出的[6]，它是一般化的复数。复数有两个组成部分：实部和虚部。然而，四元数有四个组成部分，即一个实部和三个虚部，用笛卡尔形式可以表示为：

q w xi yj zk =+++ （1） w,x,y 和z 为实数，i,j,k 在复杂环境中遵守下面的规则：

,,ki j j k jk i ===，

,,ji k kj i ik j =-=-=-

并且还满足

2221i j k ijk ====-，从这些规则看出四元数不符合乘法交换律，它的共轭是q w xi yj zk =---以及四元数的模由下式给出：

q = （2）

零实部四元数被称为纯四元数，四元数的单元模被称为单位四元数。四元数的虚部有三个组成部分，并且可以是与3维空间向量相关联。出于这个原因，它要考虑的是四元数构成的一个矢量部分和一个标量部分，从而用Q 可表示为： (q)V(q)q S =+ （3）

其中标量部分(q)S 是实数部分即(q)w S =，载体部分是一

个复合三个假设成分：

V=++（4）

(q)xi yi zk

欧拉公式将复指数推广到超复数形式：

=+（5）

eμββμβ

cos sin

其中，μ为单位纯四元数，任何四元数可用极坐标形式表示为：

q q eμβ

=（6）其中μ和β被称为被称为被称为四元数的本征轴和本征角。μ识别部分矢量方向的三维空间，并可以被认为是一个真正的一般化复杂的操作者i ,由于21

μ=-,β类似于一个复杂的参数，但是只有唯一的范围为[0 π]，因为一个值大于π更大可以降低到这个范围由否定或逆转本征轴。

我们可以想像的本征轴作为阿根图的实轴的虚轴这已作为准四维空间的标轴。该本征轴垂直于实轴，而不必使用

和。

任何由定义的三个假想轴的对齐虚运,i j k

4、彩色图像的像素数四元数表示

彩色图像中的像素有三个组成部分，并且它们可以用四元数采用纯四元数[7]形式表示。在RGB颜色空间中，一个纯粹的三个虚部的四元数可以用来表示红色、绿色和蓝色分量。例如，一个像素在RGB图像中的图像坐标（X，Y）可

以表示为

=++（7）

(x,y)r(x,y)i g(x,y)(x,y)

f j b k

r(x,y)，g(x,y)(x,y)

和是所述像素的红色、绿色和蓝

b

色分量，例如图1说明通过使用四元数形式来表示RGB彩色图像的方法。

使用四元数来表示RGB颜色空间中，三个颜色通道进行同样的操作处理，例如乘法。使用四元数的基础优势是操作控制彩色信息的图像是独立的，我们不必处理每个色通道，而是对待每一个三色体作为一个整体单元。我们相信，通过使用四元数的操作，使一个颜色被视为一个实体，从而色彩信息的准确性达到更高。

图1 彩色图像的四元数表示

5、四元数傅里叶变换

基于四元数的乘法和指数，四元数傅里叶变换的概念变换（QFT）已经给出。由于四元数代数中非交换乘法法则，有几种形式的四元数傅里叶变换。我们采纳表格中的工作提

出[7][8]它分为离散的量子场论分为两类，即右侧的形式和左侧的形式。

离散版本的右侧和左侧的四元数傅里叶变换可以表示如

()

112()

00

1

F(u,v)F,

xu yv

M N

R R M N

x y

f x y eμπ

---+

==

==∑∑

（8）

()

112()

00

F(u,v)F,

xu yv

M N

L L M N

x y

e f x y

μπ

---+

==

==∑∑

（9）类似地，四元数的逆傅里叶变换可以表示为：

(

)112()

00

,F(u,v)

xu yv

M N

R M N

x y

f x y F eμπ

--+

-

==

==∑∑

（10）(

)112()

00

,F(u,v)

xu yv

M N

L M N

x y

f x y e F

μπ

--+

-

==

==∑∑

（11）在这种变换下，超复数广义算子：μ为任何单位纯四元数，μ定为对于颜色空间和一个显著彩色图像的方向，对应于该连接的所有点r=g=b的亮度轴。在RGB色彩空间这就是“灰线”。

6、四元数的Gabor滤波器

6.1定义

基于现有的伽柏理论单色纹理分割方法，我们建议扩展了Gabor技术，在彩色图像分析的画面质感方面有不错表现。要定义Gabor滤波器的彩色图像，我们将四元数的概念，

由爵士所定义的四组分超复数威廉·汉密尔顿[6]。一种二维复值Gabor 滤波器是用脉冲的线性移位不变滤波器响应，

00-(2()··(x,y)g(x y )e i u x v y h π+）， （12）

和

22121(x,

y)Kexp 2x y g σσ????????????=-+?? ? ????????????? 其中坐标从(),x y ''派生(x,y)通过关于通过原点旋转角α，

我们会选择归一化常数K ，使得121

2K πσσ=的脉冲响应，Gabor 滤波器是2维傅立叶变换的高斯窗的基函数变换。

比洛和索默在[1][9]通过应用高斯制定四元数Gabor 滤波器（QGF ）窗口变换到四元数傅里叶。但是，它们并不适用四元数的Gabor 过滤器，彩色或向量值图像。为了扩展此表为四元数，我们先定义一个纯粹的单数用1230(i j k 0)μμμμμ=++=和表示，并使用它来代替简单的虚根i 。然后，我们有

00(x,y)g(x,y)exp((2u 2))h x v y μππ=+ (13)

22121(x,y)K exp 2x y g σσ????????????=-+?? ? ?????????????

2212K πσσ=和 ,其结果为四元数。对于一个单位纯四元数，欧拉恒等式得出的

关系

cos sin e μθθμθ=+,因此，一个四元数Gabor 滤波器的脉冲响应由下式给出：

0000(x,y)g(x,y)(cos(2u 2)sin(2u x 2v y))h x v y ππμππ=+++(14) 并且是QFT 的高斯窗的基函数。这是我们将应用到过滤器彩色纹理分割。在文献[7]的单位纯四元数μ表示为任意的，并且是在RGB

空间中设置为“灰色轴线”所得到的四元数是(i j ++。一个典型的四元数Gabor 滤波器如图2所示。

当在电脑上执行四元数Gabor 滤波我们必须使用离散表格，四元数Gabor 滤波器{},,1,

m n m n M h h ∈??=?? 及

22,22121121122exp exp 2222m n M M m n M M h u m v n M πμσσ??--????--?? ? ????--??????

?????=--?-+-?? ? ? ???????????????

（15） 使用此约定的Gabor 滤波器掩模是M M ?的四元数矩阵，原点位于所述矩阵的中心。因此，有利的是选择M 奇数时，为了有一个中心像素的过滤掩模。频率u 和v 看看期

间有多少个周期分别放入在水平方向和垂直方向的滤波器掩模。图3示出的幅值大小的典型四元数Gabor 滤波器各组成部分2121?和为一个单一的角度和组合尺度。通常显示出由一个衰减的正弦波的Gabor 更新负指数，不同的组件具有与分量相关程度色彩轴矢量μ。

图2。这四个组件的四元数的Gabor 带参数的过滤(12003,3,0.1,0.1j 3u v i k σσμ=====++和该图尺寸为

2121?，（a ）,(b),(c),(d)

图3网状曲线四元数Gabor 滤波元件与参数()12003,3,0.1,0.1j 3u v i k σσμ=====++和该图尺寸2121?，

（a ）实部,(b)i 实部,(c)j 实部,(d)k 实部。

6.2局部四元相位 一个图像的局部四元相位可以被定义为响应四元数Gabor 滤波器的角度相位。直角坐标表示法给每个四元数q,用q w xi yi zk =+++的形式来表示:

()[],,,2,24,4i k j q q e e e φ?θφθ?ππππππ????????=∈??????????有 (16)

φθ和四元相的分量对应于在水平和垂直傅立叶相，而α分

量代表一个新的实体，它不是单纯的响移的图像。该四元相位角?可以唯一确定的时间间隔内进行评估[][]441ππ，类似。

()()=-arcsin 22

xy wz ?- （17） 及1q =，

额外的相位值?从四元数Gabor 滤波产生图像中的区别。

6.3纹理分割算法

输入：纹理图像大小为N N ?

输出：纹理分割图像

步骤1、对于选择的值0012,,u v σσ和。

步骤2、将输入图像转换成2维矩阵的四元数，称作(x,y)i 。 步骤3、得到的滤波器的冲激响应，（这也是一个2维的四元数的矩阵）下面的公式：

()()00(x,y)g(x,y)exp 22h u x v y μππ=+

22122211(x,y)Kexp 22x y g K σσπσσ????????????=-+=?? ? ?????????????

当及

步骤4、计算卷积(x,y)i 与h(x,y)，称作m(x,y)，这是对应于输出图像的2维四元数矩阵

m(x,y)i(x,y)h(x,y)=?