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电大专科2332高等数学基础复习及答案

2332高等数学期末复习指导

高等数学基础复习指导注意:

1本次考试题型分为单选(20=4分*5)填空(20=4分*5)计算题(44=11分*4)应用题(16=16

分*1)

2复习指导分为3个部分，第一部分配有详细解答，掌握解题方法，第二部分历年试题汇编，熟

悉考试题型;第三部分中央电大今年的模拟真题，应该重点掌握。3复印的蓝皮书大家要掌握第5页的样卷和29页的综合练习。

第一部分(详细解答)

一(填空题

x，41(函数的定义域为xx,,12且。y,ln(1)x,

x，,40,,,x4,

,,x,,10解:且,,,,xx12x,1,,

,,ln10x,,，，x,,11,,

ln(1)x，2(函数的定义域是。,,,12xy,24,x

x，,10x,,1,,解:,,,,,12x,,2,,,22x40,,x,,

x，23(函数的定义域是。xx,,,23且y,x,3

xx，,,,202,,解:,,,xx,,,303,,

22f(x),4(设，则。xx,，46fxx(2)2，,,

2xt，,2xt,,2解:设，则且原式fxx(2)2，,,

22ftt()22,,,即,tt,，42，，

2fx(),亦即xx,，42

4,x,,4(1),0,,xxfx(),x,0k4(若函数在处连续，则=e。,

,kx,0,,

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函数fx在x=0连续,lim则ffx,0，，，，，，x0,

41,，,4，，,4xxlimlim1limfxxxe,,,,,1，，，，，，xxx,,000,

fk(0),

,4？,ke

,xx,05(曲线在处的切线方程为。yx,,,1ye,

,曲线在点处的切线方程为yyyxx,,,yfx,xy,，，，，，，0000x0

,x0,解:，ye1,,,,xye,,,01时，，，000x,0x,

，yxyx,,,,,,,,1(0)1

ln(3)x，6.函数的连续区间为。y,,,,，,3,1,1,，，，，x，1

初等函数在其定义区间连续。

x，,30ln(3)x，,x,,3x,,1y,且,,,，,3,1,1,,,,，，，，,x，1x，,10,

7(曲线在点(1,0)处的切线方程为。yx,lnyx,,1

1,,yx解:,,,ln1,，，xxx,,,111x

yxyx？,,,,,,，，0111

1dy,fxdx'(ln2)8.设函数yfx,(ln2)可导，则。x

1dyydx,'解:,,,fxxdx'(ln2)2'fxdx(ln2)'fxxdx'(ln2)ln2'，，，，,,2x

11fxdx'(ln2),fxxdx'(ln2)2',，，x2x

132yxxx,,，239.(判断单调性、凹凸性)曲线在区间内是单调递减且凹。2,3，，3 2,,解:yxxxxxy,,，,,,,,,,4331,230当时，曲线下降，，，，

,,,,yxy,,,,20,4曲线是凹的

22,f(f(x)),10(设，则。41x，fxx()1,，

222,fxxx'()1'2,，,ffxfxxx(())22141,,，,，解:，，，，，，，，

1311(0。xxdx(1cos),,,,1

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3解:是奇函数;是偶函数，由于偶+偶=偶，则是偶函数，1cos,xx1cos和x

3因为奇偶,奇，所以是奇函数，是对称区间x，,1,11cos,x，，,,

奇函数在对称区间上的积分为零

12212(。xxxdx(1),，,,,13

xxxdx(1),，,(1)xxxdx,，,xdxxxdx,，1,,,,,,,,1111

122是奇函数(奇偶,奇)，故;，xxdx10，,xx1，,,1

xdxxdxx2x,,0,1033

fx(ln3),13(设，则。Fxfx()(),dx,FxCln3，，，,x

11,,解:,？,,ln3ln3ln3xdxxdxdx，，，，xx

1fxdxfxdxFxC(ln3)ln3ln3ln3,,，，，，，,,x

122,xfxdx(1),,14(已知Fxfx()(),，则。FxC,，1，，,2 xfxdxfxxdxfxdxFxC(1)12111,,,,,,,,，，，，，，，，，，，,,,222

fxxdx(sin)cos,15(设Fx()fx()为的原函数，那么。FxCsin，，，, fuduFuC,，cossinxdxdx,Fx()fx()分析:为的原函数，,，，，，, fxxdxfxdxFxC(sin)cossinsinsin,,，解:，，，，,,

,sinx,sinxfx()16(设的一个原函数是,则fx(),。

,,sinxfx()Fx()fx()Fx'()fx(),解:的一个原函数为,,,sin''xcos'x,,，，，，0,,xxcos2Fx(),17(，那么。Fxttdt()cos2,,x

,,xx,解:ftdtfx,,,,,,Fxttdtxx()cos2cos2，，，，，，，，,,0a

0d,2t2,x,tedt18(_______,xe__________。，，,xdx

0xdd,2,t2t2,x,,,tedttedt解:,xe，，，，,,0xdxdx

x,,1,sint,F(),19(设，则e。Fxedt(),,02

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,,x,sin,,,,,,sinsin1tx2,,FxedteFee,,,,,解:，，,,，，,02,,

0d2220(cos=。tdt,cosx,xdx

0xdd222coscos解:tdt,,tdt,,cosx,,x0dxdx

二(选择题

1(下列函数中(B)的图像关于坐标原点对称。

xlnxA(B(C(xxsinD(axxcos

规律:(1)1(奇偶函数定义:

;fxfxfxfxfxfx,,,,,,;是奇函数，是偶函数，，，，，，，，，，，，

2243(2)(常见的偶函数:xxxxx,,...,,cos,,常数

111，,xx3523常见的奇函数:xxxxxxx,,,...,,sin,ln1,ln,ln，，，，11,，xx

xxxx,,常见的非奇非偶函数:;aeaex,,,,ln

(3)(奇偶函数运算性质:

奇?奇=奇;奇?偶=非;偶?偶=偶;奇×奇=偶;奇×偶=奇;偶×偶=偶;

y(4)(奇函数图像关于原点对称;偶函数图像关于轴对称。

y解:A(非奇非偶;B(奇×偶=奇(原点);C(奇×奇=偶(轴);D(非奇非偶2(下列函数中(B)不是奇函数。

xx,2sinxcosxA(;B(sin(1)x，;C(;D(ee,ln1xx，，，，解:A(奇函数(定义);B(非奇非偶(定义);C(奇函数(奇×偶);D(奇函数(定义)

y3(下列函数中，其图像关于轴对称的是(A)。

1,xx2lncos(1)x,A(B(C(D(excossin(1)x,1，x

y解:A(偶函数(轴);B(非奇非偶(定义);C(奇函数(常见);D(非奇非偶(定义)4(下列极限正确的是(B)。

3xx,11e,1A(B(lim,lim0,3x,,313x，,0xx

sinx1x,，,elim(1)(x,,,0xxx

xxe,1xlim1,x,0解:A错。?，e,1,?;lim,xx,0x,0xx

B正确。分子分母最高次幂前的系数之比;

11sinxsinx,,0lim0C错。?，即是无穷小，即是有界变量，?;sin1x,x,,x,,xxx

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11x,x1，,eD错。第二个重要极限应为或，其类型为。lim(1)lim(1)，,xe,,x,x0x

5(当x,,1时，(D)为无穷小量。

x，11A(B(sinC(D(cos(1)x，ln(2)x，2x,1x，1

x，1110lim解:A(,,,0;lim2x,,1x,,1x22x,1

11B(x,,1，x，,10，,,，不存在;limsinx,,1x，x，11x,,1C(，;cos(1)cos01x，,, x,,1D(，。ln(2)ln10x，,,

6.下列等式中，成立的是(B)。

1,,33xx,,22xxedxde,,A(B(edxde,,23

21C(D(dxdx,ln3dxdx,3xx

1,,33xx,,22xx,,33xxedxde,,解:A(错，正确的应为B。正确，即,,2edxde,,3edxde3 11C(错，正确的应为D(错，正确的应为dxdx,dxdx3ln3,3x2x

,f(x)7(设在点可微，且，则下列结论成立的是(C)。xx,fx()0,00

f(x)f(x)A(是的极小值点B(是的极大值点;xx,xx,00

f(x)f(x)C(是的驻点;D(是的最大值点;xx,xx,00

,fx()fx()解:驻点定义:设在点可微，且，则是的驻点。驻点为可能的极值点。

xx,fx()0,xx,000

fxf()(3),fxx()ln,8((函数lim,，则(D)。x,3x,3

11ln3A(3;B(;C(;D(x3fxf()(3),11解一:lim,ffxx,,,,'3'ln'，，，，，，

xx,,33x,3x,3x3x,3

10

fxf()(3),lnln3x,1x0lim,lim解二:,limx,3x,3x,3x,3x,313

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fx()9(设，则,(B)。fxx()sin,limx,0x

12A(0;B(;C(;D(不存在

fx，，sinx解一,,:limlim1xx,,00xx

fx，，sin0x,,解二:limlimsincos1,,,,xx，，，，xx,,00xx,,00,0xx

3210(曲线在区间(1,3)内是(A)。yxxx,,,，391

A(下降且凹B(上升且凹C(下降且凸D(上升且凸解:

,在任取一点13,0,,,xyx带入可知，曲线下降

,,yx,66,，

,,在中任取一点13,0,,,xyx带入可知，曲线是凹的

x11(曲线在(0,)，,内是(B)。yex,,

A(下降且凹;B(上升且凹;C(下降且凸;D(上升且凸解:

xxyexe''1,,,,，，

当时上升xy,,0'0，，曲线xye'',

当时，，曲线是凹的xy,,0''0

12(曲线在点M(1,2)处的法线方程为(B)。yx,2

1yx,,,2(1)yx,,,,2(1)yx,,,,22(1)A.;B.;C,,,1(2)2

1规律:曲线在x=处的法线方程为xyfx,yfxxx,,,,，，，，，，000,fx，，0

11yfxx,,2解:，，fxx'2',,f,,，，'11，，，，，，xxx,1

yx,,,,2(1)故法线方程为B(;

13(下列结论中正确的是(C)。

A(函数的驻点一定是极值点B(函数的极值点一定是驻点

00C(函数一阶导数为的点一定是驻点D(函数的极值点处导数必为

,fx()fx()解:驻点定义:设在点可微，且，则是的驻点。驻点为可能的极值点。

xx,fx()0,xx,000

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2332高等数学期末复习指导14(设函数，则(A)。df(x),fxx()cos,

,sinxsinxsinxsinxA(;B(;C(;D(dxdx,dxdx

2xx2xx

sinx解:dfxdxxd()coscos'si,,,xxxdx,,n',dx，，，，2x15(当函数不恒为0，为常数时，下列等式不成立的是(B)。fx()ab,

db,f(x)dx,f(x).(f(x)dx),f(x),,adx

b,，c,,a

解:

,(())()fxdxfx,A.成立，为不定积分的性质;,

bB.不成立，常数，而常数的导数为零;fxdx(),,a

,fxdxfxc()(),，C.成立，为不定积分的性质;,

bD.成立，为牛顿,莱布尼兹公式。dfxfbfa()()(),,,a

1116(设函数f(x)Fx()fdx(),的原函数为，则(A)。2,xx

111FC()，fC()，A(,，FC()FxC()，;B(;C(;D(xxx

11fuduFuC,，fx()Fx()解:函数的原函数为，,,dxd,，，，，2,xx

1111111,,,,,,fdx(),,,,,,fdxfd(),，FC,,,,,,22,,,xxxxxxx,,,,,,17(下列无穷积分

为收敛的是(B)。

，,0，,01,，,0,,1,发散p,0,收敛1,pxdxedx,规律:?(0),?,,,,a,,xp,0,发散,1,收敛, ，,，,，,p,0,发散npx,xedxn,N,?、发散?sinxdxcosxdx,,,0aap,0,收敛

，,1p,,,20p,,10,,,解:A.;B.，收敛;C.，发散;D.，发散1sinxdx,0218(下列无穷积

分为收敛的是(C)。

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x，,，,，,，,122,解:A.发散;B.发散;C.收敛;D.发散;

三(计算题

12,x2x41x,4x,,,,limlim1、求极限2、求极限,,,,x,,x,,41x，

43x，,,,,414122xx,，,,44333xx，,,解:?解:?,,，1,,，1414141xxx，，，

434343xxx，，，,,212x，，,,32x3lim,-lim,1x,,x,,43x，241x，

3,2?原题,?原题,ee

xex,,1xx,03、求极限解:?，,，,e,1limln1，xxx，，,0xxxln(1)，

,xxxxex1,,，，e1ex,,1e,1lim?原题,=,limlimlim,0,0,0xx,0xx222xxx,2,x，，

sin3xsin3x3x,2xx,04、求极限lim解:?，,，,141,,xx,0,,141x

3x3,lim?原题,,x,0,22x

2ln(13),x22sin2x2xx,0、求极限5解:?，,，,,3xlimln(13),xx,0xxsin2

23,3x,?原题,lim,x,02xx,2

sin2xe,16、求极限lim,x0tan4x

sin2xsin2x2x4xx,0tan4x解:?，,,，,e,1

2x1lim?原题,,x,04x2

3dy7、设函数，求yxx,,ln(2)

13323yxxxx''ln(2)ln2',,，,，，,,，,,3ln(2)2'xxxx解:，，，，，，，，2,x

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3x2,,,3ln(2)xx2,x

3，，x2,3ln(2)xxdx,,dy,,2,x，，

cosx8、设函数，求。dyyxex,,2，，

3xcos2解:yxex,,2

131,,coscosxxxcosxxcoscos222,，,exex'3yxex''2',,,，,exexxcos'3，，，，，，,, ,,

1xxcoscos2,,,exxexsin3

1,,xxcoscos2,exxexdx,,sin3dy,,

,,

2x,129、设函数，求dy。yxee,，，cos(ln2)

2,x,12,解:yxeecosln2,，，，，

2,,x,12,cosln2xee,，，，，，，，，

2,x,12,sinln2ln210xxex,,，,，，，，，

21x,1,xxex,,，,sinln222，，，，x2

2sinlnxx,1,,，2xex

2sinln2x,,x,1,,，dy2xedx,,x,,

3xedy10、设函数y,，求。2,x

,33xx,33xx33xx,3x,exex22,,,，，，，，，exxe321,,,32exe,，,,，，，，，，，，e,解:y,,,,,,2222,x22,,xx2,x，，，，，，,,

33xx32ex,，e，，dy,dx22,x，，

sin3xy,dy11、设函数，求。cos1x，

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,,,sin31cossin31cosxxxx，,，，，，，，，sin3x,,解:,y,,,,21cos，x,,1cos，x，，

,cos331cossin3sinxxxxx，,,，，，，，，,21cos，x，，

3cos31cossin3sinxxxx，，，，,21cos，x，，

3cos31cossin3sinxxxx，，，，dy,dx21cos，x，，

x2xdxsin12、计算不定积分,2

22x20解:x

+—+

xxxx,4cossin,2cossin82222

xxxx22,，，，2cos8sin16cosxxCxdxsin,,2222

,3xxedx13、计算不定积分解:10x,

，—

11,3x,3x,3x,eee93

11,3x,3x,3xxedx,xe,，eC,,39

四、应用题

1、要做一个有底无盖的圆柱体容器,已知容器的容积为4立方米,试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使所用材料最省。

h解:设圆柱体底半径为，高为，r

42,,h则体积Vrh,,,42,r

材料最省即表面积最小

48222S,,，,,，r表面积rr2,,,rrh，2,,2rr,

843,,S'2rS',，令,0，得唯一驻点,r2r,

4433所以当底半径为米，此时高为米时表面积最小即材料最省。,,

2、要做一个有底无盖的圆柱体容器,已知容器的容积为16立方米,底面单位面积的造价为10元/平方米，侧面单位面积的造价为20

元/平方米，试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使建造费用最省。

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h解:设圆柱体底半径为，高为，rr

162h则体积,,hVrh,,,162,r

64022,，，,，,,,且造价函数frrhr1020210r

64043,,,,,令，得唯一驻点fr200,r22r,

4433所以当底半径为米，此时高为米时造价最低。2,,

3、要用同一种材料建造一个有底无盖的容积为108立方米的圆柱体容器，试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使建造费用最省。

解:要使建造费用最省，就是在体积不变的情况下，使圆柱体的表面积最小。

h设圆柱体底半径为，高为，r

1082,,则体积hVrh,,,1082,r

rr2,,rrh，22rr,

,,,3r2r,,

4433所以当底半径为米，此时高为米时表面积最小即建造费用最省。,,33,,

4、在半径为8的半圆和直径围成的半圆内内接一个长方形(如图)，为使长方形的面积最大，该长方形的底长和高各为多少。

y2x解:设长方形的底边长为，高为，

2222,,,yx64y则88,，xy

2Sxyxx,,,2264面积xx

2,,x2,Sx,,,,2640令，得唯一驻点x,42,,264,x,,

所以当底边长为米，此时高为米时面积最大。8242

5、在半径为8的圆内内接一个长方形，为使长方形的面积最大，该长方形的底长和高各为多少。

2x2y解:设长方形的底边长为，高为，

2222,,,yx64则8,，xy

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2Sxyxx,,,4464面积

2,,x2,令Sx,,,,4640，得唯一驻点x,42,,264,x,,

米，此时高为米时面积最大。所以当底边长为8282

第二部分高等数学基础历年试题汇编

一、单项选择题(每小题4分，本题共20分)

,xxee,1.函数的图形关于(A)对称(y,2

yy,x(A)坐标原点(B)轴(C)轴(D)x

2.在下列指定的变化过程中，(C)是无穷小量(

11xsin(x,,)sin(x,0)(A)(B)xx

1

x(C)ln(x，1)(x,0)(D)e(x,,)

f(x2h)f(x),,00lim3.设f(x)在可导，则,(C)(x0h,02h

,,,,(A)(B)(C)(D)f(x)2f(x),f(x),2f(x)0000

1f(x)dx,F(x)，cf(lnx)dx,4.若，则(B)(,,x

11F(lnx)，cF()，c(A)F(lnx)F(lnx)，c(B)(C)(D)xx

5.下列积分计算正确的是(D)(

1001,x(A)(B)(C)(D)xsinxdx,0edx,1sin2xdx,πxcosxdx,0,,,,,,,,,,11

,xx22，y,6.函数的图形关于(B)对称(2

yy,x(A)坐标原点(B)轴(C)轴(D)x

7.在下列指定的变化过程中，(A)是无穷小量(

11xsin(x,0)xsin(x,,)(A)(B)xx

xlnx(x,0)(C)(D)e(x,,)

8.下列等式中正确的是(B)(

dxdx1xxd(x),d(),lnxdxd(lnx),(A)(B)(C)(D)d(3),3dxxxx

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1f(x)dx,F(x)，c9.若，则f(x)dx,(C)(,,x

(A)(B)(C)(D)F(x)F(x)，c2F(x)，c2F(x)

10.下列无穷限积分收敛的是(D)(

，,，,，,，,111xdxdx(A)(B)(C)dx(D)edx2,,,,1110xxx

,xxee,11.函数的图形关于(A)对称(y,2

yy,x(A)坐标原点(B)轴(C)轴(D)x

12.在下列指定的变化过程中，(C)是无穷小量(

11xsin(x,,)sin(x,0)(A)(B)xx

1

x(C)ln(x，1)(x,0)(D)e(x,,)

f(x2h)f(x),,00lim13.设f(x)在可导，则,(C)(x0h,02h

,,,,(A)(B)(C)(D)f(x)2f(x),f(x),2f(x)0000

1f(x)dx,F(x)，cf(lnx)dx,14.若，则(B)(,,x

11F(lnx)，cF()，c(A)F(lnx)F(lnx)，c(B)(C)(D)xx

15.下列积分计算正确的是(D)(

1001,x(A)(B)(C)(D)xsinxdx,0edx,1sin2xdx,πxcosxdx,0,,,,,,,,,,1116下列各函数对中，(C)中的两个函数相等(

22f(x),x(A)，g(x),x(B)，g(x),xf(x),(x)

34g(x),3lnxg(x),4lnx(C)，(D)，f(x),lnxf(x),lnx

f(x)(,,,，,)f(x),f(,x)17设函数的定义域为，则函数的图形关于(D)对称(

y,xy(A)(B)轴(C)轴(D)坐标原点x

x,018当时，变量(C)是无穷小量(

2sinxx1x(A)(B)(C)(D)e,13xxx

fhf,,(12)(1)x,1,f(x)lim19设在点处可导，则(D)(h,0h

,,,,f(1),f(1)2f(1),2f(1)(A)(B)(C)(D)

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220函数在区间内满足(B)((2,4)y,x，2x,3

(A)先单调上升再单调下降(B)单调上升

(C)先单调下降再单调上升(D)单调下降

,f(x)dx,21若，则(B)(f(x),cosx,

(A)sinx，c(B)(C),sinx，c(D)cosx，c,cosx，c

π72(xcosx,2x，2)dx,(D)(22π,,2

π02π(A)(B)(C)(D)π2

1,23若的一个原函数是，则(B)(f(x)f(x),x

211,(A)(B)(C)(D)lnx32xxx

24下列无穷积分收敛的是(B)(

，,，,，,，,11x,3dxdx(A)(B)(C)(D)cosxdxedx,,,,1100xx

25.设函数f(x)的定义域为(,,,，,)，则函数f(x),f(,x)的图形关于(D)对称( y,xy(A)(B)轴(C)轴(D)坐标原点x

x,026.当时，变量(C)是无穷小量(

sinx1xx(A)(B)(C)(D)e,12xxx

fxf，,,(1)(1)x,27.设，则lim(B)(f(x),e,x,0x,

11ee2e(A)(B)(C)(D)e42

d2xf(x)dx,28.(A)(,dx

1122f(x)f(x)dx(A)(B)(C)(D)xf(x)xf(x)dx22

29.下列无穷限积分收敛的是(B)(

，,，,，,，,11xx,dxdx(A)(B)(C)(D)edxedx,,,,1100xx

二、填空题(每小题4分，共20分)

29,xy,(1,2):(2,3]1.函数的定义域是(ln(x,1)

x,1x,0,x,0y,2.函数的间断点是(,sinxx,0,

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13.曲线在处的切线斜率是((1,2)f(x),x，12

24.函数的单调减少区间是((,,,,1)y,(x，1)，1

,(sinx)dx,，c(,

ln(x，1)6.函数的定义域是(y,(,1,2)24,x

1,x,(1，x)x,0x,0k,f(x),7.若函数，在处连续，则(e,2,x，kx,0, 338.曲线在(1,2)处的切线斜率是(f(x),x，1

y,arctanx9.函数的单调增加区间是((,,,，,)

,f(x)dx,sinx，c,sinx10.若，则(f(x),,

ln(x，1)11.函数y,的定义域是((,1,2)24,x

1,x,(1，x)x,0x,0k,f(x),12.若函数，在处连续，则(e,2,x，kx,0, 33(1,2)13.曲线在处的切线斜率是(f(x),x，1

y,arctanx14.函数的单调增加区间是(,,,，,)(

,f(x)dx,sinx，c,sinx15.若，则f(x),(,

x，1y,(1,2):(2,，,)16.函数的定义域是(ln(x,1)

1,x,(1，x)x,0x,0k,f(x),17.若函数，在处连续，则(e,

,x，kx,0,

1(1,1)18.曲线在处的切线斜率是(f(x),x2

2(0,，,)19.函数的单调增加区间是(y,ln(1，x)

,(cosx)dx,20.(cosx，c,

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x21函数y,，2，x的定义域是([,2,1):(1,2)ln(2,x)

x，2x,0,22函数的间断点是x,0(y,,sinxx,0,

1,x,(1，x)x,0x,0k,23若函数f(x),，在处连续，则(e,3,x，kx,0, 124曲线在处的切线斜率是((2,2)f(x),x，24

225函数的单调增加区间是((2,，,)y,(x,2),1

f(x)dx,sin3x，c3cos3x26若，则(f(x),,

22dxxedx,27(e,dx

三、计算题(每小题11分，共44分)

sin(x1)sin(x1)1sin(x，1)，，limlimlim,,,1.计算极限

(解:22x,,1x,,1x,,1(x1)(x1)2x,1x1，,,

1xxx,y,,esine2.设，求(解:y,y,lnx，cosex

1

xe3.计算不定积分dx(2,x

解:由换元积分法得

111xe1uuxxdx,,ed(),,edu,,e，c,,e，c,,,2xx

e4.计算定积分(lnxdx,1

解:由分部积分法得

eeeelnxdx,xlnx,xd(lnx),e,dx,1,,,1111

sin6xlim5.计算极限(x,0sin5x

xxsin6sin6limxsin6666x,0xx66lim,lim,,,,

解:x,0x,0xxsin5sin5xsin5555limx,0xx55

xsinx，2,y6.设，求(解:由导数四则运算法则得y,2x

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222xxxx,(sinx，2)x,2x(sinx，2)xcosx，x2ln2,2xsinx,2x2,y,,44xx 1xx，xcosx，x2ln2,2sinx,2,3x

2xxxxxx,7.设，求(.解:y,y,siney,2esinecose,esin(2e)

y8.设是由方程确定的函数，求(解:等式两端求微分得dyyyx,()ycosx,e 左端,d(ycosx),yd(cosx)，cosxdy,,ysinxdx，cosxdy

yy右端,d(e),edy

y由此得,ysinxdx，cosxdy,edy

ysinxdy,dx整理后得ycosx,e

xcos3xdx9.计算不定积分(,

解:由分部积分法得

1111xcos3xdx,xsin3x,sin3xdx,xsin3x，cos3x，c,,3339

e2lnx，dx10.计算定积分(解:由换元积分法得,1x

32ee32，lnx5udx,(2，lnx)d(2，lnx),udu,,,,,11222x2四、应用题(本题16分) 1某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省,

h解:设容器的底半径为，高为，则其表面积为r

2V22S2πr2πrh2πr,，,，r

2V,S,4πr,2r

VV4V,333S,0r,r,h,由，得唯一驻点，由实际问题可知，当时可使用料最省，此时，即当容器的底半径与高分2π2ππ

4VV33别为与时，用料最省(2ππ

2圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大,

h解:如图所示，圆柱体高与底半径满足r

222h，r,l

圆柱体的体积公式为l

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2V,πrh

222将代入得r,l,h

22V,π(l,h)h

求导得

22222,V,π(,2h，(l,h)),π(l,3h)

3663,V,0令得，并由此解出(即，高时，圆柱体的体积最大(h,lr,lr,lh,l3333 -第三部分高等数学基础模拟题-1

1一、单项选择题(每小题4分，本题共20分)

,xxee,1.函数y,的图形关于(A)对称(2

(A)坐标原点(B)轴x

yy,x(C)轴(D)

2.在下列指定的变化过程中，(C)是无穷小量(

11xsin(x,,)sin(x,0)(A)(B)xx

1

x(C)ln(x，1)(x,0)(D)e(x,,)

f(x2h)f(x),,00lim3.设f(x),在可导，则(C)(x0h,02h

,,,,(A)(B)(C)(D)f(x)2f(x),f(x),2f(x)0000

1f(x)dx,F(x)，cf(lnx)dx,4.若，则(B)(,,x

11F(lnx)，cF()，cF(lnx)F(lnx)，c(A)(B)(C)(D)xx

5.下列积分计算正确的是(D)(

1001,x(A)(B)(C)(D)xsinxdx,0edx,1sin2xdx,πxcosxdx,0,,,,,,,,,,11

二、填空题(每小题3分，共15分)

ln(x，1)y,(,1,2)1.函数的定义域是(24,x

1,x,(1，x)x,0x,0k,f(x),2.若函数，在处连续，则(e,2,x，kx,0,

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33.曲线在处的切线斜率是3((1,2)f(x),x，1

4.函数y,arctanx的单调增加区间是((,,,，,)

,f(x)dx,sinx，c5.若，则,sinx(f(x),,

三、计算题(每小题11分，共44分)

sin(x1)sin(x1)1sin(x，1)，，limlimlim1.计算极限

(解:,,,22x,,1x,,1x,,1(x1)(x1)2x,1x1，,,

xx2.设，求dy(y,cose，3

xxxxxxx解:dy,d(cose，3),d(cose)，d(3),,sined(e)，3ln3dx

xxxxxx,,esinedx，3ln3dx,(,esine，3ln3)dx

1

xe3.计算不定积分(dx2,x

111xe1uuxx解:由换元积分法得dx,,ed(),,edu,,e，c,,e，c,,,2xx

e4.计算定积分(lnxdx,1

解:由分部积分法得

eeeelnxdx,xlnx,xd(lnx),e,dx,1,,,1111

四、应用题(本题16分)

某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省,

h解:设容器的底半径为，高为，则其表面积为r

2V22S2πr2πrh2πr,，,，r

2V,S,4πr,2r

VV4V,333S,0r,r,h,由，得唯一驻点，由实际问题可知，当时可使用料最省，此时，即当容器的2π2ππ

4VV33与时，用料最省(底半径与高分别为2ππ

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