十字相乘法练习题
十字相乘法习题
1.232++x x
2.562++x x
3.11122++x x
4.17182++x x
5.342++x x
6.342+-x x
7.322-+x x
8.322--x x
9.672+-x x 10.652--x x 11.62-+x x 12.62--x x
13.22625a a +- 14.2024--x x 15.8624++x x 16. 42718x x +-
17.2223y xy x +- 18. 22149b ab a +- 19.8722--ax x a 20.10322-+mn n m
21. 223613b yb y +- 22. 9102+--a a 23. a a a 12423+-- 24. 222265x y x y x --
25. 3)(4)(2++-+x b a b a 26. 10)2(3)2(2-+++y x y x 27. 12)4(7)4(222++++x x x x
28.2224)3(x x -- 29.6)25)(35(22--+++x x x x 30.24)4)(3)(2)(1(++-+-x x x x
31. 223x x -- 32. 2257x x +- 33. 2321a a -- 34. 23145b b +-
35.22157x x ++ 36. 2384a a -+ 37. 2576x x +- 38. 261110y y --
39.313122+-x x 40.272442++x x 41.8652-+x x 42.1322++x x
43.61362+-y y 44.6732--a a 45.15442-+n n 46.3562-+x x
47.13852--x x 48. 2152-+x x 49.220920y y -- 50.2252310a b ab +-
51. 222231710a b abxy x y -+ 52. 53251520x x y xy -- 53. 22122+-）（x x
54. 108)2(39)2(324+---y x y x 55.8306251022++-+-y x y xy x
54. 222210173b a abxy y x +- 55. 2222)332()123(++-++x x x x
十字相乘法在化学计算中的应用
十字相乘法概念 十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项a分解成两个因数a1,a2的积 a1?a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1?c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接 写成结果:在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。 一般地，对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下： a1 c1 ╳ a2 c2 a1a2+a2c1 按斜线交叉相乘，再相加，得到a1a2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即 a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即 ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2). 像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法. 就是比较两个分数的大小 例;a/b与c/d 则=ad与cb 就是两个分子分母互相乘 来比较乘积的大小 先看一则例子 例：将质量分数分别为30%和5%的盐酸按一定比例混合后得到质量分数为10%的盐酸，计算需加入的30%和5%盐酸的质量比是多少？ 分析：可用十字交叉法进行计算 [解]设：30%和质量5%的盐酸的质量为x和y，有 x 30%\ /10%-5% 5% 1 — = 10% ———= —= — y 5%/ \30%-10% 20% 4 答：需要的30%和5%的盐酸的质量为1：4 什么是十字交叉法？ 即根据质量分数不同（如a，b，且a>b）的两份溶液按比例混合后得到另一质量分数的溶液（如c），则混合前溶液的质量（如x和y）比例可用以下公式进行计算： （说明：混合前a>b，混合后的质量分数大小必为a x x p q px ＋qx=(p ＋ q)x x 2 pq a 1x a 2x c 1 c 2 a 1c 2+a 2c 1=b c 1c 2=c a 1a 2=a 八年级因式分解完全导学案：十字相乘法 “十字相乘法”虽然比较难学,但是学会了它, 用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运算量不大，不容易出错。它在分解因式/解一元二次方程中有广泛的应用： 十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 定义：利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 有()()()b x a x ab x b a x ++=+++2 注意：这里常数项是2，只有1×2。当常数项不是质数时，要通过多次拆分的尝 试，直到符合要求为止。通常是拆分常数项，验证一次项 x 2＋(p ＋q)x ＋pq=(x+p)(x+q) 对于一般的二次三项式ax 2+bx+c (a ≠0)此法依然好用。ax 2＋bx ＋c=(a 1x+c 1)(a 2x+c 2) 例1把m 2+4m-12分解因式 分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4 ×3，-6×2，- 12×1当-12分成-2×6时，才 符合本题 解：因为1 -2 1 6 所以m2+4m-12=（m-2）（m+6） 例2把5x2+6x-8分解因式 分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。 当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题 解：因为1 2 5 -4 所以5x2+6x-8=（x+2）（5x-4） 例3把14x2-67xy+18y2分解因式 分析：把14x2-67xy+18y2看成是一个关于x的二次三项式, 则14可分为1×14,2×7, 18y2可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y 解: 因为2 -9y 7 所以14x2-67xy+18y2= (2x-9y)(7x-2y) 练习：将下列二次三项式分解因式： 1、7x2-13x+6 2、–y2-4y+12 3、15x2+7xy-4y2 4、10(x+2)2-29(x+2)+10 十字相乘法 1．2() +++型的因式分解 x p q x pq 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是： (1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和． 22 x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++ ()()()()()因此，2()()() +++=++ x p q x pq x p x q 运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式 例1．把下列各式因式分解： (1) 276 x x ++ -+(2) 21336 x x 小结： 例2．把下列各式因式分解： (1) 2524 -- x x +-(2) 2215 x x 说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同． 2．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解 大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++． 反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++ 我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212 ,,,a a c c 写成112 2 a c a c ?，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等 于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成 1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行． 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解． 例3. (1)22157x x ++ (2) 2384a a -+ 例4. (1) 2576x x +- (2) 261110y y -- 初中数学新课程标准教材 数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 ) 学校： 年级： 任课教师： 数学教案 / 初中数学 / 八年级数学教案 编订：XX文讯教育机构 《因式分解-分组分解与十字相乘法》知识点归纳 教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于初中八年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。 ★★知识体系梳理 ◆分组分解法： 用分组分解法来分解的多项式一般至少有四项，分组不是盲目的，要有预见性．也就是说，分组后每组之间必须要有公因式可提取，或者分组后可直接运用公式。 1、分组后能提公因式； 2、分组后能运用公式 ◆十字相乘法： 、型的二次三项式因式分解： （其中，） 、二次三项式的分解： 如果二次项系数分解成、，常数项分解成、；并且等于一次项系数，那么二次三项式： 借助于画十字交叉线排列如下： ◆因式分解的一般步骤：一提二代三分组 ①、如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式； ②、提取公因式以后或没有公因式，再考虑公式法或十字相乘法； ③、对二次三项式先考虑能否用完全平方公式，再考虑能否用十字相乘法； ④、用以上方法不能分解的三项以上的多项式，考虑用分组分解法。 ◆因式分解几点注意与说明： ①、因式分解要进行到不能再分解为止； ②、结果中相同因式应写成幂的形式； ③、根据不同多项式的特点，灵活的综合应用各种方法分解因式是本章的重点和难点，因此掌握好因式分解的概念、方法、步骤是学好本章的关键。 ★★典型例题、解法导航 ◆考点一：十字相乘法 1、型三项式的分解 【例1】计算： （1）（2）（3）（4） 运用上面的结果分解因式： 十字相乘法 1．2()x p q x pq +++型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是： (1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和． 22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++ 因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++ 运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式 例1．把下列各式因式分解： (1) 276x x -+ (2) 21336x x ++ 小结： 例2．把下列各式因式分解： (1) 2524x x +- (2) 2215x x -- 说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同． 2．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解 大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++． 反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++ 我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212 ,,,a a c c 写成112 2 a c a c ?，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等 于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成 1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行． 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解． 例3. (1)22157x x ++ (2) 2384a a -+ 例4. (1) 2576x x +- (2) 261110y y -- 第十一讲 十字相乘法探究解决： （1）请直接填写下列结果 （x+2）（x+1）= ；（x+2）（x-1）= ；（x-2）（x+1）= ；（x-2）（x-1）= 。把上述式子左右对调，你有什么发现？ 二次项系数为1的二次三项式 直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x 进行分解。 特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积； （3）一次项系数是常数项的两因数的和。 （4）归纳： ab x b a x )(2（）（）将x 2+3x+2分解因式，看下图，你有什么启发？ x 2 +3x +2 2x + x = 3x 例 x 2 + 6x – 7= （x+7）(x-1) 步骤： ①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式-x + 7x = 6x 例1. 用十字相乘法分解因式： （1）x 2-8x+15 （2）x 2+4x+3 （3）-x 2 -6x+16 练习 1．把下列各式分解因式： （1）1522x x = ； (2) 1032x x 。（3） x 2-2x-3= 。2．若6 52m m (m ＋a )(m ＋b )，则a 和b 的值分别是或。3. 分解因式(1)24142x x (2)36152a a (3)5 42x x (4)22x x (5)1522y y (6) 24 102x x x x 12 x 7x 1 例2．已知，如图，现有a a 、b b 的正方形纸片和a b 的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片（每种纸片至 少用一次）在下面的虚线方框中拼成一个矩形（每两个纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使拼出的矩形面积为22 252a ab b ，并标出此矩形的长和宽。反馈练习 1．若652m m (m ＋a )(m ＋b )，则a 和b 的值分别是或． 2．3522x x (x －3) (__________)．3.如图，正方形卡片 A 类、 B 类和长方形卡片 C 类各若干张，如果要拼一个长为(a ＋2b)、宽为(a ＋b)的大长方形， 则需要C 类卡片张．4．分解因式： （1）22157x x ； (2) 2384a a ；（3）15 22x x (4) 2576x x (5) 261110y y （6）10 32x x 5．先阅读学习，再求解问题： A a a B b b C b a 第3题图 十字相乘法 十字相乘法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 x2-5x+4x2+6x+8x2-7x+10 x2-3x-10x2+8x-202x2+5x-3 6x2-x-13x2+5x-22x2+3x+1 4x2-17x+410x2－21xy+2y2 一元二次方程应用题 专题：增长率问题： 1、某房屋开发公司经过几年的不懈努力，开发建设住宅面积由2000年4万平方米，到2002年的7万平方米。设这两年该房屋开发公司开发建设住宅面积的年平均增长率为x ，则可列方程为 ________________； 3、美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．某市城区近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示） (1)根据图中所提供的信息，回答下列问题：2001年底的绿地面 积为公顷，比2000年底增加 了公顷；在1999年，2000年，2001年这三年中，绿地面积增加最多的是年； （2）为满足城市发展的需要，计划到2003年底使城区绿地总面积达到72．6公顷，试求今明两年绿地面积的年平均增长率． 1、甲、乙两艘旅游客轮同时从台湾省某港出发来厦门。甲沿直航线航行180海里到达厦门；乙沿原来航线绕道香港后来厦门，共航行了720海里，结果乙比甲晚20小时到达厦门。已知乙速比甲速每小时快6海里，求甲客轮的速度（其中两客轮速度都大于16海里/小时）？ 2、为了开阔学生视野，某校组织学生从学校出发，步行6千米到科技展览馆参观。返回时比去时每小题少走1千米，结果返回时比去时多用了半小时。求学生返回时步行的速度 3、甲、乙两个城市间的铁路路程为1600公里，经过技术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增加20公里/小时，列车从甲城到乙城行驶时间减少4小时，这条铁路在现有的安全条件下安全行驶速度不得超过140公里/小时.请你用学过的数学知识说明在这条铁路现有的条件下列车还可以再次提速. 十字相乘法用来解决一些比例问题特别方便。 （一）原理介绍：通过一个例题来说明原理。 某班学生的平均成绩是80分，其中男生的平均成绩是75，女生的平均成绩是85。求该班男生和女生的比例。 方法一：假设男生有A，女生有B。 （A*75+B85）/（A+B）=80 整理后A=B，因此男生和女生的比例是1：1。 方法二： 男生：75 5 80 女生：85 5 男生：女生=1：1。 一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A 的个体与取值为B的个体的比例。假设A有X，B有（1-X）。 AX+B（1-X）=C X=（C-B）/（A-B） 1-X=（A-C）/A-B 因此：X：（1-X）=（C-B）：（A-C） 上面的计算过程可以抽象为： A C-B C B A-C 这就是所谓的十字相乘法。 十字相乘法使用时要注意几点： 第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。 第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。 第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。 1．（2006年江苏省考）某体育训练中心，教练员中男占90％，运动员中男占80％，在教练员和运动员中男占82％，教练员与运动员人数之比是：A．2：5 B．1：3 C．1：4 D．1：5 分析： 男教练：90% 2% 82% 男运动员：80% 8% 男教练：男运动员=2%：8%=1：4 答案：C 2.（2006年江苏省考）某公司职员25人，每季度共发放劳保费用15000元，已知每个男职必每季度发580元，每个女职员比每个男职员每季度多发50元，该公司男女职员之比是多少 A．2∶1 B．3∶2 C. 2∶3 D．1∶2 答案：B 分析：职工平均工资15000/25=600 男职工工资：580 30 600 女职工工资：630 20 男职工：女职工=30：20=3：2 3．（2005年国考）某城市现在有70万人口，如果5年后城镇人口增加4%，农村人口增加5.4%，则全市人口将增加4.8%。现在城镇人口有（）万。 A30 B 31.2 C 40 D41.6 分析：城镇人口：4% 0.6% 4.8% 农村人口：5.4% 0.8% 城镇人口：农村人口=0.6%；0.8%=3：4 70*（3/7）=30 答案A 4.（2006年国考）某市居民生活用电每月标准用电价格为每度0.50元，若每月用电超过规定的标准用电，超 十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两 十字相乘法 个因数a1,a2的积a1.a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1乘c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果:ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2),在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。基本式子：x^2+（p+q)x+pq=(x+p)(x+q)所谓十字相乘法,就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解.比如说:把x*2+7x+12进行因式分解. 上式的常数12可以分解为3×4,而3+4又恰好等于一次项的系数7,所以 上式可以分解为:x^2+7x+12=(x+3)(x+4) 又如:分解因式:a^2+2a-15,上式的常数-15可以分解为5*(-3).而5+(-3)又恰好等于一次项系数2,所以a^2+2a-15=(a+5)(a-3). 讲解： x^2-3x+2=如下： x 1 ╳ x 2 左边x乘x=x^2 右边-1乘-2=2 中间-1乘x+-2乘x（对角）=-3x 上边的【x+（-1）】*下边的【x+（-2）】 就等于（x-1）*（x-2） x^2-3x+2=（x-1）*（x-2）例题 例1 把2x^2-7x+3分解因式. 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1； 分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 ╳ 2 3 1×3+2×1 =5 1 3 ╳ 2 1 1×1+2×3 初中数学中十字相乘法分解因式 总结知识归纳： 掌握这种方法的关键是确定适合条件的 三项式 1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。 下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。 1. 例1. x 的取值范围。 例2. m 的 分析：-2 a 、 b 为整数，去括号，得： c 、 d 为整数，去括号，得： 2. 在几何学中的应用 x、y，周长为16cm，且满足 4. 在代数证明题中的应用 例. 7的倍数，其中x，y49的倍数。 的倍数。 例1. （2000·湖北） 把2 2 2 2 49 5 4y y x y x- -分解因式的结果是________________。 解：2 2 2 2 49 5 4y y x y x- - 说明：多项式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，继续分解彻底。 例2. 说明：分解系数时一定要注意符号，否则由于不慎将造成错误。 m 的值为（ ） 故选择C 。 说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。 说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。 例3. a ，并将原式因式分解。 a，再利用原式有一个因式是实战模拟： 【试题答案】 1. （1）解： （2）解： （3）解： 说明：先正确分解，再判断。 说明：待定系数法是处理多项式问题的一个重要办法，所给多项式是三次式，已知有一个一次因式，则另一个因式为二次式，由多项式乘法法则可知其二次项系数为1。 4. 说明：用因式分解可简化计算。 公务员考试中的数学运算部分主要考察考生的算术式子的计算比较和数学应用题的分析运算能力。考生必须具备熟练的数学运算技能和扎实的数学基础知识，掌握一定的数学思想和方法，才能达到准确、迅速求解的要求。利用十字相乘法解公务员考试中的一些习题是很有效的。下面我们简单介绍一下这种方法，并结合例题分析。 十字相乘法的具体原理如下： 一个集合中的个体，可以有两个（或三个）不同的取值，一部分取值为A,另一部分的取值为B,平均值为C,求取值为A的个体与取值为B的个体的比例，假设A有X，B有（1-X）。 则 AX+B(1-X)=C X=(C-B)÷/(A-B) 1-X=(A-C)÷(A-B) 因此X ：(1-X) = (C-B) ：（A-C） 上面计算过程可抽象为 A C-B C B A-C 这就是十字相乘法，使用时要注意：1、用来解决两者之间的比例关系问题，2、得出的比例关系是基数的比例关系，3、总均值放中间，对角线上，大数减小数，结果放在对角线上。 例：某高校2006年度毕业学生7650名，比上年度增长2%，其中本科毕业生比上年度减少2%，而研究生毕业数量比上年度增加10%，那么，这所高校今年的本科生有（）。 A 3920 B4410 C4900 D5490 解析：方法一：按照我们常规的思维方法，大家都能想到的是方程法，这样我们 设这所高校今年的本科生有x 人，则据题意可列如下方程： ， 解得x= 4900. 我们看到题目的数字比较大，大家动笔计算起来很是复杂，这样虽然是算对了，但是会费很多的时间，这样在公务员考试有限的时间中，会给考生一些压力，并导致答不完题目。下面我们用上面介绍的十字相乘法解答，大家可以对照一下。 方法二：7650÷（1+2%）=7500，即2005年毕业生一共有7500人。 完全平方公式（提高）巩固练习 【巩固练习】 一.选择题 1. 多项式22 3x xy ay -+可分解为()()5x y x by --，则a b 、的值为( ). A.a ＝10，b ＝－2 B.a ＝－10，b ＝－2 C.a ＝10，b ＝2 D.a ＝－10，b ＝2 2. 若()2230x a b x ab x x +++=--，且b a <，则b 的值为( ). A.5 B.－6 C.－5 D.6 3. 将()()2 56x y x y +-+-因式分解的结果是( ). A.()()23x y x y +++- B. ()()23x y x y +-++ C.()()61x y x y +-++ D. ()()61x y x y +++- 4．分解结果等于()()4225x y x y +-+-的多项式是 ( ) A ． B ． C ． D ． 5. 对224293x x y y +--运用分组分解法分解因式，分组正确的是( ) A. 22(42)(93)x x y y ++-- B. 22(49)(23)x y x y -+- C. 22(43)(29)x y x y -+- D. 22(423)9x x y y +-- 6．如果3233x x x m +-+有一个因式为()3x +，那么m 的值是（ ） A. －9 B.9 C.－1 D.1 二.填空题 7. 分解因式： 3223636a a b a c abc +--； 8. 分解因式：224202536a ab b -+-； 9．5321x x x -+-分解因式的结果是__________. 10. 如果代数式 有一因式，则a 的值为_________． 11．若3223a a b ab b --+有因式()a b -,则另外的因式是_________. 浅谈十字相乘法解决小学数学应用题 摘要：应用题教学是小学数学教学内容中非常重要的部分，在实际教学过程中很多老师感到很困惑，不知用什么样的方法才能让学生更明白，更清楚、更容易接受。也有很多学生会感到解决应用题非常困难，做题的速度慢，错误率高，不会找题中的数量关系，不会理解题中的已知条件和未知问题，特别是我们农村的小学生，就更难了。为了帮助学生提高应用题解题效率，使其掌握更多，更简单易懂的解题技巧，通过自己教学经验，总结出可以利用十字相乘法解决成正比例关系的应用题，希望能为今后的农村从事数学教学工作者提供帮助。 关键词：十字相乘小学应用题 十字相乘法一般运用在成正比例的应用题中，对于部分小学生的理解能力比较差，分不清楚题目的意思，不知怎么动笔解决此类应用题，我们可以跟学生介绍十字相乘法，这种题你教会学生画出十字架，并跟学生讲清楚，讲明白，为什么要这样写，可以通过题中的那句话来画，同时教学生怎么列式计算，这样学生就不会在乘除法中出现错误了。只要你能画出十字架，你就解决了题目中的一半了。总之只要是成正比例的问题，我们都可以利用画十字架的方法解决。这样学生比较清楚用乘法还是除法。 例：一辆客车3小时行174千米，照这样的速度，它12小时可以行多少千米？这是一道小学四年级上册的应用题，因四年级学生理解能力还不很成熟，可能不管老师怎么讲怎么分析都无法理解，如果我们用十字相乘法学生就容易理解，也容易接受，更容易掌握了。 分析：3小时 174千米表示：3小时行了174千米 12小时 ？千米 表示：12小时多少千米？ 注意点：做这种题时一定要注意单位对齐，并且交叉相乘相等，即：3×？＝12×174。在没学习方程之前可以问学生3和？表示什么数？（因数）再问学生因数等于什么？（因数＝积÷另一个因数），这样为后面解方程打下基础。也可以教会学生谁跟问号相连，谁就写在除法的后面：即÷3，别外两个数字相乘写在除号的前面,即：12×174÷3。如果学了方程就更简单了，可以利用解方法，即３ｘ＝12×174。 例：有5 2千克的糖平均分给3个小朋友，每个小朋友分多少千克？ 这是六年级上册分数除法中的一道题，也是常见的一道题。 52千克 3个 52千克的糖平均分给3个小朋友 ？千克 1个 1个小朋友分得多少千克 分析：3跟问题相连所以将3写在除号的后面，1与52 相乘写在除号的前面， 即：？＝52÷3 用这种方法解决一定要强调学生以下几个方面：（１）单位对齐，可以是横着对齐，也可以纵着对齐。但为了怕学生搞错，再说我们在前面的计算中谈到的对齐都是纵象对齐，所以我们还是强调学生纵向对齐，学生没有那么容易错。单位不同时换成单位统一的。（２）要求学生横着写，横着写容易要求学生单位对齐。这块以我教学生的情况有部分学生以为是交叉写，交叉写就是错的，所以老师在这块一定要强调学生，帮学生订证过来。 小学的数学解题方法是多样的，但对于农村的孩子，5+2=0的教育，基础差，理解能力更差，并且有时在一个班上还存在着部分学生字都不认识几个。而做为一线的数学教师，就应根据自己所带班的实际情况，积极思考，认真总结，找到一种或几种比较让你所带的学生更容易接收，更容易理解的方法来进行教学，只有学生乐于接受的方法才是好办法，我们不一定要根据书本上的方法，或者以前的老方法进行教学。 八年级数学十字相乘法因式分解人教四年制 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 1. pq x q p x +++)(2 型式子的因式分解。 2. 十字相乘法因式分解。 二. 教学重点、难点： 1. 重点： pq x q p x +++)(2型式子因式分解。 2. 难点： 常数项分解成两个数时，如何确定符号。 三. 教学要点： 1. q p x q p x ?+++)(2型二次三项式子的特点是： （1）二次项的系数是1。 （2）常数项是两个数之积。 （3）一次项系数是常数的两个因数之和。 对这个式子先去括号，得到： pq x q p x +++)(2)()(22pq qx px x pq qx px x +++=+++= ))(()()(q x p x p x q p x x ++=+++= 利用此式的结果可以直接将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式。 2. 十字相乘法： 将))((2211c x a c x a ++计算得： 211221221211221221)(c c x c a c a x a a c c x c a x c a x a a +++?=+++= 反之：))(()(22112112212 21c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++ 利用这个等式，我们可以用下面的写法，尝试把某些二次三项式如c bx ax ++2 分解因式，先把a 分解成21a a a =，把c 分解成21c c c =，并且排列如下： 2 2 1 1c a c a 这里按斜线交叉相乘的积的和就是1221c a c a +，如果它正好等于二次三项式 c bx ax ++2中一次项的系数b ，那么c bx ax ++2就可以分解成))((2211c x a c x a ++，其中1a 、1c 是上图中上面一行的两个数，2a 、2c 是下面一行的两个数。 例如：把二次三次式101132 ++x x 分解因式。 我们知道：313?=，5210?=写成 5 3 2 1 后发现113251=?+?，所以)53)(2(101132 ++=++x x x x 十字相乘法 “十字相乘法”虽然比较难学,但是学会了它, 用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运算量不大，不容易出错。它在分解因式/解一元二次方程中有广泛的应用： 十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 例1把m2+4m-12分解因式 分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题 解：因为 1 -2 1 ╳ 6 所以m2+4m-12=（m-2）（m+6） 例2把5x2+6x-8分解因式 分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题 解：因为 1 2 5 ╳ -4 所以5x2+6x-8=（x+2）（5x-4） 例3解方程x2-8x+15=0 分析：把x2-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15， 3×5。 解：因为 1 -3 1 ╳ -5 所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0 所以x1=3 x2=5 例4、解方程 6x2-5x-25=0 分析：把6x2-5x-25看成一个关于x的二次三项式， 则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。 解：因为 2 -5 3 ╳ 5 所以原方程可变形成（2x-5）（3x+5）=0 所以 x1=5/2 x2=-5/3 用十字相乘法解一些比较难的题目： 例5把14x2-67xy+18y2分解因式 分析：把14x2-67xy+18y2看成是一个关于x的二次三项式, 则14可分为1×14,2×7, 18y2可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y 解: 因为 2 -9y 7 ╳ -2y 所以 14x2-67xy+18y2= (2x-9y)(7x-2y) 例6 把10x2-27xy-28y2-x+25y-3分解因式 分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式 的形式 解法一、10x2-27xy-28y2-x+25y-3 =10x2-（27y+1）x -（28y2-25y+3） 4y -3 7y ╳ -1 =10x2-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1） 2 -（7y – 1） 5 ╳ 4y - 3 十字相乘法分解因式 因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相 乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复 进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试 一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”． 1．二次三项式 （1）多项式c bx ax ++2，称为字母 的二次三项式，其中 称为二次项， 为一次项， 为常数项． 例如：322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式． （2）在多项式2286y xy x +-中，如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式；如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式． （3）在多项式3722 2+-ab b a 中，把 看作一个整体，即 ，就是关于 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把 看作一个整体，就是关于 的二次三项式． 2．十字相乘法的依据和具体内容 (1)对于二次项系数为1的二次三项式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 方法的特征是“拆常数项，凑一次项” 当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同； 当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． 例1、 因式分解。 分析：因为 7x + (-8x) =-x 解：原式=（x+7）（x-8） 例2、 因式分解。 分析：因为 -2x+（-8x ）=-10x 解：原式=（x-2）（x-8） (2)对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++= 它的特征是“拆两头，凑中间” 当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项； 常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同； 常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同 注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉 相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母． 例3、 因式分解。 分析：该题虽然二次项系数不为1，但也可以用十字相乘法进行因式分解。 因为 9y + 10y=19y 解：原式=（2y+3）（3y+5） 例4、 因式分解。 分析：因为 21x + (-18x)=3x 解：原式=（2x+3）（7x-9） 例5、 因式分解。 分析：该题可以将（x+2）看作一个整体来进行因式分解。 因为 -25（x+2）+[-4(x+2)]= -29（x+2） 解：原式=[2（x+2）-5][5（x+2）-2] =（2x-1）（5x+8） 十字相乘法教案 文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688] 十字相乘法进行因式分解 【基础知识精讲】 （1）理解二次三项式的意义； （2）理解十字相乘法的根据； （3）能用十字相乘法分解二次三项式； （4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法． 【重点难点解析】 1．二次三项式 多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式． 在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 2．十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规 律是： （1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． （2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =?21，c c c =?21，且b c a c a =+1221， 那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如： 第十一讲 十字相乘法 探究解决： （1）请直接填写下列结果 （x+2）（x+1）= ； （x+2）（x-1）= ； （x-2）（x+1）= ；（x-2）（x-1）= 。 把上述式子左右对调，你有什么发现？ 二次项系数为1的二次三项式的二次三项式 直接利用公式直接利用公式————))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解进行分解。。 特点特点：：（（11）二次项系数是1； （（2）常数项是两个数的乘积常数项是两个数的乘积；； （3）一次项系数是常数项的两因数的和一次项系数是常数项的两因数的和。。 （4）归纳归纳：：=+++ab x b a x )(2（ ）（）（）（ ）） 将x 2+3x+2分解因式，看下图，你有什么启发？ x 2 +3x +2 2x + x = 3x 例 x 2 + 6x – 7= （x+7）(x-1) 步骤步骤 步骤： ①竖分竖分竖分二次项与常数项 ②交叉交叉 交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写横写横写因式 -x + 7x = 6x 例1. 用十字相乘法分解因式： （1）x 2-8x+15 （2）x 2+4x+3 （3）-x 2-6x+16 练习 1．把下列各式分解因式： （1）1522??x x = ； (2) =?+1032x x 。 （3） x 2-2x-3= 。 2．若=??652m m (m ＋a )(m ＋b )，则 a 和b 的值分别是 或 。 3. 分解因式(1)24142++x x (2)36152+?a a (3)542?+x x (4)22?+x x (5)1522??y y (6)24102??x x x x 1 2×x ??7× x 1? 十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）用十字相乘法来解一元二次方程。 3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。 4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。3、十字相乘法比较难学。 5、十字相乘法解题实例： 1)、用十字相乘法解一些简单常见的题目 例1把m²+4m-12分解因式 分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题 解：因为1 -2 1 ╳6 所以m²+4m-12=（m-2）（m+6） 例2把5x²+6x-8分解因式 分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题 解：因为1 2 5 ╳-4 所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4） 例3解方程x²-8x+15=0 分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。 解：因为1 -3 1 ╳-5 所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0 所以x1=3 x2=5 例4、解方程6x²-5x-25=0 分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。 解：因为2 -5 3 ╳5 所以原方程可变形成（2x-5）（3x+5）=0 所以x1=5/2 x2=-5/3 2)、用十字相乘法解一些比较难的题目 例5把14x²-67xy+18y²分解因式 分析：把14x²-67xy+18y²看成是一个关于x的二次三项式,则14可分为1×14,2×7, 18y²可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y 解: 因为2 -9y 7 ╳-2y 所以14x²-67xy+18y²= (2x-9y)(7x-2y) 例6 把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式八年级因式分解：十字相乘法
十字相乘法——高中常用的解方程方法
八年级数学：《因式分解-分组分解与十字相乘法》知识点归纳
十字相乘法——高中常用的解方程方法
初中数学十字相乘法练习(20200710023442)
初二 十字相乘法 应用题
十字相乘例题及在资料分析中的使用
十字相乘法的运算方法
初中数学中十字相乘法分解因式
国家公务员行测：十字相乘法简介
初二数学经典习题 十字相乘法及分组分解法(提高)巩固练习
浅谈十字相乘法解决小学数学应用题
八年级数学十字相乘法因式分解
十字相乘法的用法
(完整版)十字相乘法
十字相乘法教案
初中数学十字相乘法练习
十字相乘法的方法