数学形态学去噪要点

目录

一绪论 (1)

1.1 数学形态学简介 (1)

1.2 数学形态学与数字图像处理 (1)

1.3 本次课程设计的目的与要求 (2)

二数学形态学的基本运算 (3)

2.1 基本概念 (3)

2.1.1结构元素 (3)

2.1.2膨胀与腐蚀 (3)

2.2 二值形态学图像处理 (4)

2.2.1 膨胀 (4)

2.2.2 腐蚀 (6)

2.2.3 开运算 (7)

2.2.4 闭运算 (8)

2.3 灰度形态学图像处理 (9)

2.3.1 膨胀 (9)

2.3.2 腐蚀 (10)

2.3.3 开运算与闭运算 (11)

2.4 综述 (13)

三数学形态学滤波器去噪 (15)

3.1 概述 (15)

3.2噪声模型 (16)

3.2.1 高斯噪声 (16)

3.2.2 椒盐噪声 (16)

3.3形态学滤波器 (17)

3.4形态学图像去噪原理 (20)

3.5形态学图像去噪的应用 (20)

小结与体会 (21)

参考文献 (22)

附录 (23)

一绪论

1.1数学形态学简介

数学形态学作为一门新兴的图像处理与分析学科，1964年由法国的G.Mathern和J.Serra在积分几何的基础上首次创立。70年代初，采用数学形态学的学者们开拓了图像分析的一个新的领域。经过十多年的理论与实践探索，G.Mathern和J.Serra等人在研究中认识到，对图像先作开运算接着再作闭运算，可以产生一种幂等运算;采用递增尺寸的交变开闭序列作用于图像，可有效地消除图像的噪声，1982年他们正式提出了形态学滤波器的概念。90年代数学形态学有两个显著的发展趋势，第一个是致力于运动分析，包括编码与运动景物描述;第二个是算法与硬件结构的协调发展，用于处理数值函数的形态学算子的开发与设计。

目前国内许多有效的图像处理系统有的是基于数学形态学方法原理设计的，有的是把数学形态学算法纳入其基本软件，并以其运算速度作为系统性能的重要标志之一

1.2数学形态学与数字图像处理

数学形态学在图像处理中属于非线性滤波方法，现在数学形态学的方法已经发展成为图象处理技术的一个重要方面，并且被广泛的应用到图象处理的各个领域，利用数学形态学可以进行图像去噪、图象分割、增强、边缘检测、形态分析、图象压缩等各个方面。可以通过以下几个步骤来实现数学形态学算法对数字图像的处理：

步骤 1、提取图像的几何结构特征，也就是针对所要处理的图像找出相应的几何结构模式。

步骤 2、根据步骤 1 找出的几何结构模式选合适的结构元素，这里结构元素的选择标准择首先是要能最有效的展现该几何结构模式，其次该结构元素的形态还应该尽量的最简。

步骤 3、为了得到比原始图像更能显著突出物体特征信息的图像，用步骤 2 选取的结构元素对目标进行相应的数学形态学变换，如果能对结构元素给予合适

的变量，则还能够定量的表示出目标的几何结构模式。

步骤 4、通过上面的三个步骤，相对于我们的处理需求，目标图像会变得更加清晰、明了，并且更有利于我们提取出相应的图像信息。

现在，数学形态学处理图像已经发展成为一个专门的图像科学领域。该领域已经形成了一个理论概念、非线性滤波、设计算法以及应用系统相互连贯而有广阔的整体。与其他很多图像处理技术相比，数学形态学技术的理论框架完善、算法效率高、易于在专门硬件上使用并且适合处理很多与形状相关的问题。例如对于图像噪声去由于可以在去除噪声前有效的探究目标图像的几何结构模式，尽可能的解决去除噪声与保护图像边缘细节信息相冲突的基本矛盾。再如在提取图像边缘时，与其他算法相比，数学形态学方法提取的边缘更为连续，间断点也会少很多。所以很多学术机构及工业研究所在处理数字图形图像、计算机视觉、模式识别等很多问题时都会重点考虑数学形态学方法。

1.3本次课程设计的目的与要求

（1）通过形态学方面的知识处理各种图像。

（2）学会应用形态学知识处理加有高斯噪声与椒盐噪声的图像。

（3）理解不同的形态学运算在处理图像方面的应用。

（4）通过运用MATLAB软件实现仿真。

二数学形态学的基本运算

2.1基本概念

数学形态学是由一组形态学的代数运算子组成的，它的基本运算有4个：膨胀（或扩张）、腐蚀（或侵蚀）、开运算和闭运算，它们在二值图像和灰度图像中各有特点。基于这些基本运算还可推导和组合成各种数学形态学实用算法，用它们可以进行图像形状和结构的分析及处理，包括图像分割、特征抽取、边界检测、图像滤波、图像增强和恢复等。数学形态学方法利用一个称作结构元素的“探针”收集图像的信息，当探针在图像中不断移动时，便可考察图像各个部分之间的相互关系，从而了解图像的结构特征。数学形态学基于探测的思想，与人的FOA(Focus Of Attention)的视觉特点有类似之处。作为探针的结构元素，可直接携带知识（形态、大小、甚至加入灰度和色度信息）来探测、研究图像的结构特点。

2.1.1结构元素

所谓结构元素就是一定尺寸的背景图像，通过将输入图像与之进行各种形态学运算，实现对输入图像的形态学变换。结构元素没有固定的形态和大小，它是在设计形态变换算法的同时根据输入图像和所需信息的形状特征一并设计出来的，结构元素形状、大小及与之相关的处理算法选择得恰当与否，将直接影响对输入图像的处理结果。通常结构元素的形状有正方形、矩形、圆盘形、菱形、球形以及线形等。

2.1.2膨胀与腐蚀

膨胀在数学形态学中的作用是把图像周围的背景点合并到物体中。如果两个物体之间距离比较近，那么膨胀运算可能会使这两个物体连通在一起，所以膨胀对填补图像分割后物体中的空洞很有用。腐蚀在数学形态学运算中的作用是消除物体边界点，它可以把小于结构元素的物体去除，选取不同大小的结构元素可以去掉不同大小的物体。如果两个物体之间有细小的连通，当结构元素足够大时，通过腐蚀运算可以将两个物体分开。

2.2二值形态学图像处理

二值图像数学形态学的运算就是基于上述集合论的理论，进行击中与否变换（HMT ），在定义了 HMT 及其基本运算膨胀（Dilation ）和腐蚀(Erosion)后，再从积分几何和体视学移植一些概念和理论，根据图像分析的各种要求，构造出统一的、相同的或变化很小的结构元素进行各种形态变换。数学形态学中有两种最基本的操作即膨胀和腐蚀，其他的所有形态学操作都是基于这两个操作的组合或级联。如开运算和闭运算就都是膨胀和腐蚀的最基本组合。膨胀、腐蚀、开运算和闭运算构成了整个数学形态学变换的基础，下面分别对这四种基本形态学变换进行具体的分析。

图2.1 膨胀与腐蚀示意图

2.2.1膨胀

膨胀操作是指一个集或对象目标从其原来的形状扩大的过程。该目标扩大的方式是由结构元素决定的。和待处理的对象相比较，结构元素的大小更小，一般用于膨胀的结构元素大小取到 3×3。膨胀的过程类似于卷积，结构元素在目标图像内从左到右、从上到下的移动，在每次移动的过程之中，都会寻找结构元素与目标对象之间重叠的像素，只要存在重叠的像素点，结构元素所在的中心位置点的像素值都会被标为 1。用集合论该过程可表示如下：

A ，

B 为Z 2中的集合， Φ为空集， A 被 B 的膨胀，记为 A ⊕ B ，⊕为膨胀算子，膨胀的集合定义式为：

（2.1）

该式表示的膨胀过程首先是B 做关于原点的映射，然后平移 x 。A 被B

膨胀二值图像腐蚀膨胀

也就是被所有x平移后于 A至少有一个公共非零元素的集合。根据上述对膨胀过程的解释，公式(2.2.1)也可以被写作下面的形式：

（2.2）

和其他的形态学操作一样，公式中集合 B 在膨胀运算中一般被叫做结构元素。

膨胀运算的实质是遍历待膨胀图像中的每个像素点，根据所选取的结构元素的值以及要处理像素点周围点的灰度值进行计算。比较局部范围内的像素点与结构元素中所对应点的灰度值之和。根据比较的结果，选取所计算的这些和中的最大值。所以经过膨胀，图像边缘的像素点灰度值会增加，图像边缘向外扩张，最终达到图像膨胀的视觉效果。不同的数学形态学文献对膨胀都有着不同的定义，公式(2.2.1)不是现在形态学文献中膨胀的唯一定义。然而，相比其它定义，这个定义存在一个明显的好处，即当把结构元素 B 被当做卷积模板时，膨胀的概念会更加的形象化。因为虽然膨胀的本质是集合运算，而卷积本质上属于算术运算，但由于结构元素 B 做相对于原点的“映射”后在集合 A(图像 A)上的平移是连续的，因此可以近似的将它滑过集合 A的整个过程近似看做卷积过程。

图2.2 膨胀操作

2.2.2腐蚀

腐蚀可以看做膨胀的逆运算或反过程。如果说膨胀是扩张了图像，那么腐蚀的作用则是使图像收缩。图像目标收缩的方式也是有结构元素决定的。和膨胀一样，腐蚀所选取的结构元素也要比目标要小，一般也是取 3×3 的大小。选取结构元素的尺寸较小的好处是可以减少腐蚀算法运行的时间。和膨胀相似，腐蚀操作也是将结构元素从左到右、从上到下在待处理图像中移动，以结构元素的中心点作为运算的中心，检验图像周围像素是否与结构元素完全重合。只要没有完全重叠，则该中心点像素就被标为 0。该过程同样可以用集合论的方法表示如下：

A ，

B 为Z2中的集合， A 被 B 腐蚀，记为 AΘB ，其定义公式为：

（2.3）

也就是说 A被B 的腐蚀的结果为所有使B 被 x平移后包含于 A的点 x的集合。和膨胀一样，腐蚀运算的实质也是遍历待腐蚀图像中的每个像素点，根据所选取的结构元素的值以及要处理像素点周围点的灰度值进行计算。比较局部范围内的像素点与结构元素中所对应点的灰度值之差。根据比较的结果，选取所计算的这些差中的最小值。经过腐蚀，图像边缘的像素点灰度值会降低，从而图像边缘会向内收缩，最终达到腐蚀的视觉效果。

膨胀和腐蚀的关系可以看做集合补和反转的对偶，可以用下面的公式表示：

（2.4）

图2.3 腐蚀操作

对一幅图像进行膨胀和腐蚀操作结果如下图：

原始图像阈值为0.8的图像腐蚀后图像1

膨胀后图像1腐蚀后图像2膨胀后图像2

图2.4

这两种运算具有对偶性，即一种运算对目标的操作相当于另一种运算对图像背景的操作。由图2.2.4可知，膨胀操作后，图像相当于膨胀了一圈，而腐蚀操作后，图像则像被剥掉了一层。

2.2.3开运算

设 A是原始图像，B 是结构元素图像，则集合 A被结构元素B 做开运算，记为：AoB，其公式为：

AoB=(AΘB)⊕B (2.5)

从公式(3.2.13)可以看出 A被结构元素B 做开运算就是 A被B 腐蚀后的结果再被B 膨胀。同膨胀和腐蚀一样，我们也可以用用集合论的概念来定义开运算。A被结构元素B 做开运算就是B 在 A内的平移所得到的集合的并集，即：

（2.6）

开运算一般能平滑图像的轮廓，削弱狭窄的部分，去掉细的突出。根据开运算的这种作用，我们可以利用开运算来去除图像的噪声。

图2.5 开运算示意图

2.2.4闭运算

设 A是原始图像，B 是结构元素图像，则集合 A被结构元素B 做闭运算，记为：A?B，可用下面公式给出闭运算的定义：

A?B=(A⊕B)ΘB （2.7）

从公式(3.2.15)可以看出 A被结构元素B 做闭运算就是 A被B 膨胀后的结果再被B 腐蚀。闭运算的效果基本上与开运算相反，它一般是能填充背景中狭窄以及凹陷的部分，消除小洞，还可以填充轮廓上空白的部分，使图像的轮廓得到一定的平滑。我们同样可以利用闭运算的这些作用来去除图像的噪声。

和膨胀和腐蚀一样，开运算和闭运算也是关于集合补和反转的对偶，可用下面公式表示这种关系：

（2.8）

对一幅二值图像进行开运算与闭运算的结果如下图：

原始图像阈值为0.7的二值图像开运算后图像1

闭运算后图像1开运算后图像2闭运算后图像2

图2.6

由图2.6可知，开运算能够去除孤立的小点、毛刺和小桥，而闭运算能够填平小孔，弥合小裂缝。

2.3灰度形态学图像处理

前面所提到的形态学方法都是基于二值图像的，下面把这些基本的形态学操作推广到灰度图像。这里把设为输入图像,为结构元素。

2.3.1膨胀

用b对函数f进行的灰度膨胀表示为 f⊕b，定义式为：

（2.9）其中，分别是 f 和b 的定义域，这里的 f 和b 表示的是函数而不再是二值形态学中所说的集合。

在灰度膨胀中，每个结构元素的位置上，在这一点的膨胀值是在跨度 b 的区间内 f 于b 之和的最大值。为通常对灰度图像进行膨胀处理会把图像中白色的部分扩张，而且会带来双重的效果：(1)若使用的所有结构元素的值均为正，

则输出图像会的亮度将会大于输入图像的亮度；(2) 膨胀过程中所用的结构元素的值和形状决定图像中暗的细节是部分全部减少了还是被消除。

2.3.2腐蚀

同样的道理，用b 对函数 f 进行的灰度腐蚀表示为 fΘb ，定义式为：

（2.10）和灰度膨胀一样，这里，分别是 f 和b 的定义域。在灰度腐蚀中，每个结构元素的位置上，在这一点的腐蚀值是在跨度b 的区间内 f 于b 之差的最小值。为通常对灰度图像进行腐蚀处理会把图像中黑色的部分扩张，而且会带来双重的效果：(1)若使用的所有结构元素的值均为正，则输出图像会的亮度将会小于输入图像的亮度；（2）在输入图像中如果结构元素的面积比亮的细节的面积大，则亮的效果将被削弱。环绕于亮细节周围的灰度值和结构元素自身的形态结构和幅值决定着最终消弱的程度。

灰度膨胀和腐蚀与二值膨胀和腐蚀一样也满足对偶关系。

对一幅灰度图像进行膨胀与腐蚀的结果如下图所示：

原始图像腐蚀后图像1膨胀后图像1

腐蚀后图像2膨胀后图像2

图2.7

由图2.7可知，灰值图像的腐蚀，如果结构元素的值都为正，则输出图像会比输入图像暗；如果输入图像中亮细节的尺寸比结构元素小，则其影响会被减弱，减弱的程度取决于这些亮细节周围的灰度值的结构元素的形状和幅值。灰度图像的膨胀运算，如果结构元素的值都为正，则输出图像会比输入图像亮，根据输入图像中暗细节的灰度值以及它们的形状相对于结构元素的关系，它们在膨胀中或被消减或被除掉。

2.3.3开运算与闭运算

用结构元素b 对图像 f 进行开操作即先用b 对 f 进行腐蚀操作再进行膨胀，记为fob，定义式为：

（2.11）

用结构元素b 对图像 f 进行闭操作即先用b 对 f 进行膨胀操作再进行腐蚀，记为f ? b，定义式为：

f?b = (f⊕b)Θb （2.12）

用几何的方法可以解释灰度形态学的开、闭运算。用b 对 f 进行开操作的原理可以解释为：顺着曲面的下侧面推动小球上下滚动，使球体能够在曲面的整个下侧面来回移动。这时球体表面的所有接触到曲面部分的最高点就组成了开操作的曲面。相对应的，闭操作就是在曲面的上侧面滚动，以便球体能在曲面的整个上侧面来回移动。当球体的任何部分接触到曲面的最高点就构成了闭操作的曲面。如下图2.8就详细的解释了这一过程：

图2.8

灰度形态学的开、闭运算和二值形态学一样都满足对偶关系。并且灰度开、闭运算的作用效果也基本上于二值形态学中的一样。其中灰度开运算一般能平滑图像的轮廓，消减图像中狭窄的部分，抹平突出的细节。灰度闭运算的效果基本上与灰度开运算相反，它一般是能填充背景中狭窄以及凹陷的部分，消除小洞，还可以填充轮廓上空白的部分，使图像的轮廓得到一定的平滑。我们同样可以利用灰度开、闭运算的这些作用来去除图像中不希望看到的掺杂细节（如噪声）

对一幅加有椒盐噪声的灰度图像进行开运算与闭运算的结果如下：

原始图

像加入椒盐噪

声开运算后图像

1

闭运算后图像

1开运算后图像

2闭运算后图像2

图2.9 开运算操作消除与结构元素相比尺寸较小的亮细节，而保持图像整体灰度值和大的亮区域基本不受影响。闭运算操作消除与结构元素相比尺寸较小的暗细