测试15 导数的综合运用

测试15 导数的综合运用

一、选择题 1．曲线x x y +=

331在点??

?

??34,1处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 ( ) (A)91 (B)

92

(C)3

1

(D)3

2

2．设函数f (x )、g (x )分别是R 上的奇函数和偶函数，且x ＞0时，f '(x )＞0，g '(x )＞0，则x ＜0时 ( )

(A)f '(x )＞0，g ' (x )＞0 (B)f ' (x )＞0，g '(x )＜0 (C)f ' (x )＜0，g ' (x )＞0 (D)f ' (x )＜0，g '(x )＜0

3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为 ( ) (A)(－1，2) (B)(－3，6) (C)(－∞，－1)∪(2，＋∞) (D)(－∞，－3)∪(6，＋∞) 4．函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数 ( ) (A)??

?

??2π3,2π (B)(π，2π)

(C)??

?

??2π5,2π3 (D)(2π，3π)

5．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f '(x )，f '(0)＞0，对于任意实数x ，都有f (x )≥0，则

)

0(')

1('f f 的最小值为 ( ) (A)3 (B)

25

(C)2

(D)2

3

二、填空题 6．直线y ＝

2

1

x ＋b 是曲线y ＝ln x (x ＞0)的一条切线，则实数b ＝________． 7．若函数???<-≥+=0

,0

,3)(2x x x x x f ，则=?-11

d )(x x f ________．

8．设曲线y ＝e ax 在点(0，1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________． 9．曲线y ＝

x

1

上任何一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为________． 10．函数f (x )＝|3x －x 3|在[－2，2]上的最大值是________． 三、解答题

11．设b ，c ∈R ，函数f (x )＝

3

1x 3

＋bx 2＋cx ，且f (x )在区间(－1，1)上单调递增，在区间(1，3)上单调递减．

(1)若b ＝－2，求c 的值； (2)求证：c ≥3．

12．如图，将边长为6的等边三角形各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无

盖的正三棱柱形的容器．

(1)若这个容器的底面边长为x ，容积为y ，写出y 关于x 的函数关系式并注明定义域； (2)求这个容器容积的最大值．

13．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在区间[0，1]上是增函数，在区间(－∞，0)，(1，＋∞)上是减

函数，且2

3)21('=

f ． (1)求f (x )的解析式；

(2)若在区间[0，m ](m ＞0)上恒有f (x )≤x 成立，求m 的取值范围．

14．已知函数f (x )＝

c

x kx ++2

1

(c ＞0且c ≠1，k ∈R )恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是x ＝－c ．

(1)求函数f (x )的另一个极值点；

(2)求函数f (x )的极大值M 和极小值m ，并求M －m ≥1时k 的取值范围．

15．设函数f (x )＝x 2＋a ln(1＋x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2．

(1)求a 的取值范围，并讨论f (x )的单调性；

(2)证明：f (x 2)＞4

2

ln 21-．

参考答案

测试15 导数的综合运用

一、选择题

1．C 2．B 3．D 4．B 5．C 提示：

5．f '(x )＝2ax ＋b ，f '(0)＝b ＞0．

由对于任意实数x ，都有f (x )≥0，得???≤->.

04,

02ac b a

从而有a ＞0，b ＞0，c ＞0，b 2≤4ac ≤(a ＋c )2?b ≤a ＋c ， 所以

2111)0()1(=+≥++=++=b

c

a b c b a f f ’， 即

)

0()

1(’f f 的最小值为2． 二、填空题 6．ln2—1 7．6

23

8．2 9．2 10．2 提示： 9．设切点为)1,

(00x x ，函数y ＝x

1的导函数为21

'x y -=，201x k -=∴， 切线方程为：)(1

1020

0x x x x y --=-

， 可求出切线在两坐标轴上的交点为(2x 0，0)和)2

,

0(0

x ， ∴切线与两坐标轴围成的三角形面积为2|2

||2|210

0==

?x x S ． 10．容易判断此函数为[－2，2]上的偶函数，故只需考虑函数f (x )＝|3x －x 3|在[0，2]上的最

大值即可．

因为?????≤<-≤≤-=.23,3,

30,3)(33

x x x x x x x f

所以?????≤<-<≤-=.

23,33,

30,33)('22x x x x x f

令f '(x )＝0，解得x ＝1．

因为f (x )＝0，f (1)＝2，f (3)＝0，f (2)＝2，

所以f (x )＝|3x －x 3|在[0，2]上的最大值是2，此时x ＝1，或x ＝2． 故f (x )＝|3x －x 3|在[－2，2]上的最大值是2． 三、解答题

11．解：(1) f '(x )＝x 2＋2bx ＋c ，

依题意得f '(1)＝0，即1＋2b ＋c ＝0． 将b ＝－2代入，解得c ＝3．

(2)由(1)得2

1

+-

=c b ，代入f '(x )的解析式， 得f '(x )＝x 2－(c ＋1)x ＋c ． 令f '(x )＝0，则x 1＝1，x 2＝c ．

由f (x )在区间(－1，1)上单调递增，在区间(1，3)上单调递减，得 当－1＜x ＜1时，f '(x )＞0，当1＜x ＜3时，f '(x )＜0， 画出y ＝f '(x )的示意图，可得c ≥3．

12．解：(1)由正三棱柱的底面边长为x ，

可得正三棱柱的高为

)6(6333

2

6x x -=-?． 所以容积)6(6360sin 2

1

31x x x y -=????? ， 即)60)(6(24

12

<<-=

x x x y ． (2)解：由)6(2412

x x y -=，

可得)60(241413

2<<-=x x x y ，

则)60(8

121'2

<<-=x x x y ．

令y '＞0，得0＜x ＜4；令y '＜0，得4＜x ＜6．

所以，函数)60)(6(24

12

<<-=

x x x y 在(0，4)上是增函数，在(4，6)上是减函数． 所以，当x ＝4时，y 有最大值34，即这个容器容积的最大值为3

4

．

13．解：(1)f '(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由已知f '(0)－f (1)＝0，

即???=++=,023,0c b a c 解得??

???-==.23,

0a b c

∴f '(x )＝3ax 2－3ax ，2

32343)21('=-=

∴a a f ，∴a ＝－2， ∴f (x )＝－2x 3＋3x 2．

(2)令f (x )≤x ，即－2x 3＋3x 2－x ≤0，

∴x (2x －1)(x －1)≥0，∴2

1

0≤

≤x ，或x ≥1． 又f (x )≤x 在区间[0，m ]上恒成立，∴?≤<2

1

0m

即m 的取值范围是]2

1

,0(．

14．解：(1)解：2

22222)

(2)()1(2)()('c x ck

x kx c x kx x c x k x f ++--=++-+=， 由题意知f '(－c )＝0，

即c 2k ―2c ―ck ＝0，(*) ∵c ≠0，∴k ≠0

由f '(x )＝0得―kx 2―2x ＋ck ＝0，

由韦达定理知另一个极值点为x ＝1(或k

c x 2-=)． (2)由(*)式得12-=

c k ，即?+=k

c 21 当c ＞1时，k ＞0；当0＜c ＜1时，k ＜－2．

由(1)知函数f (x )的两个极值点为1和－c ， 从而?+-+-=

2

2)

()

1)(()('c x x c x k x f ①当k ＞0时，f (x )在(－∞，－c )和(1，＋∞)内是减函数，在(－c ，1)内是增函数． ∴02

11)1(>=++=

=k

c k f M ， 0)2(21)(2

2<+-=++-=-=k k c

c kc c f m ，

由1)

2(222

≥++

=-k k k m M 及k ＞0，解得k ≥2． ②当k ＜－2时，f (x )在(－∞，－c )和(1，＋∞)内是增函数，在(－c ，1)内是减函数，

∴0)2(2)(2>+-=

-=k k c f M ，02

)1(<==k

f m ，

12

1

)1(12)2(222≥+++-=-+-=-k k k k k m M 恒成立．

综上可知，k 的取值范围为(－∞，－2)∪[2，＋∞)．

15．(1)由题设知，函数f (x )的定义域是(－1，＋∞)，x

a

x x x f +++=122)('2，

且f '(x )＝0有两个不同的根x 1，x 2，故2x 2＋2x ＋a ＝0的判别式?＝4－8a ＞0， 即2

1<

a ，且22111a

x ---=，22112a x -+-=．①

又x 1＞－1，故a ＞0． 因此a 的取值范围是?)2

1

,0(

当x 变化时，f (x )与f '(x )的变化情况如下表：

(－1，x 1) x 1 (x 1，x 2) x 2 (x 2，＋∞)

f '(x ) ＋

－

＋

f (x )

极大值

极小值 1212 (2)由题设和①知，02

1

2<<-

x ，a ＝－2x 2(1+x 2)， 于是f (x 2)＝x 22－2x 2(1＋x 2)ln(1＋x 2)． 设函数g (t )＝t 2－2t (1＋t )ln(1＋t )，则 g '(t )＝－2(1＋2t )ln(1＋t )．

当21-

=t 时，g '(t )＝0；当)0,21(-∈t 时，g '(t )＞0，故在区间)0,2

1

[-是增函数． 于是，当)0,21(-∈t 时，4

2

ln 21)21()(-=->g t g ，

因此4

2

ln 21)()(22->=x g x f ．