高等代数第四章线性变换

第四章 线性变换

习题精解

1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：

1） 在线性空间 V 中， A ,其中

V 是一固定的向量；

2） 在线性空间 V 中， A

其中

V 是一固定的向量；

3） 在 P 3

中， A

( x 1

, x 2

, x 3 )

( x 12 , x 2

x 3 , x 32 ) ；

4） 在 P 3 中， A ( x 1 , x 2 , x 3 )

(2x 1 x 2 , x 2 x 3 , x 1 ) ； 5） 在 P[ x ] 中， A

f ( x)

f (x 1)

6） 在 P[ x ] 中， A

f ( x)

f (x 0

),

其中

x

P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间，

A

8） 在 P n n 中， A X=BXC 其中 B,C P n n 是两个固定的矩阵 .

解 1)当 0 时,是 ;当 0 时,不是 .

2)当 0 时,是 ;当 0 时,不是. k ( ) (2,0,0)

(k ) (4,0,0)

3) 不是 例如当 (1,0,0) , k 2 时

A , A ,

.

,

A (k ) k A( ) .

4)是 .因取 (x 1 , x 2 , x 3 ),

( y 1 , y 2 , y 3 ) ,有

A (

) = A (x 1 y 1 , x 2 y 2 , x 3 y 3 )

= (2x 1 2 y 1 x 2

y 2 , x 2 y 2 x 3 y 3 , x 1 y 1 )

= (2x 1 x 2 , x 2 x 3 , x 1 ) (2 y 1 y 2 , y 2 y 3 , y 1 )

=A +A

A (k )

A (kx 1 , kx 2 , kx 3 )

(2kx 1 kx 2 , kx 2 kx 3 , kx 1 )

(2kx 1 kx 2 , kx 2 kx 3 , kx 1 )

= k A ( )

故 A 是 P 3 上的线性变换 .

5) 是 .因任取 f ( x)

P[ x], g (x)

P[ x] ,并令

u( x) f ( x) g( x) 则

A ( f (x)

g( x)) = A u( x) = u(x 1) = f (x 1) g ( x 1) =A f ( x) + A ( g( x))

再令 v( x) kf ( x) 则 A (kf ( x)) A (v( x)) v( x 1) kf ( x 1) k A ( f ( x)) 故 A 为 P[ x] 上的线性变换 .

6) 是 .因任取 f (x) P[ x], g ( x) P[ x] 则.

A ( f (x) g( x)) = f (x 0 ) g( x 0 ) A ( f (x))

A ( g( x) )

A (kf ( x))

kf (x 0 ) k A ( f ( x))

7)不是 .例如取

a=

则

A (ka)=-i , k( A a)=i, A(ka )

k A (a)

8)是 .因任取二矩阵 X ,Y P n n ,则

A ( X

Y) B(X Y)C BXC BYC A X +A Y

A (k X )= B(kX ) k( BXC ) k A X

故 A 是 P n n 上的线性变换 .

2.在几何空间中以 B 表示绕 oy 变换 .证明 :

,取直角坐标系 oxy,以 A 表示将空间绕 ox 轴由 oy 向 oz 方向旋转 90 度的变换 ,, 轴向 ox 方向旋转 90 度的变换 ,以 C 表示绕 oz 轴由 ox 向 oy 方向旋转 90 度的

4

4

4

2

2

2

2

A =

B =

C =E,AB BA,A B =B A

并检验 (AB ) 2 =A 2 B 2 是否成立 .

解 任取一向量 a=(x,y,z), 则有

1) 因为

A a=(x,-z,y), A 2 a=(x,-y,-z)

3

A

4

A a=(x,z,-y), a=(x,y,z)

B a=(z,y,-x),

2

B a=(-x,y,-z) B 3 a=(-z,y,x), B 4 a=(x,y,z)

C a=(-y,x,z),

C 2 a=(-x,-y,z)

3 C 4

C a=(y,-x,z), a=(x,y,z)

所以

4

4

4

A =

B =

C =E 2) 因为

AB (a)=A (z,y,-x)=(z,x,y) BA (a)=B (x,-z,y)=(y,-z,-x)

所以

AB

BA

3)因为

A 2

B 2 (a)=A 2 (-x,y,-z)=(-x,-y,z)

2

2

2

B A (a)=B (x,-y,-z)=(-x,-y,z) 所以

2

2

=B 2

A 2

A B 3) 因为

(AB ) 2 (a)=( AB )(AB (a))_= AB (z,x,y)=(y,z,x)

2

2

A B (a)=(-x,-y,z) 所以

2

2

2

(AB )

A B

'

3.在 P[x] 中 ,A f ( x) f ( x), B f ( x) xf ( x)

证 任取 f ( x)

P[x], 则有

(AB-BA ) f (x) =AB f ( x) -BA f (x) =A ( xf ( x)) -B ( f ' ( x)) = f ( x) xf ; ( x) - xf ' ( x) = f (x) 所以 AB-BA=E

4.设 A,B 是线性变换 ,如果 AB-BA=E, 证明 :

k

k

k 1

A B-BA = k A

(k>1)

证 采用数学归纳法 . 当 k=2 时

2

2

2

2

2A

A B-BA =(A B-ABA)+(ABA-BA )=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA= 结论成立 .

归纳假设 k

m 时结论成立 即

A m

m

m 1

m 1 时 ,有

,

B-BA = m A .则当 k

m 1 m 1

m 1

m

m

m 1

m

m

m

m

A

B-BA =(A

B-A

BA)+(A BA-BA

)=A

(AB-BA)+(A

B-BA )A=A

E+ m A

m 1

A= (m m

1) A

即 k m 1 时结论成立 .故对一切 k 1 结论成立 . 5.证明 :可逆变换是双射 .

证 设 A 是可逆变换 ,它的逆变换为 A 1

.

若 a b ,则必有 A a A b,不然设 Aa=A b,两边左乘 A 1 ,有 a=b,这与条件矛盾 .

其次 ,对任一向量 b,必有 a 使 A a=b,事实上 ,令 A 1

b=a 即可 .

因此 ,A 是一个双射 .

6.设 1, 2, , n 是线性空间 V 的一组基， A 是 V 上的线性变换。 证明： A 是可逆变换当且

仅当 A 1,A 2 ,

,A n 线性无关 .

证 因

A ( 1, 2, , n )=( A 1 ,A

2 ,

,A n )=( 1 , 2 , , n )A

故 A 可逆的充要条件是矩阵

A 可逆 ,而矩阵 A 可逆的充要条件是 A 1 ,A 2 , ,A n 线性无关 .

故 A 可逆的充要条件是 A 1 ,A 2 ,

,A n 线性无关 .

7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵

:

1) 第 1 题 4)中变换 A 在基 1 =(1,0,0), 2 =(0,1,0), 3 =(0,0,1) 下的矩阵 ; 2) [o;

1 ,

2 ] 是平面上一直角坐标系 ,A 是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂

直投影 ,B 是平面上的向量对 2 的垂直投影 ,求 A,B,AB 在基 1 , 2 下的矩阵 ;

3) 在空间 P [x] n 中 ,设变换 A 为 f ( x)

f (x

1) f ( x)

试求 A 在基 i = x( x 1)

( x i 1)

1

(I=1,2,

,n-1)

i!

下的矩阵 A;

4) 六个函数

1 =e

ax

cos bx , 2 =e ax sin bx

3 = x e

ax

cos bx , 4 = x e ax sin bx

1 = 1

x 2 e ax cos bx , 1= 1 e ax x 2 sin bx

2 2

的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空间 ,求微分变换 D 在基 i (i=1,2, ,6)下的

矩阵 ;

1 0

1 5) 已知 P 3

中线性变换 A 在基 1 =(-1,1,1),

2 =(1,0,-1),

3 =(0,1,1) 下的矩阵是1

1

1 2

1

A 在基 1=(1,0,0), 2 =(0,1,0), 3 =(0,0,1) 下的矩阵 ;

6) 在 P 3

中,A 定义如下 :

A A

A

其中

1

2 3

( 5,0,3) (0, 1,6)

( 5, 1,9)

1

( 1,0,2)

2 (0,1,1) 3

(3, 1,0)

求在基 1 =(1,0,0), 2 =(0,1,0), 3 =(0,0,1) 下的矩阵 ; 7) 同上,求 A 在 1, 2, 3下的矩阵 .

解 1)

A 1 =(2,0,1)=2

1 + 3

A 2 =(-1,1,0)=- 1

+

2

A 3 =(0,1,0)=

2

2 1 0

故在基

1 ,

2

，

3 下的矩阵为 0

1 1 1 0

1

1

2）取 1=（1，0）， 2 =（0，1）则 A 1 = 2 1

+

2

2

，

A

2

=

1 1

+

1 2

2

2

1 1 故A 在基

1，

2 下的矩阵为 A=

2 2 1 1

2

2

1=0， B

2= 2所以 B 在基

0 0 2 =A

又因为 B 1

，

2 下的矩阵为 B = ，另外，（ AB ）

1

1 1 （B 2）=A 2= 1 +

2

2

2

1

所以 AB 在基

2

1

，

2 下的矩阵为 AB = ，

0 1

2

3）因为

1, 1 x, 2

x(x 1) , , n 1

x(x

1) [ x ( n 2)]

2!

(n 1)!

，所以 A 0

1 1 0

A

1

(x 1) x

A

n 1 ( x 1)x [ x (n 3)]

x( x 1) [ x ( n 2)]

(n 1)!

( n 1)!

= x(x 1)

[ x (n

3)]

(x 1) [ x (n 2)] }

(n

1)!

{

=

n 2

0 1

0 1

，所以 A 在基 0 , 1 , , n 1 下的矩阵为 A =

，

1 0

4）因为 D

1 =a 1 -b

2 ,

D

2 =b 1- a 2 , 6

D 3 = 1+a 3 -b 4 ,

D

4 = 2 +b 3 +a 4 ,

D

5 = 3 +a 5 -b

6 ,

D 6 = 4 +b 5 +a 6

，所以 D 在给定基下的矩阵为 D =

5）因为( 1, 2, 3)=( 1, 2， 3)

a b 1 0 0 0 b a 0 1 0 0 0 0 a

b

1 0 0 0 b a 0 0 ，

1 0 0 0 0 a

b

0 b a

1 1

1

0 1，所以 1

1 1

1 1 1

( 1 , 2 ， 3)=(

1 ,

2 ,

3 )

0 1 1 =( 1, 2, 3 )X ，

1

1

故A 在基

1, 2 ， 3 下的矩阵为

1

1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 2

B =X

1

1

0 1 1 1 0 0 1 1 = 2 2 0 . AX=

1

1 1

1 2

1 1

0 1

3

0 2

1 0 3

6）因为 ( 1 , 2 ,

3 )=(

1,

2， 3)

0 1 1 ，

2 1

1 0

3 所以 A ( 1,

2, 3)=A ( 1, 2， 3)

0 1 1 ,

2

1 0

5 0 5 但已知 A (

1, 2, 3)=( 1, 2， 3)

0 1 1 故

3

6 9

5

0 5 1 0 3

A ( 1, 2 ， 3)=(

1,2，3) 0

1 1

0 1 1 1

3

6 9 2 1

1 3 3

5

0 5 7 7 7 =(

1 , 2

，

3)

0 1 1 2 6 1 7 7 7 3

6

9 2 1 1

7

7

7

5 20 20

7 7 7 =(

1 ,

2

，

3)

4 5 2 7 7 7

27 18 24 7

7

7

1 0 3

7）因为 ( 1, 2

， 3)=( 1,

2, 3)

0 1 1 1

2

1

所以 A ( 1, 2, 3)=( 1, 2, 3)

2

3 5

=( 1,2,3)

1 0 1。

1 1

1 0

3

5 0 5

0 1 1 1

0 1 1

2

1

3

6

9

8．在 P

22

中定义线性变换 A 1

a b

a b

(X )=

d

X, A 2

(X )=X , A 2(X )=

c c d

a b

a b c d

X

,

c d

求 A 1, A 2, A 3在基 E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵。

解因

A 1 E 11 =a E 11 +c E 12 , A 1 E 12 =a E 12 +c E 22 , A 1 E 21 =b E 11 +d E 21 , A 1 E 22 = b E 21 +d E 22 ,故 A1在基 E11, E12, E 21, E22下的矩阵为

A 1 =又因a 0 b0

0 a 0b

c 0 d0

0 c 0d

A 2 E 11 =a E 11 +b E 12 , A 2 E 12 = c E 11 +d E 12 , A 2 E 21 = a E 21 +b E 22 , A 2 E 22 = c E 21 +d E 22 ,故 A2在基 E11,E12,E21,E22下的矩阵为

A 2 =又因a c 00

b d 00

0 0 a c 0 0 b d

2

A 3 E 11 = a E 11 +ab E 12 +ac E 21 +bc E 22

A 3 E 12 = ac E 11 +ad E 12 +c2 E 21 +cd E 22 A 3 E 21 = ab E 11 +b2 E 12 +ad E 21 +bd E 22 A 3 E 22= bc E 11 +bd E 12 +cd E 21 +d2 E 22

故A3在基 E11, E12, E 21, E 22下的矩阵为

a2ac ab bc

A3ab ad b2bd ac c 2ad cd bc cd bd d 2

9.设三维线性空间V 上的线性变换 A 在基1, 2, 3下的矩阵为

a

11

a

12

a

13 A=a

21

a

22

a

23

a

31

a

32

a

33

1)求 A在基3,2,1下的矩阵;

2)求 A 在基1, k2,3下的矩阵,其中且;

3)求 A在基12,2,3下的矩阵.

解1)因

A

3

=a

33 3

+a

23 2

a

13 1

A 2 = a32 3

a

22 2

a

12 1

A

1

=a

31 3

a

21 2

a

11 1

故 A在基3,2 , 1下的矩阵为

a

33

a

32

a

31

B3

a

23

a

22

a

21

a

13

a

12

a

11

2)因

A 1= a11 1 +

a

21(k 2

)a

31 3

k

A(k2 )= k a12 1+ a22(k 2

)+ka

32 3

A 3 = a13 1+

a

23

( k 2

)+a

33 3

k

故 A 在1, k2,3下的矩阵为

a

11ka12

a

13

a21a

22

a23

B2

k

k

a31ka 32a33

3)因

A(1 2 )=(a11a12)(1 3 )+(a21a22a11a12)2+( a31a32)3

A 2

=

a 12 (

1

2 )+( a 22 a 12 ) 2

+

a

32

3 A

3 = a

13 (

1

2 )+( a 2

3 a 13 ) 2 + a 33

3

故A 基 1

2 ,

2 ,

3 下的矩阵为

a 11 a 12 a 12

a 13 B 3

a

21

a 22 a 11a

12

a

22

a

12

a 23

a

13

a

31

a

32

a

32

a

33

10.

k 1

0,但 A

k

设 A 是线性空间 V 上的线性变换 ,如果 A

=0,求证

,A ,

, A k 1 ( k >0) 线性无关 .

证 设有线性关系

l 1 l 2 A

l k A k 1

用 A k 1 作用于上式 ,得

l 1 k 1 n 0 对一切 n k 均成立 )

A

=0(因 A

又因为 A k 1

0,所以 l 1

0 ,于是有

l 2 A

l 3 A 2 l k A k 1

再用 A k 2 作用之 ,得 l 2 A k 1 =0.再由 ,可得 l 2 =0. 同理 ,继续作用下去 ,便可得

l 1 l 2

l k 0

即证 ,A ,

, A k

1

( k >0)线性无关 .

11.在

n 维线性空间中 设有线性变换 A 与向量 使得

A n 1

0但 求证

A 在某组下的矩阵是

,

,

1 0

1

0 1 0

证 由上题知 , ,A ,A 2

, , A n 1 线性无关 ,故 ,A ,A 2

,

, A n 1 为线性空间

V 的一组基 .又因为

A01A0

2

n 1 A +A

A(A )=0+ 0 A +1

2

n 1 A +A

??

A（A n 1）=0+0A+0A2+0 A n 1

故 A 在这组基下的矩阵为

10

1

10

12．设 V 是数域 P 上的维线性空间，证明： V 的全体线性变换可以交换的线性变换是数乘变

换 .

证因为在某组确定的基下,线性变换与n 级方阵的对应是双射,而与一切n 级方阵可交换的方阵必为数量矩阵kE,从而与一切线性变换可交换的线性变换必为数乘变换K.

13. A 是数域P上n维线性空间V的一个线性变换,证明：如果 A 在任意一组基下的矩阵都相同 ,

那么是数乘变换 .

证设 A 在基下 1 ,2,, n的矩阵为A=( a ij),只要证明A为数量矩阵即可.设 X 为任一非退化方阵 ,且

( 1,2,n )=( 1,2, ,n )X

则1 , 2 , n也是V的一组基,且A在这组基下的矩阵是X 1 AX ,从而即有AX=XA,这说明A

与一切非退化矩阵可交换.

若取

1

2

X1

n

则由 A X1 = X1 A 知a ij =0(i j),即得

a

11

a

22

A=

a

nn

再取

1 0 0 0

0 1 0 X 2 =

0 0 0 1 1

由 A X 2= X 2 A,可得

a

11

a

22

a

nn

故 A 为数量矩阵 ,从而 A 为数乘变换 .

14.设 1, 2 ,

3 ,

4 是四维线性空间 V 的一组基 ,已知线性变换

A 在这组基下的矩阵为

1 0

2 1 1 2 1

3 1 2

5 5

2

2 1

2

1) 求A 在基 11 22 4,

2

32 34,

3 3

4, 4 24下的矩阵;

2) 求 A 的核与值域 ;

3) 在 A 的核中选一组基 ,把它扩充为 V 的一组基 ,并求 A 在这组基下的矩阵 ;

4) 在 A 的值域中选一组基 , 把它扩充为 V 的一组基 , 并求 A 在这组基下的矩阵 . 解 1)由题设 ,知

1 0 0 0

2

3 0 0

(

1, 2, 3, 4)=( 1, 2, 3, 4)

0 1 1 0

1112

故A 在基

1, 2, 3

, 4 下的矩阵为

1 0 0 0 1

0 2 1 1 0 0 0

1

B= X 1AX =

2 3

0 0

1 2 1 3 2 3 0 0 = 0 1 1 0 1 2 5 5 0 1 1 0

1

1 1 2

2

2 1

2

1 1 1 2

2

3 3 2

2 4 10 10

3 3 3 3 8 16 40 40 3 3 3 3 0 1 7

8

2) 先求 A

1

(0).设 A 1

(0),它在

1 ,

2, 3, 4 下的坐标为 (

1 ,

2, 3,

4 ),且在 A

在1,2,3, 4 下的坐标为 (0,0,0,0,),则

1 0

2 1 x 1 0 1 2 1

3 x 2 0

1 2 5 5 x 3 =

2

2 1

2

x 4

因 rank(A)=2, 故由

x 1 2x 3 x 4 0 x 1 2x 2

x 3

3x 4 0

可求得基础解系为

X 1= ( 2,

3

,1,0)

,X 2=( 1, 2,0,1)

2

若令

a 1 =( 1 , 2 , 3 , 4 )X 1 ,a 2 =( 1 , 2 , 3 , 4 )X 2

1

1

A (0)=L(a 1 , a 2 )

再求 A 的值域 A V.因为

A

1

=

12

3

2

4

A 2=2 2 2 3 2 4

A 3=2 1

2

5

34

A 43

=

1

3 2 5 3 2 4

因 rank(A)=2, 故 A 1 ,A

2,A 3,A 4发秩也为 2,且A 1 ,A 2线性无关 ,故A 1 ,A 2

可组成 A V 的基 ,从而

A V=L(A

1 ,A 2)

4) 由 2)知 a 1 , a 2 是 A 1

(0)的一组基 ,且知

1,

2 , a 1 , a 2 是 V 的一组基 ,又

1 0

2 1

0 1 3 2

1 ,

2 , a 1 , a 2 )=( 1 ,

( 2, 3, 4)

0 2 0

0 1

0 0

1

故 A 在基

1, 2 , a 1 , a 2 下的矩阵为

1 0

2 1 1

1 0

2 1

1 0

2 1

0 1 3 2

1 2 1 3

0 1 3 2

B=

2

2 0 0 0

1 2 5 5

0 0 0

1

1 0 0

1

2

2 1

2

0 0

1

5 2 0 0

9 1 0 0

= 2

2 0 0

1

2

2 0

4) 由2)知A 1= 1

2

3

2 4 , A 2=22 2

3 2 4

易知 A

1 , A

2 ,

3 ,

4是 V 的一组基 ,且

1 0 0 0 (A 1,A

2 ,

3, 4

)=( 1, 2,

3 ,

4

1

2 0 0 )

2 1 0 1

1

2

0 1

故A 在基A

1 , A

2 ,

3 ,

4 下的矩阵为

1 0 0 0 1

1 0

2 1 1 0 0 0

C=

1 2 0 0

1 2 1 3 1 2 0 0 1 2 1 0 1 2

5

5 1 2 1

1 2 0

1

2

2 1

2

1

2

0 1

5 2 2 1

9

1 3

2

=

2

2

0 0

0 0

0 0

15. 给定 P 3 的两组基

1 (1,0,1) 1

2 (2,1,0) 2 3

(1,1,1)

3

定义线性变换 A:

A

i = i ( i =1,2,3)

(1,2, 1) (2,2, 1)

(2, 1, 1)

1) 写出由基

1, 2 , 3到基

1, 2, 3 的过度矩阵 ;

2) 写出在基 1, 2 , 3 下的矩阵 ;

3) 写出在基

1, 2 , 3 下的矩阵 .

解 1)由

(1,2,

3 )=( 1

,

2 ,

3 )X

引入 P 3 的一组基 e 1 =(1,0,0),

e 2 =(0,1,0), e 3 =(0,0,1), 则

1 2 1

( 1 ,

2 ,

3 )=( e 1 , e 2 , e 3 )

0 1 1 =( e 1 , e 2 , e 3 )A

1

0 1

所以

1

2

2

(1,2, 3 )=( e 1 , e 2 , e 3 )

2

2

1

1 =( e 1 , e

2 , e

3 )B=( e 1 , e 2 , e 3 )A B

1 1

1

故由基

1 ,

2 ,

3 到基

1 ,

2 ,

3 的过度矩阵为

1

2

3

3

1 2 1

1

2 2 2 2

1 0 1 1

2

2 1

= 1

3 3

X=A B=

2 2

1

0 1

1

1

1

1

1 5

2

2

2)因

2

3 3

2 2

A ( 1,

2 ,

3 )=(

1 ,

2 ,

3 )=(

1, 2 ,

3 )

1 3 3

2 2

1

1 5

2

2

故A 在基 1,

2 ,

3 下的矩阵为

2

3 3

2 2

A=

1

3 3

2 2

1

1 5

2

2

4) 因

A (

1 ,

2 ,

3 )=A (

1 ,

2 ,

3 )X=(

1 ,

2 ,

3 )X

故 A 在基 1, 2, 3 下的矩阵仍为

X.

16.证明

1

i 1

2

与

i 2

相似 ,其中 ( i 1 ,i 2

, , i n )是 1,2, , n 的一个

n

i n

排列 .

证 设有线性变换 A ,使

1

A ( 1, 2,

, n ) = ( 1 , 2 ,

,

n )

2

,

, n) D 1

=(1,2

n

i 1

则 A ( i

,

, ,

)=(

i ,

i ,

, i

)

i 2

,

, , i )D

i

i =( i

i 2

2

1

2

n

1

2

n

1

n

i n

1

于是 D 1

与 D 2 为同一线性变换

A 在两组不同基下的矩阵

,故 2

与

n

i 1

i 2

相似 .

i n

17.如果 A 可逆 ,证明 AB 与 BA 相似 .

证因 A 可逆,故 A 1存在,从而 A 1

(AB)A=( A

1

A)BA=BA

所以 AB 与 BA 相似.

18.如果 A 与 B 相似,C 与 D 相似,证明:

A 0 与 B

相似.

0 B 0 D

1

AX, D=Y 1 CY,

X

1

A 0 X 0

B 0 证 由已知 ,可设 B=X

则

C

0 Y

=

D

Y 1

X 1

X 0 1

这里

Y 1 =

0 Y

A 0B0

故与相似.

0 C0 D

22

19 设A,B是线性变换, A=A,B=B证明 :

2

1)如果 (A+B ) =A+B那么AB=0 ;

2

2)如果 , AB=BA那么 (A+B-AB) =A+B-AB.

证 1)因为A2= A, B2=B, (A+B)2=A+B

由(A+B ) 2=(A+B) (A+B)= A2+AB+BA+ B2,

故A+B= A +AB+BA+ B,

即AB+BA=0.

又2AB=AB+AB=AB-BA= A 2 B-B 2 A= A 2 B+ABA= A (AB+BA)= A0=0

所以 AB=0.

2 2

2)因为 A = A, B =B, AB=BA

所以 (A+B-AB)2= (A+B-AB) (A+B-AB)

=A 2 +BA- AB A+ AB+ B 2 - AB 2 -A 2 B-BAB +ABAB

=A+AB - AA B + AB+ B- AB-AB-ABB +AABB

=A+AB - A B + AB+ B- AB-AB-AB +AB

=A+B- AB

20.设 V 是数域 P 上维线性空间 ,证明 :由 V 的全体变换组成的线性空间是n 2维的.

证因 E11， E1n，E21，， E2 n，，E n1， E nn是 P n n的一组基， P n n是 n2维的 .

所以 V 的全体线性变换与P n n同构 ,故 V 的全体线性变换组成的线性空间是n2维的 .

21.设 A 是数域P上n维线性空间V的一个线性变换,证明:

3)在 P[ x] 中有一次数n2的多项式 f(x) ,使 f ( A)0 ;

4)如果f ( A) 0, g ( A) 0,那么 d ( A) 0 ,这里

d ( x)是 f ( x)与g( x)的最

大 .公因式

5) A 可逆的充分必要条件是:有一常数项不为零的多项式 f ( x)使f ( A) 0.

证1)因为 P 上的 n 维线性空间 V 的线性变换组成的线性空间是n2维的,所以 n2+1个线性变换A n2n2 1 、、、

,A,,A,E

一定线性相关,即存在一组不全为零的数a n2 , a n21 , a1 , a0使

a n2A n2+ a n21 A n21 + a1 A+ a0 E=0

令 f ( x) a n2 x n2a n21x n21a1 x a0,且a i (i0,1,2,, n2 )不全为零，（ f（x）） n 2 .

这就是说 ,在P[ x]中存在一次数n 2的多项式 f ( x) ,使 f ( A)0.即证.

2)由题设知d ( x)u(x) f ( x)v( x)g( x) 因为 f ( A) 0, g( A)0

所以 d ( A)u( A) f ( A)v( A) g( A) =0

3)必要性 .由 1)知 ,在P[ x]中存在一次数n 2的多项式 f (x) ,使 f ( A) 0 .即

a n2A n2+ a n21 A n21+ a1 A+ a0 E=0

若 a00,则f (x)a n2 x n2a n21x n2 1a1 x a0即为所求.

若

a00,

因 a i(i0,1,2,, n2 )不全为零，令 a j是不为零的系数中下标最小的那一个，则

a

n 2A n 2+ a

n

2

1

A n21 + a1 A+ a E=0 因 A 可逆，故存在

A 1 , ( A 1 ) j(A j) 1也存在，用 ( A j ) 1右乘等式两边，

得 a2A n 2j + a2

1A n2 j1+? + a j E=0

n n

令 f (x)a n2 x n2j + a n21x n2j 1+? + a j( a j0) ，即 f ( x)为所求.充分性 .设有一常数项不为零的多项式

f ( x) a n2 x n2a n21x n21a1 x a0(a00) 使f ( A) 0

即 a m A m a m 1 A m 1a1 A a0 E0

所以 a m A m a m 1 A m 1a1 A a0 E

于是1

(a m A m 1a1E) A E a0

又 A

1

a0

(a m A m 1a1 E)E

故A可逆.

22. 如果A1, A2 ,, A s是线性空间V 的个两两不同的线性变换,那么在V 中必存在向量 a ,使 A1 a, A2 a,, A s a 也两两不同.

证令

V ij V , A i A j a( i, j1,2,s )

因为

A i 0 A j 00,0V ij

故 ` V ij非空.又因为A1, A2 ,, A s两两不同,所以对于每两个A i , A j而言,总存在一个向量,使A i A j

故 V ij是V的非空真子集

设,V ij ,则

A i A, A i A j

于是

A i()A j ()

即V

ij

又A i ( k ) kA i kA j A j (k )

于是 k V

ij

故 V ij是V的真子空间.

1)如果V ij都是 V的非平凡子空间 , 在 V中至少有一个向量不属于所有的V ij,设

V ij (i , j 1,2,, s), 则

A i A j( i, j1,2,, s )

即证 : 存在向量,使A, A ,, A两两不同 .

12s

2)如果 { V ij } 中有V的平凡子空间V i j,则V i j只能是零空间 .对于这种V i j ,只要取0,

000000

就 有 A i

A j

,

故 这 样 的

V

i 0 j 0

可以去掉 .因而问题可归于 1),即知也存在向量 使

A 1 ,A 2 , , A s 两两不同 .

23

设 A 是有限维线性空间 V 的线性变换 ,W 是V 的子空间 .AW 表示由 W 中向量的像组成的子空间 , 证明 :

dim( AW)

dim( A 1 (0) W) dim(W )

证 因为 A 也是 W 上的线形变换 ,故 A 1 (0)

W 是 W 的子空间 .设 A 1 (0) W 的维数

为 r,W 的维数为 s.

今在 A

1

(0) W 中取一组基 1, 2 ,

r , 把它扩充成 W 的一组基

1 ,

2 ,

r , r 1 ,s ,

则AW L(A 1,A 2 , A r , A r 1

, A s ) = L( A r 1

, A s )

且

线性无关 .所以 dim( ) dim( 1 (0)

) dim( )

A r 1 , A s

AW

A

W

W

24.设 A, B 是 n 维线性空间 V 的两个线性变换 ,证明 :

rank (AB ) rank ( A )+ rank (B) n

证 在 V 中取一组基 ,设线性变换 A, B 在这组基下对应的矩阵 分别为 A,B, 则线性

变换 AB 对应的矩阵为 AB.

因为 线性变换 A, B , AB 的秩分别等于矩阵 A,B,AB 的秩 ,所以对于矩阵

A,B,AB 有

rank (AB) rank (A)+ rank (B) n

故对于 线性变换 A, B , AB 也有

rank ( AB )

rank ( A )+ rank (B) n

25.设 A 2

A B 2

B 证明

:

,

,

1) A 与 B 有相同值域的充要条件 是AB B, BA A;

2)

A 与

B 有相同的核充要条件是 AB A, BA B.

证 1)必要性 .若