(完整word版)高一函数大题训练及答案
高中函数大题专练
１、已知关于x 的不等式2
(4)(4)0kx k x --->，其中k R ∈。
⑴试求不等式的解集A ；
⑵对于不等式的解集A ，若满足A Z B =I （其中Z 为整数集）。试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合
B ；若不能，请说明理由。
２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。
① 对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥；
② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。 已知函数2
()g x x =与()21x
h x a =?-是定义在[0,1]上的函数。 （1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由； （2）若函数()h x 是G 函数，求实数a 的值；
（3）在（2）的条件下，讨论方程(21)()x
g h x m -+=()m R ∈解的个数情况。 3.已知函数|
|212)(x x x f -
=. （1）若2)(=x f ，求x 的值；
（2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[2,3]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 4.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时，11,()0,f x x
?-?
=???
0;0.x x >= （1）求)(x f 在(,0)-∞上的解析式.
（2）请你作出函数)(x f 的大致图像.
（3）当0a b <<时，若()()f a f b =，求ab 的取值范围.
（4）若关于x 的方程0)()(2
=++c x bf x f 有7个不同实数解，求,b c 满足的条件.
5．已知函数()(0)||
b
f x a x x =-
≠。 （1）若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数，求实数b 的取值范围；
（2）当2b =时，若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <，使[,]x m n ∈时，函数()g x 的值域也是
[,]m n ，则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。若函数()f x 是某区间上的闭函数，试探
求,a b 应满足的条件。
6、设bx ax x f +=2)(，
求满足下列条件的实数a 的值：至少有一个正实数b ，使函数)(x f 的定义域和值域相同。
7．对于函数)(x f ，若存在R x ∈0 ，使00)(x x f =成立，则称点00(,)x x 为函数的不动点。 （1）已知函数)0()(2
≠-+=a b bx ax x f 有不动点（1，1）和（-3，-3）求a 与b 的值； （2）若对于任意实数b ，函数)0()(2
≠-+=a b bx ax x f 总有两个相异的不动点，求a 的取值范围；
（3）若定义在实数集R 上的奇函数)(x g 存在（有限的）n 个不动点，求证：n 必为奇数。
8．设函数)0(1
)(≠+
=x x
x x f ，的图象为1C 、1C 关于点A （2，1）的对称的图象为2C ，2C 对应的函数为)(x g .
（1）求函数)(x g y =的解析式；
（2）若直线b y =与2C 只有一个交点，求b 的值并求出交点的坐标.
9．设定义在),0(+∞上的函数)(x f 满足下面三个条件：
①对于任意正实数a 、b ，都有()()()1f a b f a f b ?=+-； ②(2)0f =；
③当1>x 时，总有()1f x <. （1）求)2
1
()1(f f 及的值；
（2）求证：),0()(+∞在x f 上是减函数.
10． 已知函数)(x f 是定义在[]2,2-上的奇函数，当)0,2[-∈x 时，3
2
1)(x tx x f -=（t 为常数）。
（1）求函数)(x f 的解析式；
（2）当]6,2[∈t 时，求)(x f 在[]0,2-上的最小值，及取得最小值时的x ，并猜想)
(x f 在[]2,0上的单调递增区间（不必证明）；
（3）当9≥t 时，证明：函数)(x f y =的图象上至少有一个点落在直线14=y 上。
11.记函数()2
7
2++-
=
x x x f 的定义域为A ，()()()[]()R a b ax b x x g ∈>+-=,012lg 的定义域为B ，
（1）求A ： （2）若B A ?，求a 、b 的取值范围
12、设()()1,011
≠>-+=
a a a a x f x
x 。 （1）求()x f 的反函数()x f 1
-：
（2）讨论()x f
1
-在()∞+.1上的单调性，并加以证明：
（3）令()x x g a log 1+=，当[]()()n m n m <+∞?,1,时，
()x f
1
-在[]n m ,上的值域是
()()[]m g n g ,，求a 的取值范围。
13．集合A 是由具备下列性质的函数)(x f 组成的：
(1) 函数)(x f 的定义域是[0,)+∞； (2) 函数)(x f 的值域是[2,4)-；
(3) 函数)(x f 在[0,)+∞上是增函数．试分别探究下列两小题：
（Ⅰ）判断函数1()2(0)f x x =≥，及21()46()(0)2
x f x x =-?≥是否属于集合A ？并简要说明理由．
（Ⅱ）对于（I ）中你认为属于集合A 的函数)(x f ，不等式)1(2)2()(+<++x f x f x f ，
是否对于任意的0≥x 总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论．
14、设函数f(x)=ax 2
+bx+1（a,b 为实数）,F(x)=??
?<->)
0()()
0()(x x f x x f
（1）若f(-1)=0且对任意实数x 均有f(x)0≥成立，求F(x)表达式。
（2）在（1）的条件下,当x []2,2-∈时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求实数k 的取值范围。 （3）（理）设m>0,n<0且m+n>0,a>0且f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)>0。
15．函数f(x)=
b
ax x
+(a ，b 是非零实常数)，满足f(2)=1，且方程f(x)=x 有且仅有一个解。
(1)求a 、b 的值；
(2)是否存在实常数m ，使得对定义域中任意的x ，f(x)+f(m –x)=4恒成立？为什么？ (3)在直角坐标系中，求定点A(–3,1)到此函数图象上任意一点P 的距离|AP|的最小值。
函数大题专练答案
１、已知关于x 的不等式2
(4)(4)0kx k x --->，其中k R ∈。
⑴试求不等式的解集A ；
⑵对于不等式的解集A ，若满足A Z B =I （其中Z 为整数集）。试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合
B ；若不能，请说明理由。
解：（1）当0k =时，(,4)A =-∞；当0k >且2k ≠时，4
(,4)(,)A k k
=-∞+
+∞U ； 当2k =时，(,4)(4,)A =-∞+∞U ；（不单独分析2k =时的情况不扣分）
当0k <时，4
(,4)A k k
=+
。 （2） 由（1）知：当0k ≥时，集合B 中的元素的个数无限；
当0k <时，集合B 中的元素的个数有限，此时集合B 为有限集。
因为4
4k k
+≤-，当且仅当2k =-时取等号，
所以当2k =-时，集合B 的元素个数最少。
此时()4,4A =-，故集合{}3,2,1,0,1,2,3B =---。
２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。
① 对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥；
② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。
已知函数2
()g x x =与()21x
h x a =?-是定义在[0,1]上的函数。 （1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由； （2）若函数()h x 是G 函数，求实数a 的值；
（3）在（2）的条件下，讨论方程(21)()x
g h x m -+=()m R ∈解的个数情况。 解：（1） 当[]0,1x ∈时，总有2g x x 0()=≥，满足①，
当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，
22221212121212g x x x x 2x x x x g x g x +=++≥+=+()()()，满足② （2）若a 1<时，h 0a 10()=-<不满足①，所以不是G 函数；
若a 1≥时，h x ()在x 01[,]∈上是增函数，则h x 0≥()，满足①
由1212h x x h x h x +≥+()()() ，得12
12x x x x a 21a 21a 21+?-≥?-+?-，
即12
x
x a 1212
11[()()]---≤，
因为 12120,0,1x x x x ≥≥+≤
所以 1x
0211≤-≤ 2x
0211≤-≤ 1x 与2x 不同时等于1 11x
x
021211()()∴≤--<
11x x 1
a 12121()()
∴≤
---
当12x x 0==时，11x x 1
112121min (
)()()
=--- a 1∴≤， 综合上述：a 1{}∈
（3）根据（２）知： a=1，方程为x
x
42m -=，
由x 02110x 1
?≤-≤?≤≤? 得 x 01∈[,] 令x 2t 12=∈[,]，则2
211m t t t 24
=-=--()
由图形可知：当m 02∈[,]时，有一解；
当m 02∈-∞?+∞(,)(,)时，方程无解。
３.已知函数||2
12)(x x x f -
=. （1）若2)(=x f ，求x 的值；
（2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[2,3]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围.
[解] （1）当0 12)(-=. 由条件可知 22 1 2=- x x ，即 012222=-?-x x ， 解得 212±=x . 02>x Θ，() 21log 2+=∴x . （2）当]2,1[∈t 时，021*******≥??? ? ?-+??? ??- t t t t t m ， 即 ()()121242--≥-t t m . 0122>-t Θ， ∴ ()122+-≥t m . ()2[2,3],12[65,17]t t ∈∴-+∈--Q ， 故m 的取值范围是[17,)-+∞. （1）若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数，求实数b 的取值范围； （2）当2b =时，若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <，使[,]x m n ∈时，函数()g x 的值域也是 [,]m n ，则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。若函数()f x 是某区间上的闭函数，试探 求,a b 应满足的条件。 设12,(0,)x x ∈+∞且12x x <，由()f x 是(0,)+∞上的增函数，则12()()f x f x < 由12x x <，12,(0,)x x ∈+∞知12120,0x x x x -<>，所以0b >，即(0,)b ∈+∞ 数，则0mn >且0b ≠ （4） ①若0m n << 即2 0x ax b -+=在(0,)+∞上有两不等实根，所以 21212 4000a b x x a x x b ?->?+=>???=>?，即0,0 a b >>且2 40a b -> ②若0m n << ６、设bx ax x f += 2)(，求满足下列条件的实数a 的值：至少有一个正实数b ，使函数 )(x f 的定义域和值域相同。 解：（1）若0=a ，则对于每个正数b ，bx x f =)(的定义域和值域都是),0[+∞ 故0=a 满足条件 （2）若0>a ，则对于正数b ，bx ax x f += 2)(的定义域为D [)+∞?? ? ?? -∞-=,0,Y a b ， 但)(x f 的值域[)+∞?,0A ，故A D ≠，即0>a 不合条件； （3）若0 b D -= a b x f -= 2))((max ， )(x f 的值域为]2, 0[a b -，a b a b -=-2420-=????-=- a a 综上所述：a 的值为0或4- ７．对于函数)(x f ，若存在R x ∈0 ，使00)(x x f =成立，则称点00(,)x x 为函数的不动点。 （1）已知函数)0()(2 ≠-+=a b bx ax x f 有不动点（1，1）和（-3，-3）求a 与b 的值； （2）若对于任意实数b ，函数)0()(2 ≠-+=a b bx ax x f 总有两个相异的不动点，求a 的取值范围； （3）若定义在实数集R 上的奇函数)(x g 存在（有限的）n 个不动点，求证：n 必为奇数。 解：（1）由不动点的定义：0)(=-x x f ，∴0)1(2 =--+b x b ax 代入1=x 知1=a ，又由3-=x 及1=a 知3=b 。 ∴1=a ，3=b 。 （2）对任意实数b ，)0()(2 ≠-+=a b bx ax x f 总有两个相异的不动点，即是对任意的实数b ，方程0)(=-x x f 总有两个相异的实数根。 ∴0)1(2 =--+b x b ax 中04)1(2 >+-=?ab b ， 即01)24(2 >+-+b a b 恒成立。故04)24(2 1<--=?a ，∴10< （3）)(x g 是R 上的奇函数，则0)0(=g ，∴（0，0）是函数)(x g 的不动点。 若)(x g 有异于（0，0）的不动点),(00x x ，则00)(x x g =。 又000)()(x x g x g -=-=-，∴),(00x x --是函数)(x g 的不动点。 ∴)(x g 的有限个不动点除原点外，都是成对出现的， 所以有k 2个（k N ∈），加上原点，共有12+=k n 个。即n 必为奇数 ８．设函数)0(1 )(≠+ =x x x x f ，的图象为1C 、1C 关于点A （2，1）的对称的图象为2C ，2C 对应的函数为)(x g . （1）求函数)(x g y =的解析式； （2）若直线b y =与2C 只有一个交点，求b 的值并求出交点的坐标. 解．（1）设),(v u p 是x x y 1+ =上任意一点，u u v 1 +=∴ ① 设P 关于A （2，1）对称的点为?? ?-=-=????=+=+∴y v x u y v x u y x Q 2424),,( 代入①得4 1 24142-+ -=?-+ -=-x x y x x y ));,4()4,((4 1 2)(+∞?-∞∈-+ -=∴x x x x g （2）联立,094)6(4122 =+++-??????-+-==b x b x x x y b y 004)94(4)6(22=?=-=+?-+=?∴b b b b b 或,4=b （1）当0=b 时得交点（3，0）； （2）当4=b 时得交点（5，4）. 9．设定义在),0(+∞上的函数)(x f 满足下面三个条件： ①对于任意正实数a 、b ，都有()()()1f a b f a f b ?=+-； ②(2)0f =； ③当1>x 时，总有()1f x <. （1）求)2 1 ()1(f f 及的值； （2）求证：),0()(+∞在x f 上是减函数. 解（1）取a=b=1，则(1)2(1) 1.(1)1f f f =-=故 又11(1)(2)(2)()12 2 f f f f =?=+-. 且(2)0f =. 得：1()(1)(2)11122 f f f =-+=+= （2）设,021x x <<则：222111111 ()()()()[()()1]x x f x f x f x f x f f x x x -=?-=+-1()f x - 2 1 ( )1x f x =- 依1,01221>< 再依据当1>x 时，总有()1f x <成立，可得2 1 ( )1x f x < 即0)()(12<-x f x f 成立，故),0()(+∞在x f 上是减函数。 10． 已知函数)(x f 是定义在[]2,2-上的奇函数，当)0,2[-∈x 时，3 2 1)(x tx x f -=（t 为常数）。 （1）求函数)(x f 的解析式； （2）当]6,2[∈t 时，求)(x f 在[]0,2-上的最小值，及取得最小值时的x ，并猜想) (x f 在[]2,0上的单调递增区间（不必证明）； （3）当9≥t 时，证明：函数)(x f y =的图象上至少有一个点落在直线14=y 上。 解：（1）(]2,0∈x 时，[)0,2-∈-x ， 则 332 1 )(21)()(x tx x x t x f +-=-- -=-， ∵函数)(x f 是定义在[]2,2-上的奇函数，即()()x f x f -=-，∴()3 2 1x tx x f +-=-，即 321)(x tx x f -=，又可知 ()00=f ，∴函数)(x f 的解析式为 32 1 )(x tx x f -= ， []2,2-∈x ； （2）()??? ??- =221x t x x f ，∵]6,2[∈t ，[]0,2-∈x ，∴02 1 2≥-x t ， ∵ ()[] 27832121213 3 222 2222 t x t x t x x t x x f =????? ? ??-+-+≤??? ??-=，∴2221x t x -=， 即 36,322 t x t x - == [])0,236(-∈-t 时，t t f 9 62min -= 。 猜想)(x f 在[]2,0上的单调递增区间为?? ? ???36, 0t 。 （3）9≥t 时，任取2221≤<≤-x x ，∵ ()()()() 0212221212121 ? ???++--=-x x x x t x x x f x f ， ∴()x f 在[]2,2-上单调递增，即()()()[]2,2f f x f -∈，即()[]42,24--∈t t x f ，9≥t ，∴1442,1424≥--≤-t t ， ∴[]42,2414--∈t t ，∴当9≥t 时，函数)(x f y =的图象上至少有一个点落在直线 14=y 上。 12、设()()1,011 ≠>-+=a a a a x f x x 。 （1）求()x f 的反函数()x f 1 -： （2）讨论()x f 1 -在()∞+.1上的单调性，并加以证明： （3）令()x x g a log 1+=，当[]()()n m n m <+∞?,1,时， ()x f 1 -在[]n m ,上的值域是 ()()[]m g n g ,，求a 的取值范围。 解：（1）()()111 1 log 1 -<>+-=-x x x x x f a 或 （2）设211x x <<，∵()()() 0112111121212211 <++-=+--+-x x x x x x x x ∴10< x f x f -->，∴()x f 1-在()∞+.1上是减函数：1>a 时，()()2111x f x f --<，∴()x f 1-在()∞+.1上是增函数。 （3）当10< -在()∞+.1上是减函数， ∴()()()()?? ???==--n g n f m g m f 11，由x x x a a log 111log +=+-得ax x x =+-11，即()0112=+-+x a ax ， 可知方程的两个根均大于1，即()??????? >->>?121010a a f 2230-<a 时，∵()x f 1 -在 ()∞+.1上是增函数，∴()()()()?????==--m g n f n g m f 11? ? ?+=-+=-?am amn n an amn m 111-=?a （舍去）。 综上，得 2230-< 13．集合A 是由具备下列性质的函数)(x f 组成的： (1) 函数)(x f 的定义域是[0,)+∞； (2) 函数)(x f 的值域是[2,4)-； (3) 函数)(x f 在[0,)+∞上是增函数．试分别探究下列两小题： （Ⅰ）判断函数1()2(0)f x x =≥，及21 ()46()(0)2 x f x x =-?≥是否属于集合A ？并简要说明理由． （Ⅱ）对于（I ）中你认为属于集合A 的函数)(x f ，不等式)1(2)2()(+<++x f x f x f ， 是否对于任意的0≥x 总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论． 解：（1）函数2)(1-= x x f 不属于集合 A. 因为1()f x 的值域是[2,)-+∞,所以函数 2)(1-=x x f 不属于集合A.(或1490,(49)54x f =>=>Q 当时，不满足条件.) x x f )2 1 (64)(2?-=(0)x ≥在集合A 中, 因为: ① 函数2()f x 的定义域是[0,)+∞；② 函数2()f x 的值域是[2,4)-；③ 函数2()f x 在[0,)+∞上是增函数． （2）0)4 1 ()21(6)1(2)2()(<-?=+-++x x f x f x f ， )1(2)2()(+<++∴x f x f x f 不等式对于任意的0≥x 总成立 14、设函数f(x)=ax 2 +bx+1（a,b 为实数）,F(x)=?? ?<->) 0()() 0()(x x f x x f （1）若f(-1)=0且对任意实数x 均有f(x)0≥成立，求F(x)表达式。 （2）在（1）的条件下,当x []2,2-∈时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求实数k 的取值范围。 （3）（理）设m>0,n<0且m+n>0,a>0且f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)>0。 解：（1）Θf(-1)=0 ∴1+=a b 由f(x)≥0恒成立 知△=b 2-4a=(a+1)2-4a=(a-1)≤20 ∴a=1从而f(x)=x 2 +2x+1 ∴F(x)=???<+->+) 0() 1()0()1(2 x x x x ， （2）由（1）可知f(x)=x 2 +2x+1 ∴g(x)=f(x)-kx=x 2 +(2-k)x+1，由于g(x)在[]2,2-上是 单调函数,知-222-≤-k 或-22 2≥-k ，得k ≤-2或k ≥6 ， （3）Θf(x)是偶函数，∴f(x)=f(x)，而a>0∴)(x f 在[]+∞,0上为增函数 对于F(x)，当x>0时-x<0，F(-x)=-f(-x)=-f(x)=-F(x)，当x<0时-x>0，F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x)， ∴F(x)是奇函数且F(x)在[]∞+，0上为增函数， Θm>0,n<0，由m>-n>0知F(m)>F(-n)∴F(m)>-F(n) ∴F(m)+F(n)>0 。 15．函数f(x)= b ax x +(a ，b 是非零实常数)，满足f(2)=1，且方程f(x)=x 有且仅有一个解。 (1)求a 、b 的值； (2)是否存在实常数m ，使得对定义域中任意的x ，f(x)+f(m –x)=4恒成立？为什么？ (3)在直角坐标系中，求定点A(–3,1)到此函数图象上任意一点P 的距离|AP|的最小值。 解 (1)由f(2)=1得2a+b=2，又x=0一定是方程b ax x +=x 的解， 所以 b ax +1 =1无解或有解为0，若无解，则ax+b=1无解，得a=0，矛盾，若有解为0，则 b=1，所以a=21 。 (2)f(x)=2 2+x x ，设存在常数m ，使得对定义域中任意的x ，f(x)+f(m –x)=4恒成立， 取x=0，则f(0)+f(m –0)=4，即2 2+m m =4，m= –4(必要性)，又m= –4时， f(x)+f(–4–x)=2 4) 4(222+----+ +x x x x =……=4成立(充分性) ，所以存在常数m= –4，使得对定义域中任意的x ，f(x)+f(m –x)=4恒成立， (3)|AP|2=(x+3)2+(22+-x x )2 ，设x+2=t ，t ≠0， 则|AP|2=(t+1)2+(t t 4-)2=t 2+2t+2–t 8+216t =(t 2+216t )+2(t –t 4)+2=(t –t 4)2+2(t –t 4)+10=( t –t 4 +1)2+9 ， 所以当t – t 4 +1=0时即t=2171±-，也就是x=2175±-时，|AP| min = 3 。 16、已知函数x mx x x f -+-=11log 2)(2是奇函数。 （1）求m 的值； （2）请讨论它的单调性，并给予证明。 解（1）Θ)(x f 是奇函数，0)()(=+-∴x f x f ； 即0)11log 2()11log 2(22=-+-++--- x mx x x mx x ，解得：1=m ，其中1-=m （舍） ； 经验证当1=m 时，()())1,00,1(11log 2)(2 ?-∈-+-=x x x x x f 确是奇函数。 （2）先研究)(x f 在（0，1）内的单调性，任取x 1、x 2∈（0，1），且设x 1 ,0)112 (log )112(log ,022)],112(log )112([log )22( 11log 211log 2 )()(1 222211 222212 222112121>----->------+-=-++--+-= -x x x x x x x x x x x x x x x f x f 由 得)()(21x f x f ->0，即)(x f 在（0，1）内单调递减； 由于)(x f 是奇函数，其图象关于原点对称，所以函数)(x f 在（－1，0）内单调递减。 高中函数大题专练 １、已知关于x 的不等式2 (4)(4)0kx k x --->，其中k R ∈。 ⑴试求不等式的解集A ； ⑵对于不等式的解集A ，若满足A Z B =I （其中Z 为整数集）。试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合 B ；若不能，请说明理由。 ２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。 ① 对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥； ② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。 已知函数2 ()g x x =与()21x h x a =?-是定义在[0,1]上的函数。 （1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由； （2）若函数()h x 是G 函数，求实数a 的值； （3）在（2）的条件下，讨论方程(21)()x g h x m -+=()m R ∈解的个数情况。 3.已知函数| |212)(x x x f - =. （1）若2)(=x f ，求x 的值； （2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[2,3]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 4.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时，11,()0,f x x ?-? =??? 0;0.x x >= （1）求)(x f 在(,0)-∞上的解析式. （2）请你作出函数)(x f 的大致图像. （3）当0a b <<时，若()()f a f b =，求ab 的取值范围. （4）若关于x 的方程0)()(2 =++c x bf x f 有7个不同实数解，求,b c 满足的条件. 5．已知函数()(0)|| b f x a x x =- ≠。 （1）若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数，求实数b 的取值范围； （2）当2b =时，若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <，使[,]x m n ∈时，函数()g x 的值域也是 [,]m n ，则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。若函数()f x 是某区间上的闭函数，试探 求,a b 应满足的条件。 专题03 函数与导数大题部分 【训练目标】 1、 理解函数的概念，会求函数的定义域，值域和解析式，特别是定义域的求法； 2、 掌握函数单调性，奇偶性，周期性的判断方法及相互之间的关系，会解决它们之间的综合问题； 3、 掌握指数和对数的运算性质，对数的换底公式； 4、 掌握指数函数和对数函数的图像与性质； 5、 掌握函数的零点存在定理，函数与方程的关系； 6、 熟练数形结合的数学思想在解决函数问题的运用； 7、 熟练掌握导数的计算，导数的几何意义求切线问题； 8、 理解并掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数分析函数的单调性，会根据单调性确定参数的取 值范围； 9、 会利用导数求函数的极值和最值，掌握构造函数的方法解决问题。 【温馨小提示】 本章内容既是高考的重点，又是难点，再备考过程中应该大量解出各种题型，总结其解题方法，积累一些常用的小结论，会给解题带来极大的方便。 【名校试题荟萃】 1、（2019届新余四中、上高二中高三第一次联考）已知函数 .,R n m ∈ （1）若函数()x f 在()()2,2f 处的切线与直线0=-y x 平行，求实数n 的值； （2）试讨论函数()x f 在区间[)+∞,1上最大值； （3）若1=n 时，函数()x f 恰有两个零点，求证：221>+x x 【答案】（1）6n =（2）1ln m n --（3）见解析 【解析】（1）由， ，由于函数()f x 在(2,(2))f 处的切线与直线0x y -=平行， 故 2 14 n -=，解得6n =。 （2） ，由()0f x '<时，x n >；()0f x '>时，x n <，所以 ①当1n ≤时，()f x 在[)1,+∞上单调递减，故()f x 在[)1,+∞上的最大值为 ； 函数与导数大题训练 1已知函数.2 3)32ln()(2x x x f -+= （I ）求f (x )在[0，1]上的极值； （II ）若对任意0]3)(ln[|ln |],3 1,61[>+'+-∈x x f x a x 不等式成立，求实数a 的 取值范围； （III ）若关于x 的方程b x x f +-=2)(在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b 的 取值范围. 2. 设.2)(ln )()(2)(--==-- =e p qe e g x x f x f x q px x g ，且，其中（e 为自然对数的底数） （Ⅰ）求p 与q 的关系； （Ⅱ）若)(x g 在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围； （Ⅲ）证明：①)1(,1)(->-≤x x x f ②).2,()1(412ln 33ln 22ln 2222≥∈+--<+++n N n n n n n n Λ 3．设函数a x x a x f +++-=1)(2，]1,0(∈x ，+ ∈R a ． （1）若)(x f 在]1,0(上是增函数，求a 的取值范围； （2）求)(x f 在]1,0(上的最大值． 答案 1解：（I ）2 3)13)(1(33323)(+-+-=-+= 'x x x x x x f ， 令13 10)(-==='x x x f 或得（舍去） )(,0)(,3 10x f x f x >'<≤∴时当单调递增； 当)(,0)(,13 1x f x f x <'≤<时单调递减. ……………………………………3分 ]1,0[)(613ln )31(在为函数x f f -=∴上的极大值 ……………………………4分 （II ）由0]3)(ln[|ln |>+'+-x x f x a 得 x x a x x a 323ln ln 323ln ln ++<+->或， …………① ……………………5分 设3 32ln 323ln ln )(2 x x x x x h +=+-=， x x x x x g 323ln 323ln ln )(+=++=， 依题意知]31,61[)()(∈<>x x g a x h a 在或上恒成立， 0)32(2) 32(33)32(3332)(2>+=+?-+?+='x x x x x x x x g Θ， 03262)62(31323)(22>++=+?+= 'x x x x x x x h ，………………………………6分 ]3 1,61[)()(都在与x h x g ∴上单增，要使不等式①成立， 当且仅当.5 1ln 31ln ),61()31(<><>a a g a h a 或即或 ………………………8分 （III ）由.0223)32ln(2)(2=-+-+?+-=b x x x b x x f 令x x x x x b x x x x 329723323)(,223)32ln()(2 2+-=+-+='-+-+=??则， 当]3 7,0[)(,0)(,]37,0[在于是时x x x ??>'∈上递增； （1）下列函数，① 1)2(=+y x ②. 11+= x y ③21x y = ④.x y 21 -=⑤2x y =-⑥13y x = ；其中 是y 关于x 的反比例函数的有：_________________。 （2）函数2 2 )2(--=a x a y 是反比例函数，则a 的值是（ ） A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．2或－2 （3）如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数 （4）如果y 是m 的正比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） （5）如果y 是m 的正比例函数，m 是x 的正比例函数，那么y 是x 的（ ） （6）反比例函数(0k y k x = ≠） 的图象经过（—2，5）和（2， n ）， 求（1）n 的值；（2）判断点B （24，2-）是否在这个函数图象上，并说明理由 （7）已知函数12y y y =-，其中1y 与x 成正比例, 2y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝1；x ＝3时，y ＝5．求：（1）求y 关于x 的函数解析式； （2）当x ＝2时，y 的值． （8）若反比例函数 2 2 )12(--=m x m y 的图象在第二、四象限，则m 的值是（ ） A 、 －1或1; B 、小于 1 2 的任意实数; C 、－1; Ｄ、不能确定 （9）已知0k >，函数y kx k =+和函数k y x =在同一坐标系内的图象大致是（ ） （10）正比例函数2x y = 和反比例函数2 y x =的图象有 个交点． （11）正比例函数5y x =-的图象与反比例函数(0)k y k x =≠的图象相交于点A （1，a ）， 则a ＝ ． （12）下列函数中，当0x <时，y 随x 的增大而增大的是（ ） A ．34y x =-+ B ．123y x =-- C ．4y x =- D ．12y x =． （13）老师给出一个函数,甲、乙、丙三位同学分别指出了这个函数的一个性质: 甲:函数的图象经过第二象限; 乙:函数的图象经过第四象限; 丙:在每个象限内,y 随x 的增大而增大 请你根据他们的叙述构造满足上述性质的一个函数: . x y O x y O x y O x y O A B C D ABC 的面积是30，内角A, B, C所对边长分别为 12 a, b, c ，cos A。 uuur uuur 13 ( Ⅰ ) 求ABgAC； ( Ⅱ ) 若c b 1，求 a 的值。 设函数 f x sin x cosx x 1 , 0 x 2，求函数 f x 的单调区间与极值。 已知函数 f ( x) 2cos 2x sin 2 x （Ⅰ）求 f () 的值； 3 （Ⅱ）求 f ( x) 的最大值和最小值 设函数 f x3sin x，＞0 ， x,，且以为最小正周期． 62 （ 1）求f0；（2）求f x 的解析式；（3）已知f 129 ，求 sin的值． 45 已知函数 f ( x) sin 2x2sin 2 x （ I ）求函数 f (x) 的最小正周期。 (II)求函数 f ( x) 的最大值及 f (x) 取最大值时x 的集合。 在 VABC 中， a、b、c 分别为内角A、B、C 的对边，且 2a sin A (2b c)sin B (2c b)sin C （Ⅰ）求 A 的大小； （Ⅱ）若 sin B sin C 1，是判断 VABC 的形状。 (17)（本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x) sin(x)cos x cos2x （0）的最小正周期为，（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）将函数 y f ( x) 的图像上各点的横坐标缩短到原来的1 ，纵坐标不变，得到2 函数 y g ( x) 的图像，求函数y g( x) 在区间 0, 16 上的最小值 . 在 ABC中，AC cos B 。AB cosC （Ⅰ）证明 B=C： （Ⅱ）若 cosA =-1 ，求 sin 4B的值。 33 53 VABC 中， D 为边 BC 上的一点， BD 33 ， sin B，cos ADC，求AD。 135 设△ ABC的内角 A、 B、 C 的对边长分别为a、 b、 c，且3b23c23a2 4 2bc . 高三函数综合题 1.已知函数f（x）=2x+2-x a（常数a∈R）． （1）若a=-1，且f（x）=4，求x的值； （2）若a≤4，求证函数f（x）在[1，+∞）上是增函数； （3）若存在x∈[0，1]，使得f（2x）＞[f（x）]2成立，求实数a的取值范围． 2.已知函数f（x）=x2+（x-1）|x-a|． （1）若a=-1，解方程f（x）=1； （2）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围； （3）若a＜1且不等式f（x）≥2x-3对一切实数x∈R恒成立，求a的取值范围． 3.已知函数f（x）=x|x-a|+2x-3． （1）当a=4，2≤x≤5，求函数f（x）的最大值与最小值； （2）若x≥a，试求f（x）+3＞0的解集； （3）当x∈[1，2]时，f（x）≤2x-2恒成立，求实数a的取值范围． 4.已知函数f（x）=x2-1，g（x）=a|x-1|． （1）若函数h（x）=|f（x）|-g（x）只有一个零点，求实数a的取值范围； （2）当a≥-3时，求函数h（x）=|f（x）|+g（x）在区间[-2，2]上的最大值． 答案详解 1.已知函数f （x ）=2x +2-x a （常数a ∈R ）． （1）若a=-1，且f （x ）=4，求x 的值； （2）若a≤4，求证函数f （x ）在[1，+∞）上是增函数； （3）若存在x ∈[0，1]，使得f （2x ）＞[f （x ）]2 成立，求实数a 的取值范围． 解：（1）由a=-1，f （x ）=4，可得2x -2-x =4，设2x =t ， 则有t-t -1 =4，即t 2 -4t-1=0，解得t=2±5，当t=2+5时，有2x =2+5，可得x=log 2(2+5)． 当t=2-5时，有2x =2-5，此方程无解．故所求x 的值为log 2(2+5)． （2）设x 1，x 2∈[1，+∞），且x 1＞x 2， 则f(x 1)-f(x 2)=(2x 1+2 -x 1 a)-(2x 2+2 -x 2 a)=(2x 1-2x 2)+ 2 11 2 2 2 2 x x x x +-a= 2 12 1 2 2 2 x x x x +-(2 x 1+x 2 -a) 由x 1＞x 2，可得2x 1＞2x 2，即2x 1-2x 2＞0，由x 1，x 2∈[1，+∞），x 1＞x 2，得x 1+x 2＞2，故2x 1+x 2＞4＞0， 又a≤4，故2x 1+x 2＞a ，即2x 1+x 2-a ＞0，所以f （x 1）-f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2）， 故函数f （x ）在[1，+∞）上是增函数． （3）因为函数f （x ）=2x +2-x a ，存在x ∈[0，1]， f （2x ）＞[f （x ）]2?22x +2-2x a ＞22x +2a+2-2x a 2?2-2x （a 2 -a ）+2a ＜0 设t=2-2x ，由x ∈[0，1]，可得t ∈[ 4 1，1]，由存在x ∈[0，1]使得f （2x ）＞[f （x ）]2 ， 可得存在t ∈[ 4 1，1]，使得（a 2-a ）t+2a ＜0，令g （t ）=（a 2 -a ）t+2a ＜0， 故有g( 41)=4 1(a 2-a)+2a ＜0或g （1）=（a 2 -a ）+2a ＜0， 可得-7＜a ＜0．即所求a 的取值范围是（-7，0）． 2.已知函数f （x ）=x 2 +（x-1）|x-a|． （1）若a=-1，解方程f （x ）=1； （2）若函数f （x ）在R 上单调递增，求实数a 的取值范围； （3）若a ＜1且不等式f （x ）≥2x -3对一切实数x ∈R 恒成立，求a 的取值范围． 解析：（1）当a=-1时，f （x ）=x 2 +（x-1）|x+1|，故有，f(x)= ???-<-≥-11 1 122x x x ， 当x≥-1时，由f （x ）=1，有2x 2 -1=1，解得x=1，或x=-1． 当x ＜-1时，f （x ）=1恒成立， ∴方程的解集为{x|x≤-1或x=1}． （2）f(x)= ? ??<-+≥++-a x a x a a x a x a x )1()1(22 高中数学《函数》测试题 一、选择题(共50分)： 1．已知函数y f x =+()1的图象过点（3，2），则函数f x ()的图象关于x 轴的对称图形一定过点 A. （2，-2） B. （2，2） C. （-4，2） D. （4，-2） 2．如果奇函数()f x 在区间[](),0a b b a >>上是增函数，且最小值为m ，那么()f x 在区间[],b a --上是 A.增函数且最小值为m B.增函数且最大值为m - C.减函数且最小值为m D.减函数且最大值为m - 3. 与函数() lg 210.1 x y -=的图象相同的函数解析式是 A ．121()2y x x =-> B ．1 21 y x = - } C ．11()212y x x = >- D ．1 21 y x = - 4．对一切实数x ，不等式1||2++x a x ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．-∞(，－2］ B ．［－2，2］ C ．［－2，)+∞ D ．［0，)+∞ 5．已知函数)12(+=x f y 是定义在R 上的奇函数，函数)(x g y =的图象与函数)(x f y =的图象关于直线x y =对称，则)()(x g x g -+的值为 A ．2 B ．0 C ．1 D ．不能确定 6．把函数)(x f y =的图像沿x 轴向右平移2个单位，所得的图像为C ,C 关于x 轴对称的图像为x y 2=的 图像，则)(x f y =的函数表达式为 A. 2 2 +=x y B. 2 2 +-=x y C. 2 2 --=x y D. )2(log 2+-=x y 7. 当01a b <<<时，下列不等式中正确的是 A.b b a a )1()1(1 ->- B.(1)(1) a b a b +>+ 】 C.2 )1()1(b b a a ->- D.(1)(1)a b a b ->- 8．当[]2,0∈x 时，函数3)1(4)(2 --+=x a ax x f 在2=x 时取得最大值，则a 的取值范围是 A.1[,)2-+∞ B. [)+∞,0 C. [)+∞,1 D.2 [,)3 +∞ 9．已知(31)4,1()log , 1a a x a x f x x x -+?是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 A.(0,1) B.1(0,)3 C.1[,1)7 D.11 [,)73 10．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度，即可用来洗浴。洗浴时，已知每分钟放水 34升，在放水的同时按4升/分钟的匀加速度自动注水。当水箱内的水量达到最小值时，放水程序自动停止，现假定每人洗浴用水量为65升，则该热水器一次至多可供 A ．3人洗浴 B ．4人洗浴 C ．5人洗浴 D ．6人洗浴 二、填空题(共25分) 11．已知偶函数()f x 在[]0,2内单调递减，若()()0.511,(log ),lg 0.54 a f b f c f =-==，则,,a b c 之间的大小关系为 。 12. 函数log a y x =在[2,)+∞上恒有1y >，则a 的取值范围是 。 【 三角函数大题综合训练 1.已知函数 ()2sin()cos f x x x π=-.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ?? -???? 上的最大值和最小值. 2.设函数f (x )=cos(2x + 3 π)+sin 2 x .（1）求函数f(x)的最大值和最小正周期.（2）设A ,B ,C 为?ABC 的三个内角，若cos B =31， 1 ()24 c f =-，且C 为锐角，求sin A . 3.已知函数2()sin cos cos 2.222 x x x f x =+- （Ⅰ）将函数()f x 化简成sin()(0,0,[0,2))A x B A ω?ω?π++>>∈的形式， 并指出()f x 的周期； （Ⅱ）求函数17()[,]12 f x π π在上的最大值和最小值 4.已知函数 ()2sin cos 442x x x f x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；（Ⅱ）令π()3g x f x ? ?=+ ?? ?，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由． 5.已知函数()cos(2)2sin()sin()3 4 4 f x x x x πππ=-+-+（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程（Ⅱ）求函数()f x 在 区间[,]122 ππ-上的值域 6.设2()6cos 2f x x x =-．（Ⅰ）求()f x 的最大值及最小正周期；Ⅱ）若锐角α 满足 ()3f α=-4 tan 5 α的值． 7.已知0α βπ<<4，为()cos 2f x x π? ?=+ ?8??的最小正周期，1tan 14αβ????=+- ? ????? ，， a (cos 2)α=， b ，且m =·a b ．求22cos sin 2() cos sin ααβαα ++-的值． 8.设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2()π2－x 满足f ()－π3＝f (0)．求函数f (x )在[] π4，11π 24上的最大值和最小值． 高考函数大题训练 一．解答题（共13小题） 1．已知函数f（x）=． （1）求曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线程； （2）证明：当a≥1时，f（x）+e≥0． 2．设函数f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]e x． （Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a； （Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极小值，求a的取值围． 3．已知函数． （1）当a≤0时，试求f（x）的单调区间； （2）若f（x）在（0，1）有极值，试求a的取值围． 4．已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x（a∈R），直线l：是曲线y=f（x）的一条切线． （1）求a的值； （2）设函数g（x）=xe x﹣2x﹣f（x﹣a）﹣a+2，证明：函数g（x）无零点．5．已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx（a∈R）． （1）讨论函数f（x）的定义域的极值点的个数； （2）若函数f（x）在x=1处取得极值，?x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，数b的最大值． 6．已知函数，a∈R． （1）试讨论函数f（x）极值点个数； （2）当﹣2＜a＜ln2﹣2时，函数f（x）在[1，+∞）上最小值记为g（a），求g （a）的取值围． 7．已知函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=x2﹣（2a+1）x+（a+1）lnx． （1）当a=1时，求函数f（x）的极大值； （2）当a≥1时，求证：程f（x）=g（x）有唯一实根． 8．已知函数f（x）=klnx﹣1+，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y 轴垂直． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）若f（x）＞ax 对0＜x＜1恒成立，数a的取值围． 9．函数f（x）=ax2﹣（1+a）x+lnx（a≥0）． （Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性； （Ⅱ）当a=0时，程f（x）=mx在区间[1，e2]有唯一实数解，数m的取值围．10．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（a∈R）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当x＞0时，f（x）≥x2恒成立，数a的取值围． 11．已知函数f（x）=2lnx﹣ax2（a∈R）． （1）当a=1时，求函数f（x）的极值； （2）若函数f（x）的图象始终在函数g（x）=2x3图象的下，数a的取值围．12．已知函数f（x）=﹣ax+（a﹣1）lnx，其中a＞2． （Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性； （Ⅱ）若对于任意的x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，恒有，求a的取值围．13．已知函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）． 高一数学第一学期函数压轴（大题）练习（含答案） 1．（本小题满分12分）已知x 满足不等式21 12 2 2(log )7log 30x x ++≤， 求2 2()log log 42 x x f x =?的最大值与最小值及相应x 值． 2.（14分）已知定义域为R 的函数2()1 2x x a f x -+= +是奇函数 （1）求a 值； （2）判断并证明该函数在定义域R 上的单调性； （3）若对任意的t R ∈，不等式22 (2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围； 3. （本小题满分10分） 已知定义在区间(1,1)-上的函数2()1ax b f x x += +为奇函数,且12 ()25 f =. (1) 求实数a ,b 的值； (2) 用定义证明:函数()f x 在区间(1,1)-上是增函数； (3) 解关于t 的不等式(1)()0f t f t -+<. 4. (14分)定义在R +上的函数f(x)对任意实数a,b +∈R ,均有f(ab)=f(a)+f(b)成立，且当x>1时,f(x)<0， (1)求f(1) (2)求证：f(x)为减函数。 (3)当f(4)= -2时，解不等式 1)5()3(-≥+-f x f 5.（本小题满分12分）已知定义在[1，4]上的函数f(x)＝x 2 -2bx+4 b (b ≥1)， (I)求f(x)的最小值g(b)； (II)求g(b)的最大值M 。 6. （12分）设函数()log (3)(0,1)a f x x a a a =->≠且，当点(,)P x y 是函数()y f x =图象上的点时，点(2,)Q x a y --是函数()y g x =图象上的点. （1）写出函数()y g x =的解析式； （2）若当[2,3]x a a ∈++时，恒有|()()|1f x g x -…，试确定a 的取值范围； （3）把()y g x =的图象向左平移a 个单位得到()y h x =的图象，函数1() 22()()()2h x h x h x F x a a a ---=-+， （0,1a a >≠且）在1[,4]4的最大值为54 ，求a 的值. 7. （12分）设函数124()lg ()3 x x a f x a R ++=∈. （1）当2a =-时，求()f x 的定义域； （2）如果(,1)x ∈-∞-时，()f x 有意义，试确定a 的取值范围； （3）如果01a <<，求证：当0x ≠时，有2()(2)f x f x <. y x O C B A 中考数学专题训练 函数综合题专题 1．如图，一次函数b kx y +=与反比例函数 x y 4 = 的图像交于A 、B 两点，其中点A 的横坐标为1， 又一次函数b kx y +=的图像与x 轴交于点()0,3-C . （1）求一次函数的解析式； （2）求点B 的坐标. 2．已知一次函数y=（1-2x ）m+x+3图像不经过第四象限，且函数值y 随自变量x 的减小而减小。 （1）求m 的取值范围； （2）又如果该一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积是4.5 ，求这个一次函数的解析式。 3. 如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，已知点A 的坐标为（2，2），点B 、C 在x 轴上，BC =8，AB=AC ，直线AC 与y 轴相交于点D ． （1）求点C 、D 的坐标； （2）求图象经过B 、D 、A 三点的二次函数解析式及它的顶点坐标． 4．如图四，已知二次函数 2 23y ax ax =-+的图像与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，其顶点为D ，直线DC 的函数关系式为y kx b =+，又tan 1OBC ∠=． （1）求二次函数的解析式和直线DC 的函数关系式； （2）求ABC △的面积． 图2 O y x 1 2 -1 1 -1 2 y x D C A O B （ 图四） y O B C D x A 5．已知在直角坐标系中，点A 的坐标是（-3，1），将线段OA 绕着点O 顺时针旋转90° 得到OB . (1)求点B 的坐标； (2)求过A 、B 、O 三点的抛物线的解析式； (3)设点B 关于抛物线的对称轴 的对称点为C ，求△ABC 的面积。 6．如图，双曲线 x y 5 = 在第一象限的一支上有一点C （1，5），过点C 的直线)0(>+-=k b kx y 与x 轴交于点A （a ，0）、与y 轴交于点B . (1)求点A 的横坐标a 与k 之间的函数关系式； (2)当该直线与双曲线在第一象限的另一交点D 的横坐标是9时，求△COD 的面积. 7．在直角坐标系中，把点A （－1，a ）（a 为常数）向右平移4个单位得到点A '，经过点A 、A '的抛 物线2 y ax bx c =++与y 轴的交点的纵坐标为2． （1）求这条抛物线的解析式； （2）设该抛物线的顶点为点P ，点B 的坐标 为)1m ，（，且3 数大题综合 1. (2016?白山一模)在厶ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,已知购鱼=口日施) c cosC (1)求角C的大小， (2)若c=2,求使△ ABC0积最大时a, b的值. 2. (2016?广州模拟)在厶ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c,已知 2 3cosBcosC+2=3si nBsi nC+2cos A. (I )求角A的大小； “)若厶ABC的面积S=5 ；, b=5,求sinBsinC 的值. 3. ( 2016?成都模拟)已知函数 f (x)』cos2x - 'sinxcosx sin 2x. |4 2 4 (I)求函数f (x)取得最大值时x的集合； (U)设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB』,f (C)二-一，求sinA的值. 5 4 4. (2016?台州模拟)已知a, b, c分别是△ ABC的三个内角A, B, C所对的边，且c2=a2+b2 -ab. (1)求角C的值； (2)若b=2,^ABC的面积 _ ■，求a的值. 5. (2016?惠州模拟)如图所示，在四边形ABCD中, Z CD=3 COSB￡. 3 (1)求厶ACM面积； (U)若BC=2二求AB的长. 6. (2015?山东)△ ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,已知cosB= ；, sin (A+B 3 =?.", ac=2它!，求sinA 和c 的值. 7. (2015?新课标I)已知a, b, c 分别是△ ABC内角A, B, C的对边，sin 2B=2sinAsinC . (I) 若a=b,求cosB； (U)设B=90°，且a< :,求厶ABC的面积. 8. (2015?湖南)设厶ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, a=btanA. (I) 证明：si nB二cosA ； (U)若si nC - si nAcosB二上，且B 为钝角，求A, B, C. 4 10. (2015?湖南)设厶ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c, a=btanA,且B为钝角. (I)证明：B- A=—； (U)求sinA+sinC的取值范围. 11. (2015?四川)已知A、B、CABC的内角，tanA , tanB 是关于方程x2+J；px-p+仁0 (p€ R)两个实根. (I)求C的大小 (U)若AB=3 AC=i求p 的值. 高中数学函数练习题 1、下列函数中，值域是（0，+∞）的函数是 A ．1 51+= -x y B ．x y 2 1-= C ．1)21(-=x y D ．x y -=1)31( 2、已知3 2 ()26f x x x a =-+（a 是常数），在[]2,2-上有最大值3，那么在[]2,2-上的最小值是 A ．5- B ．11- C.29- D ．37- 3、已知函数322 +-=x x y 在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是 A 、[ 1，+∞） B 、[0，2] C 、（-∞，2] D 、[1，2] 4、若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a= A. 42 B. 22 C. 41 D. 21 5、函数()log (1)[0,1]x a f x a x =++在上的最大值与最小值之和为a,则a 的值为 （A ）41 （B ）2 1 （C ）2 （D ）4 6、若12 2=+y x ，则12--x y 的最小值是__________4 3y x +的最大值是______________ 7、已知函数)12lg(2 ++=x ax y 的值域为R ，则实数a 的取值范围是_____________ 8、定义在R 上的函数()f x 满足()()()2(,),(1)2f x y f x f y xy x y R f +=++∈=，则 (0)f = ，(2)f -= 。 9、若21 1(1)3x f x -??+= ? ?? ，则()f x = ，函数()f x 的值域为 。 10、对任意的x,y 有()()2()()f x y f x y f x f y ++-=?，且(0)0f >，则(0)f = ， (1)(1)f f --= 。 11、函数2 1 ()()f x x x -=+的值域为 。 12、二次函数(]247,0,3y x x x =-+-∈的值域为 。 13、已知函数1)6g x =+，则()g x 的最小值是 。 14、函数y =的值域是 。 15、函数2y x =+的值域是 。 16、求下列函数的值域 函数与导数 大题专练 1．已知函数f (x )＝2x 2－ax ＋1＋ln x (a ∈R )． (1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若a ＝5，求f (x )的单调区间； (3)若30，所以f (x )在??? ?0，14和(1，＋∞)上单调递增． 当x ∈????14，1时，f ′(x )<0，所以f (x )在??? ?14，1上单调递减． (3)由f (x )＝2x 2－ax ＋1＋ln x 得f ′(x )＝1x ＋4x －a ＝4x 2－ax ＋1x . 设h (x )＝4x 2－ax ＋1，Δ＝a 2－16， 当30， 所以f (x )在x ∈[1，e]上有唯一零点． 2．设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x . (1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ； (2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围． 解析：(1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ， 所以f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x . 所以f ′(1)＝(1－a )e. 由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0. 所以a 的值为1. (2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x . 若a >12，则当x ∈??? ?1a ，2时，f ′(x )<0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝2处取得极小值． 若a ≤12，则当x ∈(0,2)时，x －2<0，ax －1≤12 x －1<0， 所以f ′(x )>0. 所以2不是f (x )的极小值点． 综上可知，a 的取值范围是??? ?12，＋∞. 3．已知函数f (x )＝eln x －ax (a ∈R )． 单项选择 题号：2914 函数定义时的参数为形参,调用函数时所用的参数为实参,则下列描述正确的是() A、实参与形参是双向传递 BA形参和实参可以同名 C、实参类型一定要在调用时指定 D、形参可以是表达式 答案： B 题号：4060 以下程序的输岀结果是main () {int k=4, m=l, P; p=fun C (k, m); Printf (zz%d, 〃, P); p=fun C (k, m); Printf("%d?rΓ, P); } fun c(int a, int b) {static int m, i=2; i+=m+l; m=i+a+b; return(m); A、& 20 B、& 16 C、& 17 D、& 8 答案： 题号：2491 请阅读以下程序： #incIUde〈stdio. h> #incIUde〈string, h> VOid fun(int b[]) { StatiC int i=0; do { b[i]+=b[i+l]; }wh订e(++i<2):} main () { int k, a[5] = {l, 3, 5, 4, 9}: fun (a); for (k=0: k<5: k++) Printf (zz%d zz, a[k]) :} 上面程序的输岀是()? A、48579 B、48549 C、48999 D、13579 答案： B 题号：2643 有以下程序： #incIUde〈stdio. h> VOid fun(int a[], int n) {int i, t; for (i=0: i 函数综合练习题 一. 选择题： 二.填空题： 3、已知函数)(x f y =的图象关于直线1-=x 对称，且当0>x 时,1 )(x x f =则当 2- 三.简答题： 1、已知二次函数)(x f 满足564)12(2+-=+x x x f ，求)(x f 2．已知(21)y f x =-的定义域是（-2，0），求(21)y f x =+的定义域(-3 三角函数及数列大题训练 1.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式；令n n b na =，求数列的前n 项和n S 2.等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== (1)求数列{}n a 的通项公式.(2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++ 求数列1n b ??? ???的前项和. 3.已知,,a b c 分别为ABC ?三个内角,,A B C 的对边，cos sin 0a C C b c --= （1）求A （2）若2a =，ABC ?的面积为3；求,b c 。 4.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B . (1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值． 5.已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+. ⑴证明1{}2n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)证明：1231112n a a a ++<…+. 6.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos()cos 1A C B -+=，2a c =，求C 。 7.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c 。已知90,2A C a c b -=+=，求C 8.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB= 3 ，BC=1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90° (1)若PB=12 ，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA 9.在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边， 且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值. 10.已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8= -10 （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）求数列??????-12n n a 的前n 项和。 11. 在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c 。角A ，B ，C 成等差数列。 (Ⅰ)求cos B 的值；(Ⅱ)边a ，b ，c 成等比数列，求sin sin A C 的值。 12．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈π0,2 ?????? . (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值． 13．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c ，已知 ?=2，cosB=，b=3，求：（Ⅰ）a 和c 的值；（Ⅱ）cos （B ﹣C ）的值． A B C P(完整版)高一函数大题训练及答案
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