关系数据库规范化理论

关系数据库规范化理论

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第四章关系数据库规范化理论

一个关系数据库模式由一组关系模式组成,一个关系模式由一组属性名组成。关系数据库设计,就是如何把已给定的相互关联的一组属性名分组，并把每一组属性名组成关系的问题。然而，属性的分组不是唯一的,不同的分组对应着不同的数据库应用系统,它们的效率往往相差很远。

为了使数据库设计合理可靠,简单实用，长期以来，形成了关系数据库设计的理论——规范化理论。

4．１关系规范化的作用

规范化，就是用形式更为简洁,结构更加规范的关系模式取代原有关系模式的过程。

如果将两个或两个以上实体的数据存放在一个表里，就会出现下列三个问题:

?数据冗余度大

?插入异常

?删除异常

所谓数据冗余，就是相同数据在数据库中多次重复存放的现象。数据冗余不仅会浪费存储空间,而且可能造成数据的不一致性。

插入异常是指，当在不规范的数据表中插入数据时，由于实体完整性约束要求主码不能为空的限制，而使有用数据无法插入的情况。

删除异常是指,当不规范的数据表中某条需要删除的元组中包含有一部分有用数据时,就会出现删除困难。

（以P98工资表为例）

解决上述三个问题的方法,就是将不规范的关系分解成为多个关系,使得每个关系中只包含一个实体的数据。

(讲例子解）

当然,改进后的关系模式也存在另一问题,当查询职工工资时需要将两个关系连接后方能查询，而关系连接的代价也是很大的。

那么，什么样的关系需要分解?分解关系模式的理论依据又是什么？分解完后能否完全消除上述三个问题？回答这些问题需要理论指导。下面,将加以讨论:

4.2 函数依赖

4.２.1属性间关系

实体间的联系有两类：一类是实体与实体之间联系;另一类是实体内部各属性间的联系。数据库建模一章中讨论的是前一类，在这里我们将学习第二类。

和第一类一样,实体内部各属性间的联系也分为１:1、1:ｎ和m:n三类：

例：职工（职工号，姓名,身份证号码,职称,部门）

1、一对一关系（1：1）

设Ｘ、Y是关系R的两个属性（集）。如果对于X中的任一具体值，Ｙ中至多有一个值与之对应,反之,对于Ｙ中的任一具体值，X中也至多有一个值与之对应，则称Ｘ、Ｙ两属性

间是一对一关系。

如本例职工关系中职工号与身份证号码之间就是一对一关系。

２、一对多关系(１：n)

设X、Y是关系R的两个属性(集)。如果对于Ｘ中的任一具体值，Y中可以找到多个值与之对应，而对于Y中的任一具体值,Ｘ中至多只有一个值与之对应，则称属性X对Y是一对多关系。

如职工关系中职工号与职称之间就是一对多的关系。

３、多对多关系(m:n)

设X、Ｙ是关系Ｒ的两个属性(集）。如果对于X中的任一具体值，Y中有n个值与之对应，而对于Ｙ中的任一具体值，X中也有m个值与之对应，则称属性X对Ｙ是一对多（m:n)关系。

例如,职工关系中,职称与部门之间就是多对多的关系。

上述属性间的三种关系，实际上是属性值之间相互依赖与相互制约的反映，因而称之为属性间的数据依赖。

数据依赖共有三种：

?函数依赖（Fuｎctiｏｎａl Dependenｃy，FD)

?多值依赖（Mulｔivaｌuｅd Ｄeｐenｄeｎcｙ,MVD）

?连接依赖(Ｊoin Deｐendencｙ，JD）

其中最重要的是函数依赖和多值依赖。

4.2.2 函数依赖

函数依赖,是属性之间的一种联系。在关系R中，X、Y为Ｒ的两个属性或属性组，如果对于R的所有关系r 都存在:对于X的每一个具体值,Y都只有一个具体值与之对应,则称属

性Ｙ函数依赖于属性X。或者说,属性X函数决定属性Y,记作X→Y。其中X叫作决定因素,Y 叫作被决定因素。

上述定义,可简言之:如果属性X的值决定属性Y的值,那么属性Y函数依赖于属性X。换一种说法:如果知道X的值，就可以获得Ｙ的值，则可以说X决定Y。

若Y函数不依赖于X,记作:X→Y。

X Y

若X→Y,Y→X，记作：

前面学习的属性间的三种关系，并不是每种关系中都存在着函数依赖。

◆如果Ｘ、Y间是1：1关系,则存在函数依赖X←→Ｙ

◆如果Ｘ、Y间是1:ｎ关系,则存在函数依赖：X→Ｙ或Y→X(多方为决定因素）

◆如果X、Y间是m：n关系，则不存在函数依赖。

注意，属性间的函数依赖不是指R的某个或某些关系子集满足上述限定条件，而是指R 的一切关系子集都要满足定义中的限定。只要有一个具体的关系r（R的一个关系子集）不满足定义中的条件,就破坏了函数依赖,使函数依赖不成立。

这里的关系子集,指的是R的某一部分元组的集合，例如:地测学院的学生关系中只包含了地测学院学生的数据,所以它是长安大学学生关系的一个子集。

４.2.3码的定义

前面，我们对码进行了直观化的定义，下面用函数依赖的概念对码作出较为精确的形式化的定义：

设Ｋ是关系模式R（U,F)中的属性或属性组，K’是K的任一子集。若K→U,而不存在K＇→Ｕ,则Ｋ为R的候选码（Candｉdａte Key)

?若候选码多于一个,则选其中的一个为主码(ＰrimaｒｙKey)；

?包含在任一候选码中的属性,叫做主属性(PriｍarｙＡttrｉbute);

?不包含在任何码中的属性称为非主属性（Nonprｉme Attｒiｂute）或非码属性(Ｎo ｎｋey Atｔｒiｂｕtｅ)

?关系模式中，最简单的情况是单个属性是码，称为单码(Ｓingle Keｙ）；最极端的情况是整个属性组是码,称为全码（All－Keｙ）。

前面已多次遇到单码的情况,下面是一个全码的例子:

签约(演员名,制片公司，电影名）

外码:设有两个关系R和S，X是R的属性或属性组，并且X不是R的码,但X是S的码(或与S的码意义相同），则称X是R的外部码（Ｆoreiｇn Kｅy）,简称外码或外键。

如:职工（职工号,姓名,性别,职称,部门号）

部门（部门号，部门名,电话，负责人)

其中职工关系中的“部门号”就是职工关系的一个外码。

在此需要注意,在定义中说Ｘ不是R的码，并不是说Ｘ不是R的主属性，Ｘ不是码,但可以是码的组成属性,或者是任一候选码中的一个主属性。

如:学生(学生号，姓名,性别，年龄…）

课程（课程号,课程名,任课老师…）

选课（学生号,课程号，成绩）

在选课关系中，（学生号，课程号)是该关系的码,学生号、课程号又分别是组成主码的属性（但单独不是码),它们分别是学生关系和课程关系的主码，所以是选课关系的两个外码。

关系间的联系,可以通过同时存在于两个或多个关系中的主码和外码的取值来建立。如要查询某个职工所在部门的情况，只需查询部门表中的部门号与该职工部门号相同的记录即可。所以,主码和外码提供了一个表示关系间联系的途径。

4.2.4 函数依赖和码的唯一性

由上述码的形式化定义，我们可以说：码是由一个或多个属性组成的，可唯一标识元组

的最小属性组。

码在关系中总是唯一的,即一个码函数唯一地决定一行。如果码的值重复,则整个元组都会重复。否则，违反了实体完整性规则。而元组的重复则表示存在两个完全相同的实体，这显然是不可能的,所以码是不允许重复取值的。

所以，只有当某个属性或属性组能够函数决定关系中的每一个其它的属性，且该属性组的任何一个真子集都做不到这一点时，该属性或属性组才是该关系的码。

函数依赖是一个与数据有关的事物规则的概念。如果属性B 函数依赖于属性A,那么若知道了Ａ的值,则完全可以找到B 的值。这并非是可以由A 的值计算出B 的值，而是逻辑上只能存在一个B 的值。

4．３ 关系模式的规范化

一、非规范化的关系

当一个表中存在还可以再分的数据项时，这个表就是非规范化的表。非规范化表存在两种情况:

? 表中具有组合数据项(P102表６-４） ? 表中具有多值数据项(P10３表６－５) 例:

那么什么是规范化关系呢?

当一个关系中的所有分量都是不可再分的数据项时，该关系是规范化的。即当表中不存在组合数据项和多值数据项，只存在不可分的数据项时，这个表是规范化的。

二维表按其规范化程度从低到高可分为５级范式(No ｒm ａl For ｍ），分别称为1NF 、２NF 、3NF(BCNF)、４ＮＦ、５ＮF 。规范化程度较高者必是较低者的子集,即:

职工号

姓名

工资 基本工资

职务工资

工龄工资

职工号 姓名 职称 系名 系办地址 学历 毕业年份 001 张三 教授 计算机 1305

大学

研究生

1963 1982

1ＮＦ?2NF ?3NF ?ＢＣＮＦ?４NF ?5NF

二、第一范式（１N Ｆ)

定义1:如果关系模式R 中不包含多值属性,则Ｒ满足第一范式（Ｆｉｒｓt Normal For ｍ)，记作：

R ∈1NF

1NF 是对关系的最低要求,不满足1ＮF 的关系是非规范化的关系。

非规范化关系转化为规范化关系1N Ｆ方法很简单,只要上表分别从横向、纵向展开即可。如下表:

上表虽然符合１ＮF,但仍是有问题的关系，表中存在大量的数据冗余和潜在的数据更新

异常。原因是（职工号,学历)是右表的码,但姓名、职称、系名、系办地址却与学历无关，只与码的一部分有关。所以上表还需进一步地规范化。

三、第二范式（２NF ）

定义1:设X 、Y 是关系R 的两个不同的属性或属性组，且X → Ｙ。如果存在Ｘ的某一个真子集X’，使Ｘ’ → Y 成立,则称Y 部分函数依赖于X ,记作:Ｘ P → Y （P ａｒｔial ）。反之,则称Y 完全函数依赖于X ，记作：X F → Ｙ (Full ）

定义2:如果一个关系 R ∈1N Ｆ,且它的所有非主属性都完全函数依赖于R 的任一候选码,则Ｒ属于第二范式,记作：Ｒ∈2NF 。

说明：上述定义中所谓的候选码也包括主码，因为码首先应是候选码,才可以被指定为码。

例如关系模式：

职工(职工号，姓名,职称，项目号，项目名称，项目角色）中

（职工号，项目号）是该关系的码,而职工号→姓名、职工号→职称、项目号→项目名称…

所以(职工号，项目号)P → 职称、（职工号，项目号）P → 项目名称

故上述职工关系不符合第二范式要求。它存在三个问题：插入异常、删除异常和修改异常。

其中修改异常是这样的，当职工关系中项目名称发生变化时，由于参与该项目的人员很多，每人一条记录,要修改项目信息,就得对每一个参加该项目的人员信息进行修改,加大了工

职工号

姓名 基本工资 职务工资 工龄工资 1002 张三 1000 800 200 1005 李四 1200 900 150

职工号 姓名 职称 系名 系办地址 学历 毕业年份 1002 张三 教授 计算机 1305 大学 1963 1002 张三 教授 计算机 1305 研究生 1982 1005

李四

讲师

信电

2206

大学

1989

作量,还有可能发生遗漏,存在着数据一致性被破坏的可能。

可把上述职工关系分解成如下三个关系:

职工（职工号,姓名,职称）

参与项目（职工号,项目号,项目角色）

项目(项目号，项目名称）

上述三个关系都符合定义2的要求，所以都符合2NF

推论:如果关系模式R∈1NＦ，且它的每一个候选码都是单码，则R∈2ＮＦ

符合第二范式的关系模式仍可能存在数据冗余、更新异常等问题。如关系

职工信息(职工号,姓名，职称，系名，系办地址)

虽然也符合2NF，但当某个系中有１00名职工时,元组中的系办地址就要重复100次，存在着较高的数据冗余。原因是关系中，系办地址不是直接函数依赖于职工号,而是因为职工号函数决定系名,而系名函数决定系办地址，才使得系办地址函数依赖于职工号，这种依赖是一个传递依赖的过程。

所以，上述职工信息的关系模式还需要进一步的规范化。

四、第三范式(3NF)

定义1:在关系R中,Ｘ、Y、Ｚ是R的三个不同的属性或属性组,如果X→Y，Y→Z, 但Y→Ｘ，且Y不是X的子集,则称Z传递函数依赖于Ｘ。

定义2:如果关系模式R∈2NF,且它的每一个非主属性都不传递依赖于任何候选码，则称Ｒ是第三范式,记作：R∈3ＮF

推论１：如果关系模式Ｒ∈１NF，且它的每一个非主属性既不部分依赖、也不传递依赖于任何候选码,则Ｒ∈３ＮF

推论2:不存非主属性的关系模式一定为３ＮF

五、改进的3NF——ＢCＮＦ（Boyee－CｏdｄＮｏｒmａl Foｒm）

定义:设关系模式R（U，Ｆ)∈1ＮF,若F的任一函数依赖X→Y(Y X)中X都包含了R 的一个码，则称Ｒ∈BCNF。

换言之，在关系模式Ｒ中,如果每一个函数依赖的决定因素都包含码，则Ｒ∈BCNF 推论:如果Ｒ∈BCNF，则：

?R中所有非主属性对每一个码都是完全函数依赖;

?R中所有主属性对每一个不包含它的码,都是完全函数依赖;

?R中没有任何属性完全函数依赖于非码的任何一组属性。

定理:如果R ∈BC ＮＦ，则R ∈3NF 一定成立。 证明：（结合传递依赖的定义，用反证法)

注意：当Ｒ∈３NF 时,R 未必属于BCNF 。因为3NF 比BC ＮF 放宽了一个限制,它允许决定因素不包含码。例如：

通讯（城市名,街道名，邮政编码)中：

Ｆ={（城市名,街道名)→邮政编码，邮政编码→城市名｝

非主属性邮政编码完全函数依赖于码，且无传递依赖，故属于３NF,但邮政编码也是一个决定因素，而且它没有包含码，所以该关系不属于BCNF 。

又如:

Tea ｃhing(St ｕdent ，T ｅａｃｈer ，C ｏｕr ｓe) 简记为Ｔｅａch ｉng （Ｓ,Ｔ，C) 规定：一个教师只能教一门课，每门课程可由多个教师讲授;学生一旦选定某门课程，教师就相应地固定。

F ＝{T →C ，(S ，Ｃ）→T ,(Ｓ,T ) →Ｃ｝

该关系的候选码是(Ｓ,C ）和（S,Ｔ）,因此，三个属性都是主属性，由于不存在非主属性，该关系一定是3NF 。但由于决定因素T 没包含码，故它不是B ＣＮF 。

关系模式T ｅac ｈing 仍然存在着数据冗余问题，因为存在着主属性对码的部分函数依赖问题。

确切地表示:Ｆ＝｛T →C ，（S ，C ）P →T ,(S ，Ｔ）

P →Ｃ}

所以Ｔeachin ｇ关系可以分解为以下两个ＢＣＮＦ关系模式：

Teache ｒ(Te ａc ｈer ，Ｃｏｕr ｓe) Ｓtud ｅnt(Stud ｅnt,T ｅac ｈer) ３ＮF 的“不彻底”性,表现在可能存在主属性对码的部分依赖和传递依赖。

一个关系模式如果达到了BC ＮF,那么,在函数依赖范围内,它就已经实现了彻底的分离,消除了数据冗余、插入和删除异常。

4.4 多值依赖和第四范式

一、多值依赖(Ｍultivalu ｅｄ Dependen ｃy ）

例:学校中某一门课程由多个教员讲授,他们使用相同的一套参考书,每个教员可以讲

授多门课程,每种参考书可以供多门课程使用。下列是用一个非规范化的表来表示教员T ，课程C 和参考书Ｂ之间的关系。

把上表变换成一张规范化的二维表Teach ｉｎg ，如右表

关系模式Teaching(Ｃ，T,B)的码是

课程C 教员T 参考书B 物理 李勇 王军 普通物理学 光学原理 物理习题集 数学 李勇 张平 数学分析 微分方程 高等代数 计算数学 张平 周峰 数学分析 计算数学 课程C 教员T 参考书B 物理

李勇 普通物理学 物理 李勇 光学原理 物理 李勇 物理习题集 物理 王军 普通物理学 物理 王军 光学原理 物理 王军 物理习题集 数学 李勇 数学分析 数学 李勇 微分方程 数学 李勇 高等代数 数学 张平 数学分析 数学 张平 微分方程 数学 张平 高等代数 计算数学 张平 数学分析 计算数学 张平 计算数学 计算数学 周峰 数学分析 计算数学

周峰

计算数学

（C,T,Ｂ）,即Aｌl-Key。因而Teachinｇ∈BCNF。按照上述语义规定，当某门课程增加一名讲课教员时，就要向Tｅaching表中增加与相应参考书等数目的元组。同样,某门课程要去掉一本参考书时，则必须删除相应数目的元组。

对数据的增、删、改很不方便，数据的冗余也十分明显。如果仔细考察这类关系模式,会发现它具有一种称之为多值依赖的数据依赖关系。

定义：设R(Ｕ）是属性集Ｕ上的一个关系模式，Ｘ,Y，Ｚ是U的子集，且Z＝Ｕ-Ｘ-Ｙ。如果对R（U）的任一关系ｒ,给定一对(x,ｚ）值,都有一组y值与之对应,这组y值仅仅决定于x值而与z值无关。则称Y多值依赖于Ｘ，或X多值决定Y,记作：Ｘ→→Y。――例如，在关系模式Teａching中,对于一个(C，B）值（物理，普通物理学）,有一组T值{李勇，王军},而这组值仅仅决定于课程Ｃ上的值(物理）。即对于另一个（物理，光学原理),它对应的Ｔ值仍然是{李勇，王军},所以Ｔ的值与B的值无关，仅决定于Ｃ的值,即Ｃ→→T。

多值依赖的另一个等价的形式化定义为:

设关系模式R（U），X、Y、Z是U的子集，Z=U-X-Y,r是Ｒ的任意一个关系，t1、t2是ｒ的任意两个元组。如果ｔ１[Ｘ]＝t2[Ｘ],并在r中存在两个元组t３、t4,使得：

t3[X]=t４[X]＝t1［X]

t3[Y]=t１[Y]，t３［Z］=ｔ2[Ｚ],

t4[Y]=t2［Ｙ]，t4[Z]=t1[Z]

成立,则X→→Y。

换句话说:如果X→→Ｙ在R（U)中成立,则只要在Ｒ的任一关系r中存在两个元组ｔ1、t2在X属性上的值相等，则交换这两个元组在Ｙ(或Z)上的值后得到的两个新元组t3、t4也必是关系r中的元组。

定义中如果Ｚ=Ф（空集),则称X→→Ｙ为平凡的多值依赖，否则为非平凡的多值依赖。

多值依赖具有如下性质:

1.对称性：若X→→Y，则Ｘ→→Z,其中Z=U-X-Y

2.传递性：若X→→Y,Ｙ→→Z,则X→→Z－Y

3.若X→→Y,X→→Ｚ，则X→→YZ

4.若Ｘ→→Y，X→→Z，则X→→Y∩Z

5.若X→→Ｙ，Ｘ→→Z，则Ｘ→→Y-Z，Ｘ→→Z-Y

多值依赖与函数依赖相比,具有下面两个基本区别：

（1）多值依赖的有效性与属性集的范围有关

若X→→Y在U上成立,则在V(XY?V?U）上一定成立;反之则不然，即Ｘ→→Y在V(V?U)上成立,在U上并不一定成立。这是因为多值依赖的定义中不仅涉及属性组X、Ｙ,而且涉及U中的其余属性Ｚ（Ｚ＝U-Ｘ-Ｙ)。

一般地说,在Ｒ(U）上若有X→→Ｙ在Ｖ(V?U）上成立,则称X→→Y为R（U)的嵌入

型多值依赖。

而在关系模式R （U ）中函数依赖X →Y 的有效性，仅决定于X 和Y 这两个属性集的值。只要在R （U ）的任何一个关系ｒ中，元组在Ｘ和Y 上的值使得X →Y 成立,则X →Ｙ在任何属性集V （XY ?V ?U ）上也成立。

(2)若函数依赖Ｘ→Y 在R （U ）上成立,则对于任何Ｙ’ ?Y 均有X →Ｙ’ 成立。而多值依赖Ｘ→→Ｙ若在R （U)上成立,却不能断言对于任何Y’ ?Y 有X →→Y’ 成立。

多值依赖的约束规则：在具有多值依赖的关系中,如果随便删去一个元组，就会破坏其对称性，那么，为了保持多值依赖关系中的“多值依赖”性,就必须删去另外的相关元组以维持其对称性。这就是多值依赖的约束规则。目前的ＲD ＢMS 尚不具有维护这种约束的能力，需要程序员在编程中实现。

函数依赖可看成是多值依赖的特例，即函数依赖一定是多值依赖。而多值依赖则不一定就有函数依赖。

二、第四范式（4ＮF)

定义：如果关系模式Ｒ∈1NF ，对于R 的每个非平凡的多值依赖X →→Y （Ｙ?X ）,X 含有码,则称R 是第四范式，即R ∈4N Ｆ

关系模式R ∈4ＮＦ时，Ｒ中所有的非平凡多值依赖实际上就是函数依赖。因为每

一个决定因素中都含有码，所以Ｒ一定属于BCN Ｆ。

4NF 实际上就是限制关系模式的属性间不允许有非平凡，而且非函数依赖的多值依赖存在。反过来说，4N Ｆ所允许的非平凡多值依赖实际上是函数依赖。

例题中的Teac ｈin ｇ关系属于BCN Ｆ,但它不属于4ＮF 。因为它的码是(C,T,B ）,关系中存在非平凡多值依赖C →→Ｔ ，C →→B,但Ｃ不包含码，而只是码的一部分。

要使T ｅa ｃh ｉng 关系符合4NF,必

须将其分解为ＣT(C ，T)和C Ｂ（C,Ｂ）两个关系模式。如右表:

从表中显而易见，符合BC ＮＦ的关系T ｅａching 仍然存在着数据冗余，而分解后的关系CT 和CB 中只有平凡多值依赖,所以符合4NF,它们已经消除了数据冗余。可以说：B Ｃ

课程C 教员T 参考书B 物理

李勇 普通物理学 物理 李勇 光学原理 物理 李勇 物理习题集 物理 王军 普通物理学 物理 王军 光学原理 物理 王军 物理习题集 数学 李勇 数学分析 数学 李勇 微分方程 数学 李勇 高等代数 数学 张平 数学分析 数学 张平 微分方程 数学 张平 高等代数 计算数学 张平 数学分析 计算数学 张平 计算数学 计算数学 周峰 数学分析 计算数学

周峰

计算数学

Teaching 关系

课程C 参考书B 物理 普通物理学 物理 光学原理 物理 物理习题集 数学 数学分析 数学 微分方程 数学 高等代数 计算数学 数学分析 计算数学

计算数学

CB 关系

课程C 教员T 物理

李勇 物理 王军 数学 李勇 数学 张平 计算数学 张平 计算数学

周峰

CT 关系

NF 是在只有函数依赖的关系模式中,规范化程度最高的范式，而４N Ｆ是在有多值依赖的关系模式中，规范化程度最高的范式。

如果关系模式中存在连接依赖，即便它符合4NF ，仍有可能遇到数据冗余及更新异常等问题。所以对于达到4NF 的关系模式,还需要消除其中可能存在的连接依赖,才可以进一步达到5NF 的关系模式。

关于连接依赖和5ＮＦ的内容,已超出了本课程教学大纲的要求,在此不再介绍。

4.5 关系的规范化程度

在关系数据库中，对关系模式的基本要求是满足第一范式。符合１N Ｆ的关系模式就是合法的，允许的。但是人们发现有些关系存在这样那样的问题，就提出了关系规范化的要求。

? 关系规范化的目的，是解决关系模式中存在的数据冗余、插入和删除异常、更新繁

琐等问题。

? 关系规范化的基本思想是,消除数据依赖中不合适的部分，使各关系模式达到某种

程度的分离,使一个关系只描述一个概念、一个实体或实体间的一种联。所以规范化的实质就是概念单一化的过程。

? 关系规范化的过程是通过对关系模式的分解来实现的。把低一级的关系模式分解为

若干高一级的关系模式。

? 规范化程度越高，分解就越细，所得关系的数据冗余就越小,更新异常也会越少。 ? 但是,规范化在减少关系的数据冗余和消除更新异常的同时,也加大了系统对数据检

索的开销，降低了数据检索的效率。因为关系分得越细,数据检索时所涉及的关系个数就越多，系统只有对所有这些关系的进行自然连接,才能获取所需的全部信息。而连接操作所需的系统资源和开销是比较大的。所以不能说,规范化程度越高的关系模式优良。

? 规范化应满足的基本原则是：由低到高，逐步规范，权衡利弊,适可而止。通常以

满足第三范式为基本要求。

? 关系模式的分解是通过投影运算实现的。而这种投影分解的方案不是唯一的。所以

投影的过程还应满足下列三个条件:

? 分解是无损连接分

解,分解后所得各关系，通过连接要能恢复出分解前的数据。不能少也不

1NF

2NF

3NF

消除非主属性对码的部分函数依赖

消除非主属性对码的传递函数依赖

消除主属性对码的部分和传递函数依赖

BCNF

4NF

消除非平凡且非函数依赖的多值依赖

消除非主属性对码的部分函数依赖

能多。

? 分解所得的所有关系都是高一级的范式的关系 ? 分解所得关系的个数要最少。

4.6 函数依赖公理与模式分解

在规范化理论中,模式分解以及分解是否等价是有一定算法的。函数依赖公理系统是模式分解算法的基础,它可以从已知的函数依赖推导出其它的函数依赖。

下面首先讨论函数依赖的一套推理规则,这套规则是由Armstrong 于197４年提出来的，因此常被称为A ｒm ｓｔｒong 公理系统。

一、函数依赖公理 A ｒms ｔｒｏng 公理系统:

设有关系模式Ｒ(U,F ），X ，Y ，Z ，W ?U ，则对R(U,F ）有:

? A １(自反律）：若Y ?X ，则X →Y;（由自反律所得到的函数依赖均是平凡的函数依赖） ? A2(增广律):若Ｘ→Y ，则XZ →YZ (YZ=Ｙ∪Z ） ? Ａ3（传递律）:若Ｘ→Y ，Y →Z,则X →Z 。 这些规则是保真的，它们不会产生错误的函数依赖。

引理１:Armstro ｎg 公理是正确的。即如果函数依赖F 成立,则由F 根据Arm ｓt ｒｏn ｇ公理所推导的函数依赖总是成立的。（并且被称为Ｆ所蕴含的函数依赖)

证明：设ｔ1，t 2是关系R 中的任意两个元组。 A １:

A2：

Ａ3:

定理1：A ｒmst ｒong 公理是正确的、完备的。 由Ar ｍｓｔrong 公理系统,可以得到以下三个推论:

? 合成规则：若X →Y ，X →Ｚ，则X →YZ ；

假设t 1[X]＝t 2[X]

已知Y ?X

t 1[Y]＝t 2[Y] X →Y 成立

若 t 1[XZ]＝t 2[XZ]

t 1[X]＝t 2[X] t 1[Z]＝t 2[Z]

已知X →Y

t 1[Y]＝t 2[Y]

t 1[YZ]＝t 2[YZ]

XZ →YZ 成立 已知：X →Y

已知：Y →Z

若 t 1[X]＝t 2[X]

t 1[Y]＝t 2[Y]

t 1[Z]＝t 2[Z]

X →Z 成立

?分解规则：若X→YZ,则Ｘ→Y，Ｘ→Ｚ；

?伪传递规则：若X→Ｙ,YW→Z，则ＸW→Ｚ。

根据合成规则和分解规则很容易得到这样的重要事实。称之为引理2：

引理２:X→A1Ａ2…Ａk成立的充分必要条件是Ｘ→A i成立（i=1,２，…，k)。

例：证明：对R（Ａ,Ｂ,C，G,H,Ｉ),F＝｛Ａ→Ｂ,A→C，CG→H，CＧ→I，B→H}，存在：A→H,ＣG→HI，AＧ→I

求证：(1)由于A→B，B→H，依传递律,可得A→H

(2）由于CG→H，CG→Ｉ，依合成规则，可得CG→ＨI

(３）由于A→C，ＣＧ→I，依伪传递律,可得AＧ→I。也可另证为：

由Ａ→C，依增广律，得AG→CG,又CG→I,依传递律，得：ＡＧ→I

二、闭包及其计算

定义：R（Ｕ，Ｆ），由Ａrmsｔｒoｎg公理从F推出的函数依赖X→A i中Ａi的属性集合,为X的属性闭包，记作：X+，读作Ｘ关于函数依赖集F的闭包。

也有的书上这样表示:X F＋＝{A|X→Ａ能由Ｆ根据Ａrmｓtroｎg公理导出｝

由引理2可以推出引理３：

设R(U，F),X，Ｙ?U,则从F推导出X→Y的充要条件是Y?X＋

如果要判断X→Ｙ是否能由F根据Armstroｎｇ公理导出,只需求出X+,并判断Ｙ是否为X+的子集即可。

那么，只要求出X＋,一切问题就都解决了。书上有一个求Ｘ+的算法。其基本思想是: 首先明确X+的含义是X所能函数决定的所有被决定因素的集合。然后,只要能证明某个属性或属性组函数依赖于X,便能确定它属于X＋，因为X→Ｘ是无争的事实，所以X应属于Ｘ+，然后在F中寻找其决定因素包含于X的函数依赖,若存在,则它的被决定因素也应属于X+，（若Ｙ→Z,则WY→WZ,从而可分解为ＷＹ→Ｗ和WY→Z)。依次类推，找出F中所有决定因素包含于所求出的中间集的所有函数依赖，并把它们的被决定因素都并到该闭包的中间集中。直到在F中再也找不到符合上述条件的函数依赖时。所求的闭包集就是最终的闭包。

下面通过一个例子来说明。

例：R(U,F)，其中U={Ａ，B，C，D，E,I｝，F={Ａ→Ｄ,AB→C,ＢI→C，ED→I，C→E}，求(AC）+

解：（1）令X＝{AC｝，则X（0)＝AC;

（2）在F中找出左边是AＣ子集的函数依赖：A→D，C→Ｅ;

(３）X(１)＝X（0）∪Ｄ∪E=ACDＥ;

（４)很明显X（1）≠Ｘ(0);

(5)在F中找左边是ACDE子集的函数依赖:ＥＤ→I；

(6）Ｘ(２)=X(1）∪I =ＡＣDEI ;

(7)虽然X（２)≠X(1），但是F中未用过的函数依赖的左边属性已没有X（2）的子集,所以停止计算，输出(AC)+＝X（２)＝ＡCDEＩ。

三、函数依赖的覆盖

函数依赖集的闭包：关系模式R（U，F)中为F所逻辑蕴含的函数依赖的全体叫做Ｆ的闭包,记为F＋。

函数依赖的覆盖:设F和G是关系模式R（U)上的两个函数依赖集,如果F＋＝G+，则称Ｆ和G是等价的，记作Ｆ≡Ｇ。也可以说F覆盖Ｇ,或G覆盖Ｆ，或F、Ｇ相互覆盖。

两个引理:（１）F≡G的充分必要条件是F?Ｇ+、Ｇ?F+

（2）任一函数依赖集，总可以为一右边全是单属性的函数依赖集所覆盖。

对上述引理(1）是显而易见的。引理(2）可以这样理解，根据函数依赖的分解规则,任一个右部为属性组的函数依赖都可以分解为右部为单属性的若干个函数依赖。所以，对于任一个函数依赖集，总可以找到一个右边全是单属性的函数依赖集覆盖它。

定义:如果函数依赖集F满足下列条件,则称F为一个极小函数依赖集，或称最小依赖集或最小覆盖。

?Ｆ中任一函数依赖的右部都是单属性；

?Ｆ中任一函数依赖X→A,都不会使Ｆ与F－｛X→A｝等价。

?F中任一函数依赖X→A,X的任一真子集Z，不会使Ｆ-{Ｘ→A}∪｛Z→A｝与F 等价。

上述第二个条件保证了F中不存在多余的函数依赖，第三个条件保证了F中每个函数依赖左部没有多余的属性。要注意上列条件三中的下划线部分，并注意Ｚ→A不是一个函数依赖,而是指Z?X的一组Ｚ→Ａ。并且F-{X→A｝∪{Z→Ａ｝是不确切的。

定理:任一函数依赖集Ｆ均等价于一个极小的函数依赖集F m。

最小的依赖集可以上述定义为基本思想所确定的算法求解。

四、关系模式的分解

关系模式经分解后,应与原来的关系模式等价。即两者对数据的使用者来说应是等价的。即对分解前后的关系，做相同内容的查询，应产生相同的结果。这是对模式分解的基本要求。

历年来，人们对等价的概念形成了三种不同的定义：

?分解具有“无损连接性”（Lossless join);

?分解具有“函数依赖保持性”(Pｒeserve dependenｃy）；

?分解既要具有“无损连接性”,又要具有“函数依赖保持性”

下面分别介绍无损连接性和函数依赖保持性两个概念的含义及其判定算法。

1、无损连接性:

对关系模式分解时,原关系模式下任一合法的关系实例,在分解之后,应能通过自然连接运算恢复起来。所以无损连接性有时也称为无损分解。

（下列定义按照课时的情况选择讲解或不讲)

定义：设ρ＝｛Ｒ1，R2,…，Ｒk}是关系模式R(U，Ｆ)的一个分解,如果对于R的任一满足F的关系r，都有r＝∏R1（r)?∏Ｒ2(ｒ）?…?∏Rk（r），则称分解ρ是满足函数依赖集F的无损连接分解或无损分解。

关于无损连接性的判断算法很巧妙，也很容易理解,在课堂上不讲,但有可能出现此类考

题，请同学们自己看书学习。

（有时间时可以讲书上例子P1１4下部例６.6）

2、函依赖保持性：

函数依赖集的投影:设有关系模式R(U,Ｆ）,Ｚ?U,则Z所涉及到的F中所有函数依赖为F在Z上的投影，记为∏Z（F),有∏Z（F)=｛X→Y|(X→Y）∈Ｆ+且XY?Z｝函数依赖保持性:设R（U，F）的一个分解ρ＝{R1，Ｒ2,…，Rk｝,如果Ｆ等价于

∏R1(Ｆ)∪∏R2（F）∪…∪∏Rk（F)

则称分解ρ具有函数依赖保持性。

一个无损连接的分解不一定具有函数依赖保持性；同样地，一个具有函数依赖保持性的分解也不一定具无损连接性。

检验一个分解是否具有依赖保持性,实际上是检验∏R１(F)∪∏Ｒ2（Ｆ)∪…∪∏Ｒｋ(F)是否覆盖F。

(书上关于它的算法令人费解。可以不讲）

介绍P11４页例6.6是一个具有依赖保持性的分解。

在实际数据库设计中，关系模式的分解主要有两种准则：

（1）只满足无损连接性;

（2）既满足无损连接性，又满足函数依赖保持性。

准则(2)比（1)更理想，但分解时受到更多的限制。如果一个分解，只满足函数依赖保持性，而不满足无损连接性，是没有实用价值的。所以无损连接性是模式分解必须满足的条件。