数据库规范化理论习题

规范化理论习题

1. 解释下列名词：

函数依赖、部分函数依赖、完全函数依赖、传递函数依赖、候选关键字、主关键字、全关键字、1NF 、2NF 、3NF 、BCNF 、多值依赖、4NF 、连接依赖、5NF 、最小函数依赖集、无损分解

函数依赖：FD(function dependency)，设有关系模式R(U)，X ，Y 是U 的子集， r 是R 的任一具体关系，如果对r 的任意两个元组t1,t2,由t1[X]=t2[X]导致t1[Y]=t2[Y], 则称X 函数决定Y,或Y 函数依赖于X ，记为X→Y 。X→Y 为模式R 的一个函数依赖。

部分函数依赖：即局部依赖，对于一个函数依赖W→A ，如果存在X W(X 包含于W)有X→A 成立， 那么称W→A 是局部依赖，否则称W→A 为完全依赖。

完全函数依赖：见上。

传递函数依赖：在关系模式中，如果Y→X ，X→A ，且X Y （X 不决定Y ）， A X （A 不属于X ）,那么称Y→A 是传递依赖。

候

选

关键字：设K 为关系模式R （U ，F ）中的属性或属性集合。若

F U ，则K 称为R 的一个候选码（Candidate Key ），也称作为候选关键字或码。

主关键字：若关系模式R 有多个候选码，则选定其中一个作为主关键字（Primary Key ），有时也称作为主码。

全关键字：若关系模式R 整个属性组都是码，称为全关键字（All Key ）或全码。 1NF ：第一范式。如果关系模式R 的所有属性的值域中每一个值都是不可再分解的值, 则称

R 是属于第一范式模式。如果某个数据库模式都是第一范式的，则称该数据库存模式属于第一范式的数据库模式。 第一范式的模式要求属性值不可再分裂成更小部分，即属性项不能是属性组合和组属性组成。

2NF ：第二范式。如果关系模式R 为第一范式，并且R 中每一个非主属性完全函数依赖于

R 的某个候选键， 则称是第二范式模式；如果某个数据库模式中每个关系模式都是第二范式的，则称该数据库模式属于第二范式的数据库模式。 (注：如果A 是关系模式R 的候选键的一个属性，则称A 是R 的主属性，否则称A 是R 的非主属性。) 。

3NF ：第三范式。如果关系模式R 是第二范式，且每个非主属性都不传递依赖于R 的候选键， 则称R 是第三范式的模式。如果某个数据库模式中的每个关系模式都是第三范式，则称为3NF 的数据库模式。

BCNF ：BC 范式。如果关系模式R 是第一范式，且每个属性都不传递依赖于R 的候选键，那么称R 是BCNF 的模式。

多值依赖：设R(U)是属性集U 上的一个关系模式，X ，Y ，Z 是U 的子集，并且Z=U-X-Y , 用

x,y,z 分别代表属性集X,Y ，Z 的值，只要r 是R 的关系，r 中存在元组(x,y1,z1)和(x,y2,z2)时，

就也存在元组(x,y1,z2)和(x,y2,z1),那么称多值依赖(MultiValued Dependency MVD) X→→Y 在关系模式R 中成立。

4NF ：第四范式。设R 是一个关系模式，D 是R 上的多值依赖集合。如果D 中成立非平凡多值依赖X→→Y 时， X 必是R 的超键，那么称R 是第四范式的模式。

连接依赖：关系模式R(U)中，U 是全体属性集，X ，Y ，…，Z 是U 的子集，当且仅当R

是由其在X ，Y ，…，Z 上投影的自然连接组成时，称R 满足对X ，Y ，…，Z 的连接依赖。记为JD （X ，Y ，…，Z ）。

5NF ：关于模式R 中，当且仅当R 中每个连接依赖均为R 的候选码所蕴涵时，称R 属于

5NF 。

最小函数依赖集：如果函数集合F满足以下三个条件：(1)F中每个函数依赖的右部都是单属性；(2)F中的任一函数依赖X→A，其F-{X→A}与F是不等价的；(3)F中的任一函数依赖X→A，Z为X的子集，（F-{X→A}）∪{Z→A}与F不等价。则称F为最小函数依赖集合，记为Fmin。

无损分解：设R是一个关系模式，F是R上的一个依赖集，R分解为关系模式的集合ρ＝｛R1(U1),R2(U2), …,Rn(Un)｝。如果对于R中满足F的每一个关系r，都有

r＝∏R1(r) ??∏R2(r) ??…??∏Rn(r)

则称分解相对于F是无损连接分解（lossingless join decomposition），简称为无损分解，否则就称为有损分解（lossy decomposition）。

2. 现要建立关于系、学生、班级、学会等信息的一个关系数据库。语义为：一个系有若干专业，每个专业每年只招一个班，每个班有若干学生，一个系的学生住在同一个宿舍区，每个学生可参加若干学会，每个学会有若干学生。

描述学生的属性有：学号、姓名、出生日期、系名、班号、宿舍区；

描述班级的属性有：班号、专业名、系名、人数、入校年份；

描述系的属性有：系名、系号、系办公室地点、人数；

描述学会的属性有：学会名、成立年份、地点、人数、学生参加某会有一个入会年份。

⑴请写出关系模式。

⑵写出每个关系模式的最小函数依赖集，指出是否存在传递依赖，在函数依赖左部是多属性的情况下，讨论函数依赖是完全依赖，还是部分依赖。

⑶指出各个关系模式的候选关键字、外部关键字，有没有全关键字。

解：各关系模式如下：

学生(学号,姓名,出生年月,系名,班级号,宿舍区)

班级(班级号,专业名,系名,人数,入校年份)

系(系名,系号,系办公地点,人数)

社团(社团名,成立年份,地点,人数)

加入社团（社团名，学号，学生参加社团的年份）

学生(学号,姓名,出生年月,系名,班级号,宿舍区)

●“学生”关系的最小函数依赖集为：

Fmin={学号→姓名,学号→班级号,学号→出生年月,学号→系名，系名→宿舍区}

●以上关系模式中存在传递函数依赖，如:学号→系名，系名→宿舍区

●候选键是学号,外部键是班级号,系名。

注意: 在关系模式中，如果Y→X，X→A，且X Y（X不决定Y），A不属于X,那么称Y→A是传递依赖。

班级(班级号,专业名,系名,人数,入校年份)

●“班级”关系的最小函数依赖集为：

Fmin={(系名,专业名)→班级号,班级号→人数，班级号→入校年份，班级号→系名，班级号→专业名}

(假设没有相同的系，不同系中专业名可以相同)

●以上关系模式中不存在传递函数依赖。

●“(系名,专业名)→班级号”是完全函数依赖。

●候选键是(系名,专业名),班级号，外部键是系名。

系(系名,系号,系办公地点,人数)

●“系”关系的最小函数依赖集为：Fmin={系号→系名,系名→系办公地点,系名→人数，

系名→系号}

●以上关系模式中不存在传递函数依赖

●候选键是系名,系号

社团(社团名,成立年份,地点,人数)

●“社团”关系的最小函数依赖集为：Fmin={社团名→成立年份,社团名→地点,社团名→人数}

●以上关系模式中不存在传递函数依赖。

●候选键是社团名

加入社团（社团名，学号，学生参加社团的年份）

●“加入社团”关系的最小函数依赖集为：Fmin={（社团名，学号）→学生参加社团的年份}

●“（社团名，学号）→学生参加社团的年份”是完全函数依赖。

●以上关系模式中不存在传递函数依赖。

●候选键是（社团名，学号）。

3. 设关系模式R(A，B，C，D)，函数依赖集F＝{A→C，C→A，B→AC，D→AC，BD→A}。

1)求出R的候选码；

2)求出F的最小函数依赖集；

3)将R分解为3NF，使其既具有无损连接性又具有函数依赖保持性。

解：(1)根据函数依赖可得：

属性B、D、BD为L类(仅出现在F的函数依赖左部)。且在函数依赖的左部和右部均未出现的属性为0。

根据定理：对于给定的关系模式R及其函数依赖集F，若X(X∈R)是L类属性，则X 必为R 的任一候选码的成员。

因此属性B、D必为候选码的成员。且它们的闭包为：

B F+=ABC，D F+=ACD,BD F+=ABCD

再根据推论：对于给定的关系模式R及其函数依赖集F，若X(X∈R)是L类属性，且X +包含了R的全部属性，则X必为R的唯一候选码。

F

故BD是R的唯一候选码。所以R的候选码为BD。

(2)将F中所有函数依赖的依赖因素写成单属性集形式：

F＝{A→C，C→A，B→A，B→C，D→A，D→C，BD→A}

F中的B→C可以从B→A和A→C推导出来，B→C是冗余的，删掉B→C可得：

F＝{A→C，C→A，B→A，D→A，D→C，BD→A}

F中的D→C可以从D→A 和A→C推导出来，D→C是冗余的，删掉D→C可得：F＝{A→C，C→A，B→A，D→A，BD→A}

F中的BD→A可以从B→A 和D→A推导出来，是冗余的，删掉BD→A可得：

F＝{A→C，C→A，B→A，D→A }

所以F的最小函数依赖集Fmin＝{A→C，C→A，B→A，D→A }。

(3) 由于R中的所有属性均在Fmin中都出现，对F按具有相同左部的原则分为：R1=AC，

R2=BA，R3=DA。其中，U1={A，C}，U2={B，A}，U3={D，A}，F1= F1＝∏U1＝｛A →C｝，F2＝∏U2＝｛B→A｝，F3＝∏U3＝｛D→A｝。所以ρ={R1(AC),R2(BA),R3(DA) }。

4.设关系模式R(A，B，C，D，E，F)，函数依赖集F＝{A B→E，BC→D，BE→C，CD→B，CE→AF，CF→BD，C→A，D→EF}，求F的最小函数依赖集。

解：①利用分解规则，将所有的函数依赖变成右边都是单个属性的函数依赖，得F为：

F ＝{A B→E，BC→D，BE→C，CD→B，CE→A，CE→F，CF→B，CF→D，C→A，D→E，D→F}

②去掉F中多余的函数依赖

A．设AB→E为冗余的函数依赖，则从F中去掉AB→E，得：

F1={ BC→D，BE→C，CD→B，CE→A，CE→F，CF→B，CF→D，C→A，D→E，D→F}

计算(AB)F1+：

设X(0)=AB

计算X(1)：扫描F1中各个函数依赖，找到左部为AB或AB子集的函数依赖，因为找不到这样的函数依赖。故有X(1)=X(0)=AB，算法终止。

(AB)F1+= AB不包含E，故AB→E不是冗余的函数依赖，不能从F中去掉。即：

F1={ A B→E，BC→D，BE→C，CD→B，CE→A，CE→F，CF→B，CF→D，C→A，D→E，D→F} B．设BC→D为冗余的函数依赖，则从F1中去掉BC→D，得：

F2={A B→E，BE→C，CD→B，CE→A，CE→F，CF→B，CF→D，C→A，D→E，D→F}

计算(BC)F2+：

设X(0)=BC

计算X(1)：扫描F2中的各个函数依赖，找到左部为BC或BC子集的函数依赖，得到一个C→A函数依赖。故有X(1)=X(0)∪A=BCA=ABC。

计算X(2)：扫描F2中的各个函数依赖，找到左部为ABC或ABC子集的函数依赖，得到一个A B→E函数依赖。故有X(2)=X(1)∪E=ABCE。

计算X(3)：扫描F2中的各个函数依赖，找到左部为ABCE或ABCE子集的函数依赖，得到三个BE→C，CE→A和CE→F 函数依赖。故有X(3)=X(2)∪CAF=ABCEF。

计算X(4)：扫描F2中的各个函数依赖，找到左部为ABCEF或ABCEF子集的函数依赖，得到二个CF→B和CF→D 函数依赖。故有X(3)=X(2)∪BD=ABCDEF。因为X(3)=U，算法终止。

(BC)F2+=ABCDEF包含D，故BC→D是冗余的函数依赖，从F1中去掉。即：

F2={A B→E，BE→C，CD→B，CE→A，CE→F，CF→B，CF→D，C→A，D→E，D→F}

C．设BE→C为冗余的函数依赖，从F2中去掉BE→C，得：

F3={A B→E，CD→B，CE→A，CE→F，CF→B，CF→D，C→A，D→E，D→F}

计算(BE)F3+：

设X(0)=BE

计算X(1)：扫描F3中的各个函数依赖，找到左部为BE或BE子集的函数依赖，因为找不到这样的函数依赖。故有X(1)=X(0)=BE，算法终止。

(BE)F3+= BE不包含C，故BE→C不是冗余的函数依赖，不能从F2中去掉。即：

F3={A B→E，BE→C，CD→B，CE→A，CE→F，CF→B，CF→D，C→A，D→E，D→F}

D．设CD→B为冗余的函数依赖，从F3中去掉CD→B，得：

F4={A B→E，BE→C，CE→A，CE→F，CF→B，CF→D，C→A，D→E，D→F}

计算(CD)F4+：

设X(0)=CD

计算X(1)：扫描F4中的各个函数依赖，找到左部为CD或CD子集的函数依赖，得到三个C→A，D→E和D→F函数依赖。。故有X(1)=X(0) ∪AEF =ACDEF。

计算X(2)：扫描F4中的各个函数依赖，找到左部为ACDEF或ACDEF子集的函数依赖，得到四个CE→A，CE→F，CF→B，CF→D 函数依赖。故有X(2)=X(1)∪ABDF=ABCDEF。因为X(2)=U，算法终止。

(CD)F4+=ABCDEF包含B，故CD→B是冗余的函数依赖，从F3中去掉。即：

F4={A B→E，BE→C，CE→A，CE→F，CF→B，CF→D，C→A，D→E，D→F}

E．设CE→A为冗余的函数依赖，从F4中去掉CE→A，得：

F5={A B→E，BE→C，CE→F，CF→B，CF→D，C→A，D→E，D→F}

计算(CE)F5+：

设X(0)=CE

计算X(1)：扫描F5中的各个函数依赖，找到左部为CE或CE子集的函数依赖，得到一个C→A函数依赖。故有X(1)=X(0)∪A=ACE。

计算X(2)：扫描F5中的各个函数依赖，找到左部为ACE或ACE子集的函数依赖，得到一个CE→F函数依赖。故有X(2)=X(1)∪F=ACEF。

计算X(3)：扫描F5中的各个函数依赖，找到左部为ACEF或ACEF子集的函数依赖，得到二个CF→B和CF→D 函数依赖。故有X(3)=X(2)∪BD=ABCDEF。因为X(3)=U，算法终止。

(CE)F5+=ABCDEF包含A，故CE→A是冗余的函数依赖，从F4中去掉。即：

F5={A B→E，BE→C，CE→F，CF→B，CF→D，C→A，D→E，D→F}

F．设CE→F为冗余的函数依赖，从F5中去掉CE→F，得：

F6={A B→E，BE→C，CF→B，CF→D，C→A，D→E，D→F}

计算(CE)F6+：

设X(0)=CE

计算X(1)：扫描F6中的各个函数依赖，找到左部为CE或CE子集的函数依赖，得到一个C→A函数依赖。故有X(1)=X(0)∪A=ACE。

计算X(2)：扫描F6中的各个函数依赖，找到左部为ACE或ACE子集的函数依赖，因为找不到这样的函数依赖。故有X(2)=X(1)=ACE，算法终止。

(CE)F6+=ACE不包含F，故CE→F不是冗余的函数依赖，不能从F5中去掉。即：

F6={A B→E，BE→C，CE→F，CF→B，CF→D，C→A，D→E，D→F}

G．设CF→B为冗余的函数依赖，从F6中去掉CF→B，得：

F7={A B→E，BE→C，CE→F，CF→D，C→A，D→E，D→F}

计算(CF)F7+：

设X(0)=CF

计算X(1)：扫描F7中的各个函数依赖，找到左部为CF或CF子集的函数依赖，得到二个CF→D和C→A函数依赖。故有X(1)=X(0)∪AD=ACDF。

计算X(2)：扫描F7中的各个函数依赖，找到左部为ACDF或ACDF子集的函数依赖，得到二个D→E和D→F函数依赖。故有X(2)=X(1)∪EF=ACDEF。

计算X(3)：扫描F7中的各个函数依赖，找到左部为ACDEF或ACDEF子集的函数依赖，得到一个CE→F函数依赖。故有X(3)=X(2)∪F=ACDEF= X(2)，算法终止。

(CF)F7+=ACDEF不包含B，故CF→B不是冗余的函数依赖，不能从F6中去掉。即：

F7={A B→E，BE→C，CE→F，CF→B，CF→D，C→A，D→E，D→F}

H．设CF→D为冗余的函数依赖，从F7中去掉CF→D，得：

F8={A B→E，BE→C，CE→F，CF→B，C→A，D→E，D→F}

计算(CF)F8+：

设X(0)=CF

计算X(1)：扫描F8中的各个函数依赖，找到左部为CF或CF子集的函数依赖，得到二个CF→B和C→A函数依赖。故有X(1)=X(0)∪AB=ABCF。

计算X(2)：扫描F8中的各个函数依赖，找到左部为ABCF或ABCF子集的函数依赖，

得到一个A B→E函数依赖。故有X(2)=X(1)∪E=ABCEF。

计算X(3)：扫描F8中的各个函数依赖，找到左部为ABCEF或ABCEF子集的函数依赖，得到二个BE→C和CE→F函数依赖。故有X(3)=X(2)∪CF= ABCEF = X(2)，算法终止。

(CF)F7+= ABCEF不包含D，故CF→D不是冗余的函数依赖，不能从F7中去掉。即：F8={A B→E，BE→C，CE→F，CF→B，CF→D，C→A，D→E，D→F}

③去掉F8中各函数依赖左边多余的属性（只检查左部不是单个属性的函数依赖）

由于F8中各函数依赖左边无多余的属性，故：

Fmin={AB→E，BE→C，CE→F，CF→B，CF→D，C→A，D→E，D→F}

5. 判断下面的关系模式是不是BCNF，为什么？

⑴任何一个二元关系。

⑵关系模式选课(学号，课程号，成绩)，函数依赖集F＝{(学号，课程号) →成绩}。

⑶关系模式R(A，B，C，D，E，F)，函数依赖集F＝{A→BC，BC→A，BCD→EF，E →C}。

解：(1) 是BCNF。二元关系中或为全关键字，或为一个单属性候选关键字。

(2) 是BCNF。关系模式中只有一个候选关键字。

(3) 不是BCNF。因为模式中存在候选关键字为AD、BCD和BE，显然C对AD 是部分依赖。

∵U1∩U2＝E U1－U2＝AB

U1∩U2→U1－U2={E→AB}={E→A，E→B}

U1∩U2→U1－U2∈F+

∴该分解具备无损连接。

6. 设关系模式R(B，O，I，S，Q，D)，函数依赖集F＝{S→D，I→S，IS→Q，B→Q}。

⑴求出R的主码。

⑵把R分解为BCNF，且具有无损连接性。

解：(1) R的主关键字为IBO。

(2) Fmin＝｛S→D，I→S，I→Q，B→Q｝

令ρ=BOISQD

①由于R的关键字为IBO，选择S→D分解

得出：ρ={S1，S2}

其中：S1=SD，F1={S→D}

S2=BOISQ，F2={I→S，I→Q，B→Q}。

显然，S2不服从BCNF，需继续分解。

②对S2分解。S2的关键字为IBO，选择I→S分解。

得出：ρ={S1，S3，S4}。

其中：S3=IS，F3={I→S}

S4=BOIQ，F4={I→Q，B→Q}。

显然，S4不服从BCNF，还需继续分解。

③对S4分解。S4的关键字为IBO，选择I→Q分解。

得出：ρ={S1，S3，S5，S6}

其中S5=IQ，F5={I→Q}

S6=BIO F6=Φ

④最后的分解为：ρ={SD，IS，IQ，BIO}

7. 设有关系模式R(A，B，C)，函数依赖集F＝{AB→C，C→→A}，R属于第几范式？为什么？

解：BCNF。由于A多值依赖于动而C不是码．故不服从4N F。但在函数依赖式中C 依赖于码AB．故该模式服从BCNF。

8. 设有关系模式R(A，B，C，D)，函数依赖集F＝{A→B，B→A，AC→D，BC→D，AD →C，BD→C，A→→CD，B→→CD}。

⑴求R的主码。

⑵R是否为4NF？为什么？

⑶R是否为BCNF？为什么？

⑷R是否为3NF，为什么？

解：l）候选码为AC，BC．AD，BD、可选其中之一为主码。

2）不服从4NF。在多值依赖中泱定因素中不包含码。

3）不服从BCNF。在函数依赖中决定因素中不包含码。

4）服从3NF。该模式中不存在非主属性。

9. 设关系模式R(U，F)的属性集U＝{A，B，C}，函数依赖集F＝{A→B，B→C}，试求属性闭包A+。

解：设X(0)=A；

计算X(1)：扫描F中的各个函数依赖，找到左部为A的函数依赖，得到一个：A→B。

故有X(1)=A∪B，即X(1)=AB。

计算X(2)：扫描F中的各个函数依赖，找到左部为AB或A、B的函数依赖，得到一个：B→C。故有X(2)= AB∪C，即X(2)=ABC=U。算法终止。

故A+=ABC。