二次函数的实际问题应用分类讲解变式
二次函数的应用
【今日目标】
1、学会建立二次函数模型解决实际问题（与方程、最值相结合）；
2、能在限制条件下求出符合题意的最值。
【精彩知识】
【引例】求下列二次函数的最值：
（1）求函数223y x x =+-的最值． （2）求函数2
23y x x =+-的最值．(03)x ≤≤ ★方法归纳：
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在 处取得最大值（或最小值）．
如果自变量的取值范围是12x x x ≤≤，分两种情况： ①顶点在自变量的取值范围内时，以0>a 为例，最大值是 ；最小值是 ②顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性
专题一 应用之利润最值问题
【例1】某种商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件；如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x 元（x 为整数），每个月的销售利润为y 元.
(1)求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围;
(2)每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润?最大利润是多少?
●变式练习：
某商品的进价为每件20元，售价为每件30，每个月可买出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x 元（x 为整数），每个月的销售利润为x 的取值范围为y 元。
（1）求y 与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；
（2）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？
(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？
【例2】某电子商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程发现，每月销量y （万件）与销售单价x（元）之间关系可以近似地看作一次函数y=－2x+100.(利润=售价－制造成本) （1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间函数解析式；
（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得最大利润？最大利润是多少？
（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不得高于32元.如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？
专题二应用之面积最值问题
【例3】把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）。
（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子。
①要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？
②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由。
（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，求此时长方形盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）。
专题三实际应用问题
【例4】如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界
距O点的水平距离为18m。
（1）当h=2.6时，求y与x的关系式
二次函数解决实际问题归纳.doc
二次函数解决实际问题归纳及练习 一、应用二次函数解决实际问题的基本思路和步骤： 1、基本思路：理解问题一分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系一用函数关系式表示它们的关系f用数学方法求解f检验结果的合理性； 2、基本步骤：审题一建模（建立二次两数模型）一解模（求解）一回答（用生活语言回答，即问什么答什么）。 二、利用二次函数解决实际问题的类型 1、用二次函数解决几类典型问题 解决最值问题应用题思路区别于一般应用题有两点：①设未知数在“当某某为何值时，什么最大（最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；②问的求解依靠配方法或最值公式而不是解方程。 （1）利用二次函数解决利润最大问题 此类问题围绕总利润二单件利润X销售总量，设未知数时，总利润必然是因变量y,而自变量有两种情况：①自变量x是所涨价多少或降价多少；②自变量x是最终销售价格。 例：商场销售M型服装时，标价75元/件，按8折销售仍可获利50%,现搞促销活动，每件在8折的基础上再降价x元，已知每天销售数量y （件）与降价x （元）之间的函数关系式为y=20+4x（x > 0） ①求M型服装的进价 ②求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值。 （2）利用二次函数解决面积最值 例：已知正方形ABCD边长为8, E、F、P分别是AB、CD、AD ±的点（不与正方形顶点重合），且PE丄PF, PE=PF 问当AE为多长时，五边形EBCFP面积最小，最小面积多少？ 2、用二次函数解抛物线形问题
常见情形具体方法 抛物线形 建筑物问 题 几种常见的抛物线形建筑物有拱 形桥洞、涵洞、隧道洞口、拱形 门窗等 （1）建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的 图形放到坐标系之中； （2）从己知和图象中获得求二次函数表达式所需条 件； （3）利用待定系数法求出抛物线的表达式； （4）运用已求出抛物线的表达式去解决相关问题。运动路线 （轨迹）问 题 运动员空屮跳跃轨迹、球类飞行 轨迹、喷头喷出水的轨迹等 牢记（1）解决这类问题的关键首先在于建立一次函数模型，将实际问题转化为数学问题，其次是充分运用已知的条件利用待定系数法求出抛物线的表达式； （2）把哪一点当作原点建立坐标系，将会直接关系到解题的难易程度或是否可解； （3）一般把抛物线形的顶点作为坐标系的原点建立坐标系，这样得出的二次函数的表 达式最为简单。 巧记实际问题要解决，正确建模是关键；根据题意的函数，提取配方定顶点；抛物线有对称轴，增减特性可看图；线轴交点是顶点，顶点纵标最值出。 练习 1：某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，测得水面宽1. 6m,涵洞顶点O到水面的距离为2. 4m,在 图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？ 2：某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物，大门底部宽AB=4m,顶部C离地面的高度为4.4m,现有载满货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.7m,装货宽度为2.4m。这辆汽车能否顺利通过大门?若能，请你通过计算加以说明；若不能，请简要说明理由. 3、某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）.设每件商品的售价上涨x 元（X为正整数），每个月的销售利润为y元. （1）求y与兀的函数关系式并直接写出自变量兀的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围吋，每个月的利润不低于2200元？ 4、某公司试销某种“上海世博会”纪念品,每件按30元销售，可获利50%,设每件纪念品的成本为a 元。（1）试求a的值； （2）公司在试销过程中进行了市场调查，发现试销量y （件）与每件售价x （元）满足关系式y= - 10x+800.设每天销售利润为W（元）,求每天销售利润W（元）与每件售价x （元）之间的函数关系式；当每件售价为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
含参数二次函数分类讨论的方法
二次函数求最值参数分类讨论的方法 分类讨论是数学中重要的思想方法和解题策略,它是根据研究对象的本质属性的相同点和不同点,将对象分为不同种类然后逐类解决问题． 一般地,对于二次函数y=a (x -m )2+n ，x ∈[t ，s ]求最值的问题;解决此类问题的基本思路为：根据对称轴相对定义域区间的位置，利用分类讨论思想方法。为做到分类时不重不漏，可画对称轴相对于定义域区间的简图分类。 ①表示对称轴在区间［t ，s ］的左侧，②表示对称轴在区间［t ，s ］内且靠近区间的左端点，③表示对称轴在区间内且靠近区间的右端点，④表示对称轴在区间［t ，s ］的右侧。然后，再根据口诀“开口向上，近则小、远则大”；“开口向下，近则大、远则小”即可快速求出最值。 含参数的二次函数求最值的问题大致分为三种题型，无论哪种题型都围绕着对称轴与定义域区间的位置关系进行分类讨论 题型一：“动轴定区间”型的二次函数最值 例１、求函数2()23f x x ax =-+在[0,4]x ∈上的最值。 分析：先配方，再根据对称轴相对于区间的位置讨论，然后根据口诀写出最值。 解：222()23()3f x x ax x a a =-+=-+- ∴此函数图像开口向上，对称轴x=a ①、当a ＜0时，0距对称轴x=a 最近，4距对称轴x=a 最远， ∴x=0时，min y =3，x=4时，max y =19-8a ②、当0≤a＜2时，a 距对称轴x=a 最近，4距对称轴x=a 最远， ∴x=a 时，min y =3-a2，x=4时，max y =19-8a ③、当2≤a ＜4时，a 距对称轴x=a 最近，0距对称轴x=a 最远， ∴x=a 时，min y =3-a2，x=0时，max y =3 ④、当4≤a 时，4距对称轴x=a 最近，0距对称轴x=a 最远， ∴x=4时，min y =19-8a ，x=0时，max y =3 例2、已知函数2()(21)3f x ax a x =+--在区间3 [,2]2 -上最大值为1,求实数a 的值 分析:取a=0,a ≠0，分别化为一次函数与二次函数,根据一次函数、二次函数的性质分类讨论.
高中数学二次函数分类讨论经典例题
例1（1）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围； （2）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根都在)4,0[内，求m 的取值范围； ⑶关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外，求m 的取值范围 （4）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围. 例3已知函数3)12()(2--+=x a ax x f 在区间]2,2 3[-上的最大值为1，求实数a 的值。
解（1）令142)3(2)(2++++=m x m x x f ，∵对应抛物线开口向上，∴方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1等价于0)1(
二次函数实际应用问题及解析
中考压轴题中函数之二次函数的实际应用问题，主要是解答题，也有少量的选择和填空题，常见问题有以几何为背景问题，以球类为背景问题，以桥、隧道为背景问题和以利润为背景问题四类。 一. 以几何为背景问题 原创模拟预测题1. 市政府为改善居民的居住环境，修建了环境幽雅的环城公园，为了给公园内的草评定期喷水，安装了一些自动旋转喷水器，如图所示，设喷水管AB 高出地面1.5m ，在B 处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间喷出的水流呈抛物线状．喷头B 与水流最高点C 的连线与地平面成45的角，水流的最高点C 离地平面距离比喷水头B 离地平面距离高出2m ，水流的落地点为D ．在建立如图所示的直角坐标系中： （1）求抛物线的函数解析式； （2）求水流的落地点D 到A 点的距离是多少m ？ 【答案】（1）213222y x x =-++；（2）(2+m ． 【解析】 试题分析：（1）把抛物线的问题放到直角坐标系中解决，是探究实际问题常用的方法，本题关键是解等腰直角三角形，求出抛物线顶点C （2，3.5）及B （0，1.5），设顶点式求解析式； （2）求AD ，实际上是求当y=0时点D 横坐标． 在如图所建立的直角坐标系中， 由题意知，B 点的坐标为(01.5)，， 45CBE BEC ∠=∴，△为等腰直角三角形， 2BE ∴=， 点坐标为(23.5)， （1）设抛物线的函数解析式为2 (0)y ax bx c a =++≠，
则抛物线过点(01.5)，顶点为(23.5)， ， 当0x =时， 1.5y c == 由22b a -=，得4b a =-， 由24 3.54ac b a -=，得2 616 3.54a a a -= 解之，得0a =（舍去），1422a b a =-∴=-=，． 所以抛物线的解析式为213222 y x x =-++． 考点：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用 点评：此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．结合实际问题并从 中抽象出函数模型，试着用函数的知识解决实际问题，学会数形结合解答二次函数的相关题型． 原创模拟预测题2.在青岛市开展的创城活动中，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m ）的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成（如图所示）．若设花园的BC x 边长为（m ），花园的面积为y （m ）． （1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）满足条件的花园面积能达到200 m 吗？若能，求出此时x 的值；若不能，说明理由； （3）根据(1)中求得的函数关系式,描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？ 【答案】（1）x x y 202 12+- =)150(≤ 二次函数综合题分类讨论 一、直角三角形分类讨论： 1 1、已知点 A(1 ，0),B（ -5,0），在直线y 2 x 2 上存在点C，使得 ABC 为直角三角形， 这样的 C 点你能找到个 2、如图 1，已知抛物线C1：y a x 2 2 5 的顶点为 P，与 x 轴相较于 A 、 B 两点（点 A 在点 B 的左边），点 B 的横坐标是 1.（ 1）求 P 点坐标及a的值；（ 2）如图 1，抛物线 C2与抛物线 C1关于 x 轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后得到抛物线C3， C,3的顶点为 M ，当点 P、 M 关于点 B 成中心对称时，求C,3的解析式；（ 3）如图 2，点 Q 是 x 轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点 Q 旋转180 后得到抛物线 C,4，抛物线 C,4的顶点为 N，与 x 轴相交于 E、 F 两点（点 E 在点 F 的左边），当以点 P、 N、 F 为顶点的三角形 是直角三角形时，求点Q 的坐标。（2013 汇编 P56+P147） 3、如图，矩形 A’BC’O’是矩形 OABC( 边 OA 在 x 轴正半轴上，边 OC 在 y 轴正半轴上 )绕 B 点逆时针旋转得到的． O’点在 x 轴的正半轴上， B 点的坐标为 (1，3)． (1)如果二次函数 y＝ ax2＋ bx＋c(a≠0)的图象经过 O、O’两点且图象顶点 M 的纵坐标为 —1．求这个二次函数的解析式； ? (2) 在 (1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P，使得POM 为直角三角形 若存在，请求出P 点的坐标和POM 的面积；若不存在，请说明理由； (3)求边 C’O’所在直线的解析式． 孟老师12月23日初三学案 二次函数在实际问题中的应用 一抛物线形的物体 研究抛物线的问题，需要建立适当的平面直角坐标系，根据已知条件，求出相关点的坐标，确定解析式，这是解答其它问题的基础,． （2012?益阳）已知：如图，抛物线y=a（x﹣1）2+c与x轴交于点A（，0）和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P'（1，3）处． （1）求原抛物线的解析式； （2）学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P'作x轴的平行线交抛物线于C、D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明 通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比（约等 于0.618）．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：，，结果可保留根号） 2（2010?南充）如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B．有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB=4米，AC=3米，网球飞行最大高度OM=5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．（1）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？ （2）当竖直摆放圆柱形桶多少个时，网球可以落入桶内？ 二应用二次函数解决实际问题中的最值 求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法． 二次函数的性质在实际生活中的应用 实际问题与二次函数 一、利用函数求图形面积的最值问题 一、 围成图形面积的最值 1、 只围二边的矩形的面积最值问题 例1、 如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗 圃。 （1） 设矩形的一边长为 米），面积为y （平方米），求y 关 于x 的函数关系式； （2） 当x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？ 解：（1）设矩形的长为x （米），则宽为（18- x ）（米）， 根据题意，得：x x x x y 18)18(2 +-=-=； 又∵180,0180＜x＜x ＞x ＞∴? ??- （2）∵x x x x y 18)18(2+-=-=中，a= -1＜0，∴y 有最大值， 即当9) 1(2182=-?-=-=a b x 时，81)1(41804422max =-?-=-=a b ac y 故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。 2、 只围三边的矩形的面积最值 例2、 如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。问如何围，才能使养鸡场的面积最大？ 解：设养鸡场的长为x （米），面积为y （平方米），则宽为（ 250x -）（米）， 根据题意，得：x x x x y 252 1)250(2+-=-=； 又∵500,02 500＜x＜＞x x ＞∴?????- ∵x x x x y 2521)250(2+-=-=中，a=2 1-＜0，∴y 有最大值， 即当25)21(2252=-?-=-=a b x 时，2625)2 1(42504422max =-?-=-=a b ac y 故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为2 625平方米。 3、 围成正方形的面积最值 例3、将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少? (2)两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由． （1）解：设剪成两段后其中一段为xcm ，则另一段为（20-x ） cm 12999数学网 https://www.360docs.net/doc/c518781120.html, 26.3 实际问题与二次函数 1． 某新建商场设有百货部、服装部和家电部三个经营部，共有190名售货 员，计划全商场日营业额(指每天卖出商品所收到的总金额)为60万元，由于营业性质不同，分配到三个部的售货员的人数也就不等，根据经验，各类商品每1万元营业额所需售货员人数如表（1），每1万元营业额所得利润情况如表（2）。商场将计划日营业额分配给三个经营部，设分配给百货部，服装部和家电部的营业额分别为x ，y 和z （单位：万元，x 、y 、z 都是整数）。（1）请用含x 的代数式分别表示y 和z ；（2）若商场预计每日的总利润为C （万元），且C 满足19≤C ≤19.7。问商场应如何分配营业额给三个经营部？各应分别安排多少名售货员？ 2.某宾馆有50个房间供游客居住。当每个房间定价为每天180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆每天对每个房间需支出20元的各种费用。房价为多少时，宾馆利润最大？ 3. 心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力初步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力y 随时间t 的变化规律有如下关系（04黄冈） （1）讲课开始后第5分钟与讲课开始第25分钟比较，何时学生的注意力更集中？ （2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？ （3）一道数学题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力达到180，那么经过适当安排，老师能否在注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 224100(010)240(1020) 7380(2040)t t t y t t t ?-++<≤??=<≤??-+<≤?? 二次函数（专题） ——线段问题 【教学目标】 一、知识技能 1.会用坐标表示线段长度； 2.能解决与抛物线有关的线段问题. 二、数学思考 1.通过用点的坐标表示线段的长度，体现数形结合的思想； 2.体会分类讨论的思想方法. 三、问题解决 1.引导学生归纳出解决与抛物线有关的线段问题的方法； 2.通过小组讨论发现问题，解决问题，体会在解决问题过程中小组合作的重要性. 四、情感态度 在解决问题的过程中，培养学生独立思考、敢于发表自己见解的学习习惯.在合作交流的过程中使学生体验成功的喜悦，增强学好数学的信心. 【教学重点】 1.用坐标表示线段长; 2.解决与抛物线有关的线段问题. 【教学难点】用坐标表示线段长. 【教学方法】探究归纳法、讲练结合法、小组合作法. 【教学准备】多媒体课件、学案等. 【教学过程】 一、知识回顾 1.已知(,) ，(,)A B --5212，则AB = ; 2.已知(,) ，(，-)C D --1512，则CD = . 一 般地，若 ()(),,, A x y B x y 1122，则当 y y =12时，AB x x =-12； 当x x =12时，AB y y =-12. 【设计意图】 在平面直角坐标系中，若已知点的坐标，可以用坐标求线段的长度.通过观察两点与坐标轴的关系，强调平行于x 轴（或在x 轴上）或者y 轴（或在y 轴上）这一重要前提条件.由两道具体问题的计算推广到一般情况，得出结论，体现了数学由特殊到一般的思想. 二、典例精讲 (一)知识准备 例 如图，抛物线y x bx c =- ++2 14 的图象过点(,)A 40,(,)B --44； (1)求抛物线和直线AB 的解析式； 学生在学案上独立完成，老师在大屏幕上展示解题过程，学生对改、订正. 【设计意图】 复习用待定系数法求函数解析式的过程，加强学生对坐标与解析式关系的 理解，加深对直线和抛物线图形的认识,为下一环节做准备.通过课件展示，规 范学生的解题过程. (二)问题解决 (2)若点D 是线段AB 上的一动点(不与、A B 重合)，过点D 作y 轴的平行线，与抛物线交于点E ,与x 轴交于点C ,设点D 的横坐标为.m 二次函数实际应用问题 1、（1）该养殖场每天的捕捞量与前一天的捕捞量相比每天减少了10kg ； （2）由题意，得：14250402)10950)(5 5()10950(202 ++-=----=x x x x x y （3）14450)10(22 +--=x y ，又201≤≤x 且x 为整数，所以，当101≤≤x 时，y 随x 的增大而增大，当2010≤≤x 时，y 随x 的增大而减小；因此，当10=x 时，y 取得最大值，为14450元。 2、解：（1）由题意，得：w = (x －20)·y =(x －20)·(10500x -+)21070010000x x =-+- 352b x a =-=.答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润． （2）由题意，得：2 10700100002000x x -+-=，解这个方程得：x 1 = 30，x 2 = 40． 答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元. （3）法一：∵10a =-<0，∴抛物线开口向下.∴当30≤x ≤40时，w ≥2000． ∵x ≤32，∴当30≤x ≤32时，w ≥2000． 设成本为P （元），由题意，得：20(10500)P x =-+20010000x =-+ ∵200k =-<0，∴P 随x 的增大而减小.∴当x = 32时，P 最小＝3600. 答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元． 法二：∵10a =-<0，∴抛物线开口向下.∴当30≤x ≤40时，w ≥2000． ∵x ≤32，∴30≤x ≤32时，w ≥2000． ∵10500y x =-+，100k =-<，∴y 随x 的增大而减小.∴当x = 32时，y 最小＝180. ∵当进价一定时，销售量越小，成本越小，∴201803600?=（元）. 3、解：（1）4月份y 与x 满足的函数关系式为0.2 1.8y x =+． 把1x =， 2.8y =和2x =， 2.4y =分别代入2120y x bx c =-++，得1 2.8,20 142 2.4.20b c b c ?-++=????-?++=?? 解得 0.25, 3.1. b c =-??=?∴5月份y 与x 满足的函数关系式为20.050.25 3.1y x x =--+． （2）设4月份第x 周销售一千克此种蔬菜的利润为1W 元，5月份第x 周销售此种蔬菜一千克的利润为2W 元．11 (0.2 1.8)( 1.2)4 W x x =+-+0.050.6x =-+．∵0.050-<，∴1W 随x 的增大而减小．∴当1x =时， 10.050.60.55W =-+=最大．221 (0.050.25 3.1)(2)5 W x x x =--+--+20.050.05 1.1x x =--+． ∵对称轴为0.05 0.52(0.05) x -=- =-?-，且0.050-<，∴当0.5x >-时，y 随x 的增大而减小． ∴当1x =时，21W =最大．所以4月份销售此种蔬菜一千克的利润在第1周最大，最大利润为0.55元； 二次函数的实际应用 1. （2012重庆市10分）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处 理，另一种是通过企业的自身设备进行处理. 某企业去年每月的污水量均为 12000吨，由于 污水厂处于调试阶段， 污水处理能力有限， 该企业投资自建设备处理污水， 两种处理方式同 时进行.1至6月，该企业向污水厂输送的污水量 y 1 （吨）与月份x （1 二次函数七大综合专题 二次函数与三角形的综合题 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 ① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。 如图，已知抛物线与交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与轴交于点B(0，3)。 （1） 求抛物线的解析式； （2） 设抛物线顶点为D ，求四边形AEDB 的面积； （3） △AOB 与△DBE 是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。 （2016?益阳第21题） 如图，顶点为A 的抛物线经过坐标原点O ，与x 轴交于点B ． （1）求抛物线对应的二次函数的表达式； （2）过B 作OA 的平行线交y 轴于点C ，交抛物线于点D ，求证：△OCD ≌△OAB ； （3）在x 轴上找一点P ，使得△PCD 的周长最小，求出P 点的坐标． x y 考点：考查二次函数，三角形的全等、三角形的相似。 解析：（1 ）∵抛物线顶点为A ， 设抛物线对应的二次函数的表达式为2(1y a x =+， 将原点坐标（0，0）代入表达式，得1 3a =-． ∴抛物线对应的二次函数的表达式为：213y x =-+ ． （2）将0y = 代入213y x =-+ 中，得B 点坐标为：， 设直线OA 对应的一次函数的表达式为y kx =， 将A 代入表达式y kx = 中，得k = ， ∴直线OA 对应的一次函数的表达式为y x =． ∵BD ∥AO ，设直线BD 对应的一次函数的表达式为y b =+， 将 B 代入y b = +中，得2b =- ， ∴直线BD 对应的一次函数的表达式为2y x =-． 由2213y x y x ?= -????=-?? 得交点D 的坐标为(3)-， 将0x = 代入2y =-中，得C 点的坐标为(0,2)-， 由勾股定理，得：OA =2=OC ，AB =2=CD , OB OD ==． 在△OAB 与△OCD 中，OA OC AB CD OB OD =?? =??=? ， ∴△OAB ≌△OCD ． （3）点C 关于x 轴的对称点C '的坐标为(0,2)，则C D '与x 轴的交点即为点P ，它使得△PCD 的周长最小． 过点D 作DQ ⊥y ，垂足为Q ，则PO ∥DQ ．∴C PO '?∽C DQ '?． ∴ PO C O DQ C Q '=', 25 = ，∴PO =， ∴ 点P 的坐标为(． 二次函数与平行四边形的综合题 7 二次函数与实际问题 1、理论应用（基本性质的考查：解析式、图象、性质等） 2、实际应用（求最值、最大利润、最大面积等） 解决此类问题的基本思路是： (1)理解问题； (2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系； (3)用数学的方式表示它们之间的关系； (4)做函数求解； (5)检验结果的合理性，拓展等． 例一：如图在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，绿地面积y(㎡)与路宽x(m)之间的关系？并求出绿地面积的最大值？ 变式练习1：如图，用50m长的护栏全部用于建造 一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积 y(㎡)与它与墙平行的边的长x(m)之间的函数 关系式？当x为多长时，花园面积最大？ 例二：某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多? 设销售单价为x元，(0＜x≤13.5)元，那么 （1）销售量可以表示为____________________； （2）销售额可以表示为____________________； （3）所获利润可以表示为__________________； （4）当销售单价是________元时，可以获得最大利润，最大利润是__________。 变式练习2：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子. （1）问题中有哪些变量？其中自变量是_______,因变量是___________. （2）假设增种棵橙子树，那么果园里共有_________棵橙子树,这时平均每棵树结 _________个橙子. （3）如果橙子的总产量为y个，请你写出x与y之间的关系式_______________. （4）果园里种_____棵橙子树橙子的总产量最多，最多是________________。 . 初中数学专项训练：实际问题与二次函数（人教版） 一、利用函数求图形面积的最值问题 一、围成图形面积的最值 1、 只围二边的矩形的面积最值问题 例1、 如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗 圃。 （1） 设矩形的一边长为x （米），面积为y （平方米），求y 关于x 的 函数关系式； （2） 当x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？ 分析：关键是用含x 的代数式表示出矩形的长与宽。 解：（1）设矩形的长为x （米），则宽为（18- x ）（米）， 根据题意，得：x x x x y 18)18(2 +-=-=； 又∵180,0 180 ＜x＜x ＞x ＞∴?? ?- （2）∵x x x x y 18)18(2 +-=-=中，a= -1＜0，∴y 有最大值， 即当9) 1(218 2=-?-=- =a b x 时，81)1(41804422max =-?-=-=a b ac y 故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。 点评：在回扣问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。 2、 只围三边的矩形的面积最值 例2、 如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠 墙。问如何围，才能使养鸡场的面积最大？ 分析：关键是明确问题中的变量是哪两个，并能准确布列出函数关系式 解：设养鸡场的长为x （米），面积为y （平方米），则宽为（2 50x -）（米）， 根据题意，得：x x x x y 252 1 )250( 2+-=-=； 又∵500,02 500 ＜x＜＞x x ＞∴??? ??- ∵x x x x y 2521)250( 2+-=-=中，a=2 1 -＜0，∴y 有最大值， 即当25) 2 1(2252=-?- =-=a b x 时，2625) 2 1(42504422max =-?-=-=a b ac y 实际问题与二次函数（1） 学习目标： 1．会将生活中的实际问题转化为数学问题。 2．能体验二次函数在生活中的应用。 学习重难点： 重点：体会二次函数最值的应用及数形结合思想。 难点：理在转化、建模中，体验解决问题的方法。 学习过程： 一，创设情景，明确目标 请同学们观察以下两个题： 1．抛物线2)1(2 ++-=x y 中，当x ＝___________时，y 有_______值是__________． 2．抛物线15.0y 2+-=x x 中，当x ＝___________时，y 有_______值是__________． 3，某商品现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，那么一周的利润是多少元？ 二，自主学习，指向目标 自学导读 自学课本，思考回答下列问题 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，用怎样的等量关系呢？ 解：（1）设每件涨价x 元，则每星期少卖_________件，实际卖出_________件， 设商品的利润为y 元．则y 与x 的关系式为： （2）设每件降价x 元，则每星期多卖_________件，实际卖出__________件． 设商品的利润为y 元．则y 与x 的关系式为： 自我评价 1．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出（100－x ）件，应如何定价才能使利润最大？ 三，合作探究，达成目标 探究主体1： 抛物线对称轴及顶点坐标 例1用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化，当l 是多少时，场地的面积S 最大？ 《实际问题与二次函数》教学设计 【教学目标】 1．通过对实际问题情景的分析，能够建立二次函数的数学模型，并利用二次函数的知识求解；能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理. 2．经历利用二次函数解决实际问题的过程，学会用数学的思想方法去观察、研究和解决日常生活中所遇到问题，体验数学建模的思想. 3．通过将二次函数的有关的知识灵活用于实际，让学生体会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣，并获得成功感． 【教学重点】 重点:探究利用二次函数的图象和性质解决实际问题的方法． 难点:如何将实际问题转化为二次函数的问题． 【教法学法】 1．教学方法 遵循“教师的主导作用与学生主体地位相统一的教学规律”，采用导学自主的教学模式，体现学生为主体的课前预习和小组合作学习． 2．教学手段 利用多媒体辅助教学，分散教学难点，增大教学容量，提高课堂教学效果． 3．学法指导 引导学生运用数形结合、转化、数学建模等重要数学思想方法，力求 使学生多思、多说、多练以达到最佳的双边活动效果． 【教学过程】 （一）创设情景，引入新课 以旅游为主线，将新乡市和谐公园修建喷泉时遇到的问题抛出，巧妙引出课题：《实际问题与二次函数》． 设计意图： 运用生活中常见的场景创设问题情境，目的是激发学生的兴趣和求知欲望，为新课的探究做好铺垫． （二）知识链接，复习提问 1.二次函数常见的形式有哪几种？ 2.二次函数的顶点坐标是_____，对称轴是______. 当a>0时，图像开口向____，函数有最____值，等于________; 当a<0时，图像开口向____，函数有最____值，等于________. 3．二次函数的图像 向上平移k(k>0)个单位得到解析式________, 向下平移k(k>0)个单位得到解析式________； 向左平移h(h>0)个单位得到解析式________, 向右平移h(h>0)个单位得到解析式________. 设计意图： 在已有知识的基础上提出新问题，能为学生营造一个主动观察、思考、探索的氛围，提高学生的学习兴趣． （三）分组展示，探索新知 二次函数与实际问题 类型一用二次函数解决“抛物线型”问题 方法技巧：利用二次函数解决抛物线问题通常有以下几种：拱桥问题、导弹问题、投抛 球问题、喷泉喷水问题、跳台跳水问题、荡秋千问题等。解决此类问题常常要建立平面直角坐标系，通过建立图象模型，构造二次函数关系式解决实际问题。 1、如图,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边 AE,ED,DB组成,已知河底ED是水平的,ED=16米,AE=8米,抛物线的顶点C到ED的距离是 11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系。 (1)求抛物线的解析式； (2)已知从某时刻开始的40小时内,水面与河底ED的距离h(单位：米)随时间t(单位：时) 的变化满足函数关系h=-1/128(t-19)2+8(0?t?40)，且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行? 2、如图,庄子大桥有一段抛物线形的拱梁,抛物线的表达式为y=ax2+bx,小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC,当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁高度相同,则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需( )秒 类型二用二次函数解决方案设计中最优化的问题 方法技巧：方案最优化问题实际就是求函数的最大（小）值，如利润最大，效益最好， 材料最省，根据题意列出二次函数关系式，通过配方转化为顶点式后，求最值。 1、为鼓励大学毕业生自主创业,某市政府出台了相关政策：由政府协调,本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售,成本价与出厂价之间的差价由政府承担。张刚按照相关政 策投资销售本市生产的一种新型节能灯。已知这种节能灯的成本价为每件10元,出厂价为每件12元,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系近似满足一次函数：y=-10x+500. (1)张刚在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价 为多少元? (2)设张刚获得的利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润? (3)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元。如果张刚想要每月获得的利润 不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元? 实际问题与二次函数（教学设计） 162 团中学高文君 第1课时如何获得最大利润 【学情分析】 学生已经学习了二次函数的概念、图象和性质。这些内容为学习二次函数的应用提供知识支持，又学习了列代数式，列方程解应用题，这些应用性质的内容为本节课的学习提供了建模能力的基础，但是作为建立二次函数模型区解决实际问题，带有很强的综合性、灵活性, 对学生的要求较高。 【教学目标】 1. 能够分析和确定实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值； 2. 经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系； 3. 通过实际问题的解决，逐步领会二次函数的应用价值和实际意义；通过小组合作，交流讨论和探索，建立合作和探索意识，激发学习的兴趣和欲望。 【教学重难点】 1. 探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问题的方法； 2. 如何将实际问题转化为二次函数的问题。 【教学方法】启发引导，小组讨论 【教学过程】一【复习旧知，引入新课】 1 . 二次函数y ax 2 bx c的图象是一条_______________ ，它的对称轴是__________ ，顶点坐标 是. 当a>0时，抛物线开口向，有最点，函数有最______________________________ 值，是 _______ ;当a<0时，抛物线开口向，有最 ____________ 点，函数有最 _______ 值， 2.二次函数y 2x2 8x 9的对称轴是____________ ，顶点坐标是—」当x= _______ 时，函数有最 值，是 _____ 。 【设计意图】在前几节课的学习中，我们已经学习了二次函数的图象和性质，这节课首先复习二次函数的相关内容，唤起学生对二次函数的记忆。 二、【试一试，我能行】 问题.已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格,每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？ 1、本题中的变量是什么？ 2、学生对商品利润问题的理解：每件的利润=售价一进价 总利润=每件的利润X卖出的总件数 总利润=销售额一进货额 3 、学生对两个变量的理解。 师生共同分析：（1）销售额为多少？（2）进货额为多少？ （3）利润y与每件涨价x元的函数关系式是什么？ （4）变量x的取值范围如何确定？ (5)如何求解最值？ 设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先确定y与x的函数关系式。涨(完整版)二次函数综合题分类讨论带答案.doc
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