(中位线定理)
教材单元分析
精品教案设计表
在导师指导下编写一节课的教案，并在备课组或教研组活动中说课。
决，我们提出了三角形中位线定
求证：四边形EFGH是平行四边
证明：连结AC 、BD
在△ABC 中，,E 、F 分别是AB 、BC 的中点.
所以 EF 为△ABC 的中位线由中位线定理有：
EF ∥AC EF ＝
2
1A C 同理可证：
HG ∥AC HG ＝
2
1AC 所以 EF ＝HG , EF ∥HG
故四边形EFGH 是平行四边形
（2）变式训练
若上例中的四边形换成等腰梯形、平行四边形、菱形、矩形、正方形等特殊的四边形，那么所得到的四边形也会特殊吗？ 从中可以总结出什么结论吗？
（3）学生练习 1.已知：如图所示，平行四边形ABCD 的对
角线AC,BD 相交于点O ，AE=EB,
求证：OE ∥BC 。
2.已知：△ABC 的中线BD 、CE 交于点O ，F 、G 分别是OB 、OC 的中点．
求证：四边形
DEFG 是平行四边形．
巩固练习
通过对三角形中位线定理的猜想及证明，提高了同学们提出问题，分析问题及解决问题的能力。
总结
（1）本节课基本内容为：
（2）从实验操作中发现添加辅助线的方法．
（3）转化思想的应用——将
归纳总结
剪拼三角形
三角形中 位线定义 三角形中 位线定理
教学设计
说课提纲
图24.4.1
例2 已知：在四边形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点.
求证：四边形
是平行EFGH 四边形。
分析：要证四边形EFGH 是平行四边形，则要证明
思路一：连结AC ，证：EF ＝HG , EF ∥HG 思路二：连结BD ，证：EH ＝F G , EH ∥FG 思路三::连结AC 、BD 证: EF ∥HG , EH ∥
FG
思路四：连结AC 、BD 证：EF ＝HG ,EH ＝F G
证明：连结AC 、BD
在△ABC 中，,E 、F 分别是AB 、BC 的中点.
所以 EF 为△ABC 的中位线由中位线定理有：
EF ∥AC EF ＝
2
1A C 同理可证：
HG ∥AC HG ＝
2
1AC 所以 EF ＝HG , EF ∥HG
故四边形EFGH 是平行四边形
（2）变式训练
若上例中的四边形换成等腰梯形、平行四边形、菱形、矩形、正方形等特殊的四边形，那么所得到的四边形也会特殊吗？ 从中可以总结出什么结论吗？
（4）学生练习 1.已知：如图所示，平行四边形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O ，AE=EB,
求证：OE ∥BC 。
2.已知：△ABC的中线BD、CE交于点O，
F、G分别是OB、OC的
中点．
求证：四边形DEFG
是平行四边形．
总结
（1）本节课基本内容为：
（2）从实验操作中发现添加辅助线的方法．
（3）转化思想的应用——将三角形问题转化为平行四边形问题。
预计效果让同学们自己猜想归纳定理，并用自己的方法证明自己的猜想，这体现了“学生为主体”的课堂要求，让同学们充分的参与课堂教学中来，与以往的“满堂灌”教学方法有着本质的不同。
导师评议符合大纲，紧扣教材，体现基础知识教学、基本技能训练、能力培养等方面目标，切合学生实际，要求适度，针对性强。注重启发和引导，教学过程设计面向全体学生，因材施教，基础性训练与拓展性训练有机结合。
剪拼三角形三角形中
位线定义
三角形中
位线定理
三角形中位线定理的证明
备课偶得—— 三角形中位线定理的再证明 王贵林 皖南陵县烟墩镇烟墩中心初级中学 241313 三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边且等于第三边长的半。 关于它的证明方法，课本上给出了一种证法。笔者在备课中发现它的证法有8种之多，而且非常有趣，这里写出来与同仁共享，企斧正。 已知：如图1，△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，求证：D E ∥BC 且 证法一、（构造法）如图2，延长DE 到F ，使EF=DE ，连结AF 、CF 、 DC ∵E 为AC 中点 ∴AE=CE ∵EF=DE ∴四边形ADCF 为平行四边形 ∴CF AD ∵D 为AB 中点 ∴AD=BD ∴BD CF ∴四边形DBCF 为平行四边形 ∴DF BC ∴DE=EF ∴DE ∥BC 且 证法二、（构造法）如图3，过CF 作CF ∥AB 交DE 的延长线于F ，则 ∠A=∠ACF ∵E 为AC 中点 ∴AE=CF ∴△AD E ≌△CFE （ASA ） ∴CF=AD ∵D 为AB 中点 ∴AD=BD ∴CF=BD ∵CF ∥BD ∴CF BD ∴四边形DBCF 为平行四边形 ∴DF BC ∴△ADE ≌△CFE ∴DE=EF ∴D E ∥BC 且 证法三、（同一法）如图4，过D 作D E ′∥BC ，交AC 于E ′，过E ′作E ′F ∥AB ，交BC 于F ，则 ∠B=∠ADE ′=∠E ′FC ，∠AE ′D=∠C 四边形DBFE ′是平行四边形 ∴E ′F=BD ∵D 为AB 中点 ∴AD=BD ∴E ′F=AD ∴△ADE ′≌△E ′FC （AAS ） ∴AE ′=CE ′即E ′为AC 中点 ∵E 为AC 中点 ∴E 与E ′重合即DE ∥BC ，△ADE ≌△EFC ，四边形DBFE 为平行四边形 ∴DE=CF DE=BF 即 ∴DE ∥BC 且 图1 B C A D E 图2 B C A D E F 图3 B C A D E F C 图4 B A D E F E ′ 图5 B C A D E 1 2 DE BC =1 2 DE BC =1 2DE BC =12 DE BC =1 2DE BC =
三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方
三角形中位线定理的证明及其教学说明 以下内容作者为：青岛第四中学杨瀚书老师 一、 三角形中位线定理的几种证明方法 法1： 如图所示，延长中位线DE 至F ，使 ，连结CF ，则 ，有AD FC ，所以FC BD ，则四边形BCFD 是平行四边 形，DF BC 。因为 ，所以DE BC 2 1． 法2： 如图所示，过C 作 交DE 的延长线于F ，则 ， 有FC AD ，那么FC BD ，则四边形BCFD 为平行四边形，DF BC 。 因为 ，所以DE BC 2 1． 法3：如图所示，延长DE 至F ，使 ，连接CF 、DC 、AF ，则四边形 ADCF 为平行四边形，有AD CF ，所以FC BD ，那么四边形BCFD 为平 行四边形，DF BC 。因为 ，所以DE BC 2 1．
法4：如图所示，过点E 作MN ∥AB ，过点A 作AM ∥BC ，则四边形ABNM 为平行四边形，易证CEN AEM ???，从而点E 是MN 的中点，易证四边形ADEM 和BDEN 都为平行四边形，所以DE=AM=NC=BN ，DE ∥BC ，即DE BC 21。 法5：如图所示，过三个顶点分别向中位线作垂线． 二、教学说明 1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程：“二维”转化为“一维” 在引导学生探索三角形中位线定理时，由于学生画出中位线后，就不难直观地发现平行关系，难的是发现数量关系，我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题，挖掘它与原有知识的内在联系，从而作如下探索引导。
⑴如图，A为线段BC(或线段BC的延长线)上的任意一点，D、E分别是AB、AC 的中点，线段DE与BC有什么关系？ A C 图⑴： ⑵如果点A不在直线BC上，图形如何变化？上述结论仍然成立吗? C 图⑵： 说明：学生观察（几何画板制作的）课件演示：当△ABC的顶点A运动到直线B C上时,中位线DE也运动到BC上，这样由“二维”转化为“一维”，学生就不难猜想性质的两方面，特别是数量关系，而想到去度量、验证和猜想，水到渠成.如果教师直接叫学生去度量角度和长度，是强扭的瓜不甜. 2、教学重点：本课重点是掌握和运用三角形中位线定理。
三角形中位线定理 知识讲解
三角形中位线定理 【学习目标】 1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理． 2. 掌握中点四边形的形成规律. 【要点梳理】 要点一、三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个 小三角形的周长为原三角形周长的1 2 ，每个小三角形的面积为原三角形 面积的1 4 . （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 要点二、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 【典型例题】 类型一、三角形的中位线 1、（优质试题?北京）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN． （1）求证：BM=MN； （2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长． 【思路点拨】（1）根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，由此即可证明．
(完整版)八年级数学中位线定理
8.4 中位线定理 教学目标： 1、理解并掌握三角形中位线的概念、性质，会利用三角形中位线的性质解决有关问题。 2、经历探索三角形中位线性质的过程，让学生实现动手实践、自主探索、合作交流的学习过程,体会转化的思想方法。 3、通过对问题的探索研究，培养学生分析问题和解决问题的能力以及思维的灵活性。 教学重点：探索并运用三角形中位线的性质。 教学难点：运用转化思想解决有关问题。 教学过程 一、创设情境，引入新课 如图，A 、B 两点被池塘隔开，现在要测量出A 、B 两点间的距离 ，但又无法直接去测量，怎么办？这时，在A 、B 外选一点C ，连结AC 和BC ，并分别找出AC 和BC 的中点D 、E ，如果能测量出DE 的长度，也就能知道AB 的距离了。这是什么道理呢？今天这堂课我们就要来探究其中的学问。 二、探究活动（一） 学生看书：了解三角形中位线的概念：连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。 学生思考：（1）一个三角形有几条中位线？你能画出来么？请学生画出三角形的中位线。 学生活动：动手画图，与同伴交流，得出三角形的中位线有三条。 （2）请学生画出三角形的中线，并说出三角形的中线与中位线的不同教师： （3）正确理解中位线的含义：三角形的中位线定义的两层含义：①∵D 、E 分别为AB 、AC 的中点∴DE 为△ABC 的中位线②∵ DE 为△ABC 的中位线 ∴ D 、E 分别为AB 、AC 的中点 三、探索中位线的性质 1、提出猜想：如右图,已知，在△ABC 中， DE 是△ABC 的中位线，ΔABC 的中位线DE 与BC 有怎样的位置和数量关系？ E D A B C
三角形中位线定理_练习题
三角形的中位线定理 1．三角形中位线的定义： 2．三角形中位线定理的证明： 如图，在△ABC 中，D 、E 是AB 和AC 的中点，求证：DE ∥BC ，DE=2 1 BC ． 方法一： 方法二： 3．归纳：（1）几何语言： （2） 条中位线， 对全等， 个平行四边形 （3）面积 4．拓展：如图，在△ABC 中，D 是AB 的中点，DE ∥BC ，求证： DE= 2 1 BC ． 【巩固练习】 1．如图所示，□ ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE=EB ，求证：OE ∥BC ． 2．如图所示，在△ABC 中，点D 在BC 上且CD=CA ，CF 平分∠ACB ，AE=EB ，求证：EF= 1 2 BD ． 3．已知：如图，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点． 求证：四边形EFGH 是平行四边形． 4．如图所示，已知在□ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，求证：MN ∥BC ． 5．已知：△ABC 的中线BD 、CE 交于点O ，F 、G 分别是OB 、OC 的中点．
求证：四边形DEFG 是平行四边形． 6．已知：如图，E 为□ABCD 中DC 边的延长线上的一点，且CE ＝DC ，连结AE 分别交BC 、BD 于点F 、G ，连结AC 交BD 于O ，连结OF ．求证：AB ＝2OF ． 7．如图，在四边形ABCD 中，AD=BC ，点E ，F ，G 分别是AB ，CD ，AC 的中点． 求证：△EFG 是等腰三角形。 8．如图，在四边形ABCD 中，点E 是线段AD 上的任意一点（E 与A D ，不重合），G F H ，，分别是BE BC CE ，，的中点．求证：四边形EGFH 是平行四边形； 9．如图，点E ，F ，G ，H 分别是CD ，BC ，AB ，DA 的中点． 求证：四边形EFGH 是平行四边形． 10．已知：如图，DE 是△ABC 的中位线，AF 是BC 边上的中线， 求证：DE 与AF 互相平分 11．如图所示，在四边形ABCD 中，DC∥AB，以AD ，AC 为边作□ACED ，延长DC?交EB 于． 求证：EF=FB ．(多种方法)
中位线定理专题
中位线定理专题 烟台市祥和中学初春晓2013年7月16日09:33浏览:149评论:13鲜花:0专家浏览:4指导教师浏览:13指导教师孙春红于13-7-17 09:11推荐精心进行主题单元设计，思维导图设计得很细致，充分利用几何画板引导学生进行探究活动，实现了信息技术与学科的有效整合，一篇原创的，很精彩的作业。 省专家谢志平于13-7-17 15:32推荐本主题单元设计体现中观设计之妙，思维导图内容完整，对单元规划作用明显，专题活动内容设计丰富，信息技术手段与课程的整合运用较好。不足之处对应课标部分建议按照新课标修改。 主题单元标题中位线定理 作者姓名初春晓 学科领域 思想品德音乐 化学 信息技术劳动与技术语文 美术 生物 科学 √数学 外语 历史 社区服务 体育 物理 地理 社会实践 其他（请列出）： 适用年级初中八年级 所需时间共三课时 主题单元学习概述
“中位线定理”主题单元结构包括“三角形中位线定理”、“梯形中位线定理”、“简单应用”三部分，这部分的专题设计，考虑到知识之间的关联，承接上部分学习的证明（三）中，利用公理和定理对特殊四边形的证明进行系统的复习，趁热打铁探索新的中位线定理，先通过创设一些问题情境，引入三角形中位线定义，从而引出三角形中位线定理的证明，并利用这个定理得到中点四边形与原四边形的关系，自然的学生会想到梯形的中位线及定理，从而自然的引入下一节内容，也就将这些内容紧密联系，层层递进，易于激发学生的学习兴趣也有利于帮助学生理解知识之间的联系，展示数学知识的整体性。专题三的简单应用是这两节内容的升华，中位线定理为我们提供了两条线段的数量和位置上的关系，在几何图形的计算和证明中起到了重要的依据，再通过在生活中的应用，让学生经历从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，应用已有知识解决问题的过程，从而加深对本部分知识的理解，提高思维能力。 主题单元规划思维导图 思维导图看不清楚的请打开超链接
三角形中位线定理证明
三角形中位线定理证明 性质1中位线平行于第三边 性质2等于第三边的一半 1定理 2证明 3逆定理 1定理三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半。[1] 三角形的中位线 2证明 如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。 求证DE平行于BC且等于BC/2 方法一：过C作AB的平行线交DE的延长线于G点。 ∵CG∥AD ∴∠A=∠ACG ∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG（用大括号） ∴△ADE≌△CGE （A.S.A) ∴AD=CG(全等三角形对应边相等) ∵D为AB中点 ∴AD=BD ∴BD=CG 又∵BD∥CG ∴BCGD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） ∴DG∥BC且DG=BC ∴DE=DG/2=BC/2 ∴三角形的中位线定理成立. 方法二：相似法： ∵D是AB中点 ∴AD：AB=1：2 ∵E是AC中点 ∴AE：AC=1:2 又∵∠A=∠A ∴△ADE∽△ABC ∴AD：AB=AE：AC=DE：BC=1：2
∠ADE=∠B，∠AED=∠C ∴BC=2DE,BC∥DE 方法三：坐标法： 设三角形三点分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3） 则一条边长为：根号（x2-x1）^2+(y2-y1）^2 另两边中点为（（x1+x3）/2，（y1+y3）/2），和（(x2+x3）/2，（y2+y3）/2） 这两中点距离为：根号（（x2+x3）/2-(x1+x3）/2）^2+((y2+y3）/2-(y1+y3）/2）^2 最后化简时将x3，y3消掉正好中位线长为其对应边长的一半 方法4： 延长DE到点G，使EG=DE，连接CG ∵点E是AC中点 ∴AE=CE ∵AE=CE、∠AED=∠CEG、DE=GE ∴△ADE≌△CGE (S.A.S) ∴AD=CG、∠G=∠ADE ∵D为AB中点 ∴AD=BD ∴BD=CG ∵点D在边AB上 ∴DB∥CG ∴BCGD是平行四边形 ∴DE=DG/2=BC/2 ∴三角形的中位线定理成立[2] 方法五：向量DE=DA+AE=(BA+AC)/2=BC/2[3] ∴DE//BC且DE=BC/2 3逆定理 逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。 如图DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。 证明：∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∴AD:AB=AE:AC=DE:BC=1:2 ∴AD=AB/2，AE=AC/2，即D是AB中点，E是AC中点。 逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。 如图D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2 三角形的中位线 证明：取AC中点E'，连接DE'，则有 AD=BD，AE'=CE' ∴DE'是三角形ABC的中位线 ∴DE'∥BC 又∵DE∥BC
中位线定理证明题
中位线定理证明题 1、 如图，若CD AB //，E 、F 分别是BC 、AD 的中点， 且a AB =，b CD =，求EF 的长 2、已知矩形ABCD 中，cm AB 15=，cm BC 8=，E 、 F 、 G 、 H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求 四边形EFGH 的周长和面积 3、 如图，已知四边形ABCD 中，BC AD //， 若DAB ∠的角平分线AE 交CD 于E ，连结BE ， 且BE 平分ABC ∠，求证：BC AD AB += 4、如图，在ABC ?中，C B ∠=∠2，BC AD ⊥，垂足为D ，M 是BC 的中点，cm AB 10=，求MD 的长 5、 如图，D 、E 、F 分别是ABC ?三边的中点，G 是AE 的中点， BE 与DF 、DG 分别交于P 、Q 两点，求BE PQ :的值 6、 如图，在ABC ?中，AD 平分BAC ∠，AD BD ⊥， AC DE //，交AB 于E ，若5=AB ，求DE 的长 7、连接凸四边形一组对边中点的线段等于另一组对边和的一半，问这个凸四边形是什么四边形试证明你的结论
8、分别以ABC ?的边AC 和BC 为一边，在ABC ?外作正方形ACDE 和 CBFG ，点P 是EF 的中点，如图，求证：点P 到边AB 的距离是AB 的一半 9、如图，在梯形ABCD 中，BC AD //，?=∠30B ， ?=∠60C ，E 、M 、F 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点， 已知7=BC ，3=MN ，求EF 的值 10、如图，已知梯形ABCD 中，BC AD //，?=∠=∠90ADC DCB ，E 为AB 中点，求证：DE CE = 11、如图，已知梯形ABCD 中，CD AB //，?=∠=∠90D DAB ，ACB ?是等边三角形，梯形中位线m EF 4 3 = ，求梯形的下底AB 的长 12、如图，梯形ABCD 的面积是12，求此梯形四边的中点组成的四边形EFGH 的面积 13、如图，已知A 为DE 的中点，设DBC ?、ABC ?、EBC ?的面积分别为1S 、 2S 、3S ，求1S 、2S 、3S 之间的关系 14、如图，在ABC ?中，?=∠120BAC ，以AB 、AC 为向形外作等边三角形ABD 和ACE ，M 为AD 中点，N 为AE 中点，P 为BC 中点，试求MPN ∠的度数
《三角形中位线定理》
课题：三角形中位线定理 科目：数学教学对象：八年级课时：§18.1平行四边形第4课时提供者：大城县第四中学毕宝清 一、教学目标 1.知识与技能： 理解三角形中位线的概念；探索并掌握三角形中位线定理；能正确应用三角形中位线定理解决问题。 2.过程与方法： 经历探索三角形中位线定理的过程，感受数学转化思想。 3.情感态度与价值观： 培养学生大胆猜想、合理论证、归纳结论的科学精神。 二、教学重点、难点 1．重点：探究三角形中位线定理并应用，应用三角形中位线定理解决有关问题。2．难点：三角形中位线定理的证明。 三、教具准备 多媒体、三角形纸片 四、教学过程 教 学 环 节 教学内容师生活动设计意图 一、情境设置 导入新课蚕丝吐尽春未老，烛泪成灰秋更稠。 春播桃李三千圃，秋来硕果满神州。 为感恩教师，七年级六班召开主题 班会，班长要求每个同学把手中的 三角形原料裁成四面完全相同的彩 旗装扮教室，应该怎么裁剪呢？ 教师引 导学生观察 图片，思考问 题后出示课 题. 教育学生懂得感 恩，从学生的生活实际 出发，创设情境，提出 问题，激发学生强烈的 好奇心和求知欲．
环 节 教学内容师生活动设计意图 二、 动手操作 观察发现探究一：三角形中位线的概念 活动一：请同学们按要求画图： （1）画一个任意的△ABC； （2）取AB、AC的中点D、E； （3）连接DE 三角形中位线定义： 连接三角形两边中点的线段叫做三 角形的中位线。 问题1：一个三角形有几条中位线？ 请学生画出三角形中所有中位线。 问题2：三角形的中位线和三角形 的中线有何异同？ 教师引 导学生在练 习本上作图， 实践操作后 分析线段DE 的特征，独立 思考并总结 归纳出三角 形中位线的 定义. 教师 用红笔标出 定义的关键 词：“线段中 点”、“线段” 让学生在作图过 程中充分感知三角形 中位线并加深印象。 通过学生实践操 作把握概念的本质，有 利于学生今后更加准 确运用。 三、 探究性质定理 深化认知探究二：三角形的中位线定理 问题3：如图，DE是△ABC的中位 线，DE与BC有什么 关系？ 通过拼图活动 寻求辅助线做法。 （1）把三角形 纸片沿中位线DE裁开。 （2）变换△ADE的位置，想办 法去构造一条线段等于2DE， （3）画出变换后的图形，并把 △ADE移动后的对应的位置用虚线 画出来。 （4）请仔细观察哪条线段是 DE的2倍。 （5）我们只要证明哪两条线 段相等就可以。 （6）辅助线做法该怎么写？ （7）请构思并书写证明过程。 教师引导 学生从2个 方面探究两 条线段之间 的关系。 学生独立 思考寻求方 法探究结论， 小组讨论交 流并根据探 究结果猜想 三角形的中 位线定理。 教师板书证 明过程，并用 展台展示其 他证明方法。 调动已有知识经 验，结合学生实践操作 感知思考、交流合作探 究三角形中位线的定 理。 通过学生亲自拼 图操作，进一步探究辅 助线做法，并为定理的 证明作好准备工作 经历这个探究的 过程让学生意识到讨 论、合作是学生完成学 习任务的一种手段，而 交流则促进学生智慧 成果共享。
三角形中位线定理 优秀教案
三角形中位线定理 【教学目标】 1．本节课的认知目的是使学生了解三角形的中位线概念及其性质定理，重点是熟悉和掌握三角形中位线定理，并能正确地运用这个定理去解决一些简单的几何问题。 2．本节课利用几何画版平台，动态演示了例题几何图形的多种变化，使学生初步认识事物的动与静、变与不变这一矛盾的对立与统一的辩证唯物主义思想。 【教学重难点】 重点：掌握定理的实质和定理的应用。 难点：定理的证明。 【教学过程】 教 学 过 程 设计思路及应用分析 导读 1．概括这节课的学习内容和认知目标； 2．引入三角形的中位线概念。 连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线 注意：三角形的中位线和三角形的中线不同。 C B A E D C B A E D 对比：三角形有三条中位线，它们组成一个三角形； 三角形有三条中线，它们相交于一点。 C B A E D C B A E D F F 特别强调了本节课的制作特色是动态演示，学习方法是探索研究。 这里用动态连结并配上音 乐，以引起学生的注意。 这里的三条中位线和三条 中线使用闪烁的手法，加 强对比的效果。
三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半 定理表达式 证明：延长DE 到F ，使EF=DE ，连结CF 。 演示：打开几何画板 1．依次拖动三角形的三个顶点，注意DE 和 BC 长度的变化，观察它们的数量关系。 2．自点 D 作 BC 的平行线 FG ，再拖动三个顶点，观察 DE 与 BC 的位置关系。 定理表达式更能清楚地反 映定理的题设和结论。 中位线定理的证明方法较多，因为不作为本节课的重点，所以这里只选用了一种学生比较熟悉的直接证法。 也可以先演示再证明，通过 演示，使学生更直观地了解三角形的中位线和第三边的数量关系以及位置关系。 说明：关闭几何画板时，选择“不保存”。 本例题选自课本，证法一与课本相同。 引导学生分析为什么要连辅助线。 C B A E D A B C D E F
(中位线定理)
教材单元分析 教材人教版单元内容三角形中位线定理课本页码第页至第页年级初二教师 1.本单元教材的作用与地位： 三角形中位线是三角形中重要的线段，三角形中位线定理是一个重要性质定理，它是前面已学过的平行线、全等三角形、平行四边形等知识内容的应用和深化，对进一步学习非常有用，尤其是在判定两直线平行和论证线段倍分关系时常常用到。在三角形中位线定理的证明及应用中，处处渗透了化归思想，它是一种重要的思想方法，无论在今后的学习还是在科学研究中都有着重要的作用，它对拓展学生的思维有着积极的意义。 2.教学指导思想： 本课以探究活动层层深入，环环紧扣，让同学们自己猜想归纳定理，并用自己的方法证明自己的猜想，这体现了“学生为主体”的课堂要求，让同学们充分的参与课堂教学中来，与以往的“满堂灌”教学方法有着本质的不同，不仅凝炼了教学环节，更让学生亲历了知识的生成过程，有效突破了教学的重点和难点。 3.教学目标： 1）知识目标：理解三角形中位线的定义；掌握三角形中位线定理及其应用。 2）能力目标：通过小组活动，提高了同学们的动手能力与合作交流能力；通过对三角形中位线定理的猜想及证明，提高了同学们提出问题，分析问题及解决问题的能力。 3）情感目标：让学生充分经历“探索—发现—猜想—证明”这一过程，体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用，同时渗透归纳、类比、转化等数学思想方法。 4.教材的重点、难点与关键： 重点：理解并应用三角形中位线定理。 难点：三角形中位线定理的运用。 5.教学方法和手段的设计： 采用了“引导探究”式的教学模式，通过引导学生实验、观察、比较、分析和总结，使学生充分地动手、动口、动脑，参与教学全过程。 6.关于思想教育、行为习惯的培养及学习方法指导的设计： 本节课在实验操作的基础上，以问题为核心，创设情景，通过教师的适时引导，学生间、师生间的交流互动，启迪学生的思维，让学生掌握实验与观察、分析与比较、讨论与释疑、概括与归纳、巩固与提高等科学的学习方法；学会举一反三，灵活转换的学习方法，学会运用化归思想去解决问题。
(完整版)人教版八年级下三角形中位线定理
知识点回顾（笔记） 证一证 如图，在△ABC 中，点D,E 分别是AB,AC 边的中点. 1 .2 DE BC DE BC =求证：∥， 证法1：证明：延长DE 到F ，使EF=DE ．连接AF 、CF 、DC ． ∵AE=EC ，DE=EF ， ∴四边形ADCF 是_______________． ∴CF ∥AD ,CF=AD ， ∴CF_____BD ,CF_____BD ， ∴四边形BCFD 是____________ ∴DF_____BC ,DF_______BC ， 12 DE DF =又∵， ∴DE_____BC ,DE=______BC. 证法2：证明：延长DE 到F ，使EF=DE ．连接FC ． ∵∠AED=∠CEF ，AE=CE ， ∴△ADE_____△CFE ．（全等） ∴∠ADE=∠_____,AD=_______, ∴CF______AD,∴BD______CF. ∴四边形BCFD 是___________________. ∴DF_______BC. 12DE DF =又∵， ∴DE_____BC ,DE=______BC.
类型1 三角形中位线的定理及运用 例1如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，求AC的长. 例2 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数． 类型2中位线辅助线的构造 例3如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE. 例4. 如图，在△ABC中，AB=AC，CD是AB边上的中线，延长AB到点E，使BE=AB，连接CE．求 证：CD= CE。
《三角形的中位线定理》教学设计 (表格版)
《三角形的中位线定理》教学设计 【教学目标】 1.知识与技能目标： （1）知道三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的不同； （2）理解三角形中位线定理，并能运用它解决有关问题。 2.能力与过程目标： 借助动手操作及动画变换等形式的直观演示，引导学生通过观察、实验、猜测、联想来发现三角形中位线的性质，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力。经历探索三角形中位线定理的过程，发展合情推理能力，掌握三角形中位线定理； 3.德育目标： 对学生进行事物之间相互转化的辩证的观点的教育。 4.情感目标： 利用多媒体课件，创设问题情境，激发学生的学习热情和兴趣，激活学生的思维。 【教学重点与难点分析】 1、教学重点：掌握和运用三角形中位线性质； 2、教学难点：三角形中位线定理的证明及应用。 【教学方法】 对于三角形中位线的引入采用发现法，在教师的指导下，学生通过观察、探索、猜测、联想等自主探究的方法先获得结论，再去证明。在此过程中，注重对证明思路的启发和数学方法的渗透，提倡证明方法的多样性。课堂教学中，始终以“教师为主导，学生为主体、探究为主线”的教学思想，充分发挥主体地位的作用。 【教学用具】 教师：三角尺、剪刀、三角形纸片、计算机多媒体课件 学生：基本学具、导学案 【设计理念】 本节课我设计故事和问题情境导入，以学案导学，变静态、封闭型课堂为动态、开放性的知识互动交流和探究。借助动手操作演示，配合PowerPoint、几何画板等多媒体手段的动态辅助演示，用以突出教学重点，突破教学难点。力求遵循学生学习数学的认知规律，注意让学生经历知识的生成和发展过程，通过悬而未决的问题、简单的操作活动引起学生的注意，培养其分析问题、解决问题的能力，让学生在学习过程中不断构建各种数学模型，总结数学思想和规律，以便更好地运用所学的知识、方法去解决问题，真正体现“以学生为本”的理念。教学过程中选用的习题练习又易到难，梯度递升，贯穿了转化、一题多解、方程、倍分等数学思想和方法，融知识生成与解决途径于其中，体现了新课标的思想内涵。
中位线定理
八年级数学下册第6章平行四边形 6.4三角形的中位线定理（总第9 课时）主备人：潘敏 （一）预习学案 一、预习目标：1、熟记三角形中位线的定义和定理。 2、会应用三角形中位线定理，进行有关的计算或证明。 3、通过推导中位线性质定理的过程，进一步提高学生的论证 能力和逻辑思维能力。 二、预习重点：熟记中位线的定义和定理，并会熟练应用。 三、预习过程： （一）预习准备 1、三角形的中线是： 2、三角形的中线有条，它们有什么特点？ （二）预习新知： 学习任务一： 阅读课本30-32页内容，回答 1、本节课学习的内容： 2、三角形中位线的定义： 思考：（1）三角形的中位线与中线有什么区别？ （2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？ 用符号表示为： 3、自学课本31页的“三角形中位线定理”的证明，并把证明过程写在下面：学习任务三：自学课本31页的例1，掌握应用三角形中位线定理解决问题的 方法,并解决下列问题。 中，中线BD、CE相交于O，F、G分别为OB、OC的 1、如图所示，ABC 中点。求证：四边形DEFG为平行四边形。
（三）预习诊断： 1、如图，ΔABC中，AB=6㎝， AC=8㎝，BC=10㎝，D﹑E﹑F分别是AB、AC、 BC的中点，则ΔDEF的周长是＿＿＿＿，面积是＿＿＿＿。 2、如图，ΔABC中，DE是中位线，AF是中线，则DE 与 AF 的关系是＿＿＿ 3、如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于D，若DE＝2，则EB＝_____． 4、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，M、N、P分别为AD、BC、BD的中点，若∠ABD＝20°，∠BDC＝70°，求∠NMP的度数. （四）预习质疑 我在学习中的疑问：（提出一个问题比解决一个问题更有价值）
《三角形中位线定理》教案
4.5三角形中位线定理 【教案背景】 1、面向学生：初二学生 2、课时：1课时 3、学科：数学 4、学生准备：提前预习本节课的内容，2张三角形纸，剪刀. 【教材分析】 1、教材的地位和作用： 本节教材是浙江教育出版社的八年级数学下册第四章第五节的内容。三角形中位线既是前面已学过的平行线、全等三角形、平行四边形性质等知识内容的应用和深化，同时为进一步学习等腰三角形的中位线打下基础，尤其是在判定两直线平行和论证线段倍分关系时常常用到。在三角形中位线定理的证明及应用中，处处渗透了归纳、类比、转化等化归思想，它是数学解题的重要思想方法，对拓展学生的思维有着积极的意义。 2、教学目标 （一）知识目标 （1）理解三角形中位线的概念 （2）会证明三角形的中位线定理 （3）能应用三角形中位线定理解决相关的问题； （二）过程与方法目标 进一步经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，发展推理论证的能力。体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用。 （三）情感目标 通过拼图活动，来激发学生的求知欲，进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神，培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度。 3.重点与难点 重点：理解并应用三角形中位线定理。 难点：三角形中位线定理的证明和运用。 【教学方法】 学生在前面的数学学习中具有了一定的合作学习的经验，为了让学生进一步经历、猜测、证明的过程，我采取：启发式教学，在课堂教学，我始终贯彻“教师为主导，学生为主体，探究为主线”的教学思想，通过引导学生实验、观察、比较、分析和总结，使学生充分地参与教学全过程。
【教学过程】 本节课分为五个环节：设景激趣，引入新课概念学习，感悟新知拼图活动，探索定理巩固练习，强化新知小结归纳，作业布置 （一）设景激趣，导入新课 动手实践探索（请您做一做：让学生拿出自己预先准备好的三角形纸板） 1、找出三边的中点 2、连接6点中的任意两点 3、找找哪些线是你已经学过的，哪些是未曾学过的 设计意图： 在本环节，让学生经过动手操作，学生会发现有3条是已经学过的中线，有3条是没有学过的。最终给出三角形中位线的定义。也引出了本节课的课题：三角形的中位线。这样做，既让学生得出三角形中位线的概念又让学生在无形中区分了三角形的中线和三角形中位线 （二）概念学习，感悟新知 三角形中位线的定义： 连接三角形两边中点的线段,叫做三角形的中位线 如图，DE、EF、DF是三角形的3条中位线。 跟踪训练： ①如果D、E分别为AB、AC的中点，那么DE为△ABC的； ②如果DE为△ABC的中位线，那么D、E分别为AB、AC的。设计意图： 学以致用，为了及时的使学生加深三角形中位线的概念印象，为后面的探究打下基础，设立了以上两道简单的抢答题，让学生学会及时的从图中找出信息。 （三）拼图活动、探索定理 C B A F E D C B E D
中位线定理证明
三角形中位线与梯形中位线 一、知识点梳理 1、三角形中位线定义;每个三角形有3条中位线 2、梯形中位线定义;每个梯形有且只有1条中位线 二、定理证明 知识点1：三角形中位线定理 （1）三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 （数量关系与位置关系 （2）定理的证明 如图，已知点D、E分别是AB、AC的中点。求证：DE∥BC,且DE=1／2BC. 知识点2：梯形中位线定理 （1）定理：梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半。 （2）定理的证明 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AE=EB,DF=FC,求证：EF∥BC,EF=1／2(BC+AD) 三、典型例题分析 题型1 三角形的中位线 例1如图在四边形ABCD中，AC=BD,且M、N分别为AD、CB的中点，AC、BD交于点O，MN交BD于点E,交AC于F。求证：OE=OF
例2如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，G、H分别是对角线AC、BD的中点，求证：EF与GH互相平分。 题型2 梯形的中位线 例 3 如图，已知MN是梯形ABCD的中位线，AC、BD与MN交于点F、E，AD=30cm,BC=40cm.求EF的长。 例4填空： （1）顺次连接四边形各边中点所得图形是。 （2）顺次连接平行四边形四边形各边中点所得图形是。 （3）顺次连接矩形各边中点所得图形是。 （4）顺次连接菱形各边中点所得图形是。 （5）顺次连接正方形形各边中点所得图形是。 （6）顺次连接梯形各边中点所得图形是。 （7）顺次连接直角梯形各边中点所得图形是。 （8）顺次连接四边形各边中点所得图形是。
三角形的中位线及定理
《§18.1.2 平行四边形的判定(3)----三角形的中位线及定理》 教学设计 新疆维吾尔自治区克孜勒苏柯尔克孜州阿合奇县同心中学 王全才 课题：§18.1.2 平行四边形的判定----三角形的中位线及定理 一、教材版本：义务教育教科书人民教育出版社出版八年级（下册）第18章p47—49页，§18.1 平行四边形中§18.1.2 平行四边形的 判定中的第3课时的内容。 二、教材分析： 三角形中位线是继三角形的角平分线、中线、高线后的第四条 重要线段，是三角形、平行四边形知识的进一步应用和深化.采用由 特殊的点——“中点”入手来研究，显示了其独到之处. 三角形中位 线定理的证明更是与三角形的全等紧密相连，作为一种暗线贯穿于整 个的平行四边形的知识中。三角形中位线定理为解决直线平行和线段 的倍分关系，提供了新的依据，拓宽了学生的证题思路.三角形中位 线定理的证明和应用，对于培养学生的合情推理能力、发散思维能力 以及探索、体验数学思维规律和用数学知识解决实际问题的能力方面 起着重要的作用，因此地位非常重要. 三、教学目标： 1、理解三角形中位线的概念和三角形中位线定理，掌握它的性质，几何语言的表述，会用三角形中位线定理进行有关的论证和计算。 2、经历三角形中位线的概念和定理的探索、得出过程，培养学生
观察、分析、探索知识的能力及归纳总结能力。 3、通过学生亲自参与定理的发现和证明，培养学生的参与、探索的意识，激发学生的学习兴趣，获得成功的体验。 四、教学重点： （1）三角形中位线的性质的探究与证明方法； （2）三角形中位线的性质的应用． 五、教学难点： （1）猜想结论，实践探究，动手操作的效果与意义； （2）证明三角形中位线的性质的思维拓展与前后知识的贯穿联系，几何辅助线的添加画法。 六、难点的突破： （1）实践性的用动手剪，拼，度量以达验证； （2）证明思维中的拓展以联系平行四边形性的探讨方法，一题多解。 七、教学用具：多媒体、三角尺、学生作的三角形、学生用剪刀、彩 色粉笔。 八、教学方法：猜想法、动手演示实验法、类比法、归纳法、应用举 例法、自主探究有机结合。 教学过程： （一）引入： [问题1]1、什么是三角形的中线？一个三角形有几条中线？ 动手画一画（让学生边画边回忆，同时为引入新知铺垫，通过
《中位线定理》教学设计
《中位线定理》教学设计 《中位线定理》教学设计 莱州市程郭中学曲晓梅 【教案背景】 1、面向学生：初三 2、课时：1 3、学科：数学 4、学生准备：提前预习本节课的内容，若干张三角形纸板，彩色油性笔，剪刀 【教材分析】 1、教材的地位和作用： 本节课是初三数学下册第八章第四节第一课时的内容。三角形中位线既是前面已学过的平行线、全等三角形、平行四边形性质等知识内容的应用和深化，同时为进一步学习梯形的中位线打下基础，尤其是在判定两直线平行和论证线段倍分关系时常常用到。在三角形中位线定理的证明及应用中，处处渗透了归纳、类比、转化等化归思想，它是数学解题的重要思想方法，对拓展学生的思维有着积极的意义。 2、教学目标： 知识目标： （1）理解三角形中位线的概念 （2）会证明三角形的中位线定理 （3）能应用三角形中位线定理解决相关的问题； 过程与方法目标： 进一步经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，发展推理论证的能力。体会合情推
理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用。 情感目标 通过拼图活动，来激发学生的求知欲，进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神，培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度。 3、教学重难点： 重点：理解并应用三角形中位线定理。难点：三角形中位线定理的证明和运用。 【教学方法】 学生在前面的数学学习中具有了一定的合作学习的经验，为了让学生进一步经历、猜测、证明的过程，我采取：启发式教学，在课堂教学，我始终贯彻教师为主导，学生为主体，探究为主线”的教学思想，通过引导学生实验、观察、比较、分析和总结，使学生充分地参与教学全过程。
中位线经典习题及答案
2014年4月王强的初中数学组卷
2014年4月王强的初中数学组卷 一．选择题（共10小题） 1．（2013?铜仁地区）已知△ABC的各边长度分别为3cm，4cm，5cm，则连结各边中点的三角形的周长为（）A．2cm B．7cm C．5cm D．6cm 2．（2013?怀化）如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE=14米，则A、B间的距离是（） A．18米B．24米C．28米D．30米 3．（2012?泰安）如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（） A．4B．3C．2D．1 4．（2013?淄博）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB 的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（） A．B．C．3D．4 5．（1997?海南）用反证法证明命题：“如图，如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF”，证明的第一个步骤是（） A．假定CD∥EF B．假定CD不平行于EF C．已知AB∥EF D．假定AB不平行于EF
6．用反证法证明命题“在Rt△ABC中，若∠A=90°，则∠B≤45°或∠C≤45°“时，应先假设（） A．∠B＞45°，∠C≤45°B．∠B≤45°，∠C＞45°C．∠B＞45°，∠C＞45°D．∠B≤45°，∠C≤45° 7．用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”，第一步应假设（） A．a∥b B．a与b垂直C．a与b不一定平行D．a与b相交 8．能证明命题“x是实数，则（x﹣3）2＞0”是假命题的反例是（） A．x=4 B．x=3 C．x=2 D．x=15 9．下列说法正确的是（） A．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合 B．面积相等的两个三角形一定全等 C．用反证法证明命题“三角形中至少有一个角不大于60°”的第一步是“假设三角形中三个角都大于60°” D． 反比例函数y=中函数值y随自变量x的增大一定而减小 10．下列命题宜用反证法证明的是（） A．等腰三角形两腰上的高相等 B．有一个外角是1200的等腰三角形是等边三角形 C．两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行 D．全等三角形的面积相等 二．填空题（共4小题） 11．（2013?烟台）如图，?ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE 的周长为_________． 12．（2013?乌鲁木齐）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，则DF的长为_________． 13．（2012?枣庄）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=8，则EF的长为_________．
三角形中位线定理及逆定理的证明教学教材
定理 三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半。[1] 三角形的中位线 2证明 如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。 求证DE平行于BC且等于BC/2 方法一：过C作AB的平行线交DE的延长线于G点。 ∵CG∥AD ∴∠A=∠ACG ∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG（用大括号） ∴△ADE≌△CGE （A.S.A) ∴AD=CG(全等三角形对应边相等) ∵D为AB中点 ∴AD=BD ∴BD=CG
又∵BD∥CG ∴BCGD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） ∴DG∥BC且DG=BC ∴DE=DG/2=BC/2 ∴三角形的中位线定理成立. 方法二：相似法： ∵D是AB中点 ∴AD：AB=1：2 ∵E是AC中点 ∴AE：AC=1:2 又∵∠A=∠A ∴△ADE∽△ABC ∴AD：AB=AE：AC=DE：BC=1：2 ∠ADE=∠B，∠AED=∠C ∴BC=2DE,BC∥DE 方法三：坐标法： 设三角形三点分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3） 则一条边长为：根号（x2-x1）^2+(y2-y1）^2 另两边中点为（（x1+x3）/2，（y1+y3）/2），和（(x2+x3）/2，（y2+y3）/2） 这两中点距离为：根号（（x2+x3）/2-(x1+x3）/2）^2+((y2+y3）/2-(y1+y3）/2）^2 最后化简时将x3，y3消掉正好中位线长为其对应边长的一半 方法四：
延长DE到点G，使EG=DE，连接CG ∵点E是AC中点 ∴AE=CE ∵AE=CE、∠AED=∠CEF、DE=GE ∴△ADE≌△CGE (S.A.S) ∴AD=CG、∠G=∠ADE ∵D为AB中点 ∴AD=BD ∴BD=CG ∵点D在边AB上 ∴DB∥CG ∴BCGD是平行四边形 ∴DE=DG/2=BC/2 ∴三角形的中位线定理成立[2] 方法五：向量DE=DA+AE=(BA+AC)/2=BC/2[3] ∴DE//BC且DE=BC/2 3逆定理