线性代数矩阵习题

习题课

一.单项选择题

1. 设A 为n 阶可逆矩阵,λ为A 的一个特征根,则A 的伴随矩阵的特征根之一为( )

A.n A ||1-λ

B. ||1A -λ

C. ||A λ

D. n A ||λ 2.设λ为非奇异矩阵A 的一个特征值,则矩阵1

2

)

31(-A 有一特征值为( )

A.

3

4 B.

4

3 C.

2

1 D.4

1

3.n 阶方阵A 有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的( ) A.充分必要条件 B. 充分而非必要条件 C. 必要而非充分条件 D. 既非充分也非必要条件

4.设B A ,为n 阶矩阵,且A 与B 相似,E 为n 阶单位矩阵,则( ) A. B E A E -=-λλ

B. A 与B 有相同的特征值与特征向量

C. A 与B 都相似于一对角矩阵

D. 对任意常数t ,有A tE -与B tE -相似 二.填空题

1.若四阶矩阵A 与B 相似,矩阵A 的特征值为

5

1,41,31,21,则行列式=--||1

E B 2.设n 阶方阵A 伴随矩阵为*A ,且,0||≠A 若A 有特征值λ,则E A +2*)(的特征值为 3.矩阵????

??

? ??=11111

11111111111A 的非零特征值为 4.n 阶矩阵A 的元素全是1,则A 的n 个特征值为 三、计算题

1.设???

?

? ??=0011100

y x

A 有三个线性无关的特征向量,求x 和y 应满足的条件. 2.设三阶实对称矩阵A 的特征值为1,2,3;矩阵A 的属于特征值1,2,的特征向量分别为

,)1,2,1(,)1,1,1(21T

T --=--=αα

（1）求A 的属于特征值3的特征向量; （2）求矩阵A .

3.设T

)1,1,1(-=ξ为????

? ??---=2135

112b a A 的一特征向量. (1)求b a ,及特征值ξ; (2) A 可否对角化?

4.设三阶矩阵A 满足),3,2,1(==i i A i i αα其中,)2,1,2(,)1,2,2(,)2,2,1(321T

T T --=-==ααα

试求矩阵A .

5.设矩阵,3241

223

???

?

?

?

?----=k k A 问k 为何值时,存在可逆矩阵P ,使得AP P 1-为对角矩阵？并求出P 和相应的对角矩阵.

答 案

一.单项选择题 1、解: B.

设ξλξξ(=A 为A 的属于λ的一个特征向量),则ξλξ**A A A =,即ξλξ*||A A =, 从而ξλξ|)|(1*A A -=.

注:一般地,我们有:若λ为A 的一个特征根,则 (1)T A 的特征根为λ; (2)k A 的特征根为k λ; (3)aA 的特征根为λa ; (4)若A 可逆,则1-A 的特征根为

λ

1

;

(5)若0≠λ,则*A 的特征根为||1A -λ; (6)kE A +的特征根为k +λ. 2、解: B.

设ξλξξ(=A 为A 的属于λ的一个特征向量),则,,2222ξλξξλξa aA A ==(a 为实数), 所以, 1

2

)

31(

-A 的一个特征值为1

2)23

1

(-?=

4

3.

3、解: B.

4、解: D. 二.填空题 1、解: 24.

设ξλξξ(=A 为A 的属于λ的一个特征向量), A 可逆, 则ξλξ11--=A ,ξλξ)1()(11-=---E A , 即 E A --1的特征值为1-λ-1,

从而=--||1E A (2-1)(3-1)(4-1)(5-1)=24.

另一方面, A 与B 相似,所以,存在可逆矩阵P 使得 B AP P =-1, 即P A P B 111---=,

P E A

P

EP P

P A P

E B

)(1

1

1

11

1

-=-=-------,

所以E B --1与E A --1相似,

相似矩阵有相同的行列式,因此, =--||1

E B 24. 2、解:

.1|

|2

2

+λ

A

若A 的特征值为λ,则*

A 的特征值为λ

|

|A ,2

*)(A 的特征值为

2

2

|

|λ

A ,

所以, E A +2

*

)(的特征值为.1|

|2

2

+λ

A

3、解: 4.

计算特征行列式

λ

λλλλλλλλ0

1

0100

10001)

4(11

1

1

1

11111

111111

||-=----------------=

-A E 0)4(3

=-=λλ .

所以,非零特征值为4.

4、解:n,0,其中0为n-1重根.(计算方法如上)。 三、计算题

1、解: 0)1()1(0

1

11

0||2

=+-=-----=-λλλ

λλ

λy x

A E

所以, A 的特征值为1,1321-===λλλ.

因为A 有三个线性无关的特征向量,所以特征值1有两个线性无关的特征向量, 即 r(A E -)=3-2=1, ????

?

?

?-→?????

?

?----=-00

00101

10

10101y x

y x

A E 由秩为1可得: 011=-y

x

,即x 和y 满足0=+y x .

2、解(1)设A 的属于特征值3的特征向量为,),,(3213T x x x =α 矩阵A 的属于不同特征值的特征向量正交, 所以02313==ααααT

T ,

即T

x x x ),,(3213=α为下列方程组的非零解:

??

?=--=+--020

321

321x x x x x x 解得基础解系为T )1,0,1(.

所以A 的属于特征值3的全部特征向量为

k k T

,)1,0,1(3=α为任意实数.

(2) 记,111021

111?????

??----=P 则,30

0020

0011

????

?

??=-AP P 所以, ,30

0020

0011-?????

?

?=P P A 计算得 ,2102

16

131613131

311

?

?

?????

?

?

??---=-P 代入得 .31252102

5213

61????? ??--=A 3、解: (1) 设ξλξξ(=A 为A 的属于特征值λ的一个特征向量),则

???

?

? ??-=????? ??+-+-=λλλξb a A 321,解得 0,3,1=-=-=b a λ

(2)将0,3=-=b a 代入A 得 3

)1(||+=-λλA E ,所以–1为A 的三重特征根.

而???

?

?

?

?----=--10

1325

213A E , .2)=--A E r （ 所以A 不能对角化. 4、解:由题意得 )3,2,(),,(),,(321321321ααααααααα==A A A A , 令 )3,2,(),,,(321321αααααα==B P ,则 ,B AP = ,1-=BP A 用初等行变换计算得 ????

?

??---=-212122221911

P

, 代入得 ????

?

??----=222250

207

31

A 5、解: 先计算特征值和特征向量:

0)1()2(3

2

4

1223

||2

=-+=+---+--=

-λλλλλλk

k A E

所以, A 的特征值为 .1,1321=-==λλλ

对,121-==λλ 求解特征矩阵方程 0)(=--X A E

???

?

? ??---→????? ??-----=--0000224

2240224k k k k A E

要使A 可以对角化,重特征根对应矩阵方程的基础解系包含向量个数应等于它的重数, 所以应有123)(=-=--A E r ,即 k =0.

进一步求得属于121-==λλ的两个线性无关的特征向量为 .)2,0,1(,)0,2,1(21T

T =-=ξξ

类似可得特征根13=λ的一个特征向量为 T

)1,0,1(3=ξ.

令),(321ξξξ=P 则.10

0010

0011

????

? ?

?--=-AP P