幂等矩阵的性质及应用

JIU JIANG UNIVERSITY

毕业论文（设计）

题目幂等矩阵的性质及应用

英文题目Properties and Application

of Idempotent Matrix 院系理学院

专业数学与应用数学

姓名邱望华

年级 A0411

指导教师王侃民

二零零八年五月

幂等矩阵在数学领域以及其他许多领域应用都非常广泛，因此对幂等矩阵进行探讨具有很重要的意义。本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广。首先对幂等矩阵简单性质进行了归纳总结，接着谈到了实幂等矩阵的等价条件并推广到复矩阵以及高次幂等矩阵，然后研究了幂等变换、幂等矩阵线性组合的幂等性、幂等矩阵线性组合的可逆性、幂等矩阵秩有关的性质。

[关键词] 幂等矩阵，性质，幂等性，线性组合

The idempotent matrix is widely applied in mathematics as well as other many places, so there is very vital significance to carry on the discussion to the idempotent matrix . This paper mainly carries on the induction summary some simple nature and the important conclusion of idempotent matrix and carries on the promotion to the related nature. Firstly, this article has carried on the induction summary to its simple nature, then talkes about the equivalence condition of the solid idempotent matrix and extends to the equivalence condition of the plural idempotent matrix and the higher mode idempotent matrix . Then the article studies the idempotent transformation、the idempotency of linear combinations of two idempotent matrices、the invertibility of linear combinations of two idempotent matrices.

[Key Words] the idempotent, the nature, the idempotence,

linear combination

符号表

R 实数域

n R 实数域n 维列向量空间 n n R ? 实数域上的n ×n 阶矩阵 C 复数域

n C 复数域n 维列向量空间 n n C ? 复数域上的n ×n 阶矩阵 A ' 矩阵A 的转置

*A 矩阵A 的伴随

1A - 矩阵A 的逆

det()A 矩阵A 的行列式 rank()A 矩阵A 的秩

()N A 矩阵A 的核空间，即}{

()0,n N A x P Ax P =∈=是一个数域

()R A 矩阵A 的值域，即}{

(),n R A Ax x P P =∈是一个数域 dim V 线性空间V 的维数

1T - 线性变换T 的逆变换 TV T 的值域,即TV ={}T V ξξ∈

1(0)T - T 的核,即{}1(0)0,T T V ξξξ-==∈

目录

第一章预备知识 (1)

1.1幂等矩阵的概念及刻划 (1)

1.2幂等矩阵的一些简单性质 (3)

第二章相关的重要结论 (7)

2.1幂等矩阵的等价条件 (7)

2.2幂等变换 (14)

2.3幂等矩阵线性组合的幂等性 (17)

2.4幂等矩阵线性组合的可逆性 (23)

2.5幂等矩阵的秩方面的有关性质 (26)

结束语 (29)

参考文献 (30)

第一章 预备知识

1.1 幂等矩阵的概念及刻划

定义1[1].对n 阶方阵A ,若2A A =,则称A 为幂等矩阵.

为了对一般幂等矩阵作出刻划,下面先对二阶幂等矩阵讨论,再推广到一般幂等矩阵.

命题1.若A 是幂等矩阵,则与A 相似的任意矩阵是幂等矩阵. 证明：若A 相似于B (记作~A B ),则有同阶可逆矩阵P ,使B =1p -A P [1]

,

从而

2B =1p -A P ·1p -A P =1p -2A P =1p -A P =B . ▌

命题2.若A 是对角分块矩阵，设A =12

r A A A ??

?

? ? ??

?

， 则A 是幂等矩阵?i A (1,2,,)i r = 均是幂等矩阵.

由于每个n 级复数域矩阵A 都与一个若尔当矩阵相似[1]，据命题1和命题2知， 我们只需要讨论若尔当块的幂等性.

若A 是一个2阶复数域矩阵,则A 的若尔当标准型有两种可能的形式:

第一种: 10λ?? ?λ??

,但它不是幂等矩阵.否则有

2

10λ?? ?λ??=10λ??

?

λ??

,有,212λ=λλ=.矛盾.

第二种: 00

1

2λ??

?λ?? ,由2

000

1

122λλ????= ? ?λλ????

,有22

1122,λ=λλ=λ,从而有01λ=或1,20λ=或 1.于是该情况有四种可能的形式:0000?? ???,1000?? ??? ,1001?? ??? ,0001?? ???

(1)

据命题1,于是得到:

定理1[19]. A 是二阶幂等矩阵,则A 是零矩阵或单位矩阵或形如1a

b c a ?? ?-??.

证明: 由以上讨论知A 相似于(1)式中的四个矩阵之一

1若A ～0000?? ??? ,显然有 A =0000?? ???

02若A ～1001?? ??? ,显然有 A =1001??

???

3若A ～1000??

??? ,则有可逆矩阵P =1234λλλλ??

???

，1423(,P )λλλλ≠因为可逆 使

A =14

121423

1423134231423

14231000a b P P c d λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-??

-

?--????

?== ? ?

???

??-

?--??

则有 1d a =- .即 A 1a

b c a ??= ?-?? .

对剩余的一种与此有同样的结果. ▌

设1

12,1n n J λλ

λλ??

?

?

?≥= ? ?

??

?

，由2

n n J J = ，有2,21,λλλ==这是不可能的.于是有:

命题3.当2n ≥时,n 阶若尔当块n J 不具有幂等性.即2

n n J J ≠.

因此,若A 是幂等矩阵，则A 的若尔当标准型如下：

12

00000

n r J λλλ??

?

?

= ?

?

??

据命题1即有

2n n J J =?2,1,2,,i i i r λλ== .

于是0i λ= 或1.

于是我们得到如下定理:

定理2. A 是n 阶幂等矩阵，当且仅当存在n 阶可逆矩阵P ，使 得1A PJP -=.其中J 是主对角线上元素为0或1的对角矩阵. ▌

1.2 幂等矩阵的一些简单性质

性质1.方阵零矩阵和单位矩阵E 是幂等矩阵. 性质2.方阵A 是幂等矩阵，且A 可逆，则A E =. 因为2A A =,则121A A A A A E --===. ▌

据此易知:可逆幂等矩阵的逆矩阵是幂等矩阵.即1A -(如果存在的话)是幂等 矩阵.因为1A E A E -=?=.

性质3.若A 是实幂等矩阵，则*,,A E A A '-都是幂等矩阵. 证明: 对A ',22()()A A A '''==. 对E A -,有

22()22E A E A A E A A E A -=-+=-+=-.

对*A ,先证明对任意两个幂等矩阵,A B ,有关系式 ***

[2]

()AB B A =.

由Cauchy binet -公式有:

*

(,)

()

A i j A

B B i j =矩阵的第行第列代数余子式

=(1)det()({1,,1,1,,},{1,,1,1,,})i j AB j j n i i n +--+-+

=1

(1)

{det()({1,,1,1,,},{1,,1,1,,})n

i j

k A j j n k k n +=--+-+∑

det()({1,,1,1,,},{1,,1,1,,})}B k k n i i n ?-+-+

=**

({},{})1

1

.n

n

jk ki ki jk i j k k A B B A B A ====∑∑

于是，

*2*****2()()()A A AA A A A ====. ▌

性质4.若A 是复数域上的幂等矩阵,则,A E A '-也是幂等矩阵. 证明:

222()()()()A A AA A A '''''====.

22()22E A E A A E A A E A -=-+=-+=-. ▌ 性质5.若A 是幂等矩阵,则A 的特征值只能是1或0. 即知幂等矩阵是半正定矩阵.

证明:由2A A = 知2λλ= (A λ是的特征值)01λ?=或. ▌ 由此易知:幂等矩阵是半正定矩阵.

性质6.若A 是幂等矩阵,设()?λ是A 的最小多项式,

则()?λ=1λλλλ-或或（-1）

从而A 可对角化,且其若尔当标准型为 00

0r

E ?? ???

. 其中r E 是r 阶单位矩阵, r 是A 的秩.

证明:由于矩阵的最小多项式是该矩阵特征多项式的因式, 据性质5知

()?λ=1λλλλ-或或（-1）.

又最小多项式是互素的一次因式的乘积,故可对角化. ▌

性质7[17].若A 是幂等矩阵，则()()N A R E A =-，其中}{

()0

n N A x C Ax =∈=

}{

()(),n n

R E A x C x E A y y C -=∈=-∈.

证明：由2A A = 有()0A E A -=，立即知

E A -的n 阶列向量都是0AX =的解

故有

()()R E A N A -?

又对()a N A ?∈,有

0()()Aa a Aa E A a E A a =?=+-=-()a R E A ?∈-

由a 的任意性知 ()()N A R E A ?-. 于是有 ()()N A R E A =- . ▌ 同样地,有结论 ()()N E A R A -=.

性质8.若A 是幂等矩阵,对任意实数(0,1)a a ≠,则A aE +是可逆矩阵. 证明:由2A A =有

2(1)(1)A A a a E a a E --+=-+

()[(1)](1)A aE A a E a a E +-+=-+.

又由0,1a ≠ 有

1

(){

[(1)]}(1)

A aE A a E E a a +-+=-+

故A aE +可逆,且11

()[(1)](1)

A aE A a E a a -+=

-+-+. ▌

性质9.任一秩为r 的n n ?幂等矩阵A 可分解成A CB =,其中C 是秩为r 的

n r ?矩阵,且r BC E = .(其中r E 是r 阶单位矩阵)

证明:由性质6知, 存在n 阶可逆矩阵P 使

100

0r

E

P AP -??= ???

.

则

()1000

00r

r r E E A P P P E P -????== ? ?????

.

记(),00r r

E C P B E ??

== ???

.显然,B C 满足要求. ▌

性质10.任一幂等矩阵可写成两个实对称矩阵之积.

证明:因为11

00()0000r

r

E

E A P P P P --????''=? ? ?????

.故结论成立 ▌ 性质11.若,A B 均为n n ?阶幂等矩阵,且AB BA =,则AB 与A B '' 均为幂等矩阵.

证明:据题意有：

222()AB ABAB AABB A B AB ====.

2222()[()]()()()()()A B BA BA BA BABA B A BA A B ''''''''''======. ▌

第二章 相关的重要结论

本章按节来逐次讨论和探索幂等矩阵的多个等价条件、幂等变换、线性组合的幂等性、线性组合的可逆性、秩方面的有关性质等有关问题.

2.1 幂等矩阵的等价条件

经过参考多篇文献，并进行归纳和推理可以得出以下定理. 定理1:设A 是n n ?的实矩阵,则下列命题是互相等价的: 1)A 是幂等矩阵. 2)A '是幂等矩阵. 3)E A -是幂等矩阵.

4)对任意的可逆矩阵P ,1P AP -是幂等矩阵.

5)2B A E =-是对合矩阵.(满足2B E =的矩阵B 称为对合矩阵) 6)()()N A R E A =-. 7)()()R A N E A =-.

8)rank rank()A E A n +-=. 9){}()()0R A R E A -= . 10){}()()0N A N E A -= . 11)()()n R R A R E A =⊕-. 12)()()n R N A N E A =⊕-

以上给出了实幂等矩阵的几个等价条件,经过研究和分析知:对复幂等矩阵也有平行的结论.

定理2:设A 是n n ?的复矩阵,则下列命题是互相等价的:

1)A 是幂等矩阵.

2)A '是幂等矩阵. 3)E A -是幂等矩阵.

4)对任意的可逆矩阵P ,1P AP -是幂等矩阵.

5)2B A E =-是对合矩阵.(满足2B E =的矩阵B 称为对合矩阵) 6)()()N A R E A =-. 7)()()R A N E A =-.

8)rank rank()A E A n +-=. 9){}()()0R A R E A -= . 10){}()()0N A N E A -= . 11)()()n C R A R E A =⊕-. 12)()()n C N A N E A =⊕- 证明:

1)?2) 由2A A =知

22()()A A A '''==.

反过来,

222[()][()]()A A A A A ''''''====.

1)?3)

必要性: 在1.2节性质3中已经给出了证明. 充分性:

2()()E A E A -=- ?222E A A E A A A -+=-?=.

1)?4) 由2A A = 知

1211121()P AP P AP P AP P A P P AP -----=?==.

反过来,

12111121()P AP P AP P AP P AP P A P P AP ------=??==

? 2A A =.

1)?5) 由2A A =,有

2B =2(2)A E -=244A A E E -+=.

反过来,

22244B E A A E E A A =?-+=?=.

1)?6)

必要性: 在1.2节性质7中已经给出了详细证明. 充分性: 对,n a R ?∈有

()()()E A a R E A N A -∈-=，故()()E A a N A -∈

于是有

2[()]0()0A E A a A A a -=?-=.

由a 的任意性得2A A =.

1)?7)

必要性: 由2A A =知()Aa R A ?∈,有

()0()E A Aa Aa N E A -=?∈-()()R A N E A ??-.

又()a N E A ?∈-,有()0E A a -=. 于是

()a Aa E A a =+-()()()Aa R A N E A R A =∈?-?

故有()()R A N E A =-.

充分性: 对n a R ?∈,有

()()()Aa R A N E A Aa N E A ∈=-?∈-

于是有

2

-=?-=.

E A Aa A A a

()()0()0

由a的任意性得2A A

=.

1)?8)

必要性: 由2A A

=知()()

=-.

N A R E A

于是有dim()dim()

=-

N A R E A

即有rank rank()

n A E A

-=-

亦即rank rank()

+-=.

A E A n

充分性: 由rank rank()

+-=易知:

A E A n

dim()dim()

=- (*)

N A R E A

又对()

?∈,有

a N A

Aa=

则有

-=-=.

E A a a Aa a

()

由()()

a R E A

∈-

-∈-知()

E A a R E A

即有()()

?-.

N A R E A

据(*)式知

=-.

N A R E A

()()

=.

再由6)得2A A

8)?9)

必要性: 由rank rank()

+-=.即知:

A E A n

+-=.

dim()dim()

R A R E A n

又对n

?∈,有

a R

=+-,

()

a Aa E A a

而(),Aa R A ∈()()E A a R E A -∈-. 故 ()()n C R A R E A =+-.

又dim dim ()dim ()dim[()()]n C R A R E A R A R E A =+--- n =. 故有

dim[()()]0R A R E A -= .

于是, {}()()0R A R E A -= .

充分性: 由{}()()0R A R E A -= 有

dim ()dim ()R A R E A n +-=.

即有

rank rank()A E A n +-=.

9)?10)

必要性: 由上面的证明知由9)有6)和7),再把6)和7)代入到9),立即得到10).

充分性：同理可证. 9)?11) 这是显然的[1]. 10)?12) 这是显然的[1]. ▌

定理3.设A 是秩为r 的n n ?矩阵.则A 是幂等矩阵?存在n 阶可逆矩阵P ,

使1000r

E

P AP -??= ???

. 证明:

必要性: 在1.2节性质6中已给出了证明.

充分性: 由1000r

E

P AP -??

= ???,有 100

0r

E A P P -??=

???

. 则

2111

000000000r

r r

E E E A P P P P P P A ---??????=?== ? ? ???????

. ▌ 以上是对二次幂等矩阵进行了一定的讨论.下面来对高次幂等矩阵进行有关的讨论.

定理4.设,A B 是三次幂等矩阵,即33,A A B B ==,且满足AB BA =,A B ≠, 记C A B =+.则

3()0C C AB A B =?+=.

证明:由矩阵,A B 是幂等可交换的，于是可同时对角化[6]. 即存在可逆矩阵

P ,使得1112,P AP P BP --Λ=Λ=均为对角矩阵,而且它们对角元素分别是,A B 的特

征值.从而有

1112,.A P P B P P --=Λ=Λ

进而

112()C P P -=Λ+Λ.

于是

3C C =可以等价为3223

33,1

,2,,i i i i i i i i i n λλμλμμλμ+++=+= . 其中,i i λμ分别是12,ΛΛ的对角元.

又由30,1,1x x x =?=-知,A B 的特征值只有0,-1,1. 即

333,,(1,2,,)i i i i i r λλμμ===

于是3C C =等价为220,(1,2,,)i i i i i r λμλμ+== . 即

22

1212O ΛΛ+ΛΛ=.

因此3C C =等价为()0AB A B +=. ▌

注:当2A A =,立即有32A A A ==,同样地,对k ?,(2k ≥为正整数) k A A = 即任意的二次幂等矩阵均为k 次幂等矩阵.因此可得以下推论.

推论: 设,A B 是二次幂等矩阵,且满足AB BA =,A B ≠,记C A B =+. 则 2()0C C AB A B =?+=. ▌

引理1[1].对任意两个同阶矩阵,A B ,有rank()rank()rank()A B A B +≤+. 引理2[1].设,A B 为n n ?矩阵,满足AB O =,则有rank rank A B n +≤. 定理5.设矩阵A 满足3,A A =且A 可逆. 则2A E =且rank rank()rank()2A A E A E n +++-=. 证明: 由3,A A =A 可逆,有

-13-12A A A A A E ?=??=()()A E A E O ?+-=.

于是据引理2有

r a n k

()r a n k ()A E A E n ++-≤ (1)

又2()()E E A E A =++-据引理1有

rank(2)rank[()()]n E E A E A ==++- rank()rank()E A E A ≤++-

rank()rank()A E A E =++-. (2)

有(1)式和(2)式有

rank()rank()A E A E n ++-=.

由于A 可逆知rank A n =. 因此有

rank rank()rank()2A A E A E n +++-=. ▌

定理6.设矩阵A 满足,(2)k A A k =≥.则*,,A A A ''都是k 此幂等矩阵.

证明: 对A ',

()()k k A A A '''==.

对*,A

**

***()()k k k A A A A A =??==

个

. 对,A '

()()()k k k A A A A ''''===. ▌

定理7. 设矩阵A 满足,(2)k A A k =≥. 则A 的特征值为0和22cos

sin ,(0,1,,2)11

m m m i m k k k ππ

ε=+=--- . 证明: 由k A A =,有

k λλ=,其中λ是矩阵A 的特征值.解方程k λλ=

可得

220cos sin ,(0,1,,2)11

m m i m k k k ππλ=+=--- 以及. ▌

2.2 幂等变换

数域F 上n 维线性空间V 的全部线性变换组成的集合()L V 对于线性变换的加

法与数量乘法构成F 上的一个线性空间，与数域F 上n 阶方阵构成的线性空间

n n F ?同构.特别地，与幂等矩阵对应的是幂等变换.因此为了讨论和探索幂等矩阵的性质时很有必要去探索幂等变换的相关性质.

定义1.设T 是线性空间V 的一个线性变换,若2T T =,则称T 是幂等变换. 由于矩阵与变换间存在一一对应的关系,因此前面所提到的性质和结论可以平 移到幂等变换上来.限于篇幅,下面只举几个例子. 性质1.可逆的幂等变换是恒等变换.

证明:恒等变换与单位矩阵相对应.因此该性质与“可逆的幂等矩阵为单位矩 阵”一致. ▌

性质2.若T 是幂等变换,则T τ-也是幂等变换.(其中τ是恒等变换) 性质3.T 是幂等变换?2T τ-为对合变换. 其中线性变换T 满足2T τ=,则称T 是对合变换.

性质4.T 是线性空间V 上的幂等变换,则1(0)V TV T -=⊕.▌

我们知道:对于一般的线性变换来说,虽然1dim dim (0)dim TV T V -+=,但未必 有1(0)V TV T -=⊕.这样的例子很多.

例如:在线性空间[]n P x 中令 (())()f x f x ?'=.则微分变换是一线性变换[1],其 值域为1[]n P x -,其核是子空间P .它们的维数分别是1,1n -.但显然

1[]n P x -+P ≠[]n P x .

性质5.设T 和U 是n 维线性空间V 上的线性变换,且22,T T U U ==. 如果2()T U T U +=+,则0TU UT ==. 证明:

由2()T U T U +=+, 可得

0TU UT +=……………………………………①

对①式左乘T 得

0TU TUT +=…………………………………②

对①式右乘T 得

0TUT UT +=……………………………………③

比较②和③得 TU UT =. 代入到①式得到 20TU =.

于是就有 0TU UT ==. ▌

性质6.设T ,U 是n 维线性空间上的线性变换,且22,T T U U ==. 则 1) ,TV UV TU U UT T =?==. 2) 11(0)(0),T U TU T UT U --=?==.