概率论习题五答案

1. 设随机变量X 的方差为

2.5,试用切比雪夫不等式估计概率P{|X -E(X)|≥5}的值.

解：

2. 将一颗均匀骰子掷10次,X 为点数6出现的次数,用切比雪夫不等式估计P{|X -E(X )|<2}的值,并计算P{|X -E(X )|<2}的值.

3. 一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50kg,标准差为5kg,若用最大载重量为5t的汽车承运,试用中心极限定理说明每车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977.

解： i=1,2,3，…，n 易知

看作独立分布的随机变量，令

E()=50 D()=25 E()=50n D()=25n

由中心极限定理有，

4.是独立同分布的随机变量序列，其中

解：令 ,证明渐近服从标准正态分布。

证：

由中心极限定理有

即

5.一射手射击一次的得分X 是一个随机变量,其分布律为

X 8 9 10

P 0.01 0.29 0.70

(1)求独立射击10次总得分小于等于96的概率;

(2)求在900次独立射击中得分为8分的射击次数大于等于6的概率

解：E(X)=9.69

(

(1)以分别记10次射击的得分，则：

(2)设在900次射击中得分为8分的射击次数随机变量Y ，则

6.一学校有1000名住校生,每人都以8 0%的概率去图书馆上自

习,问图书馆至少应设多少个座位,才能以99%的概率保证去自习的同学都有座位.

解：X表示同时去图书馆上自习的人数，并设图书馆至少设

n个座位，才能以99%的概率保证去上自习的同学都有座位，

即n满足

n故取n=830

7.试利用（1）切比雪夫不等式；（2）中心极限定理，分别确定投掷一枚均匀硬币的次数，使得出现“正面向上”的频数在0.4～0.6的概率不小于0.9.

解：X ～n p np X D n np X E n B 25.0)1()(,5.0)(),5.0,(=-===

（1），{}{}

{}9

.025

101.025.01)1.0()(11.05.01.05.01.06.04.06.04.022≥-=-=-≥<-=<-<-=<<=?

??

???<<≤n

n n n X D n n X P n n X n P n X n P n x P

（2）{}68

65.67,645.12.095

.0)2.0(9.01)2.0(2)2.0()2.0()

25.05.04.0()25.05.06.0(6.04.06.04.0=≥≥≥≥-=--=---=<<=?

??

???<

8.计算机做加法运算时，要每一个加数取整（即最接近它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们都服从均匀分布[]5.0,5.0-u ，如果将1500个数相加，求得误差总和的绝对值超过15的概率。 解：以k X 表示第k 个数的取整误差（1500...,3,2,1=k ），它们相互独立并

服从[]5.0,5.0-u ，有121)(,0)(==k k X D X E 由中心极限定理，∑=1500

1

150012k k X 渐近服从

)

1,0(N 分布，于是

[][]1802.09099.012)34.1(12151500121500122151500115001=-=-≈?

??????>=??????>∑∑==φk k

k k X P X P

9.试证当∞→n 时，21

!

1→∑=-n

k k n

k n e

证：设,...)2,1(=k X k 为服从参数的λ=1泊松分布，并相互独立，由列

维中心极限定理知)(2

1

210)1(12

12

∞→=∞-→

?

??

???≤-=-

=?∑n dt e

X n P t n

k k π即

),(2

1

1∞→→??????≤∑=n n X P n k k 而∑=n

k k X 1服从参数λ=n 的泊松分布，故有

)

(21

!

!!1111∞→→==??????∑∑

∑∑=-=-=-=n k n e k n e k e n X P n

k k n n

k k n

n k n k n k k 于是 (B)

1.设随机变量，，21X X ...n X 相互独立，++=21X X S n ...n X ,则根据林德伯格—列维中心极限定理，当n 充分大时，n S 近似服从正态分布，只要，，21X X ...n X ( ) (A)有相同的数学期望 (B)有相同的方差 (C)服从同一指数分布 (D)服从同一离散性分布 解：（A ）,(B)的条件不够

（D ）缺少“方差不为0”，故（C ）入选

2.在太平上重复称量一重为λ的物品，假设各次称量结果相互独立且

服从正态分布i X ～()22.0,a N ,若此n X 表示n 次称量结果的算术平均值，则为{}

95.01.0≥<-a X P n 使，n 的最小值不小于自然数（ ） (A)16 (B)8 (C)4 (D)32

解：设第i 次称量结果为),...,2,1(n i X i =由题设n X X X ,...,,21独立同分布，

i X ～)2.0,(2

a N ,∑==n

i i n X n X 1

1作为独立正态变量n X X X ,...,21的线性组合仍

是正态变量，且有n X ～)2.0,(2n a N 故2

.0)

(a X n n -～)1,0(N {}

1)2(2)2()2(22.0)(1.0-=--=??

?

?

??????<-=<-n n n n a X n P a X P n n φφφ 由{}

975.0)2

(95.01.01)2(

2≥≥<-=--n

a X P n n φφ得 查表得96.12

≥n

，即3664.15)92.3(2=≥n 。故n 至少为16，

（A ）入选。