数字信号处理复习2

绪论：本章介绍数字信号处理课程的基本概念。

0.1信号、系统与信号处理

1.信号

信号是信息的载体。分类：模拟信号、量化信号、抽样信号和数字信号。

2.系统

系统定义为处理（或变换）信号的物理设备，或者说，凡是能将信号加以变换以达到人们要求的各种设备都称为系统。

3.信号处理

信号处理即是用系统对信号进行某种加工。包括：滤波、分析、变换、综合、压缩、估计、识别等等。

所谓“数字信号处理”，就是用数值计算的方法，完成对信号的处理。通过处理，往往可以达到两个目的：

0.2数字信号处理系统的基本组成

0.3数字信号处理的特点

（1）灵活性。

（2）高精度和高稳定性。

（3）便于大规模集成。

（4）对数字信号可以存储、运算、系统可以获得高性能指标。

0.4数字信号处理基本学科分支

数字信号处理（DSP）一般有两层含义，一层是广义的理解，为数字信号处理技术——Digital Signal Processing，另一层是狭义的理解，为数字信号处理器——Digital Signal Processor。

0.5课程内容

该课程在本科阶段主要介绍以傅里叶变换为基础的“经典”处理方法，包括：

（1）离散傅里叶变换及其快速算法。

（2）滤波理论（线性时不变离散时间系统，用于分离相加性组合的信号，要求信号频谱占据不同的频段）。

在研究生阶段相应课程为“现代信号处理”（Advanced Signal Processing）。信号对象主要是随机信号，主要内容是自适应滤波（用于分离相加性组合的信号，但频谱占据同一频段）和现代谱估计。

一、重点与难点

1.信号及其分类；

2.数字信号处理系统的基本组成。

二、具体讲解

1．信号及其分类

信号是信息的载体，以某种函数的形式传递信息。这个函数可以是时间域、频率域或其它域，但最基础的域是时域。

分类：

周期信号/非周期信号

确定信号/随机信号

能量信号/功率信号

连续时间信号/离散时间信号/数字信号

按自变量与函数值的取值形式不同分类：

2．数字信号处理系统的基本组成

数字信号处理就是用数值计算的方法对信号进行变换和处理。不仅应用于数字化信号的处理，而且也可应用于模拟信号的处理。以下讨论模拟信号数字化处理系统框图。

（1）前置滤波器

将输入信号x a(t)中高于某一频率（称折叠频率，等于抽样频率的一半）的分量加以滤除。

（2）A/D变换器

在A/D变换器中每隔T秒（抽样周期）取出一次x a(t)的幅度，抽样后的信号称为离散信号。在A/D变换器中的保持电路中进一步变换为若干位码。

（3）数字信号处理器（DSP）

（4）D/A变换器

按照预定要求，在处理器中将信号序列x(n)进行加工处理得到输出信号y(n)。由一个二进制码流产生一个阶梯波形，是形成模拟信号的第一步。

（5）模拟滤波器

把阶梯波形平滑成预期的模拟信号；以滤除掉不需要的高频分量，生成所需的模拟信号y a(t)。

1．周期信号的傅里叶级数

复指数函数集是一种常见的完备正交函数集，周期信号可以表示为复指数函数的线性组合。

一般是复函数。

2．傅里叶变换

（1）定义

电信号：时域频域

f(t)F(Ω)

f(t)与F(Ω)之间的关系——傅里叶变换

正变换

积分因子：

反变换

积分因子：

（2）傅里叶变换性质

3．冲激函数δ(t)

（1）定义

（2）性质

δ(t)＝0，当t≠0时

抽样性：

搬移性：

4．卷积

卷积积分

卷积的傅里叶变换

时域卷积

频域卷积

第一章：本章概念较多，需要理解和识记的内容较多，学习时要注意。

1.2离散时间信号

1.离散时间信号的定义

离散时间信号是指一个实数或复数的数字序列，它是整数自变量n的函数，表示为x(n)。离散时间信号也常用图形描述。

2.几种基本离散时间信号

（1）单位采样序列

（2）单位阶跃序列

（3）矩形序列

（4）实指数序列

（5）正弦序列

ω是正弦序列数字域的频率，单位是弧度。

对连续信号中的正弦信号进行采样，可得正弦序列。设连续信号为，它的采样值为，因此

这个式子具有一般性，它反映了由连续信号采样得到的离散序列，其数字频率与模拟频率的一般关系。另外需要说明的是，ω的单位为弧度，Ω的单位为弧度/秒。本书中，我们一律以ω表示数字域频率，而以Ω及f表示模拟域频率。

（6）复指数序列

复指数序列是以余弦序列为实部、正弦序列为虚部所构成的一个复数序列。

3.信号运算

（1）加法：两个信号之和

由同序号的序列值逐点对应相加得到。

（2）乘法：两个信号之积

由同序号的序列值逐点对应相乘得到。

（3）移位：

当，序列右移（称为延时）；当，序列左移（称为超前）。

（4）翻转：

（5）尺度变换：或，其中M和N都是正整数。

当时，序列是通过取x(n)的每第M个采样形成，这种运算称为下采样。

对于序列，定义如下

这种运算称为上采样。

4.信号分解

任一信号x(n)可表示成单位脉冲序列的移位加权和

简记为

一、重点与难点

1.几种常用的信号；

2.公式 的含义；

3.线性、时不变、因果和稳定系统的判别；

4.线性卷积的计算；

5.采样的框图、时域采样定理及信号内插恢复的过程。

二、具体讲解

1．线性卷积

线性卷积是一种非常重要的一种运算，对它的求解，一般我们采用作图法。线性卷积满足交换律，设两序列长度分别是N和M，线性卷积后序列的长度为N＋M－1。

卷积的计算过程包括翻转、移位、相乘、相加四个过程。

1）将和用和表示，画出和这两个序列；

2）选择一个序列，并将其按时间翻转形成序列；

3）将移位n，得到；

4）将和相同m的序列值对应相乘后，再相加。

2．连续信号的采样

对连续信号进行理想采样，设采样脉冲，则采样输出

在讨论理想采样后，信号频谱发生的变化时，可遵循下面的思路：

1）由；2）由；

3）根据频域卷积定理，由计算出。

计算过程：

1）

2）周期信号可以用傅里叶级数展开，因此

其中系数

所以

其傅里叶变换

3）

因此，采样后信号频谱产生周期延拓，周期为Ωs，同时幅度为原来的1/T倍。这是一个非常重要的性质，应熟练掌握。

例题

1.用单位脉冲序列及其加权和表示图所示序列

解：

2.判别系统y(n) =T[x(n)]=a x(n)+ b是否为线性系统，是否为时不变系统？

解：（1）线性

T[x1(n)]= a x1(n)+b

T[x2(n)]= a x2(n)+b

而T[x1(n)+x2(n)]=a[x1(n)+x2(n)]+b≠a x1(n)+ b+a x2(n)+ b

故此系统不是线性系统。

（2）时不变性

T[x(n-n0)]=a x(n-n0)+b

y(n-n0) = a x (n-n0)+b= T[x(n-n0)]

故该系统是时不变系统。

3.判别系统y(n) =T[x(n)]=x(n)cos(ω0n+φ)的因果稳定性。

解：（1）因果性

因为y(n) =T[x(n)]=x(n)cos(ω0n+φ)只与x(n)的当前值有关，而与x(n+1)，x(n+2)……等未来值无关，故系统是因果的。

（2）稳定性

当| x(n)|

4.若LTI系统的输入x(n)和输出y(n)满足下列差分方程

y(n)=a y(n-1)+x(n)

求起始条件分别为h(n)=0，n<0和h(n)=0，n>0时的单位脉冲响应。

解：（1）令x(n)=δ(n)，根据起始条件可递推如下

y(0)=δ(0)=1，y(1)=a y(0)=a，……y(n)=a y(n-1)=a^-n

因此h(n)= y(n) =a^-n.u(n)

（2）将差分方程改写成

y(n-1)=1/a[y(n)-x(n)]

n→n+1，则y(n)=1/a[y(n+1)-x(n+1)]

根据起始条件可递推如下

y(0)=1/a[y(1)-δ(1)]=0，y(-1)=1/a[y(0)-δ(0)]=-1/a，……y(n)=a y(n-1)=-a^-n

因此h(n)= y(n) =-a^-n.u(-n-1)

第二章：本章涉及信号及系统的频域分析方法，概念较多，但很基础，学习时要注意。

2.1序列的傅里叶变换的定义及性质

1.定义

若序列满足绝对可和条件

则其傅里叶变换（Discrete Time Fourier Transform-DTFT）定义为

反变换

傅里叶变换对

2.性质

1）The function is periodic with fundamental period 2π.

2）时移特性

3）频移特性

4）时域卷积定理

5）频域卷积定理

6）帕斯瓦尔定理

时域总能量等于频域一周期内总能量。

一、重点与难点

1.序列的傅里叶变换（DTFT）的定义、物理意义和性质；

2.z变换的定义、收敛域、性质，z反变换；

3.系统函数，收敛域与系统因果、稳定性的关系；

4.频率响应的定义，几何确定法。

二、具体讲解

1.离散时间系统的频率响应

系统的单位脉冲响应h(n)的离散时间傅里叶变换

称为系统的频率响应，它表征了离散时间系统在频域中的特性。

一般来说，是复函数，表示为

其中，||称为系统的幅度响应或幅度特性，arg[]称为系统的相位响应或相位特性。

系统的频率响应是以2π为周期的ω的连续函数，这一点和连续系统的频率响应是不同的，学习时应加以注意。若h(n)为实数，则系统的幅度响应在区间内是偶对称的，而相位响应是奇对称的。

2.傅里叶变换时域、频域对应关系

根据序列的傅里叶变换和离散傅里叶级数频域特性，再结合连续时间信号的傅里叶变换频域特性，我们可以得出傅里叶变换时、频域的一般对应关系：连续→非周期，离散→周期。这种对应关系很重要，要求熟记。

3.一些常用序列的z变换

（1）单位脉冲序列

Z[]=1

（2）实指数信号

，

，

，

，

4.系统函数零极点分布对系统特性的影响

系统稳定的充要条件是系统函数H(z)的收敛域包括单位圆，一个稳定的因果系统的系统函数的所有极点都在单位圆内。对这些结论要能够理解。

例题

1.求，的反变换。

解：

X(z)全为一阶极点，故极点上的留数为：

所以

根据给定的收敛域，可知第一项对应于因果序列，第二项对应于左边序列，因此

2.已知H(z)=1-z^-N，利用几何法分析系统的幅频特性。

解：

H(z)的极点为z=0，这是一个N阶极点，它不影响系统的幅频特性。

零点有N个，令

z^N-1=0

则

，k=0,1,2...N-1

N个零点等间隔分布在单位圆上。当ω从0变化到2π时，每遇到一个零点，幅度为0，在两个零点的中间幅度最大，形成峰值。通常将图所示幅频特性的滤波器称为梳状滤波器。

第三章：DFT是为适应计算机分析傅里叶变换规定的一种专

门运算，本章是数字信号处理课程的重点章节。

3.3离散傅里叶级数

1.周期序列的离散傅里叶级数

连续时间周期信号可以用傅里叶级数表示，离散周期序列也可以表示成傅里叶级数形式。

周期为N的复指数序列的基频序列为

k次谐波序列为

由于，即，因而，离散傅里叶级数的所有谐波成分中只有N个是独立的。因此在展开成离散傅里叶级数时，我们只能取N个独立的谐波分量，通常取k=0到(N-1)，即

（*）

式中，1/N是习惯上采用的常数，是k次谐波的系数。利用

将（*）式两端同乘以，并对一个周期求和

即

由于

所以也是一个以N为周期的周期序列。因此，时域离散周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍然是一个周期序列。

令，则

其中，符号DFS[.]表示离散傅里叶级数正变换，IDFS[.]表示离散傅里叶级数反变换。

2.周期序列的傅里叶变换

思路：由

利用和DTFT的频移特性，可得

一、重点与难点

1.DFT的定义、性质，DFT与z变换、DTFT之间的关系；

2.循环卷积的计算；

3.频域采样定理；

4.圆周卷积和线性卷积的关系，DFT计算线性卷积的框图；

5.DFT进行谱分析参数选择，三种误差产生的原因及解决办法。

二、具体讲解

1.频域采样定理

离散傅里叶变换相当于信号傅里叶变换的等间隔采样，也就是说实现了频域的采样，便于计算机计算。那么是否任一序列都能用频域采样的方法去逼近呢？这是一个很吸引人的问题。

我们考虑一个任意的绝对可和的序列x(n)，它的z变换为

如果对X(z)单位圆上进行等距离采样

现在要问，这样采样以后，信息有没有损失？或者说，采样后所获得的有限长序列x N(n)能不能代表原序列x(n)。

为了弄清这个问题，我们从周期序列开始

由于

所以

也即是原非周期序列x(n)的周期延拓序列，其时域周期为频域采样点数N。在第一章我们看到，时域的采样造成频域的周期延拓，这里又对称的看到，频域采样同样造成时域的周期延拓。

因此，如果序列x(n)不是有限长的，则时域周期延拓时，必然造成混叠现象，因而一定会产生误差。

对于长度为M的有限长序列，只有当频域采样点数N大于或等于序列长度M时，才有

即可由频域采样值X(k)恢复出原序列x(n)，否则产生时域混叠现象，这就是所谓的频域采样定理。

2.用DFT进行谱分析的误差问题

（1）混叠现象

利用DFT逼近连续时间信号的傅里叶变换，为避免混叠失真，按照抽样定理的要求，采样频率至少是信号最高频率的两倍。

解决混叠问题的唯一方法是保证采样频率足够高。

（2）频谱泄露

任何带限信号都是非时限的，任何时限信号都是非带限的。实际问题中遇到的离散时间序列可能是非时限的、无限长序列，在对该序列利用DFT进行处理时，由于作DFT的点数总是有限的，因此就有一个必须将该序列截断的问题。序列截断的过程相当

于给该序列乘上一个矩形窗口函数RN(n)。如果原来序列的频谱为，矩形窗函数的频谱为，则截断后有限长序列的频谱为

由于矩形窗函数频谱的引入，使卷积后的频谱被展宽了，即的频谱“泄露”到其它频率处，称为频谱泄露。

在进行DFT时，由于取无限个数据是不可能的，所以序列的时域截断是必然的，泄露是难以避免的。为了尽量减少泄露的影响，截断时要根据具体的情况，选择适当形状的窗函数，如汉宁窗或汉明窗等。

（3）栅栏效应

由于DFT是有限长序列的频谱等间隔采样所得到的样本值，这就相当于透过一个栅栏去观察原来信号的频谱，因此必然有一些地方被栅栏所遮挡，这些被遮挡的部分就是未被采样到的部分，这种现象称为栅栏效应。由于栅栏效应总是存在的，因而可能会使信号频率中某些较大的频率分量由于被“遮挡”而无法得到反映。此时，通常在有限长序列的尾部增补若干个零值，借以改变原序列的长度。这样对加长的序列作DFT时，由于点数增加就相当于调整了原来栅栏的间隙，可以使原来得不到反映的那些较大的频率分量落在采样点上而得到反映。

例题

1.设x(t)的最高频率f c不超过3Hz，现用f s＝10Hz，即T＝0.1s对其抽样，求所得到的频率最大分辨率。如果信号x(n)由三个正弦组成，其频率分别f1＝2Hz，f2＝

2.02Hz，f3＝2.07Hz，即

那么用DFT求其频谱时，能否分辨出三个频率分量？

解：x(t)的最高频率f c不超过3Hz，现用f s＝10Hz对其抽样，由抽样定理可知，不会发生混叠问题。T p＝25.6s，对x(n)做DFT时，所得到的频率最大分辨率

如果信号x(n)由三个正弦组成，其频率分别f1＝2Hz，f2＝2.02Hz，f3＝2.07Hz，那么用DFT求其频谱时，由于，所以不能分辨出由f2产生的正弦分量；又由于，所以能分辨由f3产生的正弦分量。

2.对有限长序列的Z变换在单位圆上进行5等份采样，得到采样值，即

，

试根据频率采样定理求的逆离散傅里叶变换。

解：

第四章：快速傅里叶变换并不是一种新的变换，它是离散傅里叶变换的一种快速算法。

4.2直接计算DFT的问题及改进的途径

直接计算DFT，需要次复数乘法，次复数加法。

（1）的对称性

（2）的周期性

利用的对称性和周期性，将大点数的DFT分解成若干个小点数的DFT，FFT 正是基于这个基本思路发展起来的。

分类：按时间抽取（DIT）算法和按频率抽取（DIF）算法。

一、重点与难点

1.DFT提高运算量的途径；

2.基2FFT的算法原理和FFT运算特点；

3.实序列FFT算法思路；

二、具体讲解

1.DFT提高运算量的途径

直接计算离散傅里叶变换，由于计算量近似正比于N2，显然对于很大的N值，直接计算离散傅里叶变换要求的算术运算量非常大。我们可以利用系数W N nk的特性来改善离散傅里叶变换的计算效率。

（1）的对称性

（2）的周期性

利用的对称性和周期性，可以将大点数的DFT分解成若干个小点数的DFT，快速傅里叶变换正是基于这个基本思路发展起来的。FFT算法基本上可分为两大类，即按时间抽取（DIT）算法和按频率抽取（DIF）算法。

2.基2FFT的算法原理和FFT运算特点

对于算法原理，要求能够看懂分解流图。

例题

若已知有限长序列，画出其按时间抽取的基2FFT流图，并按FFT运算流程计算（和）的值。

解：（1）基2FFT流图

（2），

，

2.画一个按时间抽取4点序列的基2FFT流图。在图上标明时域、频域各输入、输出项的排列顺序，并标出由第4根水平线（从上往下数）发出的所有支路的系数。

解：

第五章：本章讲授了设计IIR滤波器常用的两种设计方法——脉冲响应不变法和双线性变换法。