全等三角形拓展题尖子生专用

全等三角形拓展题尖子

生专用

Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

全等三角形综合应用

知识点：

1、全等三角形的判定方法：

2、角平分线的性质与判定：

例题讲解

2016武汉江汉区压轴题．（本题12分）△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD是△ABC的中线，以AC为边作等边△ACE，BE分别与直线AD、AC交于点F、G，连接CF

(1) ①如图1，若△ABC、△ACE位于AC异侧，求∠EFC的度数

②试判断线段EF、DF、AF之间的数量关系，并说明理由

(2) 若△ABC、△ACE位于AC同侧，试完成备用图，并直接写出线段EF、DF、AF之间的数量关系

解：(1) ①∵AB＝AE，∴设∠ABE＝∠AEB＝α

∵AB＝AC，AD是△ABC的中线

∴设∠BAD＝∠CAD＝β

又2α＋2β＋60°＝180°，α＋β＝60°

∴∠AFE＝∠DFC＝α＋β＝60°

∴∠EFC＝180°－60°－60°＝60°

②过点C作CH⊥BE于H

∵∠AEB＋∠AEC＝60°，∠ABE＋∠BAD＝60°

∴∠BAD＝∠HEC

可证：△ABD≌△EHC（AAS）

∴HE＝AD

易证：△CFH≌△CFD（AAS）

∴FH＝DF

∴EF－FH＝AF－DF

即EF－AF＝2DF

(3) 作图、证明的过程一样

AF－EF＝2DF

2016武珞路中学．（本题10分）已知等边三角形ABC，M为AB上的一点，以CM为边作等边△CMN，连接BN

(1) 求证：AM＝BN

(2) 作MH⊥BC于H，连接AH．若AH∥MN，AM＝1，求CH的长

证明：(1) △ACM≌△BCN（SAS）

(2) 由(1)知：△ACM≌△BCN

∴∠CBN＝∠MAC＝60°

∴∠MBN＝60°＋60°＝120

过点M作MD∥BC交AC于D

∴△AMD为等边三角形

∴AM＝AD＝BN，∠ADM＝60°

∴BM＝CD，∠MDC＝120°

在△BMN和△DCM中

∴△BMN≌△DCM（SAS）

∴∠BMN＝∠DCM

∵AH∥MN

∴∠BMN＝∠BAH＝∠DCM

在△BAH和△ACM中

∴△BAH≌△ACM（ASA）

∴BH＝AM＝1

∴BM＝HC

∵MH⊥BC，∠MBH＝60°

∴BM＝2BH＝2

∴CH＝2

2016武珞路中学．（本题10分）如图1，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，以AB 为边向外作等边△ABE，直线CE与直线AD交于点F

(1) 若AF＝10，DF＝3，试求EF的长

(2) 若以AB为边向内作等边△ABE，其它条件均不改变，请用尺规作图补全图2（保留作图痕迹），找出EF、AF、DF三者的数量关系，并证明你的结论

．解：(1) 设∠BAD＝∠CAD＝α，∠AEC＝∠ACE＝β

在△ACE中，2α＋60＋2β＝180°，α＋β＝60°

连接BF

∴∠BFD＝∠CFD＝60°

∴BF＝CF＝2DF＝6

在EC上截取EG＝CF，连接AG

∴△AEG≌△ACF（SAS）

∴∠EAG＝∠CAF，AG＝AF

∴∠GAF＝60°

∴△AFG为等边三角形

∴EF＝EG＋GF＝AF＋FC＝10＋6＝16

(2) 尺规作图：先作AB的垂直平分线，再利用半径得到等边

设∠BAD＝∠CAD＝α，∠ACE＝∠AEC＝β

∴∠CAE＝180°－2β

∴∠BAE＝2α＋180－2β＝60°，β－α＝60°

∴∠BAD＝∠BEF

在AF上截取AG＝EF，连接BG

可知：△ABG≌△EBF（SAS）

∴AG＝EF，BG＝BF

∴△BFG为等边三角形

∴AF＝AG＋GF＝BF＋EF＝2DF＋EF

武汉二中广雅中学2016．（本题12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0＜α＜60°），以线段BC为边在△ABC内作等边△DBC

(1) 如图1，∠ABD＝_______（用含α的式子表示）

(2) 如图2，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明

(3) 在(2)的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值

例1、（1）在⊿ABC中，∠B=∠C，与⊿ABC全等的三角形有一个角是130°，那么⊿ABC中与这个角对应的角是（）A、∠A B、∠B C、∠C D、∠B或∠C

（2）如图1，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他根据所学知识，

画出了一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）

A、SSS

B、SAS

C、AAS

D、ASA

（3）如图2，AD平分∠BAC，BF⊥AD于D，交AC于F，DE∥AC，

∠BAD=30°，则∠BDE=______

例2、如图3，OM平分AOB，AO=OB，AD与BC相交于M。求证：AC=BD

例3、如图4，在⊿ABC中，∠B=∠C，D、E、F分别在AB、BC、AC上，且

BD=CE，

∠DEF=∠B。

求证：ED=EF

例4、如图5，△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且

BD=CF，BE=CD，G是EF的中点。

求证：DG⊥EF．

例5、如图6，∠ABC=90°，AB=BC，D为AC上一点，分别过C、A作BD的垂线，垂足分别为E、F．

求证：EF=CE-AF．

例6、如图7，P为∠AOB平分线上一点，PC⊥OA于C，∠OAP+∠OBP=180°，若

OC=4cm。

求OA+OB的值。

例7、如图8，AD∥BC，∠1=∠2，∠3=÷4，点E在线段DC上。

求证：AD+BC=AB

例8、如图9，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB+BC=2BD。

求证：∠BPA+∠BCP=180°

巩固：

1、如图，点P为⊿AEF外一点，PA平分∠EAF，PD⊥EF于D，DE=DF，PB⊥AE于B。

求证：AF-AB=BE

2、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CA平分∠BCD，AE⊥BC于E，AF⊥CD交CD延长线于F．

求证：BE=DF．

3、如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE交于点H，连CH。

（1）求证：⊿ACD≌⊿BCE；

（2）求证：CH平分∠AHE；

（3）求∠CHE的度数（用含α的式子表示）

4、如图（1），在⊿ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且点

B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E

（1）试说明：BD=DE+CE．

（2）若直线AE绕A点旋转到图（2）位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD 与DE、CE的关系如何请直接写出结果；

（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD＞CE），其余条件不变，问BD 与DE、CE的关系如何请直接写出结果，不需说明理由．

5、如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．

（1）当点D 在AC 上时，如图1，线段BD 、CE 有怎样的数量关系和位置关系直接写出你猜想的结论；

（2）将图1中的△ADE 绕点A 顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD 、CE 有怎样的数量关系和位置关系请说明理由．

6、如图，在平面直角坐标系中，点B 的坐标为（2，2），点A 为y 轴正半轴上一动点，过B 点作

BC ⊥AB 交x 轴的正半轴于点C 。 （1）求证：BA=BC ；

（2）当点A 运动时，OA+OC 的值是否发生变化，若不变， 求其值；若发生变化，求变化范围

7、已知四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN 绕B 点旋转，它的两边分别交AD ，DC （或它们的延长线）于E ，F ．

（1）当∠MBN 绕B 点旋转到AE=CF 时（如图1），求证AE+CF=EF ；

（2）当∠MBN 绕B 点旋转到AE ≠CF 时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立若成立，请给予证明；若不成立，线段AE ，CF ，EF 又有怎样的数量关系请写出你的猜想，并证明．

8、已知：如图，△ABC 中，∠ABC=45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 与BE 相交于点G ． （1）求证：BF=AC ；

（2）求证：CE=2

1

BF ；

（3）若把题目中“BE 平分∠ABC ”改为“BE 平分线段DC ”， 其他条件不变，连接HF ．求证：HF=AD ．

9、直线CD经过∠BCA的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．

（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则EF_____ |BE-AF|（填“＞”，“＜”或“=”号）；

②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，若使①中的结论仍然成立，则∠α与∠BCA应满足的关系是________ ；

（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明．

第十一讲：全等三角形综合二

知识点：

1、全等三角形的判定及性质：

2、角平分线的性质与判定：

3、常用辅助线：

例题讲解

例1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，交CD于K，交BC于E，F是BE上一点，且BF=CE，

求证：FK∥AB．

例2、如图1，△ABC中，∠BAC=90°，BA=AC，

（1）D为AC的中点，连BD，过A点作AE⊥BD于E点，交BC于F点，连DF，求证：∠ADB=∠CDF．

（2）若D，M为AC上的三等分点，如图2，连BD，过A作AE⊥BD于点E，交BC于点F，连MF，判断

∠ADB与∠CMF的大小关系并证明．

例3、如图，在△ABC中，∠C=90°，M为AB的中点，DM⊥AB，CD平分∠ACB，求证：MD=AM．

例4、在△ABC中，∠ACB为锐角，动点D（异于点B）在射线BC上，连接AD，以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF．

（1）若AB=AC，∠BAC=90°那么

①如图一，当点D在线段BC上时，线段CF与BD之间的位置、大小关系是_________ （直接写出结论）

②如图二，当点D在线段BC的延长上时，①中的结论是否仍然成立请说明理由．（2）若AB≠AC，∠BAC≠90°．点D在线段BC上，那么当∠ACB等于多少度时线段CF与BD之间的位置关系仍然成立．请画出相应图形，并说明理由．

例5、如图①所示，已知A，B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为直角边向△ABC外作等腰直角△CAD和等腰直角△CBE，满足∠CAD=∠CBE=90°，过点D作DD1⊥l于点D1，过点E作EE1⊥l于点E1．

（1）如图②，当点E恰好在直线l上时，试说明DD1=AB；

（2）在图①中，当D，E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1，EE1，AB之间的数量关系，并说明理由．

a

例6、如图1，已知点A（a，0），点B（0，b），且a、b满足0

+

-b

-

4

4=（1）求A、B两点的坐标；

（2）若点C是第一象限内一点，且∠OCB=45°，过点A作AD⊥OC于点F，求证：FA=FC；

（3）如图2，若点D的坐标为（0，1），过点A作AE⊥AD，且AE=AD，连接BE 交x轴于点G，求G点的坐标．

巩固：

1、如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于点F．试说明AE=CF．

2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC 于F．

（1）说明BE=CF的理由；

（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长．

3、如图，△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且

EA=EC。

求证：EB⊥AB．

4、如图，在△ABC中，∠ACB=90゜，P为AC上一点，PQ⊥AB于Q，AM⊥AB交BP的延长线于M，MN⊥AC于N，AQ=MN．

（1）求证：AP=AM；

（2）求证：PC=AN．

5、如图，△ABC内，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是∠BAC，

∠ABC的平分线，

求证：BQ+AQ=AB+BP．

6、将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图（1）方式摆放，其中∠ACB=∠

DEB=90°，

∠A=∠D=30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F ． （1）求证：CF=EF ；

（2）若将图（1）中的△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角a ，且0°＜a ＜60°，其他条件不变，如图（2）．请你直接写出AF+EF 与DE 的大小关系：AF+EF______ DE ．（填“＞”或“=”或“＜”）

（3）若将图（1）中△DBE 的绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图（3）．请你写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系，并加以证明． 7、如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，△ABC 的三点坐标分别为A （0，5），B （-5，0），

C （2，0），B

D ⊥AC 于D 且交y 轴于

E ，连接CE ． （1）求△ABC 的面积； （2）求

AE

OE

的值及△ACE 的面积． 8、如图1，在平面直角坐标系中，点A （4，4），点B 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，S 四边形OBAC=16． （1）∠COA 的值为________ ； （2）求∠CAB 的度数；

（3）如图2，点M 、N 分别是x 轴正半轴及射线OA 上一点，且OH ⊥MN 的延长线于H ，满足∠HON=∠NMO ，请探究两条线段MN 、OH 之间的数量关系，并给出证明． 9、在平面直角坐标系中，点A （2，0），点B （0，3）和点C （）； （1）请写出OB 的长度：OB=________ ；

（2）如图：若点D 在x 轴上，且点D 的坐标为（-3，0），求证：△AOB ≌△COD ；

（3）若点D在第二象限，且△AOB≌△COD，则这时点D的坐标是________ （直接写答案）．

10、已知，在△ABC中，CA=CB，CA、CB的垂直平分线的交点O在AB上，M、N 分别在直线AC、BC上，∠MON=∠A=45°

（1）如图1，若点M、N分别在边AC、BC上，求证：CN+MN=AM；

（2）如图2，若点M在边AC上，点N在BC边的延长线上，试猜想CN、MN、AM 之间的数量关系，请写出你的结论（不要求证明）．

11、（1）如图1，以△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，试判断△ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由．

（2）园林小路，曲径通幽，如图2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地多少平方米．

12、如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动，

（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB=MC．

（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．

（3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗说明理由．

13、如图，△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线MN交AC于N，交AC的平行线BM于M，

PD ⊥MN ，交AB 于点P ，连接PM 、PN ． （1）求证：BM=CN ；

（2）请你判断BP+CN 与PN 的在数量上有何关系，并说明你的理由．

14、如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．A 、B 两点的坐标分别为A （m ，0）、

B （0，n ），且0623=-+--n n m ，点P 从A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO 匀速运动，设点P 运动时间为t 秒． （1）求OA 、OB 的长；

（2）连接PB ，若△POB 的面积不大于3且不等于0，求t 的范围；

（3）过P 作直线AB 的垂线，垂足为D ，直线PD 与y 轴交于点E ，在点P 运动的过程中，是否存在这样的点P ，使△EOP ≌△AOB 若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．

等腰三角形小结

一、构造等腰三角形

例1 如图，在等腰Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AD=AE ，AF ⊥BE 交BC 于F ，

FG⊥CD 交AC 于H ，交BE 的延长线于G ． (1)求证：GE=GH ；

(2)问BG 、AF 、FG 有何数量关系证明你的结论． 练习

1．等边△ABC 中，点0为AC 、BC 两边垂直平分线的交点，点P 为AB 上一动点，PE∥AC

交BC 于E ，点F 为AC 上一点，且CF=PE ，连OF 、EF ，求∠OFE 的度 数．

二、运用等腰三角形的性质

例2已知Rt△ABC.中，AC=BC，∠C= 90°，D为AB中点，∠EDF=90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．

图① 图② 图③

(1)当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E（如图①）时，显然S

△DEF+S△CEF =

1

2

S

△ABC.当∠EDF绕

D点旋转到DE和AC不垂直时（如图②），S

△DEF、S△CEF、S△ABC

三者之间的数量关系是什么证明你的结论；

(2)当∠EDF绕D点旋转到如图③所示的位置，请直接写出S

△DEF、S△CEF、S△AB C之间的数量关系是．（不必证明）

练习

2．如图，△ABC中，∠A=90°．AB=AC，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于点

F.求证：∠ADB=∠CDF.

3．△ABC中，过BC边的中点D作直线交AB于E．交CA的延长线于F，使AE=AF.求证：BE=CF.

三、角平分线与等腰三角形

例3 如图，AB∥CD，BE、CE分别平分∠ABC、∠DCB.求证：AB+CD=BC.

练习

4．如图，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于D，CE⊥BD交BD延长线于E．

(1)求证：CE=1

2 BD；

(2)求∠AEB的度数．

5．如图，在△ABC中，M为BC边中点，AD为∠BAC的平分线，MF⊥AD交AD延长线于

F，交AB于E．求证：BE=1

2

(AB-AC)．

四、构造等边三角形

例4如图，已知在平面直角坐标系中，OA=OB=OC=2，点P从C点出发沿y轴正方向以1个单位／秒的速度向上运动，连接PA、PB，D为AC的中点．

(1)设点P运动的时间为t秒，问：当t为何值时，DP与DB垂直且相等；

(2)若PA=AB，在第一象限内有一动点Q，连QA、QB、QP，且∠PQA=60°，问：当

Q在第一象限内运动时，∠APQ+∠ABQ的度数和是否会发生改变若不改变，请

说明理由并求这个不变的值.

图①图②

练习

6．如图①，A（O，-1），A、C关于x轴对称，AB=2，EF∥BC，交AB的延长线于E点，交y轴于F点．

(1)求∠AEF；

(2)如图②，将△AEF绕A点顺时针旋转交BC延长线于D点，当D(m，2)时，问AM+DH

大小是否变化并证明．

图①图②

全等三角形中常见辅助线的作法

常见辅助线的作法有以下几种：

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等

变换中的“对折”．

D

C B

A

E

D

F C

B

A

2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．

3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．

4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”

5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线

段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 一、倍长中线（线段）造全等

例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________.

例2、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.

例3、如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE. 应用：

1、（09崇文二模）以ABC ?的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ?和等腰Rt ACE ?，90,BAD CAE ∠=∠=?连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．

（1）如图① 当ABC ?为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ， 线段AM 与DE 的数量关系是 ；

E

D

C

B

A

D

C

B

A

P

Q

C

B

A

O

E

A

（2）将图①中的等腰Rt ABD ?绕点A 沿逆时针方向旋转?

θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变并说明理由． 二、截长补短

1、如图，ABC ?中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC

2、如图，AC ∥BD ，EA,EB 分别平分∠CAB,∠DBA ，CD 过点E ，

求证;AB ＝AC+BD

3、如图，已知在ABC 内，0

60BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q

分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分

线。

求证：BQ+AQ=AB+BP

4、如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分

ABC ∠，

求证： 0180=∠+∠C A

5、如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任意一点，

求证;AB-AC ＞PB-PC 应用： 三、平移变换

例1、 AD 为△ABC 的角平分线，直线MN ⊥AD 于为MN 上一点，△ABC 周长记为A P ，△EBC 周长记为B P .求证B P ＞A P .

例2 、如图，在△ABC 的边上取两点D 、E ，且BD=CE ，求证：AB+AC>AD+AE. 四、借助角平分线造全等

例1、如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O ，求证：

OE=OD

例2、如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F. （1）说明BE=CF 的理由；（2）如果AB=a ，AC=b ，求AE 、BE 的长. 应用：

1、如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的

全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B =60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠

BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F 。请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；

（2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请

问，你在(1)由。 五、旋转

例1、正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 数.

例2 、D 为等腰Rt ABC ?斜边AB 的中点，DM ⊥DN,DM,DN BC,CA 于点E,F 。

（1） 当MDN ∠绕点D 转动时，求证DE=DF 。

（2） 若AB=2，求四边形DECF 的面积。

例3 、如图，ABC ?是边长为3的等边三角形，BDC ?0120BDC ∠=，以D 为顶点做一个060角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，

连接MN ，则AMN ?的周长为 ； 应用：

(第23题图)

O P A

M

N

E

B C

D

F 图①

图②

C

1、已知四边形ABCD 中，AB AD ⊥，BC CD ⊥，AB BC =，120ABC =∠，

60MBN =∠，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD DC ，（或它们的延长线）

于E F ，．

当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF =时（如图1），易证AE CF EF +=．

当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF ≠时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立若成立，请给予证明；若不成立，线段AE CF ，，EF 又有怎样的数量关系请写出你的猜想，不需证明．

2、（西城09年一模）已知为一边作正方形ABCD,使P 、D 两点落在

直线AB 的两侧.

(1)如图,当∠APB=45°时,(2)当∠APB 变化,且其它条件不变时的最大值,及相应∠APB 的大小. 3、在等边ABC ?的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为ABC 外一点，且?=∠60MDN ,?=∠120BDC ,BD=DC. 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系及AMN ?的周长Q 与等边ABC ?的周长L 的关系．

图1 图2 图3

（I ）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ； 此时

=L

Q

； （II ）如图2，点M 、N 边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想（I ）问的两个结

论还成立吗写出你的猜想并加以证明；

（III ） 如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时， 若AN=x ，则Q= （用x 、L 表示）．

4．在△ABC 中，AB ＝AC ，将线段AC 绕着点C 逆时针旋转得到线段CD ，旋转角为α，且0°＜α＜180°，连接AD 、BD

(1) 如图1，当∠BAC ＝100°，α＝60°时，∠CBD 的大小为_________ (2) 如图2，当∠BAC ＝100°，α＝20°时，求∠CBD 的大小

（图1） （图2） （图3）

(3) 已知∠BAC的大小为m（60°＜m＜120°），若∠CBD的大小与(2)中的结果相同，请直接写出α＝_________（可用含m的代数式表示）