2015复旦 高校自主招生数学试题及解答

2015复旦

一.解答题

1.已知31()2005()2f x x x =-+，求20151

()2015k k f =∑2.已知正数数列{n a }满足：(n+1)1n a +=n n a +

1n

a ，求证⑴n ≥2时，n a ≥1⑵数列{n a }收敛3.已知椭圆1:C 2295

x y +=1的右焦点为F,点M(0x ,0y )在圆2C :22x y +=5上，其中0x >0,0y >0；过点M 引圆2C 的切线交椭圆于P 、Q

两点。

求证：△PFQ 的周长为定值

4.如图，把边长为4的正三角形的三个角(均为边长为2的正三角形)折上去，使其垂直于底面，变成一个球托；把半径为63

的球放上去，求球心到底面的距离##Answer##

1.【简解】()f x 的图象关于点(12,12)对称，()f x +(1)f x -=1，用分组求和解得答案100698

2.⑴(数学归纳法)①由已知22a =111a a +≥

?2a ≥1，n=2时，等式成立②假设n=k(k ≥2)时，命题成立，即k a ≥1，则11

(1)k k k k a ka a ++=+

要证1k a +≥1，只要证(k+1)1k a +≥k+1?1k k ka a +≥k+1?k 2k a -(k+1)k a +1≥0?(1)(1)k k a ka --≥0,因k a ≥1，不等式成立。于是n=k+1时，不等式也成立由①②，n ≥2时，n a ≥1

⑵n ≥2时，111(1)n n n n a a n n a +=+++?1211(1)n n n a n a n n a +=+++≤111

n n n +++=1?1n n a a +≤?数列{}n a 为常数列或单调减；又数列{}n a 有下界?数列{n a }收敛

3.易知直线PQ 的方程为005x x y y +=，将之与椭圆方程联立，消去0y ，y 得到222000(254)9045x x x x x +-+=0

P,Q 两点的横坐标12,x x 是此方程的解，△=72020x (5-2

0x )>0

00,y 消去化简02060254x x +|PF|=3-123x ,|QF|=3-223

x △PFQ 的周长p=6-122()3x x ++02060254x x +=6-020*******x x ?+020

60254x x +=6为常数4.设底面△为ABC ，折起后上底面三个顶点构成以1为边长的正△DEF ，△DEF 的高为

32<所放球O 的直径263

，故球O 被面DEF 所托住；相当于作了球O 的一个截面圆O '，圆O '外切正△的边长为1，于是圆O '的半径为12?tan30°=36；O O '

==216

;两平行平面ABC 与DEF

O 到底面ABC

+6