现代控制工程课试题参考答案

现代控制工程博士课程试题参考答案(05-06-1)

一、 概念简述

1、控制系统的基本构成及特点。

2、现代控制理论的主要内容。

3、控制系统的状态空间描述及意义。

4、线性定常非齐次连续系统状态（方程解）的动态特性。

参考答案：

1、控制系统主要由具有动态特性的被控对象系统、实现控制作用的控制机构、完成数据收集的检测机构，以及实现性能指标评价和信息处理的计算机构等部分构成。控制系统的主要特点为：以动态系统为控制对象，通过施加必要的操作，实现对象系统状态按照指定的规律进行变化，达到某一特定功能；强调动态过程和动态行为的目的性、稳定性、能观测性、可控性、最优性以及时实性等；控制系统的数学模型主要用微分方程描述，设计方法为动态优化方法。，

2、主要包括五个方面：①线性系统理论（状态空间描述、能控性、能观测性和稳定性分析，状态反馈、状态观测器及补偿理论和设计方法），②建摸和系统辩识（模型结构及参数辩识方法论、参数估计理论），③最优滤波理论（卡尔曼滤波理论），④最优控制理论（经典变分法、最大值原理法、动态规划法），⑤自适应控制理论（模型参考自适应控制方法论、自校正控制方法论、鲁棒稳定自适应理论等）。

3、控制系统的状态空间描述：由状态方程和输出方程组成的状态空间表达式。状态方程是一个一阶微分方程组，描述系统输入与系统状态的变化关系，即系统的内部描述；输出方程是一个代数方程，主要描述系统状态与系统输出的关系，即系统的外部描述。意义：状态空间描述反映了控制系统的全部信息，是对系统特性的全部描述，是实现现代控制系统分析、设计的重要手段。

4、线性定常非齐次连续系统状态（方程解）的一般形式为：

)(00)(,)()()()()(0τττττ-=-Φ-Φ+-Φ=?t A t

t e t d Bu t t X t t t X 动态特性：系统状态

的动态运动（随时间变化过程）受两部分作用，第一部分为系统初始状态的转移作用，即系统的自由运动项；第二部分为控制输入信号激励下的受控作用，即系统的强迫运动项。适当选择控制输入，可使系统状态在状态空间中获得满足要求的最佳轨线。

二、判断分析（要求写出分析计算步骤）

1、已知线性控制系统的状态空间表达式为

u X X b d a c ??????+??????=?11 ，y =[ 1 0 ]X

试确定满足状态完全能控和完全能观测的a,b,c,d 的取值条件。

参考答案：

1、 根据线性定常控制系统状态完全能控和完全能观测的判断条件：

rank U C =rank[B AB … A n-1B]= n (能控条件)

rank U o =rank[C T A T C T … (A T )n-1C T ]= n （能观条件）

确定满足状态完全能控和完全能观测的a,b,c,d 的取值范围为：

(c+d)-(a+b)≠0 且 b ≠0

2、试用李雅普诺夫（Lyapunov ）第二方法研究系统

32123121ax x x ax x x +=+-=??

在原点的稳定性。

参考答案：

2、① 确定系统平衡状态：令0=?X ，可得到平衡状态为X e =0（坐标原点）。

② 取Lyapunov 函数为：22212121)(x x X V +=

，求其导数则有 )()()()(4241321231212211x x x x x x x x x x x x X V +=+++-=+=???ααα

③ 依据Lyapunov 第二方法的稳定性判断定理，分析研究系统稳定性：

当0<α时，有：0)(>X V （正定）、0)(

X V （负定）

，原点渐进稳定，且当∞→X 时，∞→)(X V ，所以原点为大范围渐进稳定。

当0>α时，有：0)(>X V （正定）、0)(>?X V （正定），原点不稳定。

当0=α时，有：0)(>X V （正定）、0)(=?X V （包括0≠X 时恒等于0），此时的C X V ≡)(（常数），系统能量不再变化，系统运动不会趋于原点，而保留在某个极限环上，处于稳定的等幅振荡状态，原点为Lyapunov 意义下稳定。实际上，当0=α时，本系统已成为线性系统：1221,x x x x =-=??，有

0)(2)(222=+t x t d t x d 或0)(1)

(212=+t x t d t x d ，特征方程为012=+S ，特征根为j ±，系统解变量的运动规律

为t C t C x sin cos 212,1+=，系统处于持续等幅振荡状态，原点为Lyapunov 意义下稳定。

三、综合设计

1、设被控系统为能控能观测线性定常系统，状态空间表达式为

?????=+=?

CX y Bu AX X （1?∈n R X ，11?∈R u ，11?∈R y ）

试利用状态观测器和状态反馈的基本原理，设计带全维状态观测器的状态反馈闭环控制系统。要求：①写出该闭环控制系统的状态空间表达式、画出结构图；②分析并写出在给定希望极点（特征值）条件下，应用极点（特征值）配置方法求解状态反馈阵K 和状态观测阵L 的基本步骤。

参考答案：

1、①确定闭环控制系统的状态空间表达式及结构图：

根据，被控系统的状态空间表达式：?????=+=?

CX

y Bu AX X 能观测性状态观测器方程：Ly Bu X LC A X ++-=∧∧

)(.；

能控性状态反馈控制律：∧-=X K r u 。

可得到闭环控制系统的状态空间表达为：

????????????

?????=??????????+????????????????????---=

???

?

??????∧∧∧??X X C y r B B X X BK LC A LC BK A X X ]0[ 根据闭环控制系统的状态空间表达，可绘出如下所示结构图：

②分析：因为所给被控系统为状态完全能控能观测的单出入单输出线性定常系统，所以通过合理设计状态反馈阵K 和状态观测阵L ，可实现闭环控制系统极点（特征值）和状态观测器极点（特征值）的任意配置。根据分离定理，可分别设计状态反馈阵K 和状态观测阵L 。状态反馈阵K 和状态观测阵L 的求解方法有多种，总体可分为直接法和间接法两类，参考答案只给出直接法的步骤。

③设计状态反馈阵K 的基本步骤为：

第一步：设闭环控制系统的希望极点（特征值）为λ1,λ2,…, λn

第二步：建立如下闭环控制系统的希望特征多项式，并确定系数a i *:

f *(s)=(s-λ1)(s-λ2)…(s-λn )=s n +a 1*s n-1+…+a n-1*s+a n *

第三步：确定如下状态反馈控制系统特征多项式的待定系数a i (k):

f(s)=│sI-(A-BK)│=s n + a 1(k)s n-1+…+ a n-1(k)s+ a n (k)

第四步：使f *(s)与f(s)的s 多项式对应项系数相等，得到如下n 个代

数方程组成的方程组：a 1*= a 1(k)

a 2*= a 2(k)

……

a n *= a n (k)

第五步：求解第四步的代数方程组，确定反馈阵K=[k 1,k 2,…,k n ].

④设计状态观测阵L 的基本步骤为：

第一步：设状态观测器的希望极点（特征值）为λ1,λ2,…, λn

第二步：建立如下状态观测器的希望特征多项式，并确定系数a i *

:

f *(s)=(s-λ1)(s-λ2)…(s-λn )=s n +a 1*s n-1+…+a n-1*s+a n *

第三步：确定如下系统状态观测器特征多项式的待定系数a i (l):

f(s)=│sI-(A-LC)│=s n + a 1(l)s n-1+…+ a n-1(l)s+ a n (l)

第四步：使f *(s)与f(s)的s 多项式对应项系数相等，得到如下n 个代

数方程组成的方程组：a 1*= a 1(l)

a 2*= a 2(l)

……

a n *= a n (l)

第五步：求解第四步的代数方程组，确定观测阵L=[l 1,l 2,…,l n ]T .

2、设线性系统状态调节最优控制（状态调节器）问题的数学模型为 ????

?????=+=++=??自由给定目标函数)(,,)(),()()()(..)]()()()()()([)]()([)(min 00211

0f f T T t t f f T t X t X t X t u t B t X t A X t s dt t u t R t u t X t Q t X t FX t X u J f 式中：目标函数为二次型性能指标，F 和Q(t)是n n ?半正定实对称矩阵，R(t)是r r ?正定实对称矩阵，控制作用变量u(t)不受限。

试给出利用最小值原理方法求解该最优控制问题的基本步骤。要求采用状态反馈构造最优控制规律表达式，画出状态调节器问题的最优反馈闭环系统的结构图。 参考答案：

2、用最小值原理法求解线性系统状态调节最优控制问题的基本步骤为:

第一步：根据最优控制问题的数学模型，建立如下的哈密顿函数：

H=1/2X T (t)Q(t)X(t)+1/2u T (t)R(t)u(t)+λT [A(t)X(t)+B(t)u(t)]

第二步：求解控制方程，确定含参量的最优控制律u *(t)。

因为u(t)不受约束，所以控制方程有如下形式： ],[,0)()()()(0f T t t t t t B t u t R u

H ∈=+=??λ 由此得到u *(t)= u(X,λ)=--R -1(t)B T (t)λ(t)

第三步：判断u *(t)对哈密顿函数H 取极值的属性。

因为 0)(22>=??t R u

H （正定）， 所以u *

(t)对哈密顿函数H 取极小值，符合题义要求。

第四步：建立规范方程组，确定二点边值问题。

将u *(t)代入状态方程和协态方程，得到如下的规范方程组： 001)(),()()()()()()(X t X t t B t R t B t X t A H t X T =-=??=-?

λλ )()(),()()()()(f f T t FX t t t A t X t Q X H t =--=??-=?λλλ 规范方程组由2n 个线性时变齐次微分方程组成，有n 个初态条件

X （t 0）和n 个终态条件λ(t f ),是一个复杂的二点边值问题。

第五步：引入状态反馈，把二点边值问题简化为单边值Riccati 问题。

设协态向量λ(t)=K(t)X(t)，K(t)为n ×n 正定对称待定系数矩阵，

构成最优状态反馈控制律u *(t)=-R -1(t)B T

(t) K(t)X(t)。

把λ(t)=K(t)X(t)和)()()()()(t X t K t X t K t ???+=λ代入第四步的

规范方程组，求解得到如下的单边值Riccati 矩阵微分方程：

?????=-+--=-?F t K t Q t K t B t R t B t K t K t A t A t K t K f T T )()()()()()()()()()()()(1 第六步：采用离散化方法求解单边值Riccati 矩阵微分方程的数值解。 设△为时间离散采样周期（增量），数值算法迭代公式为：

{}???????-=?==?-?????+??-??-?+?=?+-.

1,2,,1,,,)()()()()()()()()()()()(])1[(1 N N k N t F t K k Q k K k B k R k B k K k K k A k A k K k K k K f f T T 由此数值算法迭代公式，通过计算机计算得到近似数值解)(t K -。

第七步：确定线性系统状态调节器问题的最优控制律及闭环控制系统的结构图。

状态反馈最优控制律为：)()()()()(1t X t K t B t R t u T -

-*-=

最优目标函数值(极小值)为：)]()()([21)]([t X t K t X t u J T -*= 最优状态反馈闭环控制系统的结构图如下图所示。

A,B,Q,R,F ，△，)(f t K =F