导数的概念经典例题

0.03005g 0.01 同理v 2

3.005g (m / s)。

经典例题透析

类型一：求函数的平均变化率

2

1

例仁求y 2x 1在X 0到X 0

X 之间的平均变化率，并求 X 0 1 , X

时平均变化率的值

思路点拨：求函数的平均变化率，要紧扣定义式 一丫

f （X0

一

x ）

一进行操作.

x

解析：当变量从X 。变到X 。

x 时，函数的平均变化率为

X

f （X 。 X) 2 2

f(X °) [2(X 0

X) 1] [2X 0 1]

4X 0 2 x

X

X

当X 0 1

1

x —时，平均变化率的值为： 4 1

2 2 1

2

5. 总结升华：解答本题的关键是熟练掌握平均变化率的概念，

只要求出平均变化率的表达式， 其他就迎刃

而解?

举一反三：

2 、 ,

【变式1】求函数y=5x +6在区间［2，2+ x ］内的平均变化率。 【答案】y 5（2

x ）2 6 （5 22 6） 20 x 5 x 2，

所以平均变化率为丄 20 5 x 。

x

【变式2】已知函数f （x ） x 2

，分别计算f （x ）在下列区间上的平均变化率： （1） ［1，3］； （2） ［1，2］； （3） ［1，］； （4） ［1，］?

【答案】（1）4；（ 2）3；（ 3）；（4）.

一 一 1 2

【变式3】自由落体运动的运动方程为 s gt ，计算t 从3s 到，，各段内的平均速度（位移 s 的单位

为m ）。

【答案】要求平均速度，就是求 —的值，为此需求出

s 、 t 。

t

设在［3，］内的平均速度为 V 1，贝U

t 1 3.1 3 0.1（s ）,

1 2 1

2 S s （3.1） s （3） -g 3.12 -g 32

0.305g （m ）。

所以 v 1 —

s1

0.305g 3.05g （m / s ）。

0.03005g 0.01

同理v 2

3.005g (m / s)。

t 1

0.1 t 2

x

(1) f'(4)

x

线的斜率?

【答案】 当x 0.1时

类型二：利用定义求导数

x

(1 .1

)一 —x

举一反三:

【变式1】已知函数y 1 G

x

x=4处的导数.

-x 上一点P(4, 7)处的切线方程。

4

【答案】

V 3

昂 0.

003000

5g 3.0005g(m / 硏。

t

3

0.001

【变式4】过曲线y 3

f (x) x 上两点 P(1,1)和 Q(1 x,

1

y)作曲线的割线，求出当

x 0.1时割

k

(1 y) 1

PQ

(1 x) 1

f(1 x) f(1) (1 x)3

1

x

□ 3.31

0.1

例2、用导数的定义，求函数

f(x)

在x=1处的导

数。

解析：?

y f(1 x)

f(i)

1 1 x

.1 x

1 1 X

(1 1 x)、1

lim

f(4 x) f(4)

x 0

x

J 厂 e

1 2)

x 0

二 f'(1) 总结升华:

第一步求函数的增量 y ；第二步求平均变化率

亠;第三步取极限得导数。

x

(1 )求函数在 (2)求曲线

1 1

x ,

x) 2x 。

1

1 (4)

x

4x4 lim

x 0 (.4 x 2)

x

x

lim 4厂x)「4=x —2 x 0 x 5

- ,

16

(2)由导数的几何意义知，曲线在点 P(4, 7) 处的切线斜率为f '(4),

???所求切线的斜率

为 ???所求切线方程为 y 5

。 16 7 5 ( (x 4 16 4)，整理得 5x+16y+8=0。

(1) f(x) c ； (2) f(x) x ；

(3) f(x) 2 x ;

(4) f(x) 1

c

)

x 【答案】

(1) y

f(x x) f (x) y f(x x) f(x) c x x

y' lim y lim 0 0。

x 0

x x 0

(2) y f(x x) f(x) y

x 1,

x x

y' lim

_y_ lim1 1。

x 0

x x 0

(3) y

f(x x) f(x) y 2x x (x)2

x

(x

x

x

c c 0,

【变式2】禾U 用导数的定义求下列函数的导

数:

x)2 x 2 2x x ( x)2

,

? ?? y'

lim 」lim(2 x

x 0 x x 0 y f(x x) f(x)

厂

XX X (x x) x

(x

X x) x

y 1

x (X X)X y

1

1 二 y' lim lim

2

x 0

X

x

(x x) X X

例3、求曲线y=x 3

+2x 在x=1处的切线方程

思路点

拨： 3

从函数在一点处的导数定义可求得函数 y=x +2x 在x=1处的导数值，再由导数的几何意义, 得所求切线的斜率，将 x=1代入函数可得切点坐标，从而建立切线方程

解析：设 f (x) x 3

2x .

lim (1 X)3 2(1 X) (13 2 4 5

x o x

3 9 即 P( 2,4)。

4 1

即

P

( 2,4)。

(3)因为切线与x 轴成135。的倾斜角，所以其斜率为一

1。即 2x o =— 1，得 x

f'(1)『

x) f(1)

lim

X[( X)2 3 X 5]

x o

lim[( x)2 3 x 5] 5

由f(1)=3，故切点为(1，3)，

切线方程为 y —3=5(x — 1)，即y=5x —2.

总结升华：求函数y f(x)图像上点P (x 0,y 0)处的切线方程的求解步骤:

①求出导函数在x X o 处的导数f'(X o )(即过点P 的切线的斜率)， ②用点斜式写出切线方程，再化简整理。

举一反三：

【变式】在曲线y=x 2

上过哪一点的切线： (1) 平行于直线 y=4x —5 ； (2) 垂直于直线 2x —6y+5=0 ； (3) 与x 轴成135°的倾斜角。

f (x x) f(x)

(x x)2 x 2

【答案】f

'(x)讥 一讥 一)

—

2x ，

设所求切点坐标为 P (1 )因为切线与直线 即 P ( 2，4)。

(x o , y o )，则切线斜率为k=2x o y=4x — 5 平行，所以 2x o =4， x =2

y o =4.

(2 )因为切线与直线

2x — 6y+5=o 垂直，所以 2x o -

3

1，得 3

X o

- ， y

o

(4)' 6x 2 6x 5

例4 ?已知函数f(X)可导，若f(1) 3 , f'(1) 3，求 l X m i 2

f(x ) 3

x 1 解析: lim 空口 x 1

x 1 f(x 2) 3

x 2 1

(x 1)]

(f(1) 3)

f(x 2) f(1) x 2

1 f(x 2

) f(1) 2 x 1 c f

(t) f(1) 啊

(x ㈣ 1 t i x m

1 1)] x 1) (令 t=x 2

, X T 1, t T 1)

2f '(1) 2 举一反三: 【变

式】 已知函数 f(x)可导，若f (3) 2 , f'(3) 2

, 求 lim

2x 3f(x)

x 3

x 3

【答案】

lim 空 x 3

x 3 3f(x) |im (2x 6) 6 3f(x) x 3 3[2 f(x)]} x 3 } 3lim 些f)

x 3 x 3

3lim

f(x) f(3)

x 3

类型三：利用公式及运算法则求导数

例5 ? 求下列函数的导数：

(1) y 1

x 4

；

(2) (3) y log 2 x 2 log 2 x ；(4) 解析：

(1) y' 心 x

(x 4)' 4x 4

(2) y'

(5

臣)'

3

(x 5

)'

3 3 1

5

5

(3) ??? y

log 2 x 2

log 2 x log (4) y' 3

2( x )'

3( x 2)' 5( x)'

3f'(3) 2 3 2 1 3 x 5

2X , (2) 8

3 c 2 _ ,

y=2x — 3x +5x +

4

4x _3_ 5^7

??? y' (log 2

x)'

1 x In2

(3)

(4) y'

总结升华：

① 熟练掌握导数基本公式，仔细观察和分析各函数的结构规律，选择基本函数求导公式进行求导； ② 不具备求导法则条件的，一般要遵循先化简，再求导的原则，适当进行恒等变形，步步为营，使解决 问题水到渠成?

举一反三：

【变式】求下列函数的导数： （1）y xx ；

x 2 x

(2) y 2sin (1 2cos -)

2 4

(3) y=6x 3

— 4X 2+9X — 6

【答案】

cosx .

求下列各函数的导函数

(1) f(x) (x 2

1)(2x 3);

2 .

(2) y=x

sinx; (3)

e x

1

y

R ；

(4) x cosx

y=

x sin x

解析:

(1)

法一：去掉括号后求导. f(x) 2x 3 3x 2

2x

2

f'(x) 6x 6x 2

法二：利用两个函数乘积的求导法则

f'(x) (x 2 1)'(2x 3) (x 2 1) (2x

3)

' 2

=2x(2x

— 3)+(x +1) X 2

=6x — 6x+2

2

2

y' = (x )' sinx + x (sinx )' =2xsinx 2

+ x

cosx Y

Y

Y

Y

y

、 (e 1)(e

1) (e 1)(e 1)

_ (e x 1)2

2e x

x 2

(e 1)

(x cosx)(x sinx) (x cosx)(x sin x)

(x sin x)2

(1)

3

(x/x)' (x°)'

3x 3 2

3

G

2

x

2s %(12cos ;j

x x

2sin 3(2cos t 1)

2sin -cos- sinx

2 2

(3)

6( x 3)' 4( x 2)' 9( x)' (6)' 18x 2 8x 9