第二十六章反比例函数导学案

第二十六章 反比例函数

反比例函数的意义（01）

一、学习目标：

1．理解并掌握反比例函数的概念；

2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式； 3．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想；

二、自学指导：

【活动1】 问题：下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示？这些函数有什么共同特点？

(1)京沪线铁路全程为1463km ，乘坐某次列车所用时间t （单位:h ）随该列车平均速度v （单位:km/h ）的变化而变化 .

（2）某住宅小区要种植一个面积为1000m 2

的矩形草坪，草坪的长为y 随宽x 的变化

_________________

上面的函数关系式，都具有_____________的形式，其中_________是常数。 【活动2】

下列问题中，变量间的对应关系可用这样的函数式表示吗？

（1）一个游泳池的容积为2000m 3

,注满游泳池所用的时间随注水速度u 的变化而变化

_________________.

（2）某立方体的体积为1000cm 3

，立方体的高h 随底面积S 的变化而变化 .

概念：如果两个变量x,y 之间的关系可以表示成 的形式，那么y

是x 的反比例函数，反比例函数的自变量x . 你还能将反比例函数的基本形式改写成什么样子？

反比例函数的三种表达式① ② ③

【活动3】

问题1：下列哪个等式中的y 是x 的反比例函数？

x y 4=，

3=x

y

， 16+=x y ， 123=xy 问题2：已知y 是x 的反比例函数，当x=2时，y=6

(1)写出y 与x 的函数关系式： (2)求当x=4时，y 的值。

三、自主检测

1、P40-1、

2、3（在书上完成）

（1）写出这个反比例函数的表达式； （2）根据函数表达式完成上表；

四、当堂训练

1.若函数2

2

(1)m

y m x -=+是反比例函数，则m= .

（知识提示：反比例有三种基本形式：1,,,0)k

y xy k y kx k x

-=

==≠其中 2.已知y 与x-1成反比例函数，当x=2时y=1，则这个函数的表达式是（ ）

A 、11-=

x y B 、1-=x k y C 、11+=x y D 、11-=x

y （知识提示：若式子A 与式子B 成正比例，则可设A kB =，其中k 为不为0的常数

若式子A 与式子B 成反比例，则可设k

A B

=，其中k 为不为0的常数）

3.已知y 与x 2

成反比例，并且当x=3时y=4.

（1）写出y 与x 之间的函数关系式. （2）求x=1.5时y 的值.

4.已知y=y 1+y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，且当x=1时，y =0；当x =4时，y =9.求y 与x 的函数关系式

反比例函数的图象和性质（02）

一、学习目标：

1．会用描点法画反比例函数的图象

2．结合图象分析并掌握反比例函数的性质

3．体会函数的三种表示方法，领会数形结合的思想方法

二、自学指导：

画函数图像的三个步骤为：，，；

问题：我们知道，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线，?那么反比例函数y=k

x

（k

为常数且k≠0）的图象是什么样呢？

【活动1】画出反比例函数y=6

x

和y=

6

x

-的图象．

x …-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …

6

y

x

=……

x …-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …

6

y

x

=-……

探究：反比例函数y=6

x

和y=

6

x

-的图象有什么共同特征？它们之间有什么关系？

若把y=6

x

和y=

6

x

-的图象放到同一坐标系中，观察一下，看它们是否对称．

归纳：反比例函数y=6

x

和y=

6

x

-的图象的共同特征：

此外，y=6

x

的图象和y=

6

x

-的图象关于对称，也关于对称．

【活动2】猜想：反比例函数y=

k

x

（k ≠0）的图象在哪些象限由什么因素决定？?在每一个象限内，y 随x 的变化情况如何？它可能与坐标轴相交吗？

归纳： 1.反比例函数y=

k

x

（k 为常数，k ≠0）的图象是双曲线． 2.当k>0时，双曲线的两支分别位于第__________象限，在每个象限内，图形从左向右呈 趋势，y?值随x 值的增大而______

3.当k<0时，双曲线的两支分别位于第__________象限，在每个象限内，图形从左向右呈 趋势，y?值随x 值的增大而_______．

三、自主检测

1．P43-1、2（在书上完成）

2．请你写出一个反比例函数的解析式，使它的图象在第一、三象限__________． 3．在3

y x

=-

的图像上有两点A （1，y 1），B （2，y 2），则y 1_____y 2． 4.下列图象中，是反比例函数的图象的是 （ ）

四、当堂检测：

1．在反比例函数y=k x

（k<0）的图象上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）且x 1>x 2>0，则y 1-y 2的值为 （ ）

A.正数

B.负数

C.非正数

D.非负数

2．下列四个点中，和另外三个点不在同一反比例函数图像上的点是（ ） A.(2,1)- B.1(3,)6-- C.(1,2)- D.1(6,)3

- 3. 若函数y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数y=kb

x

的图象一定在 象限． 4.三个反比例函数(1)y=

1k x （2）y=2k

x （3）y=3k x

在x 轴上方的图象如图所示，由此推出k 1，k 2，k 3的大小关系 5.已知反比例函数y=

2

k x

-的图象在第一三象限内，则k 的取值范围是________ 6.已知反比例函数5

(3)k y k x -=-的图像在每个象限内，y 随x 的增大而减小，则k 的值是

________ 7.反比例函数k

y x

=

与正比例函数3y x =没有交点，则k 的取值范围是________

反比例函数的图象和性质（03）

一、学习目标：

1.能用待定系数法求反比例函数的解析式;

2.能用反比例函数的定义和性质解决实际问题; 二、自学指导

（1）反比例函数基本形式是 ，图象名称为 （2）当k>0时，双曲线的两支分别位于第__________象限，在每个象限内，图形从左向右

呈 趋势，y?值随x 值的增大而____________

（3）当k<0时，双曲线的两支分别位于第__________象限，在每个象限内，图形从左向右

呈 趋势，y?值随x 值的增大而____________． 【活动1】

已知反比例函数的图象经过点A （2，6）

（1）这个函数的图象分布在哪些象限？在每个象限内，y 随x 的增大而如何变化？ （2）求函数解析式，并判断点B （3，4）、C （-21

2

，-445）和D （2，5）是否在这个函数

的图象上？

三、自主检测

1．P45-1、2（在书上完成）

2．判断下列说法是否正确

（1）反比例函数图象的每个分支只能无限接近x 轴和y 轴，?但永远不可能到达x 轴或y 轴．（ ）

（2）在y=

3

x

中，由于3>0，所以y 一定随x 的增大而减小．（ ） （3）已知点A (3,)a -，B 2b -（，）

，C （4，c ）均在y=-2

x

的图象上，则a

k

x

的图象有一个交点的纵坐标是2， 求（1）求出反比例函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出它的大致图像； （2）当3x =-时，求反比例函数中y 的值；

（3）当3x 1-<<-时，求反比例函数y 的取值范围；

四、当堂训练

1．如图，过反比例函数x

y 1

=

（x ＞0）的图象上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OA 、OB ，设△AOC 和△BOD 的面积分别是S 1、S 2，比较它们的大小，可得（ ） A ．S 1＞S 2 B.S 1＝S 2

C.S 1＜S 2

D.大小关系不能确定 （提示：反比例函数上任何一点的横纵坐标的乘积都为k ） 2.在平面直角坐标系内，过反比例函数x

k

y =

（k ＞0）的图象上的一点分别作x 轴、y 轴的垂线段，与x 轴、y 轴所围成的矩形面积是6，则函数解析式为 3.直线2y x =-与反比例函数y=8

x

-的图象相交于点A 、B ，过点A 作AC 垂直于y 轴于点C ，求S △ABC ．

4.如图所示，已知直线y 1=x+m 与x 轴、y?轴分别交于点A 、B ，与双曲线y 2=k

x

（k<0）分别交于点C 、D ，且C 点坐标为12-（，）

． （1）分别求直线AB 与双曲线的解析式； （2）求出点D 的坐标；

（3）利用图象直接写出当x 在什么范围内取何值时，y 1>y 2．

题后思考：

1.正比例函数和反比例函数图像的两个交点中，若其中一个交点A 的坐标为(,)a b ，则另一交点B 的坐标________．

2.从反比例函数y=

k

x

的图象上任一点向一坐标轴作垂线，这一点和垂足及坐标原点所构成的三角形面积S △=_________． 3.从反比例函数y=

k

x

的图象上任一点向两坐标轴作垂线，这一点和两个垂足及坐标原点所构成的矩形面积S △=_________．

实际问题与反比例函数（01）

一、学习目标：

1．体验实际问题中的反比例函数模型；

2．应用反比例函数解决简单实际问题；

二、自学指导：

（1）反比例函数的基本形式为；

（2）写出圆柱的体积公式：；

1.市煤气公司要在地下修建一个容积为104m2的圆柱形煤气储存室。

(1)储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）有怎样的函数关系？

分析：储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）有怎样的函数关系？引导：首先要弄清此题中各数量间的关系，容积为，底面积是，深度为，由圆柱的体积公式列出方程，再化成函数关系式

。

(2)公司决定把储存室的底面积S定为500 m2，施工队施工时应该向下掘进多深？

(3)当施工队按（2）中的计划掘进到地下15m时，碰上了坚硬的岩石。为了节约建设资金，

公司临时改变计划，把储存深度改为15m，相应地，储存室的底面积应改为多少才能满足需要（精确到0.01 m2）？

反思：本例是通过圆柱体积公式列方程从而得出函数解析式。

三、自主检测

1.一辆汽车往返于甲，乙两地之间，如果汽车以50千米/小时的平均速度从甲地出发，则经过6小时可以到达乙地。（注：独立完成之后，互动解疑，人人过关.）

（1）甲乙两地相距多少千米？

（2）如果汽车把速度提高到v千米/小时，从甲地到乙地所用时间t（小时），写出t与v之间的函数关系。

（3）因某种原因，这辆汽车需在5小时内从甲地到达乙地，则此时的汽车的平均速度至少应是多少？

（4）已知汽车的平均速度最大可达80千米/小时，那么它从甲地到乙地最快需要多长时间？

四、当堂训练

1. 码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，装载完毕恰好用了8天时间。 ①：轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v （单位:吨/天）与卸货时间t （单位:天）之间有怎样的函数关系？

②：由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5天内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物？

2.一定质量的二氧化碳气体，其体积V （m 3）是密度ρ（kg/m 3）的反比例函数，请根据下图中的已知条件求出当密度ρ=1.1kg/m 3时，二氧化碳的体积V 的值？

3.学校准备在校园内修建一个矩形的绿化带，矩形的面积为定值，它的一边y 与另一边x 之

间的函数关系式如下图所示．

(1)绿化带面积是多少？你能写出这一函数表达式吗？

(2)完成下表，并回答问题：如果该绿化带的长不得超过40m ，那么它的宽应控制在什么范围内？

x(m) 10

20

30

40

y(m)

ρ

V

198

5

实际问题与反比例函数（02）

一、学习目标：

能综合利用物理杠杆知识、电学知识、反比例函数的知识解决一些实际问题．

二、自学指导

反比例函数的基本形式为；

知识准备：公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”:若两物体与支点的距离反比于重量，则杠杆平衡.通俗一点可以描述为:

阻力×阻力臂= 动力×动力臂

给我一个支

点，我可以撬

动一个地球。

------阿基米德

1.小伟欲用撬棍橇动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200牛顿和0．5米．(1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为1.5米时，撬动石头至少需要多大的力？

分析：阻力是牛顿，阻力臂是米；动力是牛顿，动力臂是米；

(2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？

反思：本例中，是利用杠杆平衡原理的等量关系，列方程而得到函数关系。

三、自主检测

在某一电路中，保持电压不变，电流I(安培)和电阻R(欧姆)成反比例，当电阻R＝5欧姆时，电流I＝2安培．

(1)求I与R之间的函数关系式；

(2)当电流I＝0.5时，求电阻R的值．

注：独立完成之后，互动解疑，人人过关。

四、当堂训练

1．电学知识告诉我们，用电器的输出功率P（瓦）、两端的电压U（伏）及用电器的电阻R （欧姆）有如下关系：PR=U2。这个关系也可写为P= ，或R= 。

问题：一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110～220欧姆，已知电压为220伏，这个用电器的电路图如上图所示。

（1）输出功率P与电阻R有怎样的函数关系？

（2）用电器输出功率的范围多大？

2.气球充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内的气压P(kPa)是气球体积V的反比例函数。当气球体积是0.8m3时，气球内的气压为120 kPa 。

（1）写出这一函数表达式。

（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？

（3）当气球内气压大于192 kPa时，气球将爆炸。为安全起见，气球体积应不小于多少？

3.小林家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v（米/分），所需时间为t（分）

（1）则速度v与时间t之间有怎样的函数关系？

（2）若小林到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？

（2）如果小林骑车的速度最快为300米/分，那他至少需要几分钟到达单位？

实际问题与反比例函数（03）

一、学习目标：

能灵活运用反比例函数的知识解决实际问题。

二、自学指导

（1）反比例函数的基本形式为，图形是；

（2）在实际问题中求反比例函数解析式，主要有两种方法：①知道一对值，用待定系数法得出；

②根据题目中的等量关系，列出方程，从而得出解析式。

1.某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y

(1)

提示：先根所表中数据，猜想为函数关系；再用待定系数法求解析式；求出函数关系式后，再用表中其它数据进行验证解析式的正确性。

(2)设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出w与x之间的函数关系式，若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元／个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润?

三、自主检测：

1.某蓄水池的排水管每小时排水8m3 ，6h可将满池水全部排空。

⑴蓄水池的容积是多少？

⑵如果增加排水管，使每小时排水量达到Q（m3），那么将满池水排空所需时间t（h）将如何变化？写出t与Q之间关系式，

⑶如果准备在5小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？

⑸已知排水管最多为每小时12 m3，则至少多少小时可将满池水全部排空？

四、当堂训练

1.制作一种产品，需先将材料加热，达到60℃后，再进行操作，据了解，该材料加热时，温度y ℃与时间x （min ）成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y ℃与时间x （min ）成反比例关系，如图所示，已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5min 后温度达到60 ℃。

（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时y 与x 的函数关系式；

（2）根据工艺要求，当材料温度低于15 ℃时，必须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？

2．一团面团呈圆柱形，其底面积60cm 2，高为10cm ，现在将它做成拉面。 ⑴面条的总长度y 与面条粗细（横截面积）s 有怎样的函数关系？ ⑵某家面馆的师傅手艺精湛，他拉的面条粗0.01cm 2，面条总长是多少m ？

x

反比例函数复习

一、学习目标：

1．掌握反比例函数的图象及性质；会求反比例函数的解析式； 2、应用反比例函数解决简单实际问题。

二、复习回顾

反比例函数的一般形式： 或

（1）当0k >时，图象位于 象限，在每一象限内，y 随 ． （2）当0k <时，图象位于 象限，在每一象限内，y 随 ．

（3）反比例函数的图象是关于 对称的图形，关于 对称的图形。图象上任一点向坐标轴作垂线形成矩形的面积是一个定值，其值为：

三、自主检测

1、已知22(3)m

y m m x

-=+，⑴如果y 是x 的正比例函数，则m = ；⑵如果y

是x 的反比例函数，则m = ．

2、点A 为反比例函数图象上一点，它到原点的距离为5，到x 轴的距离为3，若点A 在第二象限内，则这个反比例函数的解析式为（ ）

.A 12y x =

.B 12y x =- .C 112y x

= .D 1

12y x =-

3、已知函数y kx =的图象经过点()2,6-，则函数k

y x

=

的解析式为 . 4、已知y 与x 成反比例，并且当2x =时，1,y =-则当1

2

y =时，x 的值为 5、当0k <时，函数k

y x

=

与(1)y k x =-在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）

A B C

6、一定质量的氧气，它的密度(

)3

/kg m

ρ是它的体积()3

V m 的反比例函数，当3

10V m

=时， 3

1.43/.kg m ρ= ⑴ 求ρ与V 的函数关系式；⑵求当3

2V m =时，氧气的密度ρ.

分析：由题意知：k V

ρ=，把V 、ρ的已知数值代入即可求出常数k ，再把3

2V m =代入即可求出ρ.

四、当堂训练：

1、 已知反比例函数()2

31x y m x -=-的图象在二、四象限，则m 的值为

2、 双曲线(),0k

y k x

=

≠上任一点分别作x 轴、y 轴的垂线段，与x 轴y 轴围成矩形面积为12，则函数解析式为 3、 已知反比例函数(),0k

y k x

=

≠与一次函数()0y mx n m =+≠的图象都经过点()3,1-，并且在1

2

x =

时，这两个函数的函数值相等，求出这两个函数的解析式. 4、已知一次函数(),0y kx b k =+≠的图象与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，且与反比例函数(),0m

y m x

=

≠的图象在第一象限交于C 点，CD 垂直于x 轴，垂足为D ，若1.OA OB OD ===

⑴求点,,A B C 的坐标；

⑵求一次函数和反比例函数的解析式.

分析：⑴由1OA OB OD ===及点所在的坐标轴的特征，直接写出,,A B D 三点坐标.先由,A B 点坐标确定一次函数的解析式，然后求出C 点坐标，最后确定反比例函数的解析式.