考点01 正多边形与圆(解析版)

考点01 正多边形与圆

1．（2020年河北省邯郸市中考五模数学试题）已知ABC 和ABD △有相同的外心，80C ∠=?，则D ∠的度数是（）．

A ．80°

B ．100°

C ．80°或100°

D ．不能确定．

【答案】C

【解析】

解：若C 、D 在AB 的同侧，如图1，则∠D =∠C =80°；

若C 、D 在AB 的异侧，如图2，则∠D +∠C =180°，

∵80C ∠=?，

∴∠D =100°．

故选：C ．

【点睛】

本题考查了圆周角定理、三角形的外心和圆内接四边形的性质，正确分类、熟练掌握上述知识是解题的关键．

2．（2020年河北省衡水市九年级初中毕业生升学文化课模拟（一）数学试题）如图，分别以边长为1的正六边形的两条对角线为边向右，向下作两个正方形，则两个阴影部分面积()b a b a ->的值（）．

A．1B C．2D．4

【答案】A

【解析】

解：如图，设点A，B，C，D，E，F，G，b的边长为CD，过点A作AB⊥CD于点B，

∵六边形是正六边形，

∴每个内角为120°，

∴∠ACD=1

×120°=60°，

在Rt△ABC中，AC=1，

∴cos∠BCA=BC AC

∴BC=cos60°×AC=1

，

同理可证∠FDG=60°，GD=1 2

∴CD=CB+BG+GD=2

∴以CD为边的正方形的面积为：2×2=4

∴b=4-S空白；

同理可得a=3- S空白；

∴b-a= 4-S空白-(3- S空白)=1，

故选：A．

【点睛】

此题主要考查了整式的加减运算，正确转化代数式是解题关键．

3．（2019年河北省张家口市宣化区九年级二模数学试题）如图，正六边形ABCDEF

的边长为6，且点O 为正六边形的中心，M 沿六边形作逆时针滚动，连接OM ，过点M 作MP OM ⊥，并且OM MP =，连接OP ，则在⊙M 滚动的过程中，Rt OMP ?面积的最大值是（）

A ．

B ．92

C ．16

D ．8 【答案】D 【解析】∵12

Rt OMP S OM MP =?△，OM MP =， ∴当OM 最大时，OMP 的面积最大．在M 滚动过程中，当OM 的延长线经过正六

边形的顶点时，OM 取得最大值，且此时M 与AF 、AB 两边相切，设切点分别为N 、

Q ，连接MN ，MQ ，则MN AN ⊥，MQ AQ ⊥，如图，

在正六边形ABCDEF 中，

120FAB ∠=?，

60NMQ =∴∠?，

易得ANM AQM △≌△，

30AMN ∴∠=?，

2cos303

MN AM ∴===?， 6OA AB ==，

4OM OA AM ∴=-=，

21482

Rt OMP S ∴=?=△ 故选D ．

【点晴】

本题考查正多边形与圆、等腰直角三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

4．（2020年河北省石家庄长安区九年级中考模拟数学试题）如图，正五边形ABCDE 内接于O ，点P 是劣弧BC 上一点（点P 不与点C 重合），则CPD ∠=（）

A ．45?

B ．36?

C ．35?

D ．30

【答案】B

【解析】如图，连接OC ，OD ，

ABCDE 是正五边形，

725

360==∠COD 362

1=∠=∠COD CPS 故选：B ．

【点睛】

本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是根据正多边形的边数求出圆心角COD ∠的度数．

5．（2020年辽宁省葫芦岛市绥中县九年级二模数学试题）如图，正五边形ABCDE 和等边AFG 内接于O ，则GFD ∠的度数是（）

A ．10?

B ．12?

C ．15?

D ．20?

【答案】B 【解析】如图，连接BD ，

五边形ABCDE 是正五边形，

()521801085

ABC BCD -??∴∠=∠==?，BC CD =， 1(180)362

CBD CDB BCD ∴∠=∠=?-∠=?， 72ABD ABC CBD ∴∠=∠-∠=?，

由圆周角定理得：72AFD ABD ∠=∠=?，

又AFG 是等边三角形，

60AFG ∴∠=?，

726012GFD AFD AFG ∴∠=∠-∠=?-?=?，

故选：B ．

【点睛】

本题考查了正五边形的内角和与性质、等腰三角形和等边三角形的性质、圆周角定理等知识点，通过作辅助线，利用到圆周角定理是解题关键．

6．（江苏省沭阳县修远中学2020-2021学年九年级上学期期中数学试题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延长线上，若∠BOD＝100°，则∠DCE＝_____°．

【答案】50

【解析】∵∠BOD=100°，

∴∠A=1

∠BOD=50°．

∵四边形ABCD是圆内接四边形，

∴∠DCE=∠A=50°．

故答案为：50°．

【点睛】

本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．7．（2020年河北省张家口市中考数学二模数学试题）一个正多边形的一个外角为30°，则它的内角和为_____．

【答案】1800°

【解析】

试题分析：这个正多边形的边数为=12，

所以这个正多边形的内角和为（12﹣2）×180°=1800°．

故答案为1800°．

【点睛】：多边形内角与外角．

8．（湖北省咸宁市嘉鱼县2019-2020学年九年级上学期期末数学试题）如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转，每次旋转60°，则第2019次后，顶点A的坐标为_______．

【答案】(2,-

【解析】2019×60°÷360°=336…3，即与正六边形ABCDEF绕原点O逆时针旋转3次时点A的坐标是一样的．

当点A按逆时针旋转180°时，与原D点重合．

连接OD，过点D作DH⊥x轴，垂足为H；

由已知ED=4，∠DOE=60°（正六边形的性质），

∴△OED是等边三角形，

∴OD=DE=OE=4．

∵DH⊥OE，

∴∠ODH=30°，OH=HE=2，HD=

∵D在第四象限，

∴D(2,-，即旋转2019后点A的坐标是(2,-．

故答案为(2,-．

【点睛】

本题考查了正多边形和圆、旋转变换的性质，掌握正多边形的性质、旋转变换的性质是解题的关键．

9.（2020年山东省德州市武城县中考数学二模试题）在⊙O中，半径为2，弦AB的

长为2，则弦AB所对的圆周角的度数为_______；

【答案】30°或150°．

【解析】如图，弦AB所对的圆周角为∠C，∠D，连接OA、OB，

∵AB＝OA＝OB＝2，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，

根据圆周角定理知，∠C＝1

∠AOB＝30°，∴∠D＝180°﹣∠C＝150°，

∴弦AB所对的圆周角的度数为30°或150°．故答案为：30°或150°．

【点睛】

本题考查的是圆周角定理、圆内接四边形的性质以及等边三角形的判定和性质，若圆中的一条弦等于圆的半径，则此弦和两条半径构成了等边三角形；在圆中，弦所对的圆周角有两个，它们是互补的关系，不要漏解

10．（2020年湖北省十堰市竹溪县实验中学中考数学模拟试卷（6月份））如图，正五边形ABCDE内接于．O，点F为BC上一点，连接AF，若∠AFC＝126°，则∠BAF的度数为_____．

【答案】18°．

【解析】∵正五边形ABCDE内接于．O，

∴∠ABC=()

52180

-??

=108°，

∵∠AFC=126°，

∴∠BAF=∠AFC﹣∠ABF=126°﹣108°=18°．

故答案为：18°．

【点睛】

本题考查了正多边形和圆、多边形内角与外角，三角形的外角性质，解决本题的关键是掌握正多边形内角和定理．

圆的方程_基础知识讲解

圆的方程编稿：丁会敏审稿：王静伟【学习目标】 1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程. 2.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．【要点梳理】【高清课堂：圆的方程370891 知识要点】要点一：圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径. 要点诠释： (1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是2 2 2 x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时： ||||a b r ==；过原点：222a b r += (2)圆的标准方程2 2 2 ()()x a y b r -+-=?圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点. (3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法. 要点二：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为2 2 2 ()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有 (1)若点()00M x y ，在圆上()()2 2 200||CM r x a y b r ?=?-+-= (2)若点()00M x y ，在圆外()()2 2 200||CM r x a y b r ?>?-+-> (3)若点()00M x y ，在圆内()()2 2 200||CM r x a y b r ?时，方程2 2 0x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ?? - - ?? ?为圆心，为半径. 要点诠释：由方程2 2 0x y Dx Ey F ++++=得22 224224D E D E F x y +-? ???+++= ? ?? ??? (1)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =- =-.它表示一个点(,)22 D E --. (2)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．

2021届高考数学(理)考点复习：圆的方程(含解析)

2021届高考数学（理）考点复习圆的方程圆的定义与方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准式 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0) 圆心为(a ，b ) 半径为r 一般式 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 充要条件：D 2＋E 2－4F >0 圆心坐标：????－D 2，－E 2 半径r ＝1 2 D 2＋ E 2－4F 概念方法微思考 1．二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是什么？提示 ???? ? A ＝C ≠0， B ＝0， D 2＋ E 2－4A F >0. 2．点与圆的位置关系有几种？如何判断？提示点和圆的位置关系有三种．已知圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0)， (1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2； (2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2； (3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2

，半径为1的圆经过点(3,4)，可得该圆的圆心轨迹为(3,4)为圆心，1为半径的圆，故当圆心到原点的距离的最小时，连结OB ，A 在OB 上且1AB =，此时距离最小，由5OB =，得4OA =，即圆心到原点的距离的最小值是4，故选A ． 2．（2018?天津）在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为__________．【答案】22(1)1x y -+=（或2220)x y x +-= 【解析】【方法一】根据题意画出图形如图所示，结合图形知经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆，其圆心为(1,0)，半径为1，则该圆的方程为22(1)1x y -+=．【方法二】设该圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则0 42020F D F D E F =?? ++=??+++=? ，解得2D =-，0E F ==； ∴所求圆的方程为2220x y x +-=．故答案为：22(1)1x y -+=（或2220)x y x +-=．

高中数学直线与圆的方程知识点总结

高中数学之直线与圆的方程一、概念理解： 1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°； ③范围：0°≤α＜180° 。 2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围：斜率 k ∈ R 。 3、斜率与坐标：1 21 22121tan x x y y x x y y k --=--= =α ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。 4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在）特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=?k k 。 ②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。 ③重合：斜率都存在时：2121,b b k k ==；二、方程与公式： 1、直线的五个方程： ①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可； ③两点式：),(21211 21 121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中，将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可； ④截距式： 1=+b y a x 将已知截距坐标),0(),0,( b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。 2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可

知识梳理圆的方程(基础)

圆的方程【考纲要求】 1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程， 2.能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程. 3.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径； 4.能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．【知识网络】【考点梳理】【高清课堂：圆的方程405440 知识要点】考点一：圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径. 要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是222 x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：||||a b r ==；过原点：2 2 2 a b r +=. (2)圆的标准方程2 2 2 ()()x a y b r -+-=?圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点. (3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法. 考点二：圆的一般方程当2 2 40D E F +->时，方程22 0x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ?? - - ?? ? 为圆心，. 圆的方程圆的一般方程简单应用圆的标准方程点与圆的关系

要点诠释：由方程2 2 0x y Dx Ey F ++++=得22 224224D E D E F x y +-? ???+++= ? ?? ??? (1)当22 40D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =- =-.它表示一个点(,)22 D E --. (2)当2 2 40D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． (3)当22 40D E F +->时，可以看出方程表示以,2 2D E ?? -- ???. 考点三：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有 (1)若点()00M x y ，在圆上()()2 2 2 00||CM r x a y b r ?=?-+-= (2)若点()00M x y ，在圆外()()2 2 2 00||CM r x a y b r ?>?-+-> (3)若点()00M x y ，在圆内()()2 2 2 00||CM r x a y b r ?