考点34 圆的方程-高考全攻略之数学(文)考点一遍过

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（1

）掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程. （2）能用圆的方程解决一些简单的问题.

一、圆的方程

圆的标准方程

圆的一般方程

定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆，确定一个圆最基本的要素是圆心和半径

方程 222()()(0)x a y b r r -+-=>

22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->

圆心 (,)a b

(,)22

D E -- 半径

r

221

42

D E F +- 区别与

联系

（1）圆的标准方程明确地表现出圆的几何要素，即圆心坐标和半径长；

（2）圆的一般方程的代数结构明显，圆心坐标和半径长需要通过代数运算才能得出；

（3）二者可以互化：将圆的标准方程展开可得一般方程，将圆的一般方程配方可得标准方程

注：当D 2+E 2－4F = 0时，方程x 2+y 2+Dx +Ey +F = 0表示一个点(,)22

D E

--；当D 2+E 2－4F ＜0时，方程x 2+y 2+Dx +Ey +F = 0没有意义，不表示任何图形． 二、点与圆的位置关系

标准方程的形式

一般方程的形式

点（x 0，y 0）在圆上 22200()()x a y b r -+-= 2200000x y Dx Ey F ++++= 点（x 0，y 0）在圆外 22200()()x a y b r -+->

2200000x y Dx Ey F ++++> 点（x 0，y 0）在圆内

22200()()x a y b r -+-<

2200000x y Dx Ey F ++++<

三、必记结论 （1）圆的三个性质

①圆心在过切点且垂直于切线的直线上； ②圆心在任一弦的中垂线上；

③两圆相切时，切点与两圆心三点共线． （2）两个圆系方程

具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫圆系方程．

①同心圆系方程：2220()()()x a y b r r =->+-，其中a ，b 为定值，r 是参数； ②半径相等的圆系方程：2220()()()x a y b r r -->+＝，其中r 为定值，a ，b 为参数．

考向一 求圆的方程

1．求圆的方程必须具备三个独立的条件．从圆的标准方程来看，关键在于求出圆心坐标和半径，从圆的一般方程来讲，能知道圆上的三个点即可求出圆的方程，因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法． 2．用几何法求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”，“半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形”．

典例1 圆心在y 轴上，半径为1，且过点()1,3的圆的方程是

A ．()2

2

21x y +-=

B ．()2

2

21x y ++=

C ．()2

2

31x y +-=

D ．()2

2

31x y ++=

【答案】C

故选C.

【名师点睛】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于基础题.设出圆心坐标，利用半径为1，且过点()1,3，即可求得结论.%网

1．已知圆()()2

2

:684C x y -++=，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为 A ．()()2

2

34100x y -++= B ．()()22

34100x y ++-= C ．()()2

2

3425x y -+-=

D ．()()2

2

3425x y ++-=

考向二 与圆有关的对称问题

1．圆的轴对称性:圆关于直径所在的直线对称． 2．圆关于点对称：

（1）求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置; （2）两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连线的中点． 3．圆关于直线对称：

（1）求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置; （2）两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．

典例2 （1）已知圆C 1：（x +1）2+（y －1）2 =1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1=0对称，则圆C 2的方程为

A ．22(())221x y +-+=

B ．22(())221x y -++=

C ．22(())221x y +++=

D ．22(())221x y --+=

（2）若圆（x +1）2+（y －3）2=9上相异两点P ，Q 关于直线kx +2y －4=0对称，则k 的值为_________． 【答案】（1）B ；（2）2．

（2）已知圆（x +1）2+（y －3）2=9的圆心为（－1，3），

由题设知，直线kx +2y －4=0过圆心，则k ×（－1）+2×

3－4=0，解得k =2．

2．圆22210x y ax y +-++=关于直线1x y -=对称的圆的方程为221x y +=，则实数a 的值为 A ．0 B ．1 C ．±2

D ．2

考向三 与圆有关的轨迹问题

1．求轨迹方程的步骤如下：

建系，设点：建立适当的坐标系，设曲线上任一点坐标,()M x y ． 写集合：写出满足复合条件P 的点M 的集合(){}

|M P M ． 列式：用坐标表示()P M ，列出方程(),0f x y =． 化简：化方程(),0f x y =为最简形式．

证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 2．求与圆有关的轨迹方程的方法

典例3 已知点P （2,2），圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点． （1）求点M 的轨迹方程；

（2）当|OP |＝|OM |时，求直线l 的方程及POM △的面积．

【答案】（1）M 的方程为（x －1）2＋（y －3）2＝2；（2）l 的方程为y ＝－13x ＋83，POM △的面积为16

5．

【解析】（1）圆C 的方程为x 2＋（y －4）2＝16，圆心为（0,4），半径r ＝4．.网 设M （x ，y ），则(),(42,2)CM x y MP x y ---＝,＝．

由题设可知0CM MP ?=，即：()(4)220)(x x y y ---+=,即（x －1）2＋（y －3）2＝2， 由于点P 在圆C 的内部，

所以点M 的轨迹方程为（x －1）2＋（y －3）2＝2．

3．已知点()2,2P ，圆C ：2280x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. （1）求M 的轨迹方程；

（2）当OP OM =时，求l 的方程及POM △的面积.

考向四 与圆有关的最值问题

对于圆中的最值问题，一般是根据条件列出关于所求目标的式子——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式的性质求出最值．特别地，要利用圆的几何性质，根据式子的几何意义求解，这正是数形结合思想的应用．

典例4 与直线40x y --=和圆22220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是 A ．()()2

2

112x y +++= B ．()()22

114x y -++= C ．()()2

2

112x y -++=

D ．()()2

2

114x y +++=

【答案】C

【解析】圆22220x y x y ++-=的圆心为()1,1-2，过圆心()1,1-与直线40x y --=垂直的直线方程为0x y +=，所求的圆心在此直线上，又圆心()1,1-到直线40x y --=322

=2，设所求圆心为(),a b ，且圆心在直线40x y --=的左上方，则

4

22

a b --=，

且0a b +=，解得1,1a b ==-（3,3a b ==-不符合，舍去），故所求圆的方程为()()2

2

112x y -++=，故选C.%网

【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，计算能力，属于中档题. 典例5 已知点(),x y 在圆2

2

()(23)1x y -=++上． （1）求x y +的最大值和最小值；

（2）求

y

x

的最大值和最小值． 【答案】（1）x y +的最大值为21-，最小值为21--；（2）

y x 的最大值为2323

-+，最小值为23

23

--

.

（2）y x 可视为点(),x y 与原点连线的斜率，

y

x

的最大值和最小值就是过原点的直线与该圆有公共点的斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．学%

设过原点的直线的方程为y kx =2

11

k =+，解得

232k =-+

或23

2k =-． ∴

y

x

的最大值为232-+232--．

【名师点睛】1．与圆的几何性质有关的最值

（1）记O 为圆心，圆外一点A 到圆上距离最小为||AO r -，最大为||AO r +； （2）过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为以该点为中点的弦；

（3）记圆心到直线的距离为d ，直线与圆相离，则圆上点到直线的最大距离为d r +，最小距离为d r -； （4）过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆． 2．与圆的代数结构有关的最值

（1）形y b

x a

μ-=

-形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； （2）形如t ax by =+形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；

（3）形如2

2

()()x a y b +--形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．

4．已知方程224240x y x y ++--=，则22x y +的最大值是 A ．14－65 B ．14＋65 C ．9

D ．14

1．若方程22448430x y x y +-+-=表示圆，则其圆心为 A ．11,2??

--

???

B ．11,

2??

??? C ．11,

2??

- ???

D ．11,2??-

??

?

2．若直线0x y a ++=是圆2220x y x +-=的一条对称轴，则a 的值为 A ．1 B ．1- C ．2

D ．2-

3．对于a ∈R ，直线()1210a x y a -++-=恒过定点P ，则以P 为圆心，2为半径的圆的方程是 A ．224210x y x y +-++= B ．224230x y x y +-++= C ．224210x y x y ++-+=

D ．224230x y x y ++-+=

4．若过点()2,0有两条直线与圆222210x y x y m +-+++=相切，则实数m 的取值范围是 A ．(),1-∞- B ．()1,-+∞ C ．()1,0-

D ．()1,1-

5．已知A （－4，－5）、B （6，－1），则以线段AB 为直径的圆的方程 A ．（x ＋1）2＋（y －3）2＝29 B ．（x －1）2＋（y ＋3）2＝29 C ．（x ＋1）2＋（y －3）2＝116

D ．（x －1）2＋（y ＋3）2＝116 6．圆

上的点到直线

的距离最大值是

A ．

B ．

C ．

D ．

7．圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线2

2

13

y x -=3，则圆C

的方程为

A ．()2

2

11x y +-=

B ．(2

2

3

3x y +-=

C ．2

2

31x y ?+= ?

D ．()2

2

24x y +-=

8．若直线10l ax by ++=：经过圆M ：224210x y x y ++++=的圆心，则()2

2

2(2)a b -+-的最小值为

A 5

B ．5

C ．25

D ．10

9．已知圆C ：()()2

2

341x y -+-=与圆M 关于x 轴对称，Q 为圆M 上的动点，当Q 到直线2y x =+的距离最小时，Q 点的横坐标为 A ．2

2

B ．22

C ．2

3

D ．23±

10．过点()1,1P 的直线将圆形区域22{()4|,}x y x y +≤分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该

直线的方程为 A ．20x y +-= B ．10y -= C ．0x y -=

D ．340x y +-=

11．已知点()1,,Q m -，P 是圆C ：()()2

2

244x a y a -+-+=上任意一点，若线段PQ 的中点M 的轨

迹方程为()2

2

11x y +-=，则m 的值为

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

12．已知圆22:230C x y x +--+=，点()0,(0)A m m >，A B 、两点关于x 轴对称．若圆C 上存

在点M ，使得0AM BM ?=，则当m 取得最大值时，点M 的坐标是

A ．32?

?

B ．32?

???

C ．32?

?

D ．32?

???

13．在平面直角坐标系中，三点()0,0O ,()2,4A ，()6,2B ，则三角形OAB 的外接圆方程是__________． 14．设点M （x 0,1），若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________． 15．已知x ,y 满足2x －4x －4＋2y ＝0, 则22x y +的最大值为________． 16．已知圆C 的圆心坐标为()00,C x x ，且过定点()6,4P ．

（1）写出圆C 的方程；

（2）当0x 为何值时，圆C 的面积最小，并求出此时圆C 的标准方程．

17．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,2A ，()0,0O .

（1）在x 轴的正半轴上求一点M ，使得以OM 为直径的圆过A 点，并求该圆的方程; （2）在（1）的条件下，点P 在线段OM 内，且AP 平分OAM ∠，试求P 点的坐标.

18．已知圆过点()1,2A -，()1,4B -．

求：（1）周长最小的圆的方程；

（2）圆心在直线240x y --=上的圆的方程．

19．已知圆()2

2

:25C x y ++=，直线:120l mx y m -++=，m ∈R ．

（1）求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点,A B ； （2）求弦AB 的中点M 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线.

1．（2018天津文）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．

1．【答案】C

【解析】由题意可知，()()

0,0,6,8

O C-，则圆心坐标为()

3,4

-，圆的直径为()2

2

6810

+-=，

据此可得圆的方程为()()

2

2210

34

2

x y

??

-++= ?

??

，即()()

22

3425

x y

-+-=.学￥本题选择C选项.

2．【答案】D

【名师点睛】本题主要考查两圆关于直线对称的性质，解答本题的关键是利用了两圆关于某直线对称时，两圆圆心的连线和对称轴垂直，斜率之积等于1

-，属于基础题．

3．【答案】（1）()()

22

132

x y

-+-=；（2）

16

5

.

【解析】（1）圆C的方程可化为()2

2416

x y

+-=，

变式拓展

所以圆心为()0,4C ，半径为4，

设(),M x y ，则()(),4,2,2CM x y MP x y =-=--，

由题意知0CM MP ?=，故()()()2420x x y y -+--=，即()()2

2

132x y -+-=， 由于点P 在圆C 的内部，

所以M 的轨迹方程是()()2

2

132x y -+-=.

【思路点拨】（1）由圆C 的方程求出圆心坐标和半径，设出M 坐标，由CM 与MP 数量积等于0列式得M 的轨迹方程；

（2）设M 的轨迹的圆心为N ，由OP OM =得到ON PM ⊥．求出ON 所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到PM 所在直线方程，由点到直线的距离公式求出O 到l 的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出PM 的长度，代入三角形面积公式得答案．学$ 【名师点睛】求轨迹方程的常用方法：

（1）直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系(),0F x y =； （2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程；

（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程； （4）代入(相关点)法：动点(),P x y 依赖于另一动点()00,Q x y 的变化而运动，常利用代入法求动点

(),P x y 的轨迹方程．

4．【答案】B

【解析】由224240x y x y ++--=，得圆的标准方程为()()2

2

219x y ++-=，表示以()2,1B -为圆心，3为半径的圆，如图所示，

连接OB ，并延长交圆于点A ，此时22x y +取得最大值，又(

)

2

221335OA OB r =+=-++=+,

所以()

2

2

35

1465OA =+=+，即22x y +的最大值为1465+，故选B.

【名师点睛】本题主要考查了圆的标准方程，以及两点间的距离公式的应用，其中解答中利用数形结合思想，借助圆的特征，找出适当的点A ，把22x y +的最大值转化为原点与A 的距离的平方是解答的关键，着重考查了数形结合思想和推理、计算能力.

1．【答案】D

【解析】圆的一般方程为：223204x y x y +-+-=，据此可得，其圆心坐标为：21,22-??-- ???，即11,2?

?- ???

.

本题选择D 选项. 2．【答案】B

【名师点睛】本题主要考查圆的一般方程化为标准方程，以及由标准方程求圆心坐标，意在考查学生对圆的基本性质的掌握情况，属于简单题.由题意可知直线通过圆的圆心，求出圆心坐标代入直线方程，即可得到a 的值. 3．【答案】A

【解析】由条件知()1210a x y a -++-=，可以整理为()120,x y x a +-+-=故直线

()1210a x y a -++-=过定点P ()2,1-，所求圆的方程为()()22

214x y -++=，化为一般方程为

考点冲关

224210x y x y +-++=．故选A ．

4．【答案】D

【解析】圆的方程化为标准式为()()2

2

111x y m -++=-，

因为过点()2,0有两条直线与圆()()2

2

111x y m -++=-相切，所以点()2,0在圆外.

所以()()22

1021011m m

->???-++>-??，解不等式组得11m -<<，故选D. 【名师点睛】本题考查了点与圆的位置关系及其简单应用，属于基础题.由于有两条直线与圆相切，所以可知点在圆外；由点与圆的位置关系及圆的判断条件，可得m 的取值范围. 5．【答案】

B

6．【答案】D

【解析】因为圆心(1,1)C 到直线的距离是，又圆222210x y x y +--+=的半径

，所以圆

上的点到直线

的距离最大值是

，故选D ．

7．【答案】A

【解析】设圆C 的方程为()2

2

2

()0x y a a

a +-=>，圆心坐标为()0,a ，

∵双曲线2

2

13

y x -=的渐近线方程为3y x =3

∴2

2

2

32a a ??+= ???，∴a =1，∴圆C 的方程为x 2+（y ?1）2=1．故选A ． 【名师点睛】求圆的方程，主要有两种方法：

（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．

（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，

与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式． 8．【答案】B

【解析】由圆的方程知圆心为()2,1--，所以21a b +=，()2

2

2(2)a b -+-的几何意义为直线21

a b +=上的动点(),a b 与定点()2,2的距离的平方，故过点()2,2向直线21a b +=作垂线段，其长的平方最小，

最小值为2

2

42155d ??+-== ??

?，故选B. $网

9．【答案】C

【解析】圆M 的方程为：()()2

2

341x y -++=，过M （3，?4）且与直线2y x =+垂直的直线方程为

1y x =--,代入()()22

341x y -++=，得2

32

x =±

，故当Q 到直线2y x =+的距离最小时，Q 的坐标为2

3.2

x =- 10．【答案】A

【解析】两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．

因为过点()1,1P 的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为1-，即方程为20x y +-=. 11．【答案】D

12．【答案】C

【解析】由题得圆的方程为()(2

2

13

1,x y -+=()0,,B m -设(),,M x y 由于0AM BM ?=，所以

()()222222,,0,0,,x y m x y m x y m m x y -?+=∴+-=∴=+由于22x y +表示圆

C 上的点到原点距

离的平方，所以连接OC ，并延长和圆C 相交，交点即为M ，此时2m 最大，m 也最大.

33

123,60,3sin30,3sin60 3.22

M M OM MOx x y =+=∠=∴=?=?=???=

故选C.

13．【答案】22620x y x y +--=

【名师点睛】本题主要考查圆的方程和性质，属于中档题.求圆的方程常见思路与方法有: ①直接设出动点坐标(),x y ，根据题意列出关于,x y 的方程即可；学# ②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；

③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可. 14．【答案】 [－1,1]

【解析】由已知圆心（0,0），半径r ＝1，M 位于直线y ＝1上，过M 作圆的切线，切点为C ，D （如图）．

则∠OMN ≤1

2

∠CMD ，∴∠CMD ≥90°．

当∠CMD ＝90°时，则OCM △为等腰直角三角形，故OC ＝CM ＝1． ∴所求x 0的取值范围是－1≤x 0≤1． 15．【答案】1282+

【解析】由题意，曲线22440x x y --+=，即为()2

2

28x y -+=， 所以曲线表示一个圆心在()2,0，

半径为22的圆，又由22x y +表示圆上的点到原点之间距离的平方，且原点到圆心的距离为2， 所以原点到圆上的点的最大距离为222+，所以22x y +的最大值为()

2

222

1082+=+．

【名师点睛】本题主要考查了圆的标准方程及其特征的应用，其中把22x y +转化为原点到圆上的点之间的距离是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．

16．【答案】（1） ()()2

2

2

0000=22052x x y x x x -+--+；（2）05x =，()()2

2

552x y -+-=.

【解析】（1） ()()()()2222

2

00000064=22052x x y x x x x x -+-=-+--+；

（2）()()()222

2

2

000006422052252r x x x x x =-+-=-+=-+，

所以05x =时，r 最小，为2，

所以min 2,S =π此时圆的标准方程为()()2

2

552x y -+-=. 17．【答案】（1）M ()5,0，2250x y x +-=；（2）5

,03?? ???

.

（2）设P 的坐标为(),0a ，依题可得，直线OA 的方程为：20x y -=， 直线AM 的方程为：250x y +-=. 因为AP 平分OAM ∠，

所以P 点到直线OA 和AM 的距离相等.

2222

25

2112

a a-

∴=

++

，得25

a a

=-，解得5

a=-或

5

3

a=.

05

a

<<，

5

3

a

∴=，

P

∴的坐标为

5

,0

3

??

?

??

.

【名师点睛】该题考查的是有关解析几何初步的知识，涉及的知识点有：在圆中，直径所对的圆周角为直角；向量垂直，数量积等于零；以某条线段为直径的圆的方程；角平分线的性质.根据题的条件，得到相应的等量关系式，求得结果.

18．【答案】（1）x2＋（y－1）2＝10；（2）（x－3）2＋（y－2）2＝20．

（2）解法1：直线AB的斜率为k＝－3，则线段AB的垂直平分线的方程是y－1＝

1

3

x．即x－3y＋3＝0．

由圆心在直线240

x y

--=上得两直线交点为圆心即圆心坐标是C（3,2）．

r＝|AC|＝()()

22

132220

-+--=．

∴所求圆的方程为（x－3）2＋（y－2）2＝20．

解法2：待定系数法

设圆的方程为：（x－a）2＋（y－b）2＝r2．

则.

∴所求圆的方程为：（x－3）2＋（y－2）2＝20．

19．【答案】（1）见解析；（2）M的轨迹方程是()

2

211

2

24

x y

??

++-=

?

??

，它是一个以

1

2,

2

??

- ?

??

为圆心，

1

2为半径的圆．*网

【解析】（1）圆()22

:25

C x y

++=的圆心为()

2,0

C-，半径为5，所以圆心C到直线

:120l mx y m -++=的距离2

2

2121|

||

|

511m m

m

m

-++=<++．

所以直线l 与圆C 相交，即直线l 与圆C 总有两个不同的交点；

或：直线:120l mx y m -++=的方程可化为()()210m x y ++-=，无论m 怎么变化，直线l 过定点

()2,1-.

由于()2

222115-++=<，所以点()2,1-是圆C 内一点，

故直线l 与圆C 总有两个不同的交点．

（2）设中点为(),M x y ，因为直线:120l mx y m -++=恒过定点()2,1-， 当直线l 的斜率存在时， 12AB y k x -=

+，又2

MC y

k x =+， 1AB MC k k ?=-， 所以1122y y x x -?=-++，化简得()()2

2112224x y x ?

?++-=≠- ??

?．

当直线l 的斜率不存在时，中点()2,0M -也满足上述方程．

所以M 的轨迹方程是()2

2

11224x y ?

?++-= ??

?，它是一个以12,2??- ???为圆心，12为半径的圆．

1．【答案】2220x y x +-=

【名师点睛】求圆的方程，主要有两种方法：

(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．

(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．

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