齐鲁名校教科研协作体万有引力与宇宙单元培优测试卷(1)

一、第七章 万有引力与宇宙航行易错题培优（难）

1．在太阳系外发现的某恒星a 的质量为太阳系质量的0.3倍，该恒星的一颗行星b 的质量是地球的4倍，直径是地球的1.5倍，公转周期为10天．设该行星与地球均为质量分布均匀的球体，且分别绕其中心天体做匀速圆周运动，则（ ） A ．行星b 的第一宇宙速度与地球相同

B ．行星b 绕恒星a 运行的角速度大于地球绕太阳运行的角速度

C ．如果将物体从地球搬到行星b 上，其重力是在地球上重力的169

D ．行星b 与恒星a 【答案】BC 【解析】 【分析】 【详解】

A ．当卫星绕行星表面附近做匀速圆周运动时的速度即为行星的第一宇宙速度，由

22Mm v G m R R

= 得

v =

M 是行星的质量，R 是行星的半径，则得该行星与地球的第一宇宙速度之比为

v v 行地：=

故A 错误；

B ．行星b 绕恒星a 运行的周期小于地球绕太阳运行的周期；根据2T

π

ω= 可知，行星b 绕恒星a 运行的角速度大于地球绕太阳运行的角速度，选项B 正确； C ．由2

GM

g R =

，则 2

216

9

M R g g M R =?=行地行地地行：

则如果将物体从地球搬到行星b 上，其重力是在地球上重力的16

9

，则C 正确； D ．由万有引力提供向心力：

2

224Mm G m R R T

π= 得：

2

3

2

4

GMT

R

π

=

则

22

b3

3

22

0.310

==

360

ab a

R M T

R M T

日

日地地

?

则D错误；

故选BC。

2．中国火星探测器于2020年发射，预计2021年到达火星（火星与太阳的距离大于地球与太阳的距离），要一次性完成“环绕、着陆、巡视”三步走。现用h表示探测器与火星表面的距离，a表示探测器所受的火星引力产生的加速度，a随h变化的图像如图所示，图像中a1、a2、h0为已知，引力常量为G。下列判断正确的是（）

A．火星绕太阳做圆周运动的线速度小于地球绕太阳做圆周运动的线速度

B．火星表面的重力加速度大小为a2

C10

21

a

a a

-

D．火星的质量为

2

2

120

21

2

a a h

G

a a

-

【答案】ABC

【解析】

【分析】

【详解】

A．根据

2

2

Mm v

G m

r r

=

知

GM

v

r

=

轨道半径越大线速度越小，火星与太阳的距离大于地球与太阳的距离，所以火星绕太阳做圆周运动的线速度小于地球绕太阳做圆周运动的线速度，故A正确；

B．分析图象可知，万有引力提供向心力知

2

Mm

G

ma r = r 越小，加速度越大，当h =0时的加速度等于火星表面的重力加速度大小，大小为a 2，故B 正确；

CD ．当h =h 0时，根据

12

0()Mm

G

ma R h =+

22

Mm

G

ma R = 得火星的半径

0R =

火星的质量

2

2

0h M G

=

故C 正确，D 错误。 故选ABC 。

3．2020年也是我国首颗人造卫星“东方红一号”成功发射50周年。1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星“东方红一号”，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440km ，远地点高度约为2060km ；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35786km 的地球同步轨道上。设东方红一号在近地点的加速度为1a ，线速度1v ，东方红二号的加速度为2a ，线速度2v ，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为3a ，线速度3v ，则下列大小关系正确的是（ ） A ．213a a a >> B ．123a a a >>

C ．123v v v >>

D ．321v v v >>

【答案】BC 【解析】 【分析】 【详解】

AB ．对于两颗卫星公转，根据牛顿第二定律有

2Mm

G

ma r

= 解得加速度为2GM

a r

=

，而东方红二号的轨道半径更大，则12a a >；东方红二号卫星为地球同步卫星，它和赤道上随地球自转的物体具有相同的角速度，由匀速圆周运动的规律 2a r ω=

且东方红二号卫星半径大，可得23a a >，综合可得123a a a >>，故A 错误，B 正确；

CD ．假设东方红一号卫星过近地点做匀速圆周运动的线速度为1v '，需要点火加速变为椭圆轨道，则11

v v '>；根据万有引力提供向心力有 2

2Mm v G m r r

= 得卫星的线速度GM v r

=

可知，东方红二号的轨道半径大，则1

2v v '>；东方红二号卫星为地球同步卫星，它和赤道上随地球自转的物体具有相同的角速度，由匀速圆周运动的规律有

v r ω=

且东方红二号卫星半径大，可得23v v >，综上可得11

23v v v v '>>>，故C 正确，D 错误。 故选BC 。

4．如图为某双星系统A 、B 绕其连线上的O 点做匀速圆周运动的示意图，若A 星的轨道半径大于B 星的轨道半径，双星的总质量M ，双星间的距离为L ，其运动周期为T ，则（ ）

A ．A 的质量一定大于

B 的质量 B ．A 的加速度一定大于B 的加速度

C ．L 一定时，M 越小，T 越大

D ．L 一定时，A 的质量减小Δm 而B 的质量增加Δm ，它们的向心力减小 【答案】BCD 【解析】 【分析】 【详解】

A ．双星系统中两颗恒星间距不变，是同轴转动，角速度相等，双星靠相互间的万有引力提供向心力，所以向心力相等，故有

22A A B B m r m r ωω＝

因为A B r r >，所以A B m m <，选项A 错误；

B ．根据2a r ω=，因为A B r r >，所以A B a a >，选项B 正确；

C ．根据牛顿第二定律，有

2

2

2()A B A A m m G m r L T π= 2

22()A B B B

m m G

m r L T

π= 其中

A B r r L +=

联立解得

22T ==

L 一定，M 越小，T 越大，选项C 正确； D ．双星的向心力由它们之间的万有引力提供，有

2

=A B

m m F G

L

向 A 的质量m A 小于B 的质量m B ，L 一定时，A 的质量减小Δm 而B 的质量增加Δm ，根据数学知识可知，它们的质量乘积减小，所以它们的向心力减小，选项D 正确。 故选BCD 。

5．若第一宇宙速度为v 1，绕地球运动的卫星最小的周期为T ，地球同步卫星的周期为T 0，引力常量为G ，则（ ）

A ．地球的质量为2

1v G

B ．卫星运动轨道的最小半径为

12v T

π

C

．地球同步卫星的线速度大小为1v D

【答案】BC 【解析】 【分析】 【详解】

A ．设地球质量和半径分别为M 、R ，则第一宇宙速度满足

2

12=

mv Mm G R R

所以地球质量为

21v R

M G

= A 错误； B ．由

22224=='

Mm mv G m r r r T π 得

GM v r =

，23

4'r T GM

π= 所以轨道半径r 越小，线速度越大，周期越小，且最小轨道半径即为地球半径R ，联立得

12R

v T π=

所以

12v T

R π

=

B 正确；

CD ．设地球同步卫星线速度和轨道半径分别为为2v 、2T ，则

22GM v r = ，232

04r T GM

π=

且

1GM v R =，234R T GM

π=，12v T R π=

联立得

3

210

T

v v T =? 所以同步卫星离地面高度为

2

3102

11320()22v TT T v v T r TT ππ-=?-=

C 正确，

D 错误。 故选BC 。

6．我国探月探测器“嫦娥三号”在西昌卫星发射中心成功发射升空，此飞行轨道示意图如图所示，探测器从地面发射后奔向月球，在P 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，Q 为轨道Ⅱ上的近月点。下列关于“嫦娥三号”的运动，正确的说法是（ ）

A ．在轨道Ⅱ上经过P 的速度小于在轨道Ⅰ上经过P 的速度

B ．在轨道Ⅱ上经过P 的加速度小于在轨道Ⅰ上经过P 的加速度

C ．发射速度一定大于7.9 km/s

D ．在轨道Ⅱ上从P 到Q 的过程中速率不断增大 【答案】ACD 【解析】

【分析】

【详解】

A．从轨道Ⅰ上的P点进入轨道Ⅱ需减速，使得万有引力大于向心力，做近心运动，所以轨道Ⅱ上经过P的速度小于在轨道Ⅰ上经过P的速度，故A正确；

B．在两个轨道上在P点所受的万有引力相等，根据牛顿第二定律知，在轨道Ⅱ上经过P

的加速度等于于在轨道Ⅰ上经过P的加速度，故B错误；

C．地球的第一宇宙速度为7.9km/s，这是发射卫星的最小速度，发射速度如果等于

7.9km/s，卫星只能贴近地球表面飞行，要想发射到更高的轨道上，发射速度应大于

7.9km/s，故C正确；

D．在轨道Ⅱ上运动过程中，只受到月球的引力，从P到Q的过程中，引力做正功，动能越来越大，速率不断增大，故D正确。

故选ACD。

7．电影《流浪地球》讲述的是面对太阳快速老化膨胀的灾难，人类制定了“流浪地球”计划，这首先需要使自转角速度大小为ω的地球停止自转，再将地球推移出太阳系到达距离太阳最近的恒星（比邻星）。为了使地球停止自转，设想的方案就是在地球赤道上均匀地安装N台“喷气”发动机，如图所示（N较大，图中只画出了4个）。假设每台发动机均能沿赤道的切线方向提供大小恒为F的推力，该推力可阻碍地球的自转。已知描述地球转动的动力学方程与描述质点运动的牛顿第二定律方程F=ma具有相似性，为M=Iβ，其中M 为外力的总力矩，即外力与对应力臂乘积的总和，其值为NFR；I为地球相对地轴的转动惯量；β为单位时间内地球的角速度的改变量。将地球看成质量分布均匀的球体，下列说法中正确的是（）

A．在M=Iβ与F=ma的类比中，与质量m对应的物理量是转动惯量I，其物理意义是反映改变地球绕地轴转动情况的难易程度

B．地球自转刹车过程中，赤道表面附近的重力加速度逐渐变小

C．地球停止自转后，赤道附近比两极点附近的重力加速度大

D．地球自转刹车过程中，两极点的重力加速度逐渐变大

E.这些行星发动机同时开始工作，使地球停止自转所需要的时间为

I NF

ω F.若发动机“喷气”方向与地球上该点的自转线速度方向相反，则地球赤道地面的人可能会“飘”起来

G.在M=Iβ与F =ma 的类比中，力矩M 对应的物理量是m ，其物理意义是反映改变地球绕地轴转动情况的难易程度 H.β的单位应为rad/s

I.β-t 图象中曲线与t 轴围成的面积的绝对值等于角速度的变化量的大小 J.地球自转刹车过程中，赤道表面附近的重力加速度逐渐变大

K.若停止自转后，地球仍为均匀球体，则赤道处附近与极地附近的重力加速度大小没有差异

【答案】AFIJK 【解析】 【分析】 【详解】

A ．I 为刚体的“转动惯量”，与平动中的质量m 相对应，表征刚体转动状态改变的难易程度，故在本题中的物理意义是反映改变地球绕地轴转动情况的难易程度，故A 正确； BJ ．地球自转刹车过程中，万有引力提供赤道表面附近的重力加速度和物体做圆周运动的向心力，则

22Mm

G

mg m r r

ω-=

故赤道表面附近的重力加速度逐渐增大，故B 错误，J 正确；

C ．地球视为均匀球体地球停止自转后，万有引力提供重力加速度，故赤道附近和两极点附近的重力加速度一样大，故C 错误；

D ．地球自转刹车过程中，；两极点处万有引力提供重力加速度，故两极点的重力加速度保持不变，故D 错误； EHI ．由题意可知

M I β=，M NFR =

解得

NFR I

β=

且

t t

ωωβ?-=

=? 故β的单位为2rad/s ，由β的定义式可知，β-t 图象中曲线与t 轴围成的面积的绝对值等于角速度的变化量的大小，且联立解得

I t NFR

ω=

故EH 错误，I 正确；

F ．若发动机“喷气”方向与地球上该点的自转线速度方向相反，则地球的自转角速度变

大，则人跟地球一起做圆周运动所需的向心力变大，当万有引力不足以提供向心力时，人会飘起来，故F正确；

G．在M=Iβ与F=ma的类比中，力矩M对应的物理量是F，表征外力对刚体的转动效果，故G错误；

故选AFIJK。

8．宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双是系统设某双星系统A、B绕其连线上的某固定点O点做匀速圆周运动，如图所示，现测得两星球球心之间的距离为L，运动周期为T，已知万有引力常量为G，若AO OB

>，则（）

A．星球A的线速度一定大于星球B的线速度

B．星球A所受向心力大于星球B所受向心力

C．双星的质量一定，双星之间的距离减小，其转动周期增大

D．两星球的总质量等于

23

2

4L

GT

π

【答案】AD

【解析】

【分析】

【详解】

A．双星转动的角速度相等，根据v R

ω

=知，由于AO OB

>，所以星球A的线速度一定大于星球B的线速度，故A正确；

B．双星靠相互间的万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律可知向心力大小相等，故B

错误；

C．双星AB之间的万有引力提供向心力，有

2

A B

A A

2

m m

G m R

L

ω

=，2

A B

B B

2

m m

G m m

L

ω

=

其中

2

T

π

ω=，

A B

L R R

=+

联立解得

()

223

3

A B A B

22

44

ππL

m m R R

GT GT

+=+=

解得()

23

A B

4πL

T

G m m

=

+

小，故C错误；

D．根据C选项计算可得

23

A B 2

4L m m GT

π+= 故D 正确。 故选AD 。

9．“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接及“蛟龙”号下潜突破7000米入选2012年中国十大科技进展新闻。若地球半径为R ，把地球看作质量分布均匀的球体（质量分布均匀的球壳对球内任一质点的万有引力为零）。“蛟龙”号下潜深度为d ，“天宫一号”轨道距离地面高度为h ，“天宫一号”所在处与“蛟龙”号所在处的重力加速度之比为（ ）

A ．R d R h

B ．3

2

()()R R d R h -+

C ．23

()()R d R h R

D ．

2

()()

R d R h R

【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】

“天宫一号”绕地球运行，所以

32

2

4

3()()R m

Mm G G mg R h R h ρπ?==++

“蛟龙”号在地表以下，所以

32

2

4()3

()()

R d m M m G

G

m g R d R d ρπ-?'

''

==''--

“天宫一号”所在处与“蛟龙”号所在处的重力加速度之比为

2

3

2

3(()()1)g R R R g R h R h d d R =?'-+=+- 故ACD 错误，B 正确。 故选B 。

10．米歇尔·麦耶和迪迪埃·奎洛兹因为发现了第一颗太阳系外行星一飞马座51b 而获得2019年诺贝尔物理学奖。如图所示，飞马座51b 与恒星构成双星系统，绕共同的圆心O 做匀速圆周运动，它们的质量分别为1m 、2m 。下列关于飞马座51b 与恒星的说法正确的是（ ）

A ．轨道半径之比为12:m m

B ．线速度大小之比为12:m m

C ．加速度大小之比为21:m m

D ．向心力大小之比为21:m m 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】

D ．双星系统属于同轴转动的模型，具有相同的角速度和周期，两者之间的万有引力提供向心力，故两者向心力相同，选项D 错误；

A ．根据22

1122m r m r ωω=可得半径之比等于质量的反比，即

1221r r m m =::

选项A 错误；

B ．根据v r ω=可知线速度之比等于半径之比，即

1221::v v m m =

选项B 错误；

C ．根据a v ω=可得加速度大小之比为

121221:::a a v v m m ==

选项C 正确。 故选C 。

11．2020年6月23日，我国北斗卫星导航系统最后一颗组网卫星成功发射，这是一颗同步卫星。发射此类卫星时，通常先将卫星发送到一个椭圆轨道上，其近地点M 距地面高h 1，远地点N 距地面高h 2，进入该轨道正常运行时，其周期为T 1，机械能为E 1，通过M 、N 两点时的速率分别是v 1、v 2，加速度大小分别是a 1、a 2。当某次飞船通过N 点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面高h 2的圆形轨道，开始绕地球做匀速圆周运动，这时飞船的运动周期为T 2，速率为v 3，加速度大小为a 3，机械能为E 2。下列结论正确的是（ ） ①v 1＞v 3 ②E 2＞E 1 ③a 2＞a 3 ④T 1＞T 2

A ．①②③

B ．②③

C ．①②

D ．③④

【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】

①根据万有引力提供向心力有

22Mm v G m r r

= 解得卫星的线速度

GM

v r

=

可知半径越大，线速度越小，所以v 1＞v 3，①正确；

②飞船要从图中椭圆轨道变轨到圆轨道，必须在N 点加速，其机械能增大，则E 2＞E 1，②正确；

③根据万有引力提供向心力有

2

Mm

G

ma r = 解得

2

GM

a r =

可知a 2=a 3，③错误；

④因图中椭圆轨道的半长轴小于圆轨道的半径，根据开普勒第三定律3

2a k T

=可知T 1＜T 2，

④错误，故选C 。

12．如图所示，设行星绕太阳的运动是匀速圆周运动，金星自身的半径是火星的n 倍，质量为火星的k 倍，不考虑行星自转的影响，则

A ．金星表面的重力加速度是火星的k n

B

C ．金星绕太阳运动的加速度比火星小

D ．金星绕太阳运动的周期比火星大 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】

有黄金代换公式GM=gR 2可知g=GM/R 2,所以2

22

=M R g k g M R n =金金火金火火 故A 错误， 由万有引力提供近地卫星做匀速圆周运动的向心力可知2

2

GMm v m R R

=

解得v =

，所以v v 金火故B 正确； 由2

GMm

ma r

= 可知轨道越高，则加速度越小，故C 错； 由

2

2

(2)GMm m r r T

π= 可知轨道越高，则周期越大，故D 错； 综上所述本题答案是：B 【点睛】

结合黄金代换求出星球表面的重力加速度，并利用万有引力提供向心力比较运动中的加速度及周期的大小．

13．电影《流浪地球》讲述的是面对太阳快速老化膨胀的灾难，人类制定了“流浪地球”计划，这首先需要使自转角速度大小为ω的地球停止自转，再将地球推移出太阳系到达距离太阳最近的恒星（比邻星）。为了使地球停止自转，设想的方案就是在地球赤道上均匀地安装N 台“喷气”发动机，如下图所示（N 较大，图中只画出了4个）。假设每台发动机均能沿赤道的切线方向提供大小恒为F 的推力，该推力可阻碍地球的自转。已知描述地球转动的动力学方程与描述质点运动的牛顿第二定律方程F =ma 具有相似性，为

M I β=，其中M 为外力的总力矩，即外力与对应力臂乘积的总和，其值为NFR ；I 为地

球相对地轴的转动惯量；β为单位时间内地球的角速度的改变量。将地球看成质量分布均匀的球体，下列说法中正确的是（ ）

=与F=ma的类比中，与质量m对应的物理量是转动惯量I，其物理意义是反A．在M Iβ

映改变地球绕地轴转动情况的难易程度

B．β的单位为rad/s

C．地球自转刹车过程中，赤道表面附近的重力加速度逐渐变小

D．地球停止自转后，赤道附近比两极点附近的重力加速度大

【答案】A

【解析】

【分析】

【详解】

A．在M=Iβ与F=ma的类比中，与转动惯量I对应的物理量是m，其物理意义是反映改变地球绕地轴转动情况的难易程度，A正确；

B．根据

=

NFR Iβ

得

NFR

β=

I

s-，故B错误；

代入单位运算可知其单位为2

C．地球自转刹车过程中，赤道表面附近的重力加速度逐渐变大，故C错误；

D．地球停止自转后，赤道附近和两极点附近的重力加速度大小相等，故D错误。

故选A。

14．宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统。在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统．设某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示。若AO>OB，则（）

A．星球A的质量一定大于B的质量

B．星球A的线速度一定小于B的线速度

C ．双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大

D ．双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】

A ．根据万有引力提供向心力

221122m r m r ωω=

因为12r r >，所以有

12m m <

即A 的质量一定小于B 的质量，选项A 错误；

B ．双星系统角速度相等，因为12r r >，根据v r ω=知星球A 的线速度一定大于B 的线速度，选项B 错误；

CD ．设两星体间距为L ，根据万有引力提供向心力公式得

22121222244m m G mr mr L T T

ππ==

解得周期为

()

3122L T G m m π=+

由此可知双星的距离一定，质量越大周期越小，选项C 错误； 总质量一定，双星之间的距离就越大，转动周期越大，选项D 正确。 故选D 。

15．如图为某双星系统A 、B 绕其连线上的O 点做匀速圆周运动的示意图，若A 星的轨道半径大于B 星的轨道半径，双星的总质量M ，双星间的距离为L ，其运动周期为T ，则不正确的是（ ）

A ．A 的加速度一定大于

B 的加速度 B ．L 一定时，m 越小，r 越大

C ．L 一定时，A 的质量减小△m 而B 的质量增加△m ，它们的向心力减小

D ．A 的质量一定大于B 的质量 【答案】D 【解析】 【分析】

【详解】

A ．双星系统中两颗恒星间距不变，是同轴转动，角速度相等，根据2a r ω=，因为

A B r r >

所以

A B a a >

A 正确；

BD ． 双星靠相互间的万有引力提供向心力，所以向心力相等，故有

22A A B B m r m r ωω＝

所以

A B

B A

r m r m = 其中

A B r r L +=

所以L 一定时，m 越小，r 越大； 因为

A B r r >

所以

A B m m <

B 正确，D 错误；

C ．双星的向心力由它们之间的万有引力提供，有

2

=A B

m m F G

L 向 A 的质量m A 小于B 的质量m B ，L 一定时，A 的质量减小Δm 而B 的质量增加Δm ，根据数学知识可知，它们的质量乘积减小，所以它们的向心力减小，C 正确。 本题选不正确的，故选D 。