初三数学圆的有关性质及有关的角(含答案)

第三讲圆的有关性质及有关的角

一、知识要点：

1、圆是平面上到的距离等于的点的集合。

2、的三点确定一个圆；任何一个三角形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫做

三角形的

心，它是三角形的的交点。

3、圆是以为轴的轴对称图形，又是以为中心的中心对称图形。

4、垂径定理的条件是，结论是。

5、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心距中，有一组量相等，

那么它们所对应的其余各组量都。

重、难点：圆的基本性质，垂径定理。

基础知识

圆的有关性质和计算

①垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

垂径定理的推论:

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

②弧、弦、圆心角之间的关系:

在同圆或等圆中，如果两条劣弧（优弧）、两条两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余各组量也分别对应相等.

③在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半.

④圆内接四边形的性质: 圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角等于它的内

对角.

1、圆心角的度数等于它所对的弧的度数；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的；半圆（或直径）所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是。

2、弦切角它所夹的弧对的圆周角。

3、圆内接四边形的对角；任何一个外角都等于它的。

二、例题讲解

（1）圆的认识

1、（2005?扬州）下列四个命题：①直径所对的圆周角是直角；②圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；③在同圆中，相等的圆周角所对的弦相等；④三点确定一个圆．其中正确命题的个数为（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

2、下列命题中，正确的是（）

A．圆只有一条对称轴

B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条

C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴

D．圆有无数条对称轴，每条直径所在的直线都是它的对称轴

3、过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为（）

A．1条B．2条C．3条D．无数条

4、下列命题中，正确的个数是（）

（1）不同的圆中不可能有相等的弦；（2）优弧一定大于劣弧；

（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧．

A．1个B．2个C．3个D．4个

（2）垂径定理及推论

例1、1．（2012?新疆）如图，圆内接四边形ABCD，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于E．

（1）请你写出四个不同类型的正确结论；

（2）若BE=4，AC=6，求DE．

练习1、（2019?南通）如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O 位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离．

变式题1：（2010?襄阳）圆的半径为13cm，两弦：AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求两弦AB、CD的距离。

练习2、．（2012?陕西）如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两

条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为。

变式题2、如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交AB于C，交弦AB于D，

（1）求作此残片所在的圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）若AB=8cm，CD=2cm，求（1）中所作圆的半径．

（3）垂径定理的应用

例2、如图，有一个拱桥是圆弧形，它的跨度为60m，拱高为18m，当洪水泛滥跨度小于30m 时，要采取紧急措施．若拱顶离水面只有4m时，问是否要采取紧急措施？

练习3、工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是12毫米，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9毫米，如图所示，则这个小孔的直径AB是多少毫米？

变式题3、由于过度地采伐森林和破坏植被，使我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭．近日

10km/h的速度向南偏A市气象局测得沙尘暴中心在A市的正西方向300km的B处，正以7

东60°的BF方向移动，距沙尘暴中心200km的范围内是受沙尘暴严重影响的区域．

（1）通过计算说明A市必然是否会受到这次沙尘暴的影响；

（2）计算A市受沙尘暴影响的时间．

（4）圆心角、弧、弦关系

例5、（2020?绵阳）如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，求∠BCD 的度数。

练习4、（2020?十堰）如图，在⊙O中，弦AB=CD，图中的线段、角、弧分别

具有相等关系的量共有（不包括AB=CD）（）

A．10组B．7组C．6组D．5组

变式题5、（2020?资阳）如图，A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分点．

（1）连接AB、AD、AF，求证：AB+AF=AD；

（2）若P是圆周上异于已知六等分点的动点，连接PB、PD、PF，写出这三条线段长度的数量关系（不必说明理由）．

练习5、如图，⊙O中两条不平行弦AB和CD的中点M，N．且AB=CD，求证：∠AMN=∠CNM．

（5）圆周角定理

例6、（2020?沈阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD ⊥AC，垂足为E，连接BD

（1）求证：BD平分∠ABC；

（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．

练习6、（2020?衢州）如图4，点A、B、C在⊙O上，∠ACB=30°，则sin∠AOB= 。

图4 图5 图6 图7

练习7、（220?德阳），如图5，已知AB、CD是⊙O的两条直径，∠ABC=30°，那么∠

BAD= 。

练习8、（2012?随州）如图6，AB是⊙O的直径，若∠BAC=35°，则∠ADC=（） A．35°B．55°C．70°D．110°

练习9、（2016?芜湖）如图7，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），B是y 轴右侧⊙A优弧上一点，则cos∠OBC= 。

练习10、（2019?大庆）如图△ABC中，BC=3,以BC为直径的⊙O交AC于点D,若D是AC中点,∠ABC=120°

（1）求∠ACB的大小；

（2）求点A到直线BC的距离．

练习11、（2020?陕西）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆O与斜边AB交于点E，连接DE．

（1）求证：AC=AE；

（2）求AD的长．

综合训练、（2020?沈阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AF是⊙O的直径，与BC交于点H，且AB=AC，点D是弧BC上的一点，连接AD、BD，且AD与BC相交于点E．

（1）求证：∠ABC=∠D；

（2）求证：AC2=AE?AD；

（3）当AB=5，BC=6时，求⊙O的半径．

（6）圆内接四边形

例7、如图，四边形ABCD内接于⊙O，并且AD是⊙O的直径，C是弧BD的中点，AB和DC 的延长线交⊙O外一点E．求证：BC=EC．

练习12、（2020?万州区），如图8，圆内接四边形ABCD的内角∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠D= 度．

图9

图8

练习13、（2020?太原）已知：如图9，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，经过A的直线CD与⊙O1交于点C、与⊙O2交于点D，经过点B的直线EF与⊙O1交于点E、与⊙O2交于点F，连接CE、DF．若∠AO1E=100°，则∠D的度数为度．

练习14、（1）已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，延长BC至E．求证：∠A+∠BCD=180°，∠DCE=∠A．

（2）依已知条件和（1）中的结论：

①如图2，若点C在⊙O外，且A、C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠A+∠BCD与180°

的大小关系；

②②如图3，若点C在⊙O内，且A、C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠A+∠BCD与

180°的大小关系．

三、能力提升

1、已知AB 是⊙O 的直径，半径OC ⊥AB ，D 为 C A

上任意一点，E 为弦BD 上一点，且BE=AD ，求证：△CDE 为等腰直角三角形．(提示：连接AC 、BC)

2、如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交BC 、AC 于点D 、E ，连接EB 交OD 于点F ．

（1）求证：OD ⊥BE ； （2）若DE=

25，AB= 2

5

，求AE 的长．

3、已知：在△ABC 中，以AC 边为直径的⊙O 交BC 于点D ，在劣弧AD 上取一点E 使∠EBC=∠DEC ，延长BE 依次交AC 于点G ，交⊙O 于H ． （1）求证：AC 丄BH ；

（2）若∠ABC=45°，⊙O 的直径等于10，BD=8，求CE 的长．

第四讲直线和圆\圆和圆的位置关系

一、知识要点：

1、概念：相离、相切及切点、相交；三角形的内切圆、内心及圆的外切三角形；切线长；

弦切角。

2、直线和圆位置关系的判定公式：设圆的半径为R，圆心到直线的距离为d，则

d>R?直线和圆相离；d=R?直线和圆相切；d

3、相关的定理和性质：切线的判定定理（P106）、性质定理（P107）及推论（P108）；切线长定

理（P118）；弦切角定理（P121）及推论（P122）；相交弦定理及推论（P125）；切割线定理及推论（P127）；

4、重要命题：圆外切四边形的两组对边的和相等；三角形的内心到三角形三边的距离都相

等

重、难点：相切的性质和判定，尤其是判定。

二、例题讲解

A点在圆?OA r B点在圆?OB r

C点在圆?OC r

(2) 直线与圆的位置关系(设⊙O半径为r，圆心到直线l距离为d)

①l与⊙O相交?d r ②l与⊙O相切?d r③l与⊙O相离?d r

典型题：

例1、在△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，以点C为圆心，以r=3为半径作圆，判断A、B 两点和⊙O的位置关系。

练习1、如图，已知△ABC，AC=3，BC=4，∠C=90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r．（1）当r取什么值时，点A、B在⊙C外．

（2）当r在什么范围时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．

例2、（2007?庆阳）△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，以R长为半径画圆，

若⊙C与AB相交，求R的范围．

（3）切线的性质：圆的切线于经过切点的半径.

例3、（2020?株洲）如图，已知AD为⊙O的直径，B为AD延长线上一点，BC与⊙O切于C点，∠A=30°．

求证：（1）BD=CD；

（2）△AOC≌△CDB．

练习1、（2020?永州）如图，AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，A为切点，连接PC交⊙O 于点B，连接AB，且PC=10，PA=6．

求：（1）⊙O的半径；

（2）cos∠BAC的值．

练习2、（2020?咸宁）如图，AB是⊙O的直径，点E是AB上的一点，CD是过E点的弦，过点B的切线交AC的延长线于点F，BF∥CD，连接BC．

（1）已知AB=18，BC=6，求弦CD的长；

（2）连接BD，如果四边形BDCF为平行四边形，则点E位于AB的什么位置？试说明理由．

变式题1、（2020?天津）已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B．

（Ⅰ）如图①，若∠BAC=25°，求∠AMB的大小；

（Ⅱ）如图②，过点B作BD⊥AC于E，交⊙O于点D，若BD=MA，求∠AMB的大小．

（4）切线的判定：经过半径的（内、外）端且于这条半径的直线是圆的切线。

例4、（2020?遵义）如图，△OAC中，以O为圆心，OA为半径作⊙O，作OB⊥OC交⊙O于B，垂足为O，连接AB交OC于点D，∠CAD=∠CDA．

（1）判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若OA=5，OD=1，求线段AC的长．

练习3、（2020?义乌市）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．

（1）求∠ABC的度数；

（2）求证：AE是⊙O的切线；

（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．

变式题2、（2020?厦门）已知：⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于E，∠BCD=∠BAC．

（1）求证：AC=AD；

（2）过点C作直线CF，交AB的延长线于点F，若∠BCF=30°，则结论“CF一定是⊙O的切线”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举反例．

（4）切线长定理

从圆外一点可以引圆的条切线，它们的切线长．这一点和圆心的连线这两条切线的角．

即：如图，PA，PB分别为⊙O的切线，切点分别为A、B，

则PA PB，PO平分．

例5、．（2019?天津）如图，已知AB为⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，∠BAC=30°．

（Ⅰ）求∠P的大小；

（Ⅱ）若AB=2，求PA的长（结果保留根号）．

练习4、（1998?杭州）如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，连接PO与⊙O相交于C，连接AC、BC，求证：AC=BC．

练习5、（2020?重庆）如图1：EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，则∠A的度数是度．

练习6、如图2，点B在⊙O外，以B点为圆心，OB长为半径画弧与⊙O相交于两点C，D，与直线OB相交A点．当AC=5时，求AD的长为。

图1 图2 图3 练习7、（2020?大连）如图3，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，若∠A=70°，则∠

BOC 的度数为（ ）

A ．130°

B ．120°

C ．110°

D ．100° 例6、．（2019?云南）如图4，若△ABC 的三边长分别为AB=9，BC=5，CA=6 ，△ABC 的内切圆⊙O 切AB 、BC 、AC 于D 、

E 、

F ，则AF 的长为（ ） A ．5 B ．10

C ．7.5

D ．4

练习8、（2015?杭州）如图5，一圆内切四边形ABCD ，且AB=16，CD=10， 则四边形的周长为（ ）

A ．50

B ．52

C ．54

D ．56

（5）圆与圆的位置关系 例7、设R 、r(R>r)分别为两圆半径，两圆外切时圆心距为5，两圆内切时圆心距为1，求R 、r 的值？

练习1、（2020?六盘水）已知两圆的半径分别为2和3，两圆的圆心距为4，那么这两圆的

位置关系是 。

练习2、（2020?铜仁地区）已知圆O 1和圆O 2外切，圆心距为10cm ，圆O 1的半径为3cm ，则圆O 2的半径为 ．

练习3、（2020?盐城）已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别是方程x 2

-4x+3=0的两根，且O 1O 2=t+2，若这两个圆相切，则t= ．

练习4、．（2020?锦州）如图所示，点A 、B 在直线MN 上，AB=11cm ，⊙A 、⊙B 的半径均为1cm ，⊙A 以每秒2cm 的速度自左向右运动，与此同时，⊙A 的半径也不断增大，其半径r （cm ）

图4 图5

与时间t（秒）之间的关系式为r=1+t（t≥0），当点A出发后秒两圆相切．

练习5、如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P以1个单位/秒的速度从A 向C运动，点Q以2个单位/秒的速度同时沿A→B→C方向运动，⊙P和⊙Q的半径都为1．求：（1）求圆心距PQ的最大值；

（2）设运动时间为t，求两圆相切时t的值；

（3）当t为何值时，两圆相离．

练习6、（2020?日照）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠C=60°，AD=3cm，BC=9cm．⊙O1的圆心O1从点A开始沿折线A-D-C以1cm/s的速度向点C运动，⊙O2的圆心

O2从点B开始沿BA边以3cm/s的速度向点A运动，⊙O1半径为2cm，⊙O2的半径为4cm，

若O1、O2分别从点A、点B同时出发，运动的时间为t．

（1）请求出⊙O2与腰CD相切时t的值；

（2）在0s＜t≤3s范围内，当t为何值时，⊙O1与⊙O2外切？

三、能力提升

1、（2020?资阳）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC

于点D，交AC于点E，连接DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连接EP、CP、OP．

（1）BD=DC吗？说明理由；

（2）求∠BOP的度数；

（3）求证：CP是⊙O的切线；

如果你解答这个问题有困难，可以参考如下信息：

为了解答这个问题，小明和小强做了认真的探究，然后分别用不同的思路完成了这个题目．在进行小组交流的时候，小明说：“设OP交AC于点G，证△AOG∽△CPG”；小强说：“过点C作CH⊥AB于点H，证四边形CHOP是矩形”．

附圆的有关计算与圆的复习

一、知识要点

1、各顶点都在一个圆上的正多边形叫这个圆的内接正多边形，这个圆叫做正多边形的外接圆；各边都与一个圆相切的正多边形叫这个圆的内切正多边形，这个圆叫做正多边形的内切圆。

2、正多边形的外接圆的圆心叫这个正多边形的中心；外接圆的半径叫正多边形的半径；正多边形每条边所对的圆心角叫正多边形的中心角；中心到正多边形的距离叫正多边形的边心距。

3、正多边形的半径，边长，边心距的概念及其之间的关系。

4、一个圆心角为n o的扇形，其弧长l ＝180R n π，面积S ＝3602R n π，或者S ＝lR 2

1

。

5、圆锥的侧面展开图是一个扇形，理清如下对应关系：

圆锥的母线→扇形的半径； 圆锥的底面周长→扇形的弧长 圆锥的侧面积→扇形的面积

二、例题讲解

（1）正多边形和圆

1、画正n 边形的步骤：将一个圆n 等分，顺次连接各分点。对于一些特殊的正n 边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。

2、正n 边形的每个内角都等于，每个外角为，等于中心角。

3、一个正多边形的外接圆的 叫做这个正多边形的中心，外接圆的 叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的 叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的 正多边形的边心距。

4、正n 边形都是轴对称图形，当边数为偶数时，它的对称轴有 条，并且还是中心对称图形；当边数为奇数时，它只是 。

5、如果正多边形的一个外角等于600，那么它的边数为

6、若正多边形的边心距与边长的比为1：2，则这个正多边形的边数为 。

7、已知正六边形的外接圆半径为3cm ，那么它的周长为 cm 。

8、正多边形的一边所对的中心角与该正多边形的一个内角的关系是 。

例1、（2020?巴中）已知一个圆的半径为5cm ，求它的内接六边形的边长．

练习1、（2020?天津）若一个正六边形的周长为24，求该六边形的边长和面积．

夯实基础

1、（2020?昆明）半径为r的圆内接正三角形的边长为（结果可保留根号）．

2、（2020?荆州）若一边长为40cm的等边三角形硬纸板刚好能不受损地从用铁丝围成的圆形铁圈中穿过，则铁圈直径的最小值为cm．（铁丝粗细忽略不计）

3、（2020?苏州）将一个边长为1的正八边形补成如图所示的正方形，求这个正方形的边长．（结果保留根号）

（2）弧长的计算

l

如果弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r，那么，弧长=

例2、填表：

半径r圆心角度数n弧长l

830°

1560π

120°18π

（圆周率用表示即可）

（2012?肇庆）扇形的半径是9cm，弧长是3πcm，则此扇形的圆心角为度．练习1、

练习2、（2011?吉林）如图所示，小亮坐在秋千上，秋千的绳长OA为2米，秋千绕点旋转了60°，点A旋转到点A′，则弧AA′的长为米．（结果保留π）

（3）扇形面积计算：

s。

方法一：如果已知扇形圆心角为n，半径为r，那么扇形面积=

s。

方法二：如果已知扇形弧长为l，半径为r，那么扇形面积=

例3、填表：

半径r圆心角度数n弧长l扇形面积s

1030°

44π

图 2

2 12π

π

8π

例4、（2020?舟山）如图，已知⊙O 的半径为2，弦AB ⊥半径OC ，沿AB 将弓形ACB 翻折，使点C 与圆心O 重合，求月牙形（图中实线围成的部分）的面积．

练习1、（2020?重庆）一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为

（结果保留π）

练习2、（2020?贵港）如图，在△ABC 中，∠A=50°，BC=6，以BC 为直径的半圆O 与AB 、AC 分别交于点D 、E ，求图中阴影部分面积之和（结果保留π）．

（4）圆锥的侧面积与表面积

（1）如图2：h 为圆锥的 ，a 为圆锥的

，r 为圆锥的

，由

勾股定理可得：a 、h 、r 之间的关系为： （2）如图2：圆锥的侧面展开后一个 ：圆锥的母线是扇形的

。

而扇形的弧长恰好是圆锥底面的

。故：圆锥

的侧面积就是圆锥的侧面展开后的扇形的 。 圆锥的表面积= +

例5、如图，一个圆锥的高为33cm ，侧面展开图是半圆．求：

（1）圆锥的母线长与底面半径之比； （2）求∠BAC 的度数；

（3）圆锥的侧面积（结果保留π）．

练习

1、（2020?绍兴）一个圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为90°的扇形，则此圆锥的底面半径为

。

2、（2020?张家界）已知圆锥的底面直径和母线长都是10cm ，则圆锥的侧面积为 。

3、（2020?岳阳）圆锥底面半径为2

1

，母线长为2，它的侧面展开图的圆心角是 。

4、（2020?永州）如图1，已知圆O 的半径为4，∠A=45°，若一个圆锥的侧面展

开图与扇形OBC 能完全重合，则该圆锥的底面圆的半径为 ．

5、（2020?绥化）小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗 模型．如图2所示，它的底面半径OB=3cm ，高OC=4cm ， 则这个圆锥漏斗的侧面积是 。

图1

图2