相似三角形的证明与判定

相似三角形

一、理论基础

1 、相似三角形

在△ABC 与△'''A B C 中，如果∠A=∠A ′，∠B=∠B ′，∠C=∠C ′，

''''''

A B B C A C

k A B B C A C ===，我们就说△ABC 与△'''A B C 为相似三角形。记作：△ABC ∽△'''A B C ，k 为它们的相似比。 2 、相似三角形的判定

相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

二、精选例题

知识点【1】掌握好相似三角形的判定方法，看题目中已有什么条件，还缺少什么条件。

有平行截线用判定定理

有一对等角，找另一对等角夹边成比例

夹角相等

判定三角形相似的有两边对应成比例，找第三边也成比例思路有一对直角直角三角形，找一锐角

斜边、直角边对应成比例顶角相等等腰三角形，找一对底角相等底和腰成比例

例题1、如图，∠1=∠2，添加一个条件使得△ADE ～△ACB_________________.

例题2、下列每一组中两个图形相似的是-----------------------------------------------------------------（）

（A ）两个等腰三角形，每个三角形都有一个内角为30? （B ）邻边的比都等于2的两个平行四边形（C ）底角为45?的两个等腰梯形

（D ）有一个角是120?的两个等腰三角形

同步练习：

判断题：

(1)两个顶角相等的等腰三角形是相似的三角形。（） (2)两个等腰直角三角形是相似三角形。（） (3)底角相等的两个等腰三角形是相似三角形。（） (4)两个直角三角形一定是相似三角形。（） (5)一个钝角三角形和一个锐角三角形有可能相似。（） (6)有一个角相等的两个直角三角形是相似三角形。（） (7)有一个锐角相等的两个直角三角形是相似三角形。（） (8)三角形的三条中位线围成的三角形与原三角形相似。（） (9)所有的正三角形都相似。（） (10)两个等腰三角形只要有一个角对应相等就相似. （）

知识点【2】相似三角形的性质：

（1）相似三角形的对应边成比例，对应角相等。（2）相似三角形周长的比等于相似比。

（3）相似三角形面积的比等于相似比得平方。

（4）相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比、对应高线的比都等于相似比。

例题1、如果两个相似三角形的相似比是1:2，那么它们的面积比是 ( ) A 、1:2 B 1:4 C 1: D 2:1

例题2、已知：如图，

ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ?与CDF ?的周

长的比，如果2

cm 6=?AEF S ，求CDF S ?．

综合小测

1、从下面这些三角形中，选出相似的三角形

2、如图，D 、E 两点分别在△ABC 的边AB 、AC 上，DE 与BC 不平行，当满足____________________条件时，△ADE ～△ACB.

3、如图，⊿ABC 是等边三角形，∠DAE = ?120，求证：（1）⊿ABD ∽⊿ACE ；（2）

CE DB BC ?=2

4、如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，FC = 5.4cm ，CE = 2.7 cm ，BE = 3.2 cm ，求DC 的长？

A B C D

C D

5、一天，小青在校园内发现，旁边一棵树在阳光下的影子和她本人的影子在同一条直线上，树顶的影子和她头顶的影子恰好落在地面的同一点，同时，还发现她站立于树影的中点（如图所示）。如果小青的身高为1.65米，由此可推断出树高是多少米？

6、如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1 AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）．