大学数学《实变函数》电子教案

《实变函数》电子教案

（重庆邮电大学数理学院邓志颖）

课程名称：实变函数

学时/学分：48/3.0

教材名称：实变函数与泛函分析基础（第三版）出版社：高等教育出版社

编著者：程其襄等

适用专业：数学与应用数学专业(大三上学期)

序言： 实变函数简介

微积分发展的三个阶段：

?创立（17世纪）：Newton （力学）Leibniz （几何）(无穷小)

?严格化（19世纪）: Cauchy, Riemann, Weierstrass(极限理论(ε-N, ε-δ语言)，实数理

论)

?外微分形式（20世纪初）：Grassmann, Poincare, Cartan （微积分基本定理如何在高维

空间得到体现）

微积分继续发展的三个方向：

?外微分形式 (整体微分几何)（微积分基本定理如何在高维空间得到体现）

?复数域上的微积分（复变函数）

?微积分的深化和拓展（实变函数）

1.Riemann 积分回顾：

(1) Riemann 积分的定义

||||0

1

()()lim

()n

b

i

i

a

T i R f x dx f x ξ→==?∑? 其中11,i

i i i i i x

x x x x ξ--?=-≤≤

积分与分割、介点集的取法无关.

几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。 (2) Riemann 可积的充要条件

()f x 在[,]a b 上Riemann 可积

||||0

1

()lim

n

b

i

i

a

T i f x dx M x →=?

=?∑?

||||0

1

lim ()n

b

i

i

a

T i m x f x dx →==?=∑?

其中：

11sup{():}inf{():}

i i i i i i M f x x x x m f x x x x --=≤≤=≤≤

0,ε??>?分划T ，使得1n

i i i x ωε=?≤∑

0,εη??>?，分划T ，使得所有振幅i ωη≥的小区间i ?的总长度不超过ε.

例：Dirichlet 函数不Riemann 可积.

1[0,1]()0[0,1]x Q

D x x Q

∈??=?

∈-? 因为上积分为

||||0

1()lim

1n

b

i

i

a

T i f x dx M x

→==?=∑?

下积分为

||||0

1()lim

0n

b

i

i

a

T i f x dx m x

→==?=∑?

所以对于?分划T ，有

1

1n

i

i

i x

ω=?=∑

所以Dirichlet 函数不Riemann 可积. （3)Riemann 积分的局限性

)a 微积分基本定理

定理：若'

()F x 在[,]a b 上连续，则()

'()()()x

a

R F t dt F x F a =-?

1881年Volterra 作出一可微函数，导函数有界但不Riemann 可积；

)b 积分与极限交换次序（一般要求一致收敛）

例：设{}n r 为[0,1]中全体有理数(因为其为可数集，故可把它排成序列)，作[0,1]上的函数列

1231231{,,,,}()1,2,3,

0[0,1]{,,,,}n n n x r r r r f x n x r r r r ∈?==?∈-

?

则{()}n f x 在[,]a b 上Riemann 可积,但

1[0,1]lim ()()0[0,1]n n x Q

f x D x x Q →∞∈??==?

∈-?

不Riemann 可积. 故对一般收敛函数列，在Riemann 积分意义下极限运算与积分运算不一定可交换次序，即：

lim ()lim ()b

b

n n a

a

n n f x dx f x dx →∞→∞

=?

?

不一定成立.

2.Lebesgue 积分思想简介：

为使()f x 在[,]a b 上Riemann 可积，按Riemann 积分思想，必须使得分划后在多数小区间上的振幅足够小，这迫使在较多地方振动的函数不可积.Lebesgue 提出，不从分割定义域入手，而从分割值域入手；即采取对值域作分划，相应得到对定义域的分划（每一块不一定是区间），使得在每一块上的振幅都很小，即按函数值的大小对定义域的点加以归类

对此Lebesgue 自己曾经作过一个比喻，他说：

● 假如我欠人家一笔钱，现在要还，此时按钞票的面值的大小分类，然后计算每一类

的面额总值，再相加，这就是Lebesgue 积分思想；

● 如不按面额大小分类，而是按从钱袋取出的先后次序来计算总数，那就是Riemann

积分思想 即：0,δ?> 作分划012n m y y y y M =<<<

<=其中1,()i i y y m f x M δ--<≤<

作点集1{:()}i i i E x y f x y -=≤<()f x 在i E 上的振幅不会大于δ. 作和：1

n

i i

i s mE

ξ==

∑i mE 表示i E 的“长度，1i i i y y ξ-≤<

取极限：[,]

1

()

()lim n

i i a b i L f x dx mE δξ→==∑?

3.Lebesgue 积分构思产生的问题：

● （1） 先介绍集合i E （第一章集合，第二章点集） ● （2） 集合i E 的“长度”如何定义（第三章 测度论）； ● （3） 怎样的函数可使i E 都有“长度”（第四章 可测函数）；

● （4） 定义Lebesgue 积分并研究其性质（第五章 积分论）；

● （5） 将牛顿—莱布尼兹公式加以推广（第六章 微分与不定积分）

● 教材：实变函数论与泛函分析基础（第三版）,程其襄等编, 高等教育出版社，2010

年6月.

参考文献：

● 实变函数论（第二版）,江泽坚,吴智泉编, 高等教育出版社，2003年7月. ● 周民强，实变函数(论)，北京大学出版社，1995.6(2001) ● 周性伟，实变函数，科学出版社，1998.9 ● 胡适耕，实变函数，高等教育出版社，1999.7

● 徐森林，实变函数论，中国科学技术大学出版社，2002

● 郑维行等，实变函数论与泛函分析概要，高等教育出版社,1987 ● 夏道行等，实变函数论与泛函分析，高等教育出版社，1983.2 ● Halmos ，测度论(Measure theory)

● Rudin , 实分析与复分析(Real and complex analysis).

教时安排：第一章 集合 6学时，第二章 点集 6学时，

第三章 测度论 8学时，第四章 可测函数 10学时，

第四章 积分论 12学时，第六章 微分与不定积分 6学时，

共六章 48学时。

第一章 集合 （总授课时数 6学时）

由德国数学家Cantor 所创立的集合论，是现代数学中一个独立的分支，按其本性 而言，集合论是整个现代数学的逻辑基础；而就其发展历史而言，则与近代分析（包括 实变函数论）的发展密切相关，实变函数通常是第一门大量运用集合论知识的大学数学 课程．因此，在现代数学教育中，对集合论知识的较系统的介绍，通常构成实变函数教 材的第一章．不过，对于实变函数论来说，集合论毕竟只是一个辅助工具，因此，本章 仅介绍那些必不可少的集论知识．

§1、集合及其运算

教学目的 引入集的概念与集的运算, 使学生掌握集和集的基本运算规律.

本节重点 De Morgan 公式是常用的公式. 证明两个集相等和包含关系是经常要遇到的论

证, 通过例子使学生掌握其基本方法.集列的极限是一种新型的运算, 学生应理解其概念.

本节难点 对集列极限的理解. 授课时数 2学时

——————————————————————————————

一、集合的概念及其表示

集合也称作集，是数学中所谓原始概念之一，即不能用别的概念加以定义，它像几 何学中的“点”、“直线”那样，只能用一组公理去刻画．就目前来说，我们只要求掌握 以下朴素的说法：

“在一定范围内的个体事物的全体，当将它们看作一个整体时，我们把这个整体称 为一个集合，其中每个个体事物叫做该集合的元素．”

一个集合的元素必须彼此互异，而且哪些事物是给定集合的元素必须明确．以集合 作为元素的集合，也常称为集族或集类． 以后常用大写字母,,,,,,A B C D X Y Z

表示集合，用小写字母,,,,a b c x y

表示集合中的

元素．

如果a 是集合A 的元素，则说a 属于A ，记作a A ∈，或说A 含有a ．

如果a 不是集A 的元素，则说a 不属于A ，记作a A ?，或说A 不含有a ． 有些集合可用列举其元素的办法来表示，如：

只含有一个元素a 的集合称为单元素集或独点集，可表示为{}a ． 由n 个元素12

,n a a a 所组成的集合，可表示为12{,}n a a a

由全体自然数所组成的集合称为自然数集，可表示为{1,2,,,}n ．

当集A 是具有某性质P 的元素之全体时，我们用下面的形式表示A ：

{|}A x x p =具有性质

例如，方程2

10x -= 的解x 的全体组成的数集是2

{|10}x x -=，

实际上就是{1,1}-.

有时我们也把集{|,x x E x ∈具有性质}p 改写成[E x 具有性质]p ．例如，设()f x 是定义在集合E 上的一实函数，a 是一个实数，我们把集{|,()}x x E f x a ∈>写成

[()]E f x a >或[]E f a >．

不含任何元素的集合称为空集，记作?．

设A ，B 是两个集，若A 和B 的元素完全相同，就称A 和B 相等，记作A =B (或 B =A ).

若集合A 的元素都是集合B 的元素，就称为A 是B 的子集，记作A ∈B (或B ∈A )， 读作A 包含于B (或B 包含A )．

若A ∈B 且A B ≠,就称A 是B 的真子集，规定空集是任何集的子集． 由集的“相等”与“包含”的定义可得如下定理： 定理1 对任何集合A ，B ，C ，均有 （1）A A ?；

（2）若,A B B C ??，则A C ?； （3）A B A B =??且B A ?．

二 集合的运算

设A ，B 是两个集合，集合A 与B 的并集或并{:}A

B x x A x B =∈∈或

集合A 与B 的交集或交{:}A B x x A x B =∈∈且

特别地，若A B ?=?，称A 与B 不相交；反之，则称A 与B 相交．

集合A 减B 的差集或差:\{:}A B A B x x A x B -=∈?或但 当B A ?时，称差集A B -为B 关于A 的余集记作(A C B )．

当我们研究一个问题时，如果所讨论的集合都是某个固定集A 的子集时，就称A 为基本集或全集，并把A 的子集B 关于A 的余集A C B 简称为B 的余集，记为C

B 或CB .

并集与交集的概念可以推广到任意个集的情形，设Γ为一非空集合，并且对每一个

α∈Γ，指定了一个集合A α,此时我们称{|}A αα∈Γ是以Γ为指标集的集族，集族

{|}A αα∈Γ的并与交分别定义为:

{:,}A x x A αααα∈Γ

=?∈Γ∈使 {:,}A x x A αααα∈Γ

=?∈Γ∈有

例 设11

{:11},,n A x x n N n n

=--

<≤-∈则 1

[1,0]

n n A ∞

=?=-,1

(2,1)n n A ∞

=?=-

关于集合的并和交显然有下面的性质：(见课本P9-P10)

更一般地有:De Morgan 公式

(

)c c A A αααα∈Γ

∈Γ

=

,()c c

A A αααα∈Γ

∈Γ

=

证明（略）

注：通过取余集，使A 与C A ，?与?互相转换.

三、集列极限

设12,,,,

n A A A 是一个集合序列，，其上限集和下限集分别定义为

上极限集：

lim (limsup ){:}{:}

n n n n n n n

A A x x A x A x A →∞

==∈或属于无限多个集合存在无限多个，使 {:,,}n x N n N x A =??≥∈使 1n N n N

A ∞∞

===

下极限集：

lim (n n A →∞

或liminf ){:n n

A x =除去有限个集外，有}{:n x A x ∈=当n 充分大时，有}n x A ∈

{:,,}n x N n N x A =??≥∈有 1n N n N

A ∞∞

===

注：

1

1

lim lim n n n n n n n n A A A A ∞∞

→∞

→∞

==???

例：设2n 21A [0,1],[1,2]n A +==，则上极限集为[0,2],下极限集为{1}. 极限集

如果集列{}n A 的上极限集与下极限集相等，即lim lim n n n n A A A →∞

→∞

==

则称集列{}n A 收敛，称其共同的极限为集列{}n A 的极限集，记为：lim n n A A →∞

=

单调增集列极限

1{}(),{};n n n n A A A n N A +??∈若集列满足则称为单调增加

1{}(),{};n n n n A A A n N A +??∈若集列满足则称为单调减少

定理2 ：单调集列是收敛的

1) 如果集列{}n A 单调增加，则1lim n n n n A A ∞→∞

==

2) 如果集列{}n A 单调减少，则1

lim n n n n A A ∞→∞

==

例1：设21211

(1,1),(,),,n n A A n n n N n n

-=-+

+=-+∈则 lim (,)n n A →∞

=-∞+∞，lim (1,1]n n A →∞

=-

例2：设2121111

[,4],[,1],,n n A A n N n n n n

-=-=-

+∈则 lim [0,4)n n A →∞

=，lim (0,1]n n A →∞

=

小 结 本节介绍了集的基本概念, 集的运算和运算性质. 这些知识是本课程的基础.

证明两个集的相等是经常会遇到的, 应掌握其证明方法. De Morgan 公式很重要, 以后

会经常用到. 集列的极限是一种与数列极限不同的极限, 应正确理解其概念.

——————————————————————————————

作业：P30 5, 7, 8

练习题

1. 设{}n A 为一集列： （1）作1111

,(1)n n n k k B A B A A n -===-

>，证明{}n B 为一列互不相交的集列，且

1

1

(1,2,)n n k k k k A B n ===

=

（2）若{}n A 是单调减少的集列，证明

1122311

()()()(

),n n k k A A A A A A A A ∞+==-?-?

?-?

?

并且其中各项互不相交. 2. 证明:

(1) lim n n A →∞

1n N n N

A ∞

∞

===

,lim n n A →∞

1n N n N

A ∞∞

===

(2) lim n n A →∞

?lim n n A →∞

(3) {}n A 单调递增时，有lim n n A →∞

=lim n n A →∞

=1lim n n n n A A ∞→∞

==

(4) {}n A 单调递减时，有lim n n A →∞

=lim n n A →∞

=1

lim n n n n A A ∞→∞

==

3. 已知221,,(1,2,)n n A E A F n -===，求lim n n A →∞

和lim n n A →∞

，并问lim n n A →∞

是否存在？

§2 对等与基数

教学目的 介绍映射, 基数,等概念和它们的属性.

本节要点 一一对应的思想与方法是贯穿本节的核心.基数的概念，讨论都要用一一对

应的方法.证明两个集对等或具有相同的基数,有时需要一定的技巧, 因而具有一定难度, 通过较多的例题和习题, 使学生逐步掌握其中的技巧.

本节难点证明两个集对等或具有相同的基数. 授课时数 2学时

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1 映射的定义

在数学分析课程中我们对函数已经很熟悉. 其中函数的定义域通常是n R 的子集, 值域是实数集或者复数集. 若将函数的定义域和值域换成一般的集, 可得到映射的概念. 定义：设X ,Y 是两个非空集合，若依照对应法则f ，对X 中的每个x ，均存在Y 中唯一的y 与之对应，则称这个对应法则f 是从X 到Y 的一个映射，记作:f X Y →

或：设X ,Y 是两个非空集合，f 是X Y ?的子集，且对任意x X ∈，存在唯一的y Y ∈使(,)x y f ∈，则f 是从X 到Y 的一个映射.

注：集合，元素，映射是一相对概念.

略：像，原像，像集，原像集，映射的复合，单射，满射，一一映射（双射）

在数学分析课程中研究的函数当然是一种映射. 除此之外, 我们还经常会遇到许多其它的映射. 例如, 定积分可以看作是可积函数集到实数集的映射, 求导运算可以看作是可导函数集到函数集的映射, 线性代数中的线性变换就是线性空间到线性空间的映射等.

2 集合运算关于映射的性质（像集）

定理1 ：设:,,,()f X Y A B A αα→∈Γ是X 的子集，称{():}f x x A ∈为A 的像集，记作()f A ，则有：

1)()();A B f A f B ??? 2)()()

(),f A

B f A f B =一般地有(

)();f A f A αααα∈Γ

∈Γ

=

3)()()(),f A B f A f B ?一般地有(

)();f A f A αααα∈Γ

∈Γ

?

证明的过程略 注：()()()f A

B f A f B = 一般不成立，如常值映射，等号成立当且仅当f 为单射.

集合运算关于映射的性质（原像集）

定理2：设:,,,,()f X Y A X C D C αα→?∈Γ是Y 的子集，称{:()}x f x C ∈为C 的原像集，记作1

()(f

C f -不一定有逆映射），则有：

111)()();C D f C f D --??? 1112)()()(),f C D f C f D ---=一般地有：11(

)();f C f C αααα--∈Γ

∈Γ

=

1113)()()

(),f C

D f C f D ---=一般地有：11(

)();f C f C αααα--∈Γ

∈Γ

=

111111

14)(\)()\();5)()[()];6)[()];7)[()];

c c f C D f C f D f C f C A f f A f f C C -------==??

证明略.

注：6），7）一般不能使等号成立，6）等号成立当且仅当f 为单射，7）等号成立当且仅当f 为满射.

3 对等与势

1）定义

设A ，B 是两非空集合，若存在着A 到B 的一一映射（既单又满），则称A 与B 对等,记作~A B . 约定~??.

注：（1）称与A 对等的集合为与A 有相同的势（基数），记作A . （2）势是对有限集元素个数概念的推广. 2）性质

)a 自反性：~;A A

)b 对称性：~~;A B B A ? )c 传递性：~,~~;A B B C A C ?

例：1)~~~N N N Z 奇数偶数

2)(1,1)~(,)--∞+∞

证明：令:(

)2

f x t

g x π

→，则f 是(1,1)-到(,)-∞+∞的一一映射.故

(1,1)~(,)--∞+∞

注：有限集与无限集的本质区别：无限集可与其某个真子集合有相同多的元素个数（对等）且一定能做到，而有限集则不可能. 3)基数的大小比较

)a 若~,A B 则称A B =；

)b 若1~,A B B ?则称A B ≤；相当于：A 到B 有一个单射，也相当于B 到A 有一个满射. )c 若,A B ≤且A B ≠，

则称A B <. 注：不能用A 与B 的一个真子集对等描述. 如：(1,1)~(1,1)(,)--?-∞+∞ 4 Bernstein 定理

引理：设{:}{

:}A B λλλλ∈Λ∈Λ，是两个集族，Λ是一个指标集，又,~,A B λλλ?∈Λ而且{:}A λλ∈Λ中的集合两两不交，{:}B λλ∈Λ中的集合两两不交，

那么：

~

A B λλλλ∈Λ

∈Λ

证明略

定理3:（Bernstein 定理）若有A 的子集*A ，使*

~,B A 及B 的子集*

B ，使*

~,A B 则

~.A B 即：若,,A B B A ≤≤则.A B =

证明：根据题设，存在A 到*

B 上的一一映射f ，以及B 到*

A 上的一一映射g .令

*1\A A A =，11()B f A =，21()A g B =，22()B f A =，32()A g B =，33()B f A =，

由*

()g B A =知*21(),A g B A =?而*1\A A A =，故1A 与2A 不交. 从而12,A A 在f 的

像12,B B 不交，12,B B 在g 下的像23,A A 不交.

由*

3,A A ?知1A 与3A 不交，故123,,A A A 两两不交.从而123,,A A A 在f 的像123

,,B B B 也两两不交，

从而123,,,A A A 两两不交，123,,,

B B B 也两两不交且~(1,2,

),f

n n A B n =

所以

1

1

~

f

n n n n A B ∞∞

==

另外由1~(1,2,

),g

k k B A k +=可知

11

1

~

g k k k k B A ∞∞+==

又*

~,g

B A 所以

*

11

1

\

~\

g

k k k k B B A A ∞

∞

+==，*

11111

1

\

(\)\

\

k k k k k k A A A A A A A ∞∞∞

++=====

∴ 11\

~\

k k k k B B A A ∞

∞

==

∴ 1

1

1

1

(\

)(

)~(\

)(

)k k k k k k k k A A A A B B B B ∞

∞

∞

∞

======

证毕．

注：要证A B =，需要在A 与B 间找一个既单又满的映射；而要证A B ≤，，只需找一个单射即可；从而我们把找既单又满的映射转化成找两个单射.

例：(1,1)~[1,1]--

证明：由(1,1)[1,1](,)~(1,1)-?-?-∞+∞-可知，(1,1)~[1,1]--

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作业：P30 9, 10

练习题

1. 1R 上以有理数为端点的区间的全体所成之集与自然数集之间能否建立一一对应？ 2．证明:若,,A B C A C ??则A B C .

3. 证明：若A B ?，A

A C ?，则有B

B C ?.

4.设F 是[0,1]上的全体实函数所成的集合，而M 是[0,1]的全体子集所成的集合，则

F M .

§3、可数集合

教学目的 介绍可数集概念及其运算它们的属性.

本节要点 可数集是具有最小基数的无限集.可数集性质十分重要，不少对等问题可以

与可数集联系起来, 可数集证明技巧较强 通过较多的例题和习题, 使学生逐步掌握.

本节难点 证明集合可数.

授课时数 1学时

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１ 可数集的定义

与自然数集N 对等的集合称为可数集或可列集，其基数记为a 或0?

1,2,3,4,5,6

123456

,,,,,a a a a a a

注：A 可数当且仅当A 可以写成无穷序列的形式123456{,,,,,}a a a a a a

例：1）Z={0,1,-1,2,-2,3,-3

}

2）[0,1]中的有理数全体={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5,

}

２ 可数集的性质（子集）

定理1 任何无限集合均含有可数子集.

证明：设M 是一个无限集，取出其中的一个元素从M 中任取一元素，记为1e .则

M 1{}e -≠?,在M 1{}e -中取一元素2e ,显然21e e ≠.设从M 中已取出n 个互异元素

1,2,

n e e e ,由于M 是无限集，故1,2{,

}n M e e e -≠?,于是又可以从1,2{,

}n M e e e -中

取出一元素1n e +,它自然不同于1,2,

n e e e .

所以，由归纳法，我们就找到M 的一个无限子集1,2{,,}n

e e e 它显然是一个可数集．证

毕．

这个定理说明可数集的一个特征：它在所有无限集中有最小的基数． 可数集的性质（并集）

有限集与可数集的并仍为可数集 有限个可数集的并仍为可数集

可数个可数集的并仍为可数集

{}123,,,A a a a =，{}12,,,n B b b b =，{}123,,,C c c c =

假设,,A B C 两两不交，则

{}1212,,

,,,,

n A B b b b a a ?= （当集合有公共元素时，不重复排）

{}112233,,,,,,A C a c a c a c ?=

关于可数个可数集的并仍为可数集的证明

11,a 12,a

13,a 14a ，

21,a 22,a 23,a 24a ， 31,a 32,a 33,a 34a ，

41,a 42,a 43,a 44a ，

,,,，

当i A 互不相交时，按箭头所示，我们得到一个无穷序列; 当i A 有公共元时，在排列的过程中除去公共元素；

因此

1

n n A ∞

=是可数集。

说明: 与Hilbert 旅馆问题比较; 如何把无限集分解成无限个无限集合的并?

例 全体有理数之集Q 是可数集

首先[0,1]中的有理数全体={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, …}是可数集，

([0,1])([1,0])([1,2])([2,1])Q Q Q Q Q =???-????--?

所以Q 是可数集（可数个可数集的并）

说明：有理数集在直线上稠密,但仍与稀疏分布在直线上的整数集有相同多的点(对等意义下).

3 可数集的性质（卡氏积）

定理：有限个可数集的卡氏积是可数集

只须证：设,A B 是可数集，则A B ?也是可数集（利用数学归纳法即得有限个乘积的情形）

{(,)|,}x A B x y x A y B ∈?=∈∈=?从而A B ?

例1 平面上以有理点为圆心，有理数为半径的圆全体A 为可数集 证明：平面上的圆由其圆心(,)x y 和半径r 唯一决定,从而

~{(,,)|,,}A Q Q Q x y r x y Q r Q ++??=∈∈

例2 代数数全体是可数集

整系数多项式方程的实根称为代数数；不是代数数的实数成为超越数。

x

固定，

y 在变

设P 是整系数多项式全体所成之集, n P 是n 次整系数多项式全体

110{|,1,2,

,,0}n n n n n i n P a x a x a a Z i n a --=++

+∈=≠

首先 0

P Z ，~({0})n n P Z Z Z Z -???

?个

（有限个可数集的卡氏积）

故 0

n n P P ∞

==

为可数集（可数个可数集的并）

由代数基本定理知任意n 次整系数多项式至多有有限个实根，从而结论成立.

例3 设A 是一个无限集，则必有*A A ?，使*

A A ，而*A A - 可数

证明：由A 是一个无限集，则A 包含可数子集{}123,,,

e e e ，令

{}0123,,,

A A e e e =-，{}*135,,,A A e e e =-，

则

*A A ?，{}{}*0

2460

123,,,,,,A A e e e A e e e A == 且

{}*135,,,

A A e e e -=

是可数集，证毕.

小 结 本节利用一一对应的思想, 给出了集的基数和可数集的定义. 集的基数是有限 集元素的个数在无限集的推广. 可数集是具有最小基数的无限集. 可数集经过有限或 可数并运算后仍是可数集. 有理数集是一个重要的可数集

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作业：P30 12, 15

练习题

1、 设A 中的元素是直线上两两不交的开区间，则A 为至多可数集.

2、 怎样建立无限集与它的一个真子集的一一对应关系？

3、 证明任一可数集的所有有限子集全集是可数集.

4、 证明递增函数的不连续点的全体为至多可数集.

§4、 不可数集合

教学目的 介绍不可数集概念及其属性.

本节要点 区间[0,1]是典型不可数集，注意比较可数集与不可数集性质的异同，利用R 集

证明相关问题具有重要意义 ，相应的证明技巧较强，通过较多的例题和习题,使学生逐步掌握.

本节难点证明集合不可数. 授课时数 1学时

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不是可数集的无限集称为不可数集． 1 不可数集的存在性

定理1 区间[]0,1是一个不可数集．

证明： 假设[]0,1可数，则[]0,1上的点可以排成一个无穷序列：

12,,,,

n x x x

记[]0,1为0I ，把0I 三等分于其中取一不含1x 的闭区间，记为1I ，则1I 的长度11||3

I =.再把1I 三等分，取其中不含2x 的闭区间，记为2I ，则221

||3

I =，这样下去，可以得到一列闭区间{}n I 满足：

0121

,||,3n n n n n

I I I I I x I ?????=

? 故{}n I 形成闭区间套，因此存在唯一点0(0,1,2,)n x I n ∈=，而由假设，0n N ?∈使

得00n x I ?，这与0(0,1,2,

)n x I n ∈=矛盾，故[]0,1是不可数集.

2 连续势集的定义

定义1：与区间[]0,1对等的集的基数称为连续基数（连续势），这个基数记作c ． 推论1 c a >

证明： 由定理1.4.1 知，a c ≠．但[]{}11

0,11,,,1,2,3,23???????

，故c a >.

证毕．

推论2 开区间()0,1的基数也是c ． 定理2 全体实数所成之集R 的基数是c ． 证明 令 21

()tan ,2

x x ?π-= (0,1)x ∈，则?是()0,1到(),-∞+∞上的一一映射，所以R 的基数是c .

推论1 全体无理数所成之集的基数是c ．

3 连续势集的性质（卡氏积）

（1）有限个、可数个连续势的卡氏积仍为连续势集

定理3 设12{(,,

,,):(0,1)}n i A x x x x =∈，则A =?（证明略）

推论 n 维Euclid 空间n R 的势为? （2） 连续势集的性质（并集）

连续势集的（有限个，可数个，连续势个）并仍为连续势集

定理4 实数列全体所成之集E ∞的基数是c ．（证明略）

4 无最大势定理

定理5（Cantor ）：设A 是一个任意给定的非空集合，则2.A A >.

证明：首先A 与2A 的一个子集对等是显然的，只考虑~{{}:}2A

A a a A ∈?即可。

假设~2A A ，则存在A 到2A

上的一一映射:~2A

A ?，令*

{:,()}A a a A a a ?=∈?， 由于*A 是A 的子集，即*2A

A ∈，因此存在*a A ∈，使得*

*

()a A ?= （1） 若**a A ∈，则由*

A 的定义，有*

*

*

()a a A ??= （2） 若*

*

*

()a A a ??=，则由*

A 的定义，有**a A ∈

这是矛盾的.故2.A A >.

5 可数势与连续势

定理6：2N R =或{01}N

R =，（即02?

?=）

证明：由于N 的子集全体与特征函数全体存在一一对应关系，故2N

与{}0,1N

对等；

下证：{01}N

=?，

对任意的{01},N

?∈，

令1

()

();3n

n n f ??∞

==∑

易知:{01}[0,1]N f →，

是单射，所以{01}N ≤?，.

另一方面，对(0,1)x ?∈，设1,2

n

n

n a x ∞

==∑ 0,1n a =（有无穷多1）（即：将x 写成二进制小数123

a a a 0.，且要求不以0为循环节）.

作:(0,1){0,1}N

g →；{0,1}N x

?∈，其中(),1,2,3,

n n a n ?==（即将小数

123a a a 0.对应到序列{123,,,

a a a }）

易证(0,1){0,1}N

g →：

是单射，因此2N ≥?. 由Bernstein 定理知2N =?. 连续统假设

Cantor 认为在0?与?之间不存在别的基数，即不存在这样的集合A,使得0A ?<

Hilbert 在1900年第二届国际数学家大会上将它列为二十三个难题的第一个问题。

小 结. 直线上的区间是典型的不可数集. 证明一个给定的集是可数集或不可数集是应

当掌握的基本技巧.

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作业：P30 17, 18

练习题

1. 直线1

R 中任何包含非空开区间的点集都具有连续势?. 2. 设,A B ?=?则A B ，中至少有一个势为?. 3. 设1,n n A ∞

=?=?则n A 中至少有一个势为?.

4. [0,1]上的全体连续函数集E 的势为?.

第二章 点集 （总授课时数 6学时）

教学目的： 欧氏空间n R 上的测度与积分是本课程的主要研究对象.本节讨论欧氏空间

上的若干拓扑概念.通过本节的学习,可以熟悉欧氏空间上的开集,闭集和Borel 集,Cantor 集等常见的集,为后面的学习打下基础.

本章要点 由n R 上的距离给出邻域,内点,聚点的定义,从而给出开集, 闭集的定义.

由开集生成一个σ-代数引入Borel 集.Cantor 集是一个重要的集, 它有一些很特别 的性质. 应使学生深刻理解本节介绍的各种集的概念并熟练应用.充分利用几何图形的 直观,可以帮助理解本节的内容.

本章难点 Borel 集、Cantor 集的性质. 授课时数 6学时

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本章先介绍n R 中的距离、极限、邻域、区间及其体积等基本概念，然后定义了内点、聚点、外点、边界点、开集、闭集等特殊点和集，并讨论了开集与闭集的性质及其构造.最后介绍了聚点原理、有限覆盖定理.

§1 度量空间，n 维欧氏空间

教学目的1、深刻理解 n R 中的距离、邻域、点列收敛等概念，弄清它们在刻划不同类型

的点及点集中的作用.

2、理解距离的性质、点到集合的距离、两集合之间的距离、集合的直径等概念，

理解有界集、无界集、区间及区间的体积等概念.

3、了解邻域的四条性质.

本节要点 度量空间的概念.

本节难点 度量空间的概念. 授课时数 1学时

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一、 度量空间

定义1：设X 为一非空集合，d ：X X R ?→为一映射，且满足 （1）(,)0d x y ≥，(,)0d x y x y =?= （正定性） （2）(,)(,)d x y d y x = （对称性）

（3）(,)(,)(,)d x y d x z d z y ≤+ （三角不等式）

则称(,)X d 为度量空间. 例1：

（1） 欧氏空间(,)n

R d ,其中(,)d x y =

（2） 离散空间(,)X d ，其中1(,)0x y

d x y x y ≠?=?=?

（3） [],a b C 空间([],a b C 表示闭区间[],a b 上实值连续函数全体), 其中

(,)max |()()|a t b

d x y x t y t ≤≤=-

二、 邻域

定义2： 称集合0{|(,)}P d P P δ<为0P 的δ邻域，并记为0(,)U P δ.0P 称为邻域的中心，δ称为邻域的半径.在不需要特别指出是什么样的半径时，也简称为0P 的邻域，并记为

0()U P .

不难看出：点列{}m P 收敛于0P 的充分必要条件是对任意0ε>，存在N ，当

m N >时有：0()m P U P ∈.

容易验证邻域具有下面的基本性质： 1) ()P U P ∈；

2) 对于1()U P ?和2()U P ， 如果存在12()()P U P U P ∈?，则存在

3()U P 12()()U P U P ??

3) 对于Q ()U P ?∈，存在()()U Q U P ?；

4) 对于Q P ?≠，存在()U Q 和()U P 满足()()U Q U P φ?≠

定义3： 两个非空的点集,A B 间的距离定义为

()(),,inf ,P A Q B

d A B d P Q ∈∈=

如果,A B 中至少有一个是空集，则规定(),0d A B =；若{}B X =，则记

()(),,d A B d A X =

显然，若A B ?≠?，则(),0d A B =。