穿根法解不等式的基础学习知识原理
穿根法解不等式的原理、步骤和应用范例
摘要：本文通过阐述穿根法解不等式的原理、步骤和应用范例，尝试对其进行系统性的论述。在原理层面，提出该方法中不等式的标准形式为f(x)=(x-x1)(x-x2)……(x-x n)∨0，规范了序轴的概念，先后由一元一次、二次到高次不等式，动态考察了f(x)的符号变化规律，并介绍如何使用穿根法表达此规律；在步骤层面，对解高次不等式、分式不等式和含等号不等式的操作步骤进行了分类详述；然后通过6个应用范例，进一步展现了穿根法解不等式的具体操作细节和若干注意事项。论文最后概括说明了穿根法的特征和实用意义。
关键词：穿根法；解不等式；原理；步骤；应用
穿根法，又称序轴标根法，是解一元整式、分式不等式的重要通用方法，特别在解简单高次不等式时，一直居于主流地位。然而，该方法目前尚未进入中学正式教材，在很多资料中，对此法也往往是只提应用，而对其来龙去脉，叙述不清，建构模糊。现结合中学一线教学经验，通过阐述其原理、步骤和应用范例，尝试对其进行系统性的论述。
一、原理
穿根法解不等式时，一般先将其化为形如：
f(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-x n)>0 （或<0）
的标准形式，主要考察f(x)的符号规律。
在穿根法中我们引入序轴的概念。序轴是一条有向直线，类似于数轴，但上面不必标出原点，也不必考虑长度单位，只要求在其上标数时，按由左至右，从小到大的顺序即可。
（一）一次不等式
标准形式：f(x)=x-x1>0 （或<0）
我们将x-x1=0的根x1标在序轴上，可以发现：x1右边的点都是大于x 1的点，即是x-x1>0的解；而x1左
边的点都是小于x1的点，即是x-x1<0的解。
所以可以如图标注，图中+、- 用以表示
f(x)=x-x1的符号。
我们还可以以动态的思想来考察该问题。当一点x=a 从x1右侧向x1左侧移动时，f(x)=x-x1经历了由正到0又到负的符号变换。由此也可得出f(x)的符号可以如图标注的结论。
（二）二次不等式
标准形式：f(x)=(x-x1)(x-x2) >0 （或<0）
(1) x1≠x2时，不妨设x1 将f(x)=0的二根x1、x2标在序轴上，则可以发现：处于(-∞, x1)，(x 2,+∞)内的点满足f(x) >0，处于(x1,x2)内 的点满足f(x) <0。 当我们动态考察该问题时，我们也可 以发现：当点x=a在x2右方时，x-x1、x-x2均正，故有f(x) >0；而当点x=a从x2右侧移动到左侧时，x-x2变为负值，而x-x1符号不变，所以有f(x)必然变号，此时由正变负；而再当点x=a从x1右侧移动到左侧时，x-x1由正变负，而x-x2符号不变，所以f(x)又一次变号，此时由负变正。 总之，无论从哪个方面看，f(x)的符号都可以如图标注。 (2) x1=x2时，即形如f(x)=(x-x1)2时 显然，(-∞,x1)与( x1 ,+∞)都是f(x) >0的解。 而若动态的考察此问题，则有 点x=a 从x1右侧移动向左侧移动时， 由于平方项内的x-x1由正到0又到负，所以f(x)经历了由正到0又回到正的过程。故而f(x)在x1两侧符号同正，只有在x=x1处为0。（三）高次不等式 标准形式：f(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-x n)>0 （或<0），x1≤x2≤……≤x n (1)x1 动态考察f(x)的符号，则有当点x=a在x n右方时，x-x i (i=1,2,…,n)均大于0，故而f(x) >0；而当点x=a从x n右侧移动到左侧时，x-x n 符号变化，而其余任一x-x i均不变号，所以有f(x)由正变负；类似可得：对任一i，当点x=a从x i右侧移动到左侧时，x-x i符号变化，而其余每个x-x j (j≠i)都不变号，所以有f(x)必然变号，或由正变负，或由负变正。就这样，由于每过一个x i都恰有一个因式x-x i变号，所以我们可以从最右上方开始画一条依次穿过各根的线，这正是穿根法的原理和名称由来。 (2)x1≤x2≤……≤x n且有等号成立时 其标准形式可写为 f(x)=(x-x1)m1(x-x2) m2…(x-x n) mn >0 （或<0）， x1 二、步骤 （一）一元高次不等式 对于不等式f(x) >0，其中f(x)为x的高次多项式，用穿根法解的 步骤如下： （1）整理——原式化为标准型把f(x)进行因式分解，并化简为下面的形式： f(x)=(x-x1)m1(x-x2) m2…(x-x n) mn >0（或<0）， m i∈N* (i=1,2,…,n) （2）标根——在序轴上标根将f(x)=0的n个不同的根x1,x2,……x n按照大小顺序标在序轴上，将序轴分为n+1个区间。 （3）画线——画穿根线从最大根右上方开始，按照大小顺序依次经过每个根画一条连续曲线，作为穿根线。遇奇次根穿过序轴，遇偶次根弹回，即“奇穿偶回”。 （4）选解——写出解集如例图，在序轴上方的曲线对应的区间为f(x)>0解集，在序轴下方的曲线对应的区间为f(x)<0解集。 （二）分式不等式 一、先将不等式整理成f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0的形式，其中，f(x)、g(x)为整式。 二、f(x)/g(x)>0 f(x)·g(x)>0 f(x)/g(x)<0 f(x)·g(x) <0 即将分式不等式转化为整式不等式再处理。 （三）含等号的整式、分式不等式 对于整式不等式，要注意写解集时将各个根包括进去。一般只需将开区间符号改为闭区间符号，同时注意必要时合并区间。 对于分式不等式，尤其要注意分母非0。 f(x)/g(x)≥f(x)·g(x)≥0 且g(x)≠0 f(x)/g(x)≤f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0 这样就要求在标根时，将能够使不等式成立的根标为实点，否则标为虚点。 （四）注意 分式不等式和高次不等式在化简时每一步变形都应是不等式的等价变形。对于变形中出现的形如x2+px+q=0的因式，若其△≥0，则继续分解。若△<0，则直接消去，因为此时该式恒大于0。 三、应用范例 例1 解不等式：(x-1)2(x+1)(x-2)(x+4)<0 具体步骤： 1 将(x-1)2(x+1)(x-2)(x+4)=0的根记入演算数据区。其中，由于 1是偶次根，在其下加一点以区别于其它奇次根。 2 画有向直线作为序轴，在序轴上由小到大、由左到右标根。每 标一根，在数据区相应根下打一标记表示已取。标偶次根时，在序轴该根位置上方或下方加一点，即偶次根标重（cong）点。 3 从最大根2的右上方开始画穿根线，首先让线穿过根2，当接 着到1时，由于1是偶次根，附近有重点，故线被弹回。然后线又依次穿过根-1和-4。如图。 4穿根线与序轴围成的区域，序轴上方标“+”号，表示f(x)在该区间取正值。序轴下方标“-”号，表示f(x)在该区间取负值。 5 所有的根均不能使不等式成立，故各根均标上虚点。 6 写出解集，一般用区间方式列出。 解：用穿根法作图 如右，可知原不等 式解集为： (-∞,-4)∪(-1,1)∪(1,2) 例2 解不等式：(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-2)≤0 解：用穿根法作图 如右。（注意“奇 穿偶回”，每个根 都标为实点。） 可知原不等式解集为：(-∞,-2]∪{-1}∪[1,2] 说明：也可将原不等式转化为(x+2)(x+1)2(x-1)(x-2)≤0以后，再用穿根法做。 例3 解不等式：(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)>120 解：将原不等式变形： [(x-1)(x-4)][(x-2)(x-3)]-120>0 (x2-5x+4)(x2-5x+6)-120>0 (x2-5x)2+10(x2-5x)-96>0 (x2-5x+16)(x2-5x-6)>0 (x2-5x+16)(x-6)( x+1)>0 ∵x2-5x+16恒大于零，于是得与原不等式同解的不等式 (x-6)( x+1)>0 对此也可用穿根法解决，如图 所以，原不等式的解集是：(-∞,-1)∪(6,+∞) 例4 解不等式：(3x-5)/( x2+2x-3) ≤2 解：原不等式(3x-5-2x2-4x+6)/(x2+2x-3)≤0 (2x2+4x-6-3x+5)/(x2+2x-3)≥0 (2x2+x-1)/(x2+2x-3)≥0 (x+1)(2x-1)/(x+3)(x-1)≥0 (x+1)(2x-1)(x+3)(x-1)≥0 且(x+3)(x-1)≠0 如图，用穿根法，注意区分实点和虚点，可得原不等式解集为：(-∞,-3)∪[-1，1/2]∪(1,+ ∞) 例5 解关于x的不等式：(x-1)(x-t)<0 解：1) t<1时，如图用穿根法，可得原不等式解集为：(t,1) 2）t=1时，如图用穿根法，可得原不等式解集为： 3）t>1时，如图用穿根法，可得原不等式解集为：(1,t) 例6 若a≠±1，解关于x的不等式 (x-a)/(x+1)(x-1)≤0 解：1) a<-1时，如图用穿根法， ∴原不等式解集为：(- ∞,a)∪(-1,1) 2）-1 根 法， ∴原不等式解集为： (-∞, -1)∪[a,1) 3）a>1时，如图用穿根法， ∴原不等式解集为： (-∞, -1)∪(1, a] 说明：解整式、分式不等式注意事项，可记以下口诀：移项调号，分解排序，奇穿偶回，分母非零，参数讨论，小心等号。 四、小结 穿根法通过序轴、标根、穿根线及区间正负标志，形象的表示 f(x)=(x-x1)(x-x2)……(x-x n)值的符号变化规律，较好体现了数形结合的思想，具备直观明晰的优点。它还有数轴标根法、区间法，根轴法等名称，但相对来说，用“序轴标根法”作为学名比较确切，简称为“穿根法”较为形象。此方法通用性强，思想方法灵活独特、易于领会。它主要用于解一元高次不等式和分式不等式，对于一元一次、二次不等式，也一样适用。系统地了解领会此方法的原理应用、来龙去脉，对于学生提高数学思维素质和解题水平，具有重要意义。 弹性学制数学讲义 不等式（4课时） ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、 三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a 不等式的概念及其基本性质 一、知识点复习： 1. 用 不等号 连接起来的式子叫不等式；常见的不等号有“>，≥，<，≤，≠”。 2．不等式的基本性质： （1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 如果a b >，那么c b c a +>+，c b c a ->-； （2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 如果)0(>>c b a ，那么ac bc >，a b c c >； （3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 如果)0(<>c b a ，那么bc ac <， c b c a <； （4）如果a b >，那么b a <； （5）如果a b >，b c >，那么a c >。 二、经典题型分类讲解： 题型1：考察不等式的概念 1. （2017春金牛区校级月考）式子：①02>；②14≤+y x ；③03=+x ；④7-y ；⑤35.2>-m 。其中不等式有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 题型2：考察不等式的性质 2.（2017连云港四模）已知b a >，下列关系式中一定正确的是（ ） A 、22b a < B 、b a 22< C 、22+<+b a D 、b a -<- 3. 若0a b <<，则下列式子：12a b +<+ , 1a b > , a b ab +< , 11a b <,其中正确的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 4．下列说法不一定成立的是（ ） A ．若a b >，则a c b c +>+ B ．若a c b c +>+，则a b > C ．若a b >，则22ac bc > D ．若22ac bc >，则a b > 不等式的解法 1、一元一次不等式ax b > 方法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax b >的形式，若0a >,则b x a > ；若0a <,则b x a < ；若0a =,则当0b <时，x R ∈；当0b ≥时，x ∈?。 【例1-1】（1）21 33 ax -> 解：此时，因为a 的符号不知道，所以要分：a =0，a >0, a <0这三种情况来讨论. 由原不等式得a x >1, ①当a =0时，? 0>1.所以，此时不等式无解. ② 当a >0时，? x > a 1, ③当a <0时，?x -+-a b x b a 。 解：R a ∈，012>+-a a ∴ 01)1(32 2<+-++-a a x a a 的解为3 1- 1．不等式的解法 （1）同解不等式（(1)f x g x ()()>与f x F x g x F x ()()()()+>+同解； （2）m f x g x >>0，()()与mf x mg x ()()>同解， m f x g x <>0，()()与mf x mg x ()()<同解； （3） f x g x () () >0与f x g x g x ()()(()?>≠00同解）； 2．一元一次不等式 ax b a a a >?>=≠()或ax bx c a 200++<≠?()分a >0 及a <0情况分别解之，还要注意?=-b ac 2 4的三种情况，即?>0或 ?=0或?<0，最好联系二次函数的图象。 4．分式不等式 分式不等式的等价变形： )()(x g x f >0?f(x)·g(x)>0，) () (x g x f ≥0??? ?≠≥?0 )(0 )()(x g x g x f 。 5．简单的绝对值不等式 解绝对值不等式常用以下等价变形： |x|0)， |x|>a ?x 2>a 2?x>a 或x<－a(a>0)。 一般地有： |f(x)| 不等式总结 一、不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则：b a a b b a 110,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 有两相等实根注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间 三、均值不等式 1.均值不等式：如果a,b 是正数，那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等 3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数），即 2 112a b a b ++（当a = b 时取等） 四、含有绝对值的不等式 1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式：如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 3．当0c >时， ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-， ||ax b c c ax b c +?∈，||ax b c x φ+?-<<，|| (0)x a a x a >>?>或x a <-． （2）定义法：零点分段法；（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方． 五、其他常见不等式形式总结： 基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若* ,R b a ∈，则22111 2 2b a b a ab b a +≤ +≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式 （1）若,,,a b c d R ∈，则22222 ()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：2222222 1231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ b a 112+ 2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222 3、已知1a b c ++=，求证：2 2 2 13 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ??????---≥ ??????????? 6、选修4—5：不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)222 1a b c b c a ++≥. 7、选修4—5：不等式选讲： 已知0>≥b a ，求证:b a ab b a 2 23322-≥- 题型二：利用不等式求函数值域 基本不等式 【考纲要求】 1. 2 a b +≤ 的证明过程，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2. 2 a b +≤ 解决最大（小）值问题. 3.会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 【知识网络】 【考点梳理】 考点一：重要不等式及几何意义 1．重要不等式： 如果,R a b ∈，那么2 2 2a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）. 2．基本不等式： 如果,a b 是正数，那么 2a b +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）. 要点诠释：22 2a b ab +≥ 和2 a b +≥ （1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”。 （3）2 2 2a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤，2a b ab +≥可以变形为：2()2 a b ab +≤. 3.如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =,BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD . 易证~Rt ACD Rt DCB ??，那么2 CD CA CB =?，即CD ab = . 这个圆的半径为2b a +，它大于或等于CD ，即ab b a ≥+2 ，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立. 要点诠释：1.在数学中，我们称 2 b a +为,a b 的算术平均数，称ab 为,a b 的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2.如果把 2 b a +看作是正数,a b 的等差中项，ab 看作是正数,a b 的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 考点二：基本不等式2 a b ab +≤的证明 1. 几何面积法 如图，在正方形ABCD 中有四个全等的直角三角形。 设直角三角形的两条直角边长为a 、b 22a b +4个直角三角形 的面积的和是2ab ，正方形ABCD 的面积为2 2 a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所 以：22 2a b ab +≥。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有2 2 2a b ab +=。 穿根法解高次不等式 一．方法:先因式分解,再使用穿根法. 注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正. 使用方法: ①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点, 等号不成立的根要标虚点. ②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿 透(叫奇穿偶不穿). ③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使 “<”成立. 例1:解不等式 (1) (x+4)(x+5)2(2-x)3<0 (2) x 2-4x+1 3x 2-7x+2 ≤1 解: (1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 根据穿根法如图 不等式解集为{x ∣x>2或 (2) 变形为 (2x-1)(x-1) (3x-1)(x-2) ≥0 根据穿根法如图 不等式解集为 {x x< 1 3 或 1 2 ≤x ≤1或x>2}. 【例2】 解不等式：(1)2x 3-x 2-15x ＞0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0． 【分析】 如果多项式f(x)可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况． 解：(1)原不等式可化为 x(2x+5)(x-3)＞0 顺轴．然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(5－1)的阴影部分． (2)原不等式等价于 (x+4)(x+5)2(x-2)3＞0 ∴原不等式解集为｛x|x ＜-5或-5＜x ＜-4或x ＞2｝． 【说明】 用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．x ．的系．．数必为正；②对于偶次或奇次重根可参照．．．．．．．．．．．．．．．．．．(2)．．．的解法转化为不含重根．．．．．．．．．．的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意．．．．．．．．．．．．．．．．．．．“奇穿偶不穿”．．．．．．．．其法如．．．．图．(5．．－．2)．． ．． 高中数学不等式专题教师版 一、 高考动态 考试内容： 不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求： （1）理解不等式的性质及其证明． （2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法． （5）理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │ 二、不 等 式 知识要点 1. 不等式的基本概念 （1） 不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a ?>- （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式. （4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 （1）a b b a （对称性） （2）c a c b b a >?>>,（传递性） （3）c b c a b a +>+?>（加法单调性） （4）d b c a d c b a +>+?>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-?<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >?>>0,. （7）bc ac c b a 0,（乘法单调性） （8）bd ac d c b a >?>>>>0,0（同向不等式相乘） (9)0,0a b a b c d c d >><（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>? <（倒数关系） （11）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（开方法则） 3.几个重要不等式 （1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若 （2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）如果a ,b 都是正数，那么 .2 a b +（当仅当a=b 时取等号） 极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○ 2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等. 不等式的知识要点 1.不等式的基本概念 2.不等式的基本性质 （1）a b b a （对称性） （2）c a c b b a >?>>,（传递性） （3）c b c a b a +>+?>（加法单调性） （4）d b c a d c b a +>+?>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-?<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >?>> 0,. （7）bc ac c b a 0,（乘法单调性） （8）bd ac d c b a >?>>>>0,0（同向不等式相乘） (9)0,0a b a b c d c d >><（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>? <（倒数关系） （11）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)(0*2N n a n ∈≥（开方法则） 3.几个重要不等式 （1）非负式：0,0||,2≥≥∈a a R a 则若；.0,0≥≥a a 则若 （2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）二元均值不等式：如果a ,b 都是正数，那么 .2 a b +（当仅当a=b 时取等号） 常用为：a b +≥a=b 时取等号），2()2 a b ab +≤（当仅当a=b 时取等号） 极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○ 2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等. 不等式链：如果a ,b 都是正数，那么 2 112a b a b +≤+（当仅当a=b 时取等号） ,3 a b c a b c R +++∈(4)三元均值不等式：若、、则a=b=c 时取等号） 0,2b a ab a b >+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号） 4.几个著名不等式 （1）柯西不等式： 时取等号当且仅当（则 若n n n n n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====+++++++≤++++∈∈ΛΛΛΛΛΛ332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,, “数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法” 是高次不等式的简单解法 当高次不等式f（x）>0（或<0）的左边整式、分式不等式φ（x）/h（x）>0（或<0）的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积（x－a1）（x－a2）…（x －an）的形式，可把各因式的根标在数轴上，形成若干个区间，最右端的区间f （x）、φ（x）/h（x）的值必为正值，从右往左通常为正值、负值依次相间，这种解不等式的方法称为序轴标根法。 为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法”，如图1（图片自上而下依次为图一，二，三，四）。 步骤 第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x前的系数为正数） 例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0 第二步：将不等号换成等号解出所有根。 例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1 第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。 例如：-1 1 2 第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。 第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。 例如： 若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。 在数轴上标根得：-1 1 2 画穿根线：由右上方开始穿根。 因为不等号为“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。即：-1 1 1．不等式的解法 （1）同解不等式（(1)与同解； （2）与同解，与同解； （3）与同解）； 2．一元一次不等式 情况分别解之。 3．一元二次不等式 或分及情况分别解之，还要注意的三种情况，即或或，最好联系二次函数的图象。 4．分式不等式 分式不等式的等价变形： )()(x g x f >0?f(x)·g(x)>0，) () (x g x f ≥0????≠≥?0 )(0 )()(x g x g x f 。 5．简单的绝对值不等式 解绝对值不等式常用以下等价变形： |x|0)， |x|>a ?x 2>a 2?x>a 或x<－a(a>0)。 一般地有： |f(x)| 1 线哪一侧的平面区域。特别地，当0C ≠时，通常把原点作为此特殊点。 （2）有关概念 引例：设2z x y =+，式中变量,x y 满 足条件43 35251x y x y x -≤-?? +≤??≥? ，求z 的最大值和最 小值。 由题意，变量,x y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些 平面区域的公共区域。由图知，原点(0,0)不在公共区域内，当 0,0x y ==时，20z x y =+=，即点(0,0)在直线0l ：20x y +=上， 作一组平行于0l 的直线l ：2x y t +=，t R ∈，可知：当l 在0l 的右上方时，直线l 上的点(,)x y 满足20x y +>，即0t >，而且，直线l 往右平移时，t 随之增大。 由图象可知，当直线l 经过点(5,2)A 时，对应的t 最大， 当直线l 经过点(1,1)B 时，对应的t 最小，所以， max 25212z =?+=，min 2113z =?+=。 在上述引例中，不等式组是一组对变量,x y 的约束条件，这组约束条件都是关于,x y 的一次不等式，所以又称 为线性约束条件。2z x y =+是要求最大值或最小值所涉及的变量,x y 的解析式，叫目标函数。又由于2z x y =+是 ,x y 的一次解析式，所以又叫线性目标函数。 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值 或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解(,)x y 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域。其中可行解(5,2)和(1,1)分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解。 O y x A C 430x y -+= 1x = 35250x y +-= 初中不等式知识点总结 一、不等式的概念 1、不等式 用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。 2、不等式的解集 对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。 求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 二、不等式基本性质 1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 三、一元一次不等式 1、一元一次不等式的概念 一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是 1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。 2、一元一次不等式的.解法 一般步骤： （1）去分母； （2）去括号； （3）移项； （4）合并同类项； （5）将 x 项的系数化为 1。 四、一元一次不等式组 1、一元一次不等式组的概念 几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。 几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。 求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。 当任何数 x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。 2、一元一次不等式组的解法 （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集。 （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。 第九章不等式与不等式组 一、目标与要求 1.感受生活中存在着大量的不等关系，了解不等式和一元一次不等式的意义，通过解决简单的实际问题，使学生自发地寻找不等式的解，会把不等式的解集正确地表示到数轴上; 2.经历由具体实例建立不等模型的过程，经历探究不等式解与解集的不同意义的过程，渗透数形结合思想; 3.通过对不等式、不等式解与解集的探究，引导学生在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论，培养他们的合作交流意识;让学生充分体会到生活中处处有数学，并能将它们应用到生活的各个领域。 二、知识框架 三、重点 理解并掌握不等式的性质; 正确运用不等式的性质; 建立方程解决实际问题，会解"ax+b=cx+d"类型的一元一次方程; 寻找实际问题中的不等关系，建立数学模型; 一元一次不等式组的解集和解法。 四、难点 一元一次不等式组解集的理解; 弄清列不等式解决实际问题的思想方法，用去括号法解一元一次不等式; 正确理解不等式、不等式解与解集的意义，把不等式的解集正确地表示到数轴上。 五、知识点、概念总结 1.不等式：用符号"<"，">"，"≤"，"≥"表示大小关系的式子叫做不等式。 2.不等式分类：不等式分为严格不等式与非严格不等式。 一般地，用纯粹的大于号、小于号">"，"<"连接的不等式称为严格不等式，用不小于号(大于或等于号)、不大于号(小于或等于号)"≥"，"≤"连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。 3.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 4.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 5.不等式解集的表示方法： (1)用不等式表示：一般的，一个含未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式表达出来，例如：x-1≤2的解集是x≤3 (2)用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形 专题：数轴穿根法 “数轴穿根法”又称“数轴标根法” 第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x 前的系数为正数） 例如： (x-2)(x-1)(x+1)>0 第二步：将不等号换成等号解出所有根。 例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x 1=2，x 2=1，x 3=-1 第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。 例如：-1 1 2 第三步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右跟”上去，一上一下依次穿过各根。 第四步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。 例如： 若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的解。 因为不等号威“>”则取数轴上方，穿根线以内的范围。即：-1 四、列一元一次方程解应用题的步骤有： 1、审清题意：应认真审题，分析题中的数量关系，找出问题所在。 2、设未知数：用字母表示题目中的未知数时一般采用直接设法，当直接设法使列方程有困难可采用间接设法，注意未知数的单位不要漏写。 3、找等量关系：可借助图表分析题中的已知量和未知量之间关系，列出等式两边的代数式，注意它们的量要一致，使它们都表示一个相等或相同的量。 4、列方程：根据等量关系列出方程。列出的方程应满足三个条件：各类是同类量，单位一致，两边是等量。 5、解方程：求出方程的解. 方程的变形应根据等式性质和运算法则。 6、检验解的合理性：不但要检查方程的解是否为原方程的解，还要检查是否符合应用题的实际意义，进行取舍，并注意单位。 7、作答：正确回答题中的问题。 五、常见的一元一次方程应用题： 1、和差倍分问题: （1）增长量＝原有量×增长率； （2）现在量＝原有量＋增长量 2、等积变形问题： 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但面积不变。 （1）圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S ·h ＝ r 2h （2）长方开的面积 周长＝2×（长+宽） S=长×宽 3、数字问题： 一般可设个位数字为a ，十位数字为b ，百位数字为c 。 十位数可表示为10b+a ， 百位数可表示为100c+10b+a 。 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。 4、市场经济问题：（ 以下“成本价”在不考虑其它因素的情况下指“进价” ） （1）商品利润＝商品售价－商品成本价 （2）商品利润率＝商品利润商品成本价 ×100% （3）售价=成本价×(1+利润率) （4）商品销售额＝商品销售价×商品销售量 （5）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量 （6）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售。或者用标价打x 折： 折后价（售价）=标价×10 x 计算。 5、行程问题：路程＝速度×时间； 时间＝路程÷速度； 速度＝路程÷时间。 （1）相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距 （2）追及问题： 快行距－慢行距＝原距 （3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系． 6、工程问题： （1）工作总量＝工作效率×工作时间； 工作效率＝工作总量÷工作时间 （2）完成某项任务的各工作总量的和＝总工作量＝1 （3）各组合作工作效率＝各组工作效率之和 （4）全部工作总量之和＝各组工作总量之和 不等式的基本知识 一、解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()0002 2 ≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42 -=?，则 不等式的解的各种情况如下表： 0>? 0=? 0a ）的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 00 2>=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}2 1 x x x x x ><或 ???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21 x x x x << ? ? 2、简单的一元高次不等式的解法： 标根法：其步骤是： 1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正； 2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回； 3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。()()()如：x x x +--<11202 3 3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 ()()0() () 0()()0;0()0() ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠? 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 二、线性规划 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点） 3、线性规划的有关概念： ①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件． ②线性目标函数： 关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标 基本不等式知识点归纳 1基本不等式.ab空 2 (1) 基本不等式成立的条件： a . 0,b .0. (2) 等号成立的条件：当且仅当a =b时取等号. ［探究］1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？ 提示：①当a = b时，乞_卫_ ab取等号，即a = b= 皂卫hJ ab. 2 2 ②仅当a二b时，-—丄」ab取等号，即 -—=.-；：ab = a =b. 2 2 2?几个重要的不等式 2 2 b a a b 丄2ab(a,b R); 2(ab 0). a b 2 2 a + b 2 a +b 2 a +b ab 臥)(a,b R);( ) (a,b R) 2 2 2 3?算术平均数与几何平均数 设a 0,b 0,则a,b的算术平均数为』~卫，几何平均数为,ab，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术 2 平均数不小于它的几何平均数. 4?利用基本不等式求最值问题 已知x 0, y - 0,则 (1) 如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时，x y有最小值是2「p.(简记：积定和最小). 2 (2) 如果和x y是定值p,,那么当且仅当x = y时，xy有最大值是—.(简记：和定积最大). ［探究］2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？ 1 提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解?例如，y=x 在x_2时的最小值，利用单调 x 5 性，易知X = 2时丫皿山二. 2 ［自测?牛刀小试］ 1.已知m?0, n ? 0,且mn =81，则m ? n的最小值为() A. 18 B. 36 C. 81 D . 243 解析：选 A 因为n>0, n>0,所以m+ n>2 mn= 2 81 = 18.高中数学不等式知识点总结
(完整版)不等式及其基本性质知识点复习及例题讲解
解不等式(知识点、题型详解)
高中不等式知识点总结
必修五不等式知识点总结
基本不等式知识点和基本题型
基本不等式学习知识梳理
穿根法解高次不等式
关于高级高中数学不等式知识点总结归纳教师版
不等式知识点不等式基础知识
数轴标根法又称数轴穿根法或穿针引线法
高中不等式知识点总结(2020年九月整理).doc
初中不等式知识点总结
专题8-数轴穿根法
一元一次不等式知识点总结
不等式知识点总结及题型归纳
基本不等式知识点归纳