毕业论文矩阵的特征值与特征向量的若干应用
矩阵的特征值与特征向量的若干应用
Several applications of eigenvalues and eigenvectors of the matrix
专业: 数学与应用数学
作者:
指导老师:
学校
二○一
摘要
本文介绍了矩阵的特征值与特征向量的一些理论, 在此理论基础上做了一定的推广, 并通过矩阵的特征值与特征向量的命题与性质来探讨特征值与特征向量的一些应用.
关键词: 特征值; 特征向量; 矩阵; 递推关系
Abstract
This article describes some theories of eigenvalues and eigenvectors of the matrix , based on these theories we do some promotions, and discusses the applications of eigenvalues and eigenvectors of the matrix through their propositions and nature.
Keywords: eigenvalue; eigenvector; matrix; recursion relations
目录
摘要 ................................... I
ABSTRAC.T ........................................................... II
0 引言 (1)
1 关于矩阵的特征值与特征向量的一般理论 (1)
2 矩阵特征值与特征向量的几个应用 (5)
2.1 特征值与特征向量确定矩阵的方法证明及应用 (5)
2.1.1 命题的证明 (5)
2.1.2 命题的应用 (7)
2.2 线性递推关系中特征值与特征向量的应用 (7)
2.2.1 命题的证明 (7)
2.2.2 命题的应用 (9)
2.3 特征值与特征向量在矩阵运算中的应用 (11)
2.3.1 特征值与特征向量的基本性质 (11)
2.3.2 性质的应用 (12)
3 小结 (15)
参考文献 (16)
0 引言
为了利用矩阵研究线性变换, 希望能找到线性空间的基使线性变换在该基下的矩阵具有最简单的形式, 因此我们引进了特征值与特征向量. 特征值与特征向量在线性变换中起着举足轻重的作用, 充分利用特征值与特征向量的命题与性质对我们解题带来极大的帮助, 能使复杂的问题变的简单, 化简为易, 化繁为简. 本文就矩阵的特征值与特征向量在一些解题中的应用作了初步的探讨. （见参考文献[1] [2] [4] ）
1 关于矩阵的特征值与特征向量的一般理论
我们知道, 在有限维线性空间中, 取了一组基之后, 线性变换就可以用矩阵来表示. 为了利用矩阵来研究线性变换, 对于每个给定的线性变换, 我们希望能找到一组基使得它的矩阵具有最简单的形式. 从现在开始, 我们主要的来讨论, 在适当的选择基之后, 一个线性变换的矩阵可以化成什么样的简单形式. 为了这个目的, 先介绍特征值和特征向量的概念, 它们对于线性变化的研究具有基本的重要性．
定义 1.1 设A是数域P上的一个n阶方阵,若存在一个数P以及一个非零n维列
向量x P n, 使得
Ax x
则称是矩阵A的一个特征值,向量x称为矩阵A关于特征值的特征向量．现在我们给出寻找特征值与特征向量的方法, 设V 是数域P 上n维线性空间, 1, 2, , n 是它们的一组基, 线性变换/ 就是在这组基下的矩阵是A. 设0 是特征值，它的一个特征向量在1, 2, , n下的坐标是x01,x02, ,x0n. 则由Ax x, 这说明特征向量的坐标x01,x02, ,x0n 满足齐次次方程组
a11x1 a12x2 a1n x n 0 x1,
a21x1 a22 x2 a2n x n 0x2,
a n1x1 a n2x2 a nn x n 0x n.
即
0 a11 x1 a12 x2 a1n x n 0,
a 21x 1 0 a 22 x 2 a 2n x n 0,
a n1x 1 a n2 x 2 0 a nn x n 0.
由于 0, 所以它的坐标 x 01 , x 02 , , x 0n 不全为零 , 即齐次线性方程组有非零解 . 从而, 齐次线性方程组 （1.1）式, 有非零解的充分必要条件是它的系数行列式为零 , 即
上面的分析说明 , 如果 0是线性变换 / 的特征值 , 那么 0一定是矩阵 A 的特征多
项式的一个根 ; 反过来 , 如果 0是矩阵 A 的特征多项式在数域 P 中的一个根 , 即 0E A 0,
那么齐次线性方程组（ 1.1）式就有非零解 . 这时，如果 x 01,x 02, ,x 0n 是 方程组（ 1.1）式的一个非零解 , 那么非零解向量
x 01 1 x 02 2 x 0n n .
满足（1.1）式, 即 0是线性变换 / 的一个特征值 , 就是属于特征值 0 的一个特征向 量．
因此 , 确定一个线性变换 / 的特征值与特征向量的方法可以分成一下几步： 1、在线性空间 V 中取一组基 1, 2, , n , 写出 / 在这组基下的矩阵 A ;
2、求出 A 的特征多项式 E A 在数域 P 中全部的根 , 它们也就是线性变换 / 的 全部特征值 ;
0 a 11
a 12 a 1n
E A
a 21 0 a 22
a 2n
a n1
a n2 0 a nn
我们引入以下定义 .
定义 1.2 设 A 是数域 P 上一 n 级矩阵 , 是 一个文字 . a 11
a 12
a 1n
EA
a 21 a 22
a 2n
a n1 a n2 a nn
0．
称为A 的特征多项式, 这是数域 P 上的一个次多项式 .
矩阵 E A 的行列式
(1.1)
3、把所有得的特征值逐个代入方程组（ 1.1）式, 对于每一个特征值, 解方程组
矩阵特征值的运算性质及推广
矩阵特征值的运算性质及推广 摘要:本篇论文主要从五方面来进行讲解：引言；矩阵特征值的性质；矩阵特征值的应用推广；分块矩阵的性质；分块矩阵特征值应用推广。 由于本篇论文是要以矩阵特征值性质的应用为主题，首先介绍总结了矩阵的一些基本概念及矩阵基本运算，然后在文中着重阐述了矩阵特征值性质，罗列出相关引理并予以证明,然后通过五种类型的矩阵特征值的应用例子将矩阵特征值的运算性质进行推广。将矩阵拓展到分块矩阵，讨论分块矩阵的性质及应用. 关键词：矩阵，特征值，特征向量，特征方程，特征多项式 The Operation Properties and Promotion of Eigenvalue Cui haiyang (Institute of Computer Science, Math) Abstract Three aspects to this thesis to explain: Introduction; matrix eigenvalue nature; promote the application of Matrix Eigenvalues. Because of this paper is a matrix eigenvalue to the application of the nature of the theme first introduced some basic concepts of matrix and the matrix of basic operations, and then in the text focuses on the eigenvalue properties, set out the relevant Yin Li, and to prove it. Finally, five types of application examples Eigenvalue Eigenvalue computation will be the nature of promotion. Key words：Matrix , Eigenvalue, Eigenvectors, Characteristic equation，Characteristic polynomial 1引言 矩阵计算领域在不断的发展和成熟，作为一门数学学科，它是众多理工学科重要的数学工具，矩阵理论既是经典数学的基础课程，是数学的一个重要且目前仍然非常活跃的领域，又是一门最有实用价值的数学理论，是计算机科学与工
分块矩阵在行列式计算中的应用(1)
矩阵与行列式的关系 矩阵是一个有力的数学工具，有着广泛的应用，同时矩阵也是代数特别是线性代数的一个主要研究对象．矩阵的概念和性质都较易掌握，但是对于阶数较大的矩阵的运算则会是一个很繁琐的过程，甚至仅仅依靠矩阵的基本性质很难计算，为了更好的处理这个问题矩阵分块的思想应运而生[]1． 行列式在代数学中是一个非常重要、又应用广泛的概念．对行列式的研究重在计算，但由于行列式的计算灵活、技巧性强，尤其是计算高阶行列式往往较为困难．行列式的计算通常要根据行列式的具体特点采用相应的计算方法，有时甚至需要将几种方法交叉运用，而且一题多种解法的情况很多，好的方法能极大降低计算量，因此行列式计算方法往往灵活多变．在解决行列式的某些问题时，对于级数较高的行列式，常采用分块的方法，将行列式分成若干子块，往往可以使行列式的结构清晰，计算简化．本文在广泛阅读文献的基础上，从温习分块矩阵的定义和性质出发，给出了分块矩阵的一些重要结论并予以证明，在此基础上讨论利用分块矩阵计算行列式的方法，并与其他方法相互比较，以此说明分块矩阵在行列式计算中的优势． 1.1 矩阵的定义 有时候，我们将一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样[]1．特别在运算中，把这些小矩阵当做数一样来处理．这就是所谓的矩阵的分块．把原矩阵分别按照横竖需要分割成若干小块，每一小块称为矩阵的一个子块或子矩阵，则原矩阵是以这些子块为元素的分块矩阵．这是处理级数较高的矩阵时常用的方法． 定义1[]2 设A 是n m ?矩阵，将A 的行分割为r 段，每段分别包含r m m m 21行，将 A 的列分割为s 段，每段包含s m m m 21列，则 ?? ? ? ? ? ? ??=rs r r s s A A A A A A A A A A 21 2222111211 ， 就称为分块矩阵，其中ij A 是j i m m ?矩阵（,,,2,1r i =s j ,,2,1 =）． 注：分块矩阵的每一行（列）的小矩阵有相同的行（列）数． 例如，对矩阵A 分块， = ?? ? ? ? ? ? ? ?-=21010301012102102301A ??? ? ??22211211 A A A A ， 其中
分块矩阵的应用论文
分块矩阵的应用 引言 矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常见于很多学科中，如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等，在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛格表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算和证明中会是很烦琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解释，矩阵分块的思想由此产生矩阵分块，就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的?就如矩阵的元素（数）一样,特别是在运算中，把这些小矩阵当作数一样来处理.把矩阵分块运算有许多方便之处因为在分块之后，矩阵间的相互关系可以看得更清楚，在实际操作中与其他方法相比，- 般来说,不仅非常简洁，而且方法也很统一，具有较大的优越性，是在处理级数较高的矩阵时常用的方法?比如，从行列式的性质出发，可以推导出分块矩阵的若干性质，并可以利用这些性质在行列式计算和证明中的应用分块矩阵；也可以借助分块矩阵的初等变换求逆矩阵及矩阵的秩等；再如利用分块矩阵求高阶行列式，如设A、C都是n阶矩阵, A B 其中A 0,并且AC CA，则可求得AD BC ;分块矩阵也可以在求解线性 C D 方程组应用? 本文将通过对分块矩阵性质的研究，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算和证明方面的应用，从而确认分块矩阵为处理很多代数问题带来很大的便利
1 分块矩阵的定义及相关运算性质 1.1 分块矩阵的定义 矩阵分块 , 就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的 . 就如矩阵的元素 （ 数） 一 样,特别是在运算中 , 把这些小矩阵当作数一样来处理 . 定义1设A 是一个m n 矩阵，若用若干横线条将它分成r 块，再用若干纵线条将它 A 11 ... 分成s 块，于是有rs 块的分块矩阵，即A .... A r1 . 1.2 分块矩阵的相关运算性质 1. 2.1 加法 A A ij r s ， B B ij r s ， 其中 A ij ， B ij 的级数相同， A B A ij B ij r s 1.2.2 数乘 kA 1.2.3 乘法 1.2.4 转置 A A ji s r 1.2.5 分块矩阵的初等变换 分块矩阵A 的下列三种变换称为初等行变换: A 1s ... ，其中 A ij 表示的是一个矩阵 . A rs 设 A a ij B mn b ij m n ，用同样的方法对 A,B 进行分块 设是任 A a ij mn A ij r s ,k 为任意数， 定义分块矩阵 A A ij r s 与 k 的数乘为 设 A a ij ,B sn n m 分块为 A A ij nm r l ,B B ij l r ，其中 A ij 是 s i n j 矩阵， B ij 是 n i m j 矩阵， 定义分块矩阵A A j rl 和B B ij l r 的乘积为 r C ij A i1 B 1j A i2 B 2j ... A il B lj , i 1,2,...t; j 1,2,3,..., l a ij s n 分块为 A sn A ij r s ，定义分块矩阵 A A ij r s 的转置为 rs
浅谈矩阵的特征向量特征值的意义
浅谈矩阵的特征向量特征值的意义 描述了矩阵的特征向量和特征值的定义，简述了矩阵的特征向量特征值在数学、物理、信息和哲学上的一些意义，对于从多角度深入理解矩阵的特征向量特征值有积极意义。 标签：线性代数；矩阵；特征向量；特征值 1 线性变换与矩阵的特征向量特征值[1] 线性变换是指一个n维列向量被左乘一个n阶矩阵后得到另一个n维列向量，它是同维向量空间中的把一个向量线性映射成了另一个向量。即 Y=AX （Y，X∈Rn A=（aij）A=（aij）n×n） 如果对于数λ，存在一个n维零列向量X（即X∈Rn且X≠0），使得 AX=？姿X 则称数λ为矩阵A的一个特征值，X为矩阵A对应于λ的特征向量。 在线性代数中研究线性变换就是研究相应的矩阵A，矩阵A的特征向量和特征值是线性变换研究的重要内容。 2 在数学上的意义 矩阵乘法对应了一个变换，是把任意一个向量变成另一个方向或长度都大多不同的新向量。在这个变换的过程中，原向量主要发生旋转、伸缩的变化。如果矩阵对某一个向量或某些向量只发生伸缩变换，不对这些向量产生旋转的效果，那么这些向量就称为这个矩阵的特征向量，伸缩的比例就是特征值。这里可以将特征值为负，特征向量旋转180度，也可看成方向不变，伸缩比为负值。所以特征向量也叫线性不变量。特征向量的不变性是他们变成了与其自身共线的向量，他们所在的直线在线性变换下保持不变；特征向量和他的变换后的向量们在同一根直线上，变换后的向量们或伸长或缩短，或反向伸长或反向缩短，甚至变成零向量（特征值为零时）[2]。 对对称矩阵而言，可以求得的特征向量是正交的，就是把矩阵A所代表的空间，进行正交分解，使得A的向量集合可以表示为每个向量a在各个特征向量上面的投影长度。 例如，对于x，y平面上的一个点（x，y），我对它作线性变换A， 这个线性变换相当于关于横轴x做镜像。我们可以求出矩阵A的特征向量
矩阵的分块及应用
矩阵的分块及应用 武夷学院毕业设计(论文) 矩阵的分块及应用院系：专业：姓名：学号: 指导教师：职称：完成日期：数学与计算机系计算机科学与技术陈航20073011014 魏耀华教授年月日武夷学院教务处制摘要矩阵分块，就是把一个大矩阵按照一定规则分成小矩阵，它是矩阵运算的一种常用技巧与方法。分块矩阵的理论不但在工程技术和实际生产中有着广泛的应用，而且在线性代数中求矩阵乘积、行列式的值、逆矩阵、矩阵的秩和矩阵的特征根的过程中也起到重要作用。分块矩阵的初等变换则是处理分块矩阵有关问题的重要工具，它在线性代数中有非常广泛的应用。讨论了分块矩阵的概念、分块矩阵的运算、分块矩阵的性质以及分块矩阵的广义初等矩
阵，归纳并提出了分块矩阵的一些应用，这些应用主要涉及到矩阵的秩，逆矩阵，行列式以及矩阵正定和半正定等方面。通过引用了大量的实例说明了对矩阵进行适当分块可以使高等代数中的许多计算与证明问题迎刃而解。关键词: 分块矩阵；初等变换；计算；逆矩阵；证明。I Abstract Partitioned matrices mean dividing a big matrix into the small matrices according to the certain rule. It is a common technique and method in matrix operation. The theories of partitioned matrices have not only a wide range of applications in engineering and production, but also play an important role to the process for seeking matrix product and the value of determinant and inverse matrix and rank of matrix and the characteristic in linear algebra. Elementary transformation of partitioned matrices is an important tool to deal with the partition matrix. Also, it is
分块矩阵的应用研究文献综述
毕业论文文献综述 数学与应用数学 分块矩阵的应用研究 一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关 主题争论焦点） 本论文的重要目的是通过查阅各种相关文献，寻找各种相关信息，来研究分块矩阵的计算方法和分块矩阵在化简行列式、行列式运算、求矩阵的特征值等方面的应用，首先我们先来介绍一些概念： 分块矩阵的概念[] 1： 当矩阵的行数与列数较大时, 为便于运算, 有时把它分成若干个小块, 每个小块是行数与列数较小的矩阵.把一个矩阵看作是由一些小块矩阵所构成, 这就是矩阵的分块.构成分块矩阵的每个小矩阵, 称为子块. 如对矩阵A 分块如下 ? ? ??? ???? ???-=1011 012100100001A 其中记? ? ? ???-=??????=???? ??=1121,0000,10011A O E ,则A 可表示为分块矩阵??????=E A O E A 1 矩阵的分块可以有各种不同的分法.如矩阵A 也可分块如下: ? ? ??? ???? ???-=1011012100100001 A 通过分块矩阵的定义和概念，我们将探讨分块矩阵的计算，并利用分块矩阵的思想把分块矩阵的应用联系到其它问题中.
二、主题部分（阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问 题的评述） 作为解决线性方程的工具，矩阵已有不短的历史.拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究.矩阵这一具体概念是由19世纪英国数学家凯利首先提出并形成矩阵代数这一系统理论的. 但是追根溯源，矩阵最早出现在我国的＜九章算术＞中，在＜九章算术＞方程一章中，就提出了解线性方程各项的系数、常数按顺序排列成一个长方形的形状.随后移动处筹，就可以求出这个方程的解.在欧洲，运用这种方法来解线性方程组，比我国要晚2000多年. 1693年，微积分的发现者之一戈特弗里德?威廉?莱布尼茨建立了行列式论(theory of determinants).1750年，加布里尔?克拉默其后又定下了克拉默法则.1800年，高斯和威廉?若尔当建立了高斯—若尔当消去法. 1848年詹姆斯?约瑟夫?西尔维斯特首先创出matrix 一词.研究过矩阵论的著名数学家有凯莱、威廉?卢云?哈密顿、格拉斯曼、弗罗贝尼乌斯和冯?诺伊曼. 分块矩阵的引进使得矩阵这一工具的使用更加便利，解决问题的作用更强有力，其应用也就更广泛.在矩阵的某些运算中，对于级数比较高的矩阵，常采用分块的方法将一个矩阵分割成若干个小矩阵，在运算过程中将小矩阵看成元素来处理，对问题的解决往往起到简化的作用.本文通过一些例子来说明分块矩阵的一些应用. 预备知识[][]32- 分块矩阵的运算: 矩阵的分块技巧性较强，要根据不通的问题进行不同的分块，常见的方法有四种： （1）列向量分法 ),,2,1(),,,,(21n i a a a a A i n ΛΛ==为A 的列向量. （2）行向量分发 ),,2,1(21n i A i n ΛM =???? ? ? ??????=ββββ为A 的行向量. （3）分成两块 ),,(21A A A =其中21,A A 分别为B 的若干行.
第五章 矩阵的特征值与特征向量
第五章 矩阵的特征值与特征向量 5.1矩阵的特征值与特征向量 5.1.1矩阵的特征值与特征向量的概念 设A 是n 阶矩阵，若存在数λ及非零的n 维列向量α，使得：λαα=A (0≠α)成立，则称λ是矩阵A 的特征值，称非零向量α是矩阵A 属于特征值λ的特征向量. 5.1.2矩阵的特征值与特征向量的求法 把定义公式λαα=A 改写为()0=-αλA E ,即α是齐次方程组()0=-x A E λ的非零解.根据齐次方程组有非零解的充分条件可得：0=-A E λ. 所以可以通过0=-A E λ求出所有特征值，然后对每一个特征值i λ，分别求出齐 次方程组()0=-x A E i λ的一个基础解系，进而再求得通解. 【例5.1】求??? ? ? ?????------=324262423A 的特征值和特征向量. 解：根据()()0273 2 4 26 24 23 2 =+-=---= -λλλλλλA E ，可得71=λ，22-=λ. 当7=λ时，??? ? ? ?????? ??? ???????=-0000002124242124247A E ， 所以()07=-x A E 的一个基础解系为：()T 0,2,11-=α,()T 1,0,12-=α，则相应的特征向量为2211ααk k +，其中21,k k 是任意常数且()()0,0,21≠k k . 当2-=λ时，???? ? ?????--? ??? ? ??????---=--00012014152428242 52A E ，所以()02=--x A E 的一个基础解系为()T 2,1,23=α，则相应的特征向量为33αk ，其中3k 是任意常数且
浅谈矩阵的特征值与特征向量的应用(终稿)复习课程
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浅谈矩阵的特征值与特征向量的应用 摘要 特征值与特征向量在现代科学中有重要的应用。本文介绍了特征值与特征向量的定义以及性质，并且给出了在线性空间中线性变换的特征值、特征向量与矩阵中的特征值、特征向量之间的关系。然后介绍了几种特征值与特征向量的求解方法。最后介绍了特征值与特征向量在实际中的应用，如在数学领域中、物理中以及经济发展与环境污染增长模型中的应用等等。 关键字：特征值；特征向量；应用；矩阵；初等变换 Abstract Eigenvalues and eigenvectors have important applications in modern science. This paper introduces the definition and nature of the eigenvalues and eigenvectors, eigenvalues and gives linear space of linear transformations, eigenvectors and eigenvalues of the relationship matrix, feature vectors. Then introduces several eigenvalues and eigenvectors of solving methods. Finally, the eigenvalues and
eigenvectors in practical application, such as in the fields of mathematics, physics, economic development and environmental pollution growth model and the application, and so on. Keys words：eigenvalue；eigenvector；application；matrix；elementary； 目录 浅谈矩阵的特征值与特征向量的应用 (2) 摘要 (2) Abstract (2) 第1章引言 (4) 1.1 研究背景 (4) 1.2 研究现状 (5) 1.3 本文研究目的及意义 (6) 第2章特征值与特征向量的一般理论 (6) 2.1 特征值与特征向量的定义和性质 (6) 2.1.1 特征值与特征向量的定义 (7) 2.1.2 特征值与特征向量的性质 (7) 2.2 特征值与特征向量的一般求解方法 (8) 2.2.1 一般数字矩阵的简单求解 (8)
浅谈分块矩阵的性质及应用
浅谈分块矩阵的性质及应用 摘要：本文主要谈及分快矩阵的思想在线性代数的证明。解线性方程组，矩阵得知 逆及矩阵的逆，和初等变换中的应用。 关键词：分块矩阵；线性方程组；矩阵的秩及矩阵的逆；初等变换 On the nature of block matrix and its application Abstract: this thesis uses the blocking matrix method into proving and applying the linear algebra, tries to solve the linear equations, and the proof of other relative matrix rank and elementary matrix. Key word s: Block matrix; Linear algebra; rank of matrix; elementary matrix.前言： 矩阵得分快是处理问题的一重要方法，把一个告诫矩阵分成若干个地界矩阵，在运算中把低阶矩阵当作数一样处理，这样高阶矩阵就化作低阶矩阵，长能使我们迅速接近问题的本质，从而达到解决问题的目的，使解题更简洁，思路更开阔，因此本文主要谈及分块矩阵再求行列式的值，解线性方程组，求矩阵的秩及逆等方面的应用。 1.预备知识： 分块矩阵的定义：将分块矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为 A的子块，一子块为元素的形式上的矩阵成为分块矩阵。 分块矩阵的运算：
1.2.1分块矩阵的加法： 设分块矩阵 A 与 B 的行数相同，列数相同，采用相同的得分块法，有 A=1111n m mn A A A A ?? ? ? ???K M O M L ，1111n m mn B B B B B ?? ?= ? ??? K M O M L 其中ij A 与ij B 的行数相同，列数相同，那么A+B=111111111n n m m n mn A B A B A B A B ++?? ? ? ?++?? K M O M L 1.2.2分块矩阵与数的乘法： A=1111n m mn A A A A ?? ? ? ???K M O M L ,1111n m mn A A A A A λλλλλ?? ? = ? ??? K M O M L 1.2.3设A 为m l ?矩阵，B 为l n ?矩阵，分块成 1111111 1 t r s st t tr A A B B A B A A B B ???? ? ?== ? ? ? ????? K K M O M M O M L L 其中1i A ，2i A ……，it A 的列数分别等于1j B ，2j B ……，tj B 的行数，那么 1111 r s sr C C AB C C ?? ? = ? ??? K M O M L ，其中1 t ij ik ik k C A B ==∑(i=1……s ；j=1，……，r) 1.2.4设1111 t s st A A A A A ?? ? = ? ???K M O M L ，则1111T T t T T T s st A A A A A ?? ?= ? ?? ? K M O M L 2. 分块矩阵的性质及应用： 分块矩阵的性质： 设A 为n 阶矩阵，若A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，即
分块矩阵的应用论文
分块矩阵的应用 引言 矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常见于很多学科中，如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等，在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛格表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算和证明中会是很烦琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解释，矩阵分块的思想由此产生. 矩阵分块,就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的.就如矩阵的元素(数) 一样,特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理.把矩阵分块运算有许多方便之处.因为在分块之后,矩阵间的相互关系可以看得更清楚,在实际操作中与其他方法相比,一般来说,不仅非常简洁,而且方法也很统一,具有较大的优越性,是在处理级数较高的矩阵时常用的方法.比如，从行列式的性质出发，可以推导出分块矩阵的若干性质，并可以利用这些性质在行列式计算和证明中的应用分块矩阵；也可以借助分块矩阵的初等变换求逆矩阵及矩阵的秩等；再如利用分块矩阵求高阶行列式，如设A 、C 都是n 阶矩阵，其中0A ≠，并且AC CA =，则可求得A B AD BC C D =-；分块矩阵也可以在求解线性 方程组应用. 本文将通过对分块矩阵性质的研究，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算和证明方面的应用，从而确认分块矩阵为处理很多代数问题带来很大的便利.
1 分块矩阵的定义及相关运算性质 1.1分块矩阵的定义 矩阵分块,就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的.就如矩阵的元素(数) 一样,特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理. 定义1设A 是一个m n ?矩阵，若用若干横线条将它分成r 块，再用若干纵线条将它 分成s 块，于是有rs 块的分块矩阵，即1111...............s r rs A A A A A ???? =?????? ，其中ij A 表示的是一个矩阵. 1.2分块矩阵的相关运算性质 1. 2.1加法 设() ij m n A a ?=() ij m n B b ?=，用同样的方法对,A B 进行分块 () ij r s A A ?=，() ij r s B B ?=， 其中ij A ，ij B 的级数相同， 则 ()ij ij r s A B A B ?+=+. 1.2.2数乘 设是任() () ,ij ij m n r s A a A k ??==为任意数，定义分块矩阵() ij r s A A ?=与k 的数乘为 () ij r s kA kA ?= 1.2.3乘法 设() () ,ij ij s n n m A a B b ??==分块为()(),ij ij r l l r A A B B ??==，其中ij A 是i j s n ?矩阵，ij B 是 i j n m ?矩阵，定义分块矩阵() ij r l A A ?=和()ij l r B B ?=的乘积为 () 1122...,1,2,...;1,2,3,...,ij i j i j il lj C A B A B A B i t j l =+++==.、 1.2.4转置 设() ij s n A a ?=分块为() ij r s A A ?=，定义分块矩阵() ij r s A A ?=的转置为 () ji s r A A ?''= 1.2.5分块矩阵的初等变换 分块矩阵A 的下列三种变换称为初等行变换：
矩阵的特征值和特征向量
第五章矩阵的特征值和特征向量 来源：线性代数精品课程组作者：线性代数精品课程组 1．教学目的和要求： (1) 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量. (2) 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对 角矩阵. (3) 了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质. 2．教学重点： (1) 会求矩阵的特征值与特征向量. (2) 会将矩阵化为相似对角矩阵. 3．教学难点：将矩阵化为相似对角矩阵. 4．教学内容： 本章将介绍矩阵的特征值、特征向量及相似矩阵等概念，在此基础上讨论矩阵的对角化问题. §1矩阵的特征值和特征向量 定义1设是一个阶方阵，是一个数，如果方程 (1) 存在非零解向量，则称为的一个特征值，相应的非零解向量称为属于特征值的特 征向量． （1）式也可写成， (2) 这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式 , (3) 即 上式是以为未知数的一元次方程，称为方阵的特征方程．其左端是的 次多项式，记作，称为方阵的特征多项式．
== = 显然，的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，阶矩阵有个特征值． 设阶矩阵的特征值为由多项式的根与系数之间的关系，不难证明 （ⅰ） （ⅱ） 若为的一个特征值，则一定是方程的根, 因此又称特征根，若为 方程的重根，则称为的重特征根．方程的每一个非 零解向量都是相应于的特征向量，于是我们可以得到求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下： 第一步：计算的特征多项式； 第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值； 第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组： 的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是 （其中是不全为零的任意实数）． 例1 求的特征值和特征向量. 解的特征多项式为 =
矩阵特征值和特征向量在实际中的应用及其实现
第39卷 第7期 高 师 理 科 学 刊 Vol. 39 No.7 2019年 7月 Journal of Science of Teachers′College and University Jul. 2019 文章编号：1007-9831（2019）07-0008-03 矩阵特征值和特征向量在实际中的应用及其实现 周琴 （湖南涉外经济学院 信息与机电工程学院，湖南 长沙 410205） 摘要：矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中的重要内容，在实际问题中的应用也很广泛．研究了矩阵的特征值和特征向量在循环比赛的排名问题和预测分析中的应用，并利用MATLAB软件实现了这些问题的快速求解． 关键词：特征值；特征向量；排名问题；预测分析 中图分类号：O151.2 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2019.07.003 Application and realization of matrix eigenvalue and eigenvector in practical problems ZHOU Qin （School of Information，Mechanical and Electrical Engineering，Hunan International Economics University，Changsha 410205，China） Abstract：The eigenvalues and eigenvectors of matrices are important contents in matrix theory and are widely used in practical problems．Studies on the application of eigenvalues and eigenvectors of matrices in ranking of cyclic competitions and prediction analysis，and use software MATLAB to realize the rapid solution of these problems． Key words：eigenvalue；eigenvector；ranking issues；predictive analysis 1 引言及预备知识 矩阵的特征值和特征向量在矩阵理论体系中具有举足轻重的作用，并且在实际问题中的应用也很广泛．文献[1-2]探索了特征值和特征向量的几何意义；文献[3]利用特征值与特征向量研究了纤维及大分子的可视化显示．在一些常用的数学建模方法如马尔可夫链模型、偏最小二乘回归模型、层次分析法和主成分分析法中，特征值和特征向量均有应用[4-6]． 定义[7-9]设A是n阶矩阵，如果数l和n维非零列向量a满足l A a a，那么数l称为矩阵A的特征 = 值，a称为A对应于特征值l的特征向量． 在实际教学中，由于矩阵特征值和特征向量的计算方法较为繁琐，学生需要较长的计算时间．如需进一步将计算结果应用到实际问题中，冗长的过程会使学生理解起来比较困难．为了解决此问题，可以利用MATLAB软件[10]自带的函数eig（A）实现矩阵A的特征值和特征向量的快速计算，再将其与实际应用相结合．本文介绍矩阵特征值和特征向量在排名问题和预测分析中的应用，给出了求解实际问题的MATLAB实现方法． 收稿日期：2019-03-02 基金项目：湖南省教育厅科学研究项目（18C1097）；2017年度湖南涉外经济学院教学改革研究项目——数学实验在地方本科院校非数学专业 教学中的应用研究 作者简介：周琴（1984-）, 女, 湖南长沙人，讲师，硕士，从事计算数学和数学教育研究．E-mail：19891881@https://www.360docs.net/doc/c79116887.html,
分块矩阵在高等代数中的应用
本科生毕业设计(论文) 题目：分块矩阵在高等代数中的应用 Title: Block Matrix Of Application in Advanced Algebra 学号 0508060357 姓名邹维喜 学院数信学院 专业数学与应用数学 指导教师甘爱萍 完成时间 2008.4.15
分块矩阵在高等代数中的应用 【摘要】高等代数以其独特的理论体系而引人入胜，其基础知识抽象，解题方法技巧性强，稍有不慎就会陷入困境。作为高等代数中的一个工具——分块矩阵，分块矩阵是高等代数中的一个重要内容，在高等代数中有着很重要的应用，本文详细且全面论述了分块矩阵阵的概念和其的初等变换以及证明了矩阵的分块在高等代数中的应用，包括用分块矩阵来算矩阵的乘积，利用分块矩阵求逆矩阵的问题，用分块矩阵求矩阵的行列式问题. 【关键词】：分块矩阵；矩阵乘积得秩；逆矩阵；行列式
Block Matrix in Advanced Algebra Application 【Abstract】 Higher Algebra for its unique and fascinating theoretical system based on abstract knowledge, skills and strong problem-solving approach, a little carelessness will be in trouble. Advanced Algebra as a tool - sub-block matrix, block matrix is of higher algebra an important share in higher algebra very important applications, this paper discusses the detailed and comprehensive array block matrix of the concept and its elementary transformation matrix, as well as the sub-block in the application of higher algebra, including matrices to count the product matrix, the use of sub-block matrix inverse matrix problem, with sub-block matrix of the determinant of the matrix problem. 【Key words】: sub-block matrix; matrix product of a rank; inverse matrix; determinant
分块矩阵的若干应用
分块矩阵的若干应用 摘要：本文归纳了分块矩阵的一些应用,这些应用主要涉及到用分块矩阵计算行列式,求解逆矩阵,解线性方程组以及证明矩阵秩的不等式. 关键词：分块矩阵，行列式，可逆矩阵，线性方程组，秩
Abstract: This article summarizes the number of block matrix applications mainly related to the use of block matrix determinant calculation, solving the inverse matrix, solution of linear equations, as well as proof of the inequality rank matrix. Key words: block matrix,determinant,invertible matrix,linear equations,rank
目录 1 引言 (4) 2 分块矩阵的应用 (4) 2.1 利用分块矩阵求n阶行列式 (4) 2.2 利用分块矩阵求矩阵的逆 (6) 2.3 利用分块矩阵解非齐次线性方程组 (10) 2.4 利用分块矩阵证明矩阵的秩的性质 (11) 结论 (13) 参考文献 (14) 致谢 (15)
1 引言 矩阵的分块是处理级数较高的矩阵时常用的方法.有时候,我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的,就如矩阵是由数组成的一样.特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理,这就是所谓矩阵的分块[]1 .分块矩阵是矩阵论中重要内容之一.在线性代数中,分块矩 阵也是一个十分重要的概念,它可以使矩阵的表示简单明了,使矩阵的运算得以简化,而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题.事实上,利用分块矩阵方法计算行列式,时常会使行列式的计算变得简单,并能收到意想不到的效果. 矩阵是一种新的运算对象,我们应该充分注意矩阵运算的一些特殊规律.为了研究问题的需要,适当对矩阵进行分块,把一个大矩阵看成是由一些小矩阵为元素组成的,这样可使矩阵的结构看的更清楚.运用矩阵分块的思想,可使解题更简洁,思路更开阔,在教学中有着非常广泛的应用,一些复杂的问题,经分块矩阵处理就显得非常简单.而在高等代数和线性代数教材中,这部分内容比较少,本文归纳并讨论了分块矩阵在行列式,矩阵的逆及解非齐次线性方程组等方面的一些应用. 2 分块矩阵的应用 行列式的计算是一个重要的问题,也是一个很麻烦的问题.n 级行列式一共有!n 项,计算它就需要做()!1n n -个乘法.当n 较大时,!n 是一个相当大的数字,直接从定义来计算行列式几乎是不可能的事,因此我们有必要进一步讨论解行列式的方法.利用分块矩阵的方法]2[求行列式的值是行列式求值常用的方法.但通常教材中介绍的方法,多数为计算特殊形式的行列式,本文将在教材的基础上给出另外一些行列式的分块矩阵的解法. 2.1 利用分块矩阵求n 阶行列式 各高等代数教材主要介绍了用定义,性质,展开定理计算n 阶行列式.常用的技巧有递推 法,加边法等.但有些行列式计算起来仍很麻烦,下面给出运用分块矩阵计算n 级行列式的一种方法,该方法使n 阶行列式的求值更加简便易行.本文我们主要以?22分块矩阵为例. 命题1 设n 阶行列式W 分块为A B W C D ?? = ???,则 （1） 当A 为r 阶可逆矩阵时, 1 A B W A D C A B C D -==-;
分块矩阵及其应用
分块矩阵及其应用 徐健,数学计算机科学学院 摘要：在高等代数中，分块矩阵是矩阵内容的推广. 一般矩阵元素是数量， 而分块矩阵则是将大矩阵分割成小矩形矩阵，它的元素是每个矩阵块.分块矩阵的引进使得矩阵工具的利用更加便利，解决相关问题更加强有力，所以其应用也更广泛. 本文主要研究分块矩阵及其应用，主要应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明与矩阵秩有关的定理. 关键词：分块矩阵；行列式；方程组；矩阵的秩 On Block Matrixes and its Applications Xu Jian, School of Mathematics and Computer Science Abstract In the higher algebra, block matrix is a generalization of matrix content. In general, matrix elements are numbers. However, the block matrix is a large matrix which is divided into some small rectangular matricies, whose elements are matrix blocks. The introduction of the block matrix makes it more convenient to use matrix, and more powerful to solve relevant problems. So the application of the block matrix is much wider. This paper mainly studies the block matrix and its application in the calculation of determinant, such as solving linear equations, calculating inverse matrix, proving theorem related to the rank of matrix , etc. Keywords Block matrix; Determinant; System of equations; Rank of a matrix
矩阵特征值与特征向量在图像处理中的应用
特征值与特征向量在图像处理中的应用 姓名：张x 学号：20092430 班级：2009121 摘要：正所谓学以致用，在长期以来的学习过程中，我们真正能够将所学到的知识运用到生活中的能有多少，我们对课本上那些枯燥的公式虽牢记于心，却不知道它的实际用途。在学习了矩阵论以来，虽然知道很多问题的求法，就如矩阵特征值和特征向量，它们有何意义我们却一点不知。我想纯粹的理知识已经吸引不了我们了，我们需要去知道它们的用途，下面就让我们一起来看看矩阵特征值与特征向量在图像处理中是如何发挥它们的作用的。 关键字： 特征值、特征向量、图像、 正文： 生活中的我们，每天清晨醒来，随之映入眼帘的就是各种形形色色的图像，我们确实也很难想象，在我们的生活中，图像的处理和矩阵特征值、特征向量有什么关系？首相我们先来了解下，何为特征值、特征向量。 定义：设是阶方阵，若有数和非零向量，使得 称数是的特征值，非零向量是对应于特征值的特征向量。 例如对，有及向量，使得，这说明 是的特征值，是对应于的特征向量。 特征值和特征向量的求法： 1．由得，并且由于是非零向量，故行列式，即 （称之为的特征方程） 由此可解出个根（在复数范围内），这就是的所有特征值。
2．根据某个特征值，由线性方程组解出非零解，这就是对应于特征值的特征向量。 特征值和特征向量的性质： 1 ．， 2 ．若是的特征向量，则对，也是的特征向量。 3 ．若是的特征值，则是的特征值，从而是的特征值。 4 ．是的个特征值，为依次对应的特征向量，若 各不相同，则线性无关。 我想在了解了特征值和特征向量的基本理论之后，你们很难想象，为什么这些知识会和图像有联系吧。说实话，我自己也不是很清楚，我也是看了别人的理论讲解，才略微理解了一二。让我们一起去了解下。 根据特征向量数学公式定义，矩阵乘以一个向量的结果仍是同维数的一个向量，因此，矩阵乘法对应了一个变换，把一个向量变成同维数的另一个向量，那么变换的效果是什么呢？这当然与方阵的构造有密切关系，比如可以取适当的二维方阵，使得这个变换的效果就是将平面上的二维向量逆时针旋转30度，这时我们可以问一个问题，有没有向量在这个变换下不改变方向呢？可以想一下，除了零向量，没有其他向量可以在平面上旋转30度而不改变方向的，所以这个变换对应的矩阵(或者说这个变换自身)没有特征向量(注意：特征向量不能是零向量)，所以一个特定的变换特征向量是这样一种向量，它经过这种特定的变换后保持方向不变，只是进行长度上的伸缩而已(再想想特征向量的原始定义Ax=cx, cx是方阵A对向量x进行变换后的结果，但显然cx和x的方向相同)。 这里给出一个特征向量的简单例子，比如平面上的一个变换，把一个向量关于横轴做镜像对称变换，即保持一个向量的横坐标不变，但纵坐标取相反数，把这个变换表示为矩阵就是[1 0;0 -1]（分号表示换行），显然[1 0;0 -1]*[a b]'=[a -b]'（上标'表示取转置），这正是我们想要的效果，那么现在可以猜一下了，这个矩阵的特征向量是什么?想想什么向量在这个变换下保持方向不变，显然，横轴上的向量在这个变换下保持方向不变(记住这个变换是镜像对称变换，那镜子表面上(横轴上)的向量当然不会变化)，所以可以直接猜测其特征向量是[a 0]'（a不为0），还有其他的吗？有，那就是纵轴上的向量，这时经过变换后，其方向反向，但仍在同一条轴上，所以也被认为是方向没有变化，所以[0 b]'（b不为0）也是其特征向量。