基本不等式专题训练(简答)
基本不等式专题训练
巩固训练（一）
一．基本不等式的理解
1.若R b a ∈，，且0>ab ，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A ．ab b a 222>+
B ．ab b a 2≥+
C ．ab b a 211>+
D ．2≥+b
a a
b 2.已知)1,0(,∈b a 且b a ≠，则下列四个数中最大的数是（ ）
A.22b a +
B.ab 2
C.b a +
D.ab 2
3.已知b a ，为互不相等的正实数，则下列四个数中最大的数是（ ）
A ．b a +4
B ．b a 11+
C ．ab 2
D ．2
28b a + 4.设b a <<0，则下列不等式中正确的是（ ）
A ．2
ab ab b a <<< B ．b b a ab a <+<<2 C ．2b a b ab a +<<< D ．b b a a ab <+<
<2 5.若200=+>>b a b a ，，，则下列不等式对一切满足条件的b a ，恒成立的是 ①1≤ab ；②2≤+b a ；③222≥+b a ；④333≥+b a ；⑤211≥+b
a ． 二．基本不等式在最值问题中的基础运用 1.积为定值?和有最小值，平方和有最小值 （1）已知0>x ，函数x x y 9+
=的最小值是（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 （2）已知0 x y 1+=有（ ） A.有最大值2 B.有最小值2 C.有最大值2- D.有最大值2- （3）若0>ab ，则b a a b +4的最小值为 （4）若实数y x ，满足1=xy ，则222y x +的最小值为 （5）已知函数)0,0(4)(>>+=a x x a x x f 在3=x 时取得最小值，则=a 2．和为定值?积有最大值，平方和有最小值 （1）若10< A ．1 B ．21 C ．41 D ．8 1 （2）已知0>a ，0>b ，若4=+b a ，则（ ） A.22b a +有最小值 B.ab 有最小值 C.b a 11+有最大值 D.b a +1有最大值 （3）已知0>a ，0> b ，若1=+b a ，则ab 的最大值是 （4）已知R b a ∈，，且063=+-b a ，则b a 8 12+的最小值为 （5）若0>x ，0>y ，且321=+y x ，则x y 的最大值为 3.平方和为定值?积有最大值，和有最大值 （1）已知422=+b a ，则ab 的最大值为（ ） A ．2 B ．22 C ．4 D ．24 （2）已知非负实数b a ，满足1032=+b a ，则b a 32+最大值是（ ） A ．10 B ．52 C ．5 D ．10 （3）已知0>a ，0>b ，且5=+b a ，则31+++b a 的最大值为（ ） A ．18 B ．9 C ．23 D ．32 4.等式变不等式求最值（运用2 )2(2 22b a b a ab +≤+≤，结合换元法） （1）设0>a ，0>b ，24=++ab b a ，则（ ） A.b a +有最大值8 B.b a +有最小值8 C.ab 有最大值8 D ．ab 有最小值8 （2）已知正数b a ，满足62=++ab b a ，则b a 2+的最小值为 （3）已知0>x ，0>y ，1642++=y x xy ．则xy 的最小值为 （4）设y x ，为实数，若122=++xy y x ，则22y x +的最小值为 ，xy 的最大值为 （5）设y x ，为实数，若1422=++xy y x ，则y x +2的最大值是 巩固训练（二） 一．配凑法求最值-----通过凑项或者凑系数让和、积、平方和为定值 1.已知1>x ，则函数11)(-+ =x x x f 的最小值为（B ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 2.已知2 10< 1 3.已知b a ，为正数，7422=+b a ，则21b a +的最大值为（ D ） A ．7 B ．3 C ．22 D ．2 4.已知0>>b a ，则b a b a a -+++ 142的最小值为（ A ） A ．6 B ．4 C ．32 D ．23 5.若函数)2(2 1)(>-+=x x x x f ，在a x =处取最小值，则=a 3 6.已知45 4124-+-=x x y 的最大值为 1 二．消元法求最值（利用等式，代入消元） 1.已知实数y x ，满足：0>x 且022=+-xy x ，则y x 2+的最小值为（ ） A ．34 B ．32 C ．54 D ．52 2.若正数y x ，满足0162=-+xy x ，则y x 3+的最小值是（ ） A ．21 B ．1 C ．22 D ．2 3.若正数b a ，满足 121=+b a ，则2112-+-b a 的最小值为（ ） A ．2 B ．2 C ．22 D ．1 4.已知正数b a ，满足1=++ab b a ，则b a +2的最小值为 5.设z y x ，，为正实数，满足032=+-z y x ，则xz y 2 的最小值为 三．常数代换法求最值（条件求值） 1.直接相乘类型，如1=+b a ，则42)11)((11≥++=++=+b a a b b a b a b a （1）已知0>a ，0>b ，2=+b a ，则b a 41+的最小值是（ ） A ．27 B ．4 C ．29 D ．5 （2）已知0>a ，0>b ， 112=+b a ，则b a +2的最小值为（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．7 （3）在ABC ?中，点F 为线段BC 上任一点（不含端点），若)0,0(2>>+=y x y x ， 则y x 21+的最小值为 （4）若直线)0,0(1>>=+b a b y a x 过点)2,1(，则b a +2的最小值为 （5）已知0>x ，0>y ，且满足xy y x =+4，则y x +的最小值为 2.凑“分母和”类型，如1=+b a ，3 1)11)(1111(1111?++++++=+++b a b a b a . （1）设10< 194的最小值为（ ） A ．24 B ．25 C ．26 D ．1 （2）已知10>>b a ，且42=+b a ，则121-+b a 的最小值为（ ） A ．8 B ．4 C ．22 D ．38 （3）设n m ，为正数，且2=+n m ，则2 311++++n n m 的最小值为（ ） A ．23 B ．35 C ．47 D ．5 9 （4）已知实数y x ,满足0>>y x 且1=+y x ，则y x y x -++134的最小值是 （5）已0>a ，0>b ，21 81=++b a ，则b a +2的最小值为 四．分式函数求最值（换元法或分离常数法） 1.已知)0(1 63)(2>+++=x x x x x f ，则)(x f 的最小值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 2.已知4≥x ，则函数x x x x f 42)(2++=的最小值为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 3.已知y x ，都是正实数，则y x y y x x +++44的最大值为（ ） A ．23 B ．34 C ．25 D ．4 5 4.已知0>t ，则函数t t t y 142+-=的最小值为 5.若对任意0>x ，a x x x ≤++1 32恒成立，则a 的取值范围是 6.已知0≥x ，则函数1 )3)(2(+++=x x x y 的最小值为 7.已知0>x ，0>y ，则2 2 23y xy y x ++的最小值为 五．连续放缩求最值（连用两次基本不等式，注意两次等号成立的条件是否相同） 1.已知0>a ，0>b ，则 ab b a 211++的最小值是（ ） A ．2 B ．22 C ．4 D ．5 2.已知0>a ，0>b ，则b a a b 2 2)1()1(+++的最小值为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．16 3.已知0>>b a ，则)(1b a b a -+ 的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．22 4.若R b a ∈，，0>ab ，则ab b a 1444++的最小值为 巩固训练（三） 基本不等式求最值综合训练 1.若实数b a ，满足 ab b a =+21，则ab 的最小值为（ ） A ．2 B ．2 C ．22 D ．4 2.若正数y x ，满足xy y x 53=+，则y x 43+的最小值是（ ） A ．524 B ．528 C ．5 D ．6 3.已知1>a ，1=ab ，则b a b a -+2 2的最小值是（ ） A ．22 B ．2 C ．2 D ．1 4.若不等式 04111≥--+m x x 对)41,0(∈x 恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 5.已知141,0,0=+>>n m n m ，若不等式a x x n m ++-≥+22对已知的n m ，及任意实数x 恒成立， 则实数a 的取值范围是（ ） A ．),8[+∞ B ．),3[+∞ C ．]3,(-∞ D ．]8,(-∞ 6.若0lg lg =+y x ，则y x 94+的最小值为 7.已知正数y x ，满足5=+y x ，则2 111+++y x 的最小值为 8.已知正数y x ，满足1=+y x ，且m x y y x ≥+++1 12 2，则m 的最大值为 9.已知x ，y 均为正实数，且满足1311=++xy y x ，则y x +的最小值为 10.已知正数y x ，满足1=+y x ，则当=x 时，xy y x 2 +的最小值是 11.已知0>a ，0>b ，则ab b a 1)4(2+ +的最小值为 ，此时=+b a 参考答案 巩固训练（一） 一．1-5 DCBB ，①③⑤ 二． 1.（1）-（5） CC ，4，22，36 2.（1）-（5） CA ， 41，41，89 3.（1）-（3） ABC 4.（1）B （2）4 （3）16 （4） 32，3 1 （5）5102 巩固训练（二） 一．1-6 BCDA ，3，1 二．1-5 ABA ，1，3 三1.（1）-（5）CB ，8，8，9 2.（1）-（5）BDD ，29 ，8 四．1-3 DBB 4-7 2-，),5 1[+∞，223+，2 五．1-4 CCB ，4 巩固训练（三） 1-5 CCACD 6-9 12， 21，31，6 10. 21，3 11. 8，4 5 一元一次不等式（组）常见试题分类练习 一、解法常见考题： 1、已知方程组?? ?-=++=+②① m y x m y x 12,312的解满足x ＋y ＜0，求m 的取值范围． 2、已知? ??+=+=+122, 42k y x k y x 中的x ，y 满足0＜y －x ＜1，求k 的取值范围． 3、若关于x 的不等式组???????+<+->+a x x x x 3 22,32 15 只有4个整数解，求a 的取值范围． 4、关于x 的不等式组? ??->-≥-123, 0x a x 的整数解共有5个，求a 的取值范围． 5、已知a 是自然数，关于x 的不等式组?? ?>-≥-0 2, 43x a x 的解集是x ＞2，求a 的取值范围． 6、若不等式组 X+8＜4x －1 的解集是x ＞3，则m 的取值范围是 。 x ＞m 7、不等式组?? ?+>+<+1 , 159m x x x 的解集是x ＞2，则m 的取值范围是( )． (A)m ≤2 (B)m ≥2 (C)m ≤1 (D)m ≥1 8、关于x 的不等式组? ??->-≥-123, 0x a x 的整数解共有5个，求a 的取值范围． 9、若不等式组? ??? ? x ＋8<4x －1x>m 的解集为x>3，则m 的取值范围是________． 10、试确定实数a 的取值范围，使不等式组??? x 2＋x ＋1 3 >0x ＋5a ＋43>4 3(x ＋1)＋a 恰有两个整数解． 11、已知a 是自然数，关于x 的不等式组?? ?>-≥-0 2, 43x a x 的解集是x ＞2，求a 的值． 12、若关于x 的不等式组???????+<+->+a x x x x 3 22,32 15 只有4个整数解，求a 的取值范围． 二、最后一间房问题： 1、若干名学生，若干间宿舍，若每间住4人将有20人无法安排住处；若每间住8人，则有一间宿舍的人不空也不满．问学生有多少人?宿舍有几间? 初一不等式难题,经典题训练（附答案） 1． 已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰好是1，2，3，则a 的取值范围是_______ 2． 已知关于x 的不等式组0 521 x a x ->?? -≥-?无解，则a 的取值范围是_________ 3． 若关于x 的不等式(a-1)x-2 a +2>0的解集为x<2，则a 的值为（ ） A 0 B 2 C 0或2 D -1 4． 若不等式组2 20 x a b x ->?? ->?的解集为11x -<<，则2006()a b +=_________ 5． 已知关于x 的不等式组的解集41320 x x x a +?>+? ??+- 7． 不等式组951 1 x x x m +<+?? >+?的解集是2x >，则m 的取值范围是（ ） A. 2m ≤ B. 2m ≥ C. 1m ≤ D. 1m f 8.不等式()()20x x x +-<的解集是_________ 9.当a>3时，不等式ax+2<3x+b 的解集是，则b=______ 10.已知a,b 为常数，若ax+b>0的解集是1 3 x <,则的0bx a -<解集是（ ） A. 3x >- B 3x <- C. 3x > D. 3x < 11.如果关于x 的不等式组的整70 60x m x n -≥?? -? p 数解仅为1，2，3，那么适合不等式组的整数(m,n)对共 有（ ）对 A 49 B 42 C 36 D 13 12.已知非负数x,y,z 满足123 234 x y z ---==，设345x y z ω=++，求的ω最大值与最小值 基本不等式练习题及答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1 x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.1 2 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________． 考向一 利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝ 2x x 2＋1 的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋ 1 x －1 的最小值为________． (2)已知0＜x ＜2 5，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________． 考向二 利用基本不等式证明不等式 【例2】?已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c . ． 不等式练习题 一、选择题 1、若a,b 是任意实数,且a ＞b,则 ( ) （A ）a 2＞b 2 （B ） a b ＜1 （C ）lg(a-b)＞0 （D ）(21)a ＜(2 1)b 2、下列不等式中成立的是 ( ) （A ）lgx+log x 10≥2(x ＞1) （B ）a 1 +a ≥2 (a ≠0) （C ） a 1＜b 1 (a ＞b) （D ）a 21+t ≥a t (t ＞0,a ＞0,a ≠1) 3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11 )(1122--b a 的最小值为 ( ) (A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9 4、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R ); (3) a 2+b 2≥2(a －b －1), 其中正确的个数为 ( ) (A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个 5、f (n ) = 12+n －n , ?(n )= n 21 , g (n ) = n 12--n , n ∈N ,则 ( ) (A ) f (n ) 双基自测 1．(人教A版教材习题改编)函数y＝x＋1 x (x＞0)的值域为( )． A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．(0，＋∞) C．[2，＋∞) D．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a2＋1＞2a；②a＋b ab ≤2；③x2＋ 1 x2＋1 ≥1，其中正确的个 数是 ( )．A．0 B．1 C．2 D．3 3．若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为( )． B．1 C．2 D．4 4．(2011·重庆)若函数f(x)＝x＋ 1 x－2 (x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝ ( )． A．1＋ 2 B．1＋ 3 C．3 D．4 5．已知t＞0，则函数y＝t2－4t＋1 t 的最小值为________． 考向一利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则1 x ＋ 1 y 的最小值为________； (2)当x＞0时，则f(x)＝ 2x x2＋1 的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x＞1，则f(x)＝x＋ 1 x－1 的最小值为________． (2)已知0＜x＜2 5 ，则y＝2x－5x2的最大值为________． (3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为________． 考向二利用基本不等式证明不等式 【例2】?已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：bc a ＋ ca b ＋ ab c ≥a＋b＋c. ． 【训练2】已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1. 求证：1 a ＋ 1 b ＋ 1 c ≥9. 考向三利用基本不等式解决恒成立问题 【例3】?(2010·山东)若对任意x＞0， x x2＋3x＋1 ≤a恒成立，则a的取值 范围是________． 【训练3】(2011·宿州模拟)已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________． 考向三利用基本不等式解实际问题 【例3】?某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 m．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低【训练3】(2011·广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n 的关系是g(n)＝80 n＋1 .若水晶产品的销售价格不变，第n次投入后的年利润为 f(n)万元． (1)求出f(n)的表达式； (2)求从今年算起第几年利润最高最高利润为多少万元 【试一试】(2010·四川)设a＞b＞0，则a2＋ 1 ab ＋ 1 a a－b 的最小值是 ( )． A．1 B．2 C．3 D．4 双基自测 不等式训练1 A 一、选择题(六个小题,每题5分,共３0分） 1.若02522 >-+-x x ,则221442-++-x x x 等于( ) Ａ.54-x Ｂ．3- Ｃ.3 D.x 45- ２.函数y=log 21（x ＋11+x ＋１） （ｘ > 1）的最大值是 （ ) A ．-2 B.２ C.-3 D.3 3.不等式x x --213≥1的解集是 ( ) A ．{ｘ|43≤x ≤2} B.{x|4 3≤x <２} Ｃ．{ｘ｜x ＞２或x ≤ 43｝ D.｛x|ｘ<2} 4．设a ＞1＞b ＞-1，则下列不等式中恒成立的是 ( ) A.b a 11< Ｂ．b a 11> Ｃ．ａ> b 2 D.a 2＞2b 5．如果实数ｘ,y 满足x 2+y 2=1,则(1－x ｙ) (1＋xy ）有 ( ) A ．最小值21和最大值1 Ｂ．最大值１和最小值4 3 C ．最小值 43而无最大值 D ．最大值1而无最小值 6.二次方程x 2＋(a 2＋1)x+a －2=0,有一个根比1大,另一个根比-1小, 则ａ的取值范围是 ( ) Ａ.-3＜a ＜1 B ．-2＜a ＜0 C.－１＜ａ<0 D ．0 一元一次不等式培优专题训练一 例1 1、 用“>”或“<”填空，并在题后括号内注明理由： (1)∵a >b,∴a －m ________b －m (2)∵a >2b,∴2 a ________ b (3)∵4a >5a,∴a ________0 (4)∵2x －1<9,∴x ________5 2、不等号填空：（1）、x 为任意有理数，x －3____x －4.（2）若a ＜0，b ＜0，则a ·b ____ab 2. 变式训练：（七中实验）若b a <，则2ac 2bc ；若22bc ac <，则a b （填不等号） ； 例2、不等式（组）的解法：1、不等式1 1、（02京皖春1）不等式组???<-<-0 30 122x x x 的解集是（ ） A ．｛x ｜－1＜x ＜1} B ．｛x ｜0＜x ＜３} C ．｛x ｜0＜x ＜1} D ．｛x ｜－1＜x ＜３} 2、（01河南广东1）不等式 3 1 --x x >0的解集为（ ） A ．{x |x <1} B ．{x |x >3} C ．{x |x <1或x >3} D ．{x |1 双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1 x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.1 2 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________． 考向一 利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝ 2x x 2 ＋1 的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋ 1 x －1 的最小值为________． (2)已知0＜x ＜2 5，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________． 考向二 利用基本不等式证明不等式 【例2】?已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c . ． 【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1 c ≥9. 考向三 利用基本不等式解决恒成立问题 【例3】?(2010·山东)若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是 ________． 【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________． 考向三 利用基本不等式解实际问题 【例3】?某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？ 【训练3】 (2011·广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g (n )与科技成本的投入次数n 的关系是g (n )＝ 80 n ＋1 .若水晶产品的销售价格不变，第n 次投入后的年利润为f (n )万元． (1)求出f (n )的表达式； (2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？ 【试一试】 (2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1 ab ＋1 a (a － b ) 的最小值是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 双基自测 D ．(2，＋∞) 答案 C 2．解析 ①②不正确，③正确，x 2＋ 1x 2＋1＝(x 2 ＋1)＋1x 2＋1 －1≥2－1＝1.答案 B 3．解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤1 2.答案 A 一元一次不等式 1、下列不等式中，是一元一次不等式的是 （ ） A 012>-x ； B 21<-； C 123-≤-y x ； D 532 >+y ； 2.下列各式中，是一元一次不等式的是（ ） A.5+4＞8 B.2x －1 C.2x ≤5 D. 1 x －3x ≥0 3. 下列各式中，是一元一次不等式的是（ ） (1)2x 《不等式与不等式组专项训练》一、选择： 1．下列不等式一定成立的是（） A．a≥﹣a B．3a＞a C．a D．a+1＞a 2．若a＞b，则下列不等式仍能成立的是（） A．b﹣a＜0B．ac＜bc C．D．﹣b＜﹣a 3．解不等式中，出现错误的一步是（） A．6x﹣3＜4x﹣4B．6x﹣4x＜﹣4+3C．2x＜﹣1D． 4．不等式的正整数解有（） A．2个B．3个C．4个D．5个 5．在下列不等式组中，解集为﹣1≤x＜4的是（） A．B．C．D． 6．若不等式≥4x+6的解集是x≤﹣4，则a的值是（）A．34B．22C．﹣3D．0 二、填空： 7．用不等式表示“6与x的3倍的和大于15”． 8．不等式的最大正整数解是，最小正整数解是．9．一次不等式组的解集是． 10．若y=2x+1，当x时，y＜x． 11．关于x的不等式ax+b＜0（a＜0）的解集为． 12．若方程mx+13=4x+11的解为负数，则m的取值范围是． 13．若a＞b，则的解集为． 14．某次知识竞赛共有20题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过90分，他至少答对道． 三、解不等式或不等式组： 15．解不等式或不等式组： （1）3（x﹣2）﹣4（1﹣x）＜1 （2）1﹣≥x+2 （3） （4）． 四、解答下列各题： 16．x取什么值时，代数式5（x﹣1）﹣2（x﹣2）的值大于x+2的相反数． 17．k取什么值时，解方程组得到的x，y的值都大于1． 18．某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余20人无宿舍住；若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，求该班住宿生人数和宿舍间数． 19．某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件．已知生产1件A种产品需甲种原料9千克、乙种原料3千克，生产1件B种产品需甲种原料4千克、乙种原料10千克，请你提出安排生产的方案． 不等式经典题型专题练习（含答案） ：__________ 班级：___________ 一、解答题 1．解不等式组： ()13x 2x 11{ 25 233x x -+≤-+≥-，并在数轴上表示不等式组的解集． 2．若不等式组21{ 23x a x b -<->的解集为-1 5．解不等式组：并写出它的所有的整数解． 6．已知关于x、y的方程组 521118 23128 x y a x y a +=+ ? ? -=- ? 的解满足x＞0，y＞0，数a的取 值围． 6．求不等式组 x20 x 1x3 2 -> ? ? ? +≥- ?? 的最小整数解． 7．求适合不等式﹣11＜﹣2a﹣5≤3的a的整数解． 8．已知关于x的不等式组的整数解共有5个，求a的取值围． 9．若二元一次方程组 2 { 24 x y k x y -= += 的解x y >，求k的取值围. 10．解不等式组5134122 x x x x ->-???--??≤并求它的整数解的和． 11．已知x ，y 均为负数且满足：232x y m x y m +=-?? -=?①②，求m 的取值围． 12．解不等式组?? ???<+-+≤+12312)2(352x x x x ，把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数集. 14．若方程组2225 x y m x y m +=+??-=-?的解是一对正数，则： （1）求m 的取值围 （2）化简：42m m -++ 15．我市一山区学校为部分家远的学生安排住宿，将部分教室改造成若干间住房. 如果每间住5人，那么有12人安排不下；如果每间住8人，那么有一间房还余一些床位，问该校可能有几间住房可以安排学生住宿？住宿的学生可能有多少人？ 《基本不等式》同步测试 一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若 a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ） A ．21a a +> B ．2 111 a <+ C ．296a a +> D ．2 lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ） Ａ． 1 2 Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a 3. 设x >0,则1 33y x x =-- 的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．332- Ｃ．3-23 Ｄ．－1 4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. 63 C. 46 D. 183 5. 若x , y 是正数，且 14 1x y +=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值116 6. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ） A ．2222a b c ++≥ B ．2 ()3a b c ++≥ C ． 11123a b c + + ≥ D ．3a b c ++≤ 7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ） A ． 114x y ≤+ B ．111x y +≥ C ．2xy ≥ D ．1 1xy ≥ 8. a ,b 是正数，则 2,, 2 a b ab ab a b ++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab ab a b +≤≤+ Ｂ．22a b ab ab a b +≤≤ + Ｃ． 22ab a b ab a b +≤≤+ Ｄ．22 ab a b ab a b +≤≤ + 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2 p q x +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） Ａ．4y x x =+ Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<< 集合、不等式测试卷 班级 姓名 得分 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分) 1. 1、已知集},2|{N n n x x P ∈==，},4|{N n n x x T ∈==，则P T =U A. },4|{N n n x x ∈= B. },2|{N n n x x ∈= C. },|{N n n x x ∈= D. },4|{Z n n x x ∈= 2、01=-x 是012=-x 的 A ．充要条件 B. 必要而非充分条件 C ．充分而非必要条件 D. 既非充分也非必要条件] 3. 若a ＞b ＞0，c ∈R ，则下列不等式中不正确的是（ ） A . a ＞ b B . ab ＞b 2 C.a + c ＞b +c D. ac ＞bc 4. 已知集合{} 12≤-=x x A ，=B {}2>x x ，则=B A I A ．{}32≤ 课后练习 一元一次不等式 一、选择题 1. 下列不等式中，是一元一次不等式的有（ ）个. ①x>－3；②xy≥1；③32 不等式计算专项练习 一、解答题 1．解不等式组，并且把解集在数轴上表示出来. 2．求不等式组的整数解. 3．计算下列不等式（组）： （1）x-＜2-. （2）-2≤≤7 （3）； （4） 4．已知：y1=x+3，y2=－x+2，求满足下列条件时x的取值范围：（1）y1＜y2 （2）2y1－y2≤4 5．解不等式组： 6．求下列不等式组的解集 7．（1）计算：（-2）-2×|-3|-（）0 （2）解不等式组： 8．解不等式组，并指出它的所有整数解． 9．解不等式组：，并写出该不等式组的整数解． 11．解不等式组并写出的所有整数解. 12．(1)解方程：. (2)求不等式组：. 13．求不等式组的整数解． 14．（1）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组： 15．求不等式组的非负整数解． 16．解不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来 （1）； （2） 17．（1）解不等式组 （2）在（1）的条件下化简：|x+1|+|x-4| 18．已知关于x，y的方程组的解为正数． （1）求a的取值范围； （2）化简|-4a+5|-|a+4|． 19．（1）解不等式2-＞+1，并把它的解集在数轴上表示出来； （2）求不等式组的整数解． 20．解不等式组：． 21．解不等式组 22．解不等式组，并把它们解集表示在数轴上，写出满足该不等式组的 所有整数解． 23．解不等式组：；在数轴上表示出不等式组的解集，并写出它的整数 解． 24．解不等式组：． 25．解不等式组 26．解不等式组 ) 27．当x 是不等式组 的正整数解时，求多项式（1﹣3x ）（1+3x ）+（1+3x ） 2 +（﹣x 2）3÷x 4的值． 28．解方程与不等式组： 解方程：；解不等式组： 29．解不等式组． 30．解不等式组，并写出不等式组的整数解. 31．（1）解不等式组: (2)解方程： 32．解不等式组： . 33．解不等式组，并在数轴上表示它的解集． 34．（1）解方程： ; （2）解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来． 不等式基本性质练习 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） １．若a >0, b >0,则)11)( (b a b a ++ 的最小值是 （ ） A ．2 B ．22 C ．24 D ．4 2．分析法证明不等式中所说的“执果索因”是指寻求使不等式成立的 （ ） A ．必要条件 B ．充分条件 C ．充要条件 D ．必要或充分条件 3．设a 、b 为正数，且a + b ≤4，则下列各式中正确的一个是 （ ） A ． 111<+ b a B ．111≥+b a C ． 211<+ b a D ． 211≥+b a 4．已知a 、b 均大于1，且log a C ·log b C=4，则下列各式中，一定正确的是 （ ） A ．a c ≥b B ．a b ≥c C ．bc ≥a D ．a b ≤c 5．设a =2，b=37- ，26- = c ，则a 、b 、c 间的大小关系是 （ ） A ．a >b>c B ．b>a >c C ．b>c>a D ．a >c>b 6．已知a 、b 、m 为正实数，则不等式 b a m b m a >++ （ ） A ．当a < b 时成立 B ．当a > b 时成立 C ．是否成立与m 无关 D ．一定成立 7．设x 为实数，P=e x +e -x ，Q=(sin x +cos x )2，则P 、Q 之间的大小关系是 （ ） A ．P ≥Q B ．P ≤Q C ．P>Q D ． P 不等式专题练习题 一、知识内容 不等式是高中数学的重要内容之一，不等式的性质是解证不等式的基础；两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理（教材中称为基本不等式，通常称均值不等式）及其变形在不等式的证明和解决有关不等式的实际问题中发挥着重要的作用；线性规划是运筹学的一个重要分支，在实际生活中有着广泛的应用． 二、核心思想方法 解不等式是研究方程和函数的重要工具，不等式的概念、性质涉及到求函数最大（小）值，实数大小比较，求参数的取值范围等；不等式的综合题主要是不等式与集合、函数、数列、三角函数、解析几何、导数等知识的综合，综合性强，难度较大，是高考命题的热点，也是高考复习的难点；均值不等式的证明最终是利用了配方法，使用该不等式的核心方法则是整体思想方法，就是对哪两个正数使用定理，例如下面练习题的第5题是对2,a b使用不等式，而不是对,a b使用不等式；线性规划的核心方法是数形结合和转化的思想方法，在具体转化上涉及到面积、截距（目标函数为二元一次多项式）、距离（目标函数含二元二次多项式）、斜率（目标函数为分式）等几何意义，分别如下面练习题的第9、22、23、24题． 三、高考命题趋势 本专题的高考命题热点可从以下两个方面去把握： 1．以客观题形式命题：不等式的性质和解不等式问题多以一个选择题的形式出现，且多与集合、简易逻辑、函数知识相结合，难度较低；均值不等式是历年高考的重点考查内容，考查方式多变，在客观题中出现，一般只有一个选择或填空，考查直接，难度较低；线性规划问题是近几年高考的一个新热点，在考题中主要以选择、填空形式出现，且设问也是灵活多变，每年高考必有一题．四个注意问题：（1）命题者有时把线性规划问题和均值不等式结合在一起，提高了难度，例如下面练习题的第8、28题．（2）线性规划的约束条件中含有参数的，例如下面练习题的第7、9题．（3）均值不等式的凑定值技巧，一是关注消元，而是关注整体代入思想方法，分别如下面练习题的第17、18题．（4）克服思维定势，有些题目很象是利用基本不等式的，其实只是解出未知数代入化简的， 不等式的基本知识 （一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>；d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘) (5)倒数法则：b a a b b a 1 10,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()0002 2 ≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42 -=?，则不等式的解的各种情况 如下表： 2、简单的一元高次不等式的解法： 标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿偶不穿；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。()()()如：x x x +--<11202 3 3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 ()()0() () 0()()0;0()0 () ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥?? ≠? 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < ()f x 专题二不等式（组） 知识点汇总： 1.不等式：用“＞”、“＜”、“≥”或“≤”将两个式子连接以表示大小关系的式子。 2.不等式的解：把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。 3.不等式的解集：使不等式成立的x的取值范围叫做不等式解的集合，简称解集。 4.不等式的基本性质： （1）不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。 （2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 （3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 5.解不等式：求不等式解集的过程。其目的实质就是把不等式化为“x＞a或x ≥a”、“x＜a或x≤a”的形式。 6.用数轴表示不等式：（大于向右画，小于向左画，无等号画圆圈，有等号画实心点） 7.一元一次不等式：不等式左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式。 思考：解一元一次不等式与解一元一次方程有什么异同？ 8.一元一次不等式组：把两个或多个一元一次不等式组合起来是一个一元一次不等式组。 9.不等式组的解集：不等式组中每一个解集的公共部分叫做不等式组的解集。记：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无处找。 思考：解一元一次方程组与解一元一次不等式组有什么异同？ 随堂练习： 1.已知a＜0，则关于x的不等式ax＜5的解为________,5x＜a的解为________。 2.已知a，b为常数，若ax+b＞0的解集为x＜3，则bx+a＜0的解集为________。 3.若不等式组有解，则k的取值范围是（） （A）k＜2 （B）k≥2 （C）k＜1 （D）1≤k＜2 4.若（x+1）（x-1）＜0，则x的解集为__________。 5.九年级一个班有几个同学毕业前合影留念，每人交0.7元，一张彩色底片0.68元，扩印一张相片0.50元，每人分一张，在收上来的钱尽量用掉的前提下，这张相片上的同学最少有________个。 6. 7.某城市平均每天产生垃圾700吨，由甲乙两个垃圾处理厂同时处理。已知甲厂每小时可处理垃圾55吨，每吨需要费用10元；乙厂每小时可处理垃圾45吨，每吨需要费用11元。如果规定该城市每天用于处理垃圾的费用不超过7370元，甲厂每天处理垃圾至少多少小时？最新不等式提高题专项练习
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