解三角形中的最值问题资料
解三角形中的最值问题
1、在ABC ?中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，求cos C 的最小值。 【解析】由余弦定理知2
14242)(212cos 2222222
22=≥+=+-+=-+=ab ab ab b a ab b a b a ab c b a C ， 2、在ABC ?中，60,3B AC ==o ，求2AB BC +的最大值。
3、在ABC ?中，已知角,,A B C 的对边分别为a ,b ,c ，且,sin 32sin a b A A B ≥+=。
（1）求角C 的大小；（2）求a b c
+的最大值。 解析：（1）由sin 32sin A A B +=得2sin 2sin 3A B π?
?+= ???，则sin sin 3A B π??+= ???
，因为,a b ≥则A B ≥，所以3A B π
π+=-，故2,33
A B C ππ+==。 （2）由正弦定理及（1）得sin sin =sin sin 3cos 2sin sin 363a b A B A A A A A c C ππ++?????=+++=+ ? ???????
所以当3A π
=时，a b c
+取得最大值2. 4、△ABC 在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+.
(1)求B ;(2)若2b =,求△ABC 面积的最大值.
【答案】
5、在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++
（1）求A 的大小；（2）求sin sin B C +的最大值.
解：
6、在ABC ?中，角A B C 、、的对边分别为,,a b c ，且满足2)a c BA BC cCB CA -?=?u u u r u u u r u u u r u u u r 。
（1）求角B 的大小；（2）若||6BA BC -=u u u r u u u r ，求ABC ?面积的最大值。
答案：（1）2)cos cos a c B b C -=，由正弦定理得(2sin )cos sin cos ,A C B B C -=
专题24解三角形中的最值、范围问题(解析版)
专题24 解三角形中的最值、范围问题 解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意2 2 ,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式. 1、正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===，其中为ABC V 外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 学/科-+网 例如：（1）2 2 2 2 2 2 sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=?+-= （2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=?+=（恒等式） （3） 22sin sin sin bc B C a A = 2、余弦定理：2 2 2 2cos a b c bc A =+- 变式：()()2 2 21cos a b c bc A =+-+ 此公式在已知的情况下，配合均值不等式可得到和的最值 4、三角形中的不等关系 （1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少 （2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系： sin sin cos cos a b A B A B A B >?>?>?<
人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案
人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.锐角中，已知，，则的取值范围是 A. ， B. ， C. ， D. ， 2.在中，角，，的对边分别为，，，且满足，则 的形状为 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 3.在中，，，，则的值等于 A. B. C. D. 4.在中，有正弦定理：定值，这个定值就是的外接圆 的直径如图2所示，中，已知，点M在直线EF上从左到右运动点M不与E、F重合，对于M的每一个位置，记的外接圆面积与的外接圆面积的比值为，那么 A. 先变小再变大 B. 仅当M为线段EF的中点时，取得最大值 C. 先变大再变小 D. 是一个定值 5.已知三角形ABC中，，边上的中线长为3，当三角形ABC的面积最大 时，AB的长为 A. B. C. D. 6.在中，，，分别为内角，，所对的边，，且满足若 点O是外一点，，，平面四边形OACB 面积的最大值是 A. B. C. 3 D. 7.在中，，， ，则使有两解的x的范围是 A. ， B. ， C. ， D. ， 8.的外接圆的圆心为O，半径为1，若，且，则 的面积为 A. B. C. D. 1 9.在中，若，则是
A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 10.在中，已知，，分别为， ， 的对边，则为 A. B. 1 C. 或1 D. 11.设锐角的三内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且，，则b 的取值范围为 A. ， B. ， C. ， D. ， 12.在中，内角，，所对边的长分别为，，，且满足 ，若，则的最大值为 A. B. 3 C. D. 9 二、填空题（本大题共7小题，共35.0分） 13.设的内角，，所对的边分别为，，且，则角A的大 小为______ ；若，则的周长l的取值范围为______ ． 14.在中，， ， 所对边的长分别为，，已知 ，，则______ ． 15.已知中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则 的形状是______ ． 16.在中，若，则的形状为______ ． 17.在中，角，，的对边分别为，，，若， 且，则______ ．18.如果满足，，的三角形恰有一个，那么k的取值范围 是______ ． 19.已知的三个内角，，的对边依次为，，，外接圆半径为1，且满足 ，则面积的最大值为______ ． 三、解答题（本大题共11小题，共132.0分） 20.在锐角中，，，是角，，的对边，且． 求角C的大小； 若，且的面积为，求c的值． 21.在中，角，，的对边分别为，，已知． 求角A的大小； 若，，求的面积．
解三角形中相关的取值范围问题
解决与三角形相关的取值范围问题 例1：在锐角ABC 中，2A B =，则c b 的取值范围是 例2：若ABC 的三边,,a b c 成等比数列，,,a b c 所对的角依次为,,A B C ，则sin cos B B +的取值范围是 例3：在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列。（1）求B 的大小。 （2）若5b =，求ABC 周长的取值范围。 例4：在ABC 中，2222 3a b c ab +=+，若ABC ，则ABC 的面积的最大值为
例5：（2008，江苏）满足 2,AB AC =的ABC 的面积的最大值是 例6：已知角,,A B C 是ABC 三个内角，,,a b c 是各角的对边，向量 (1cos(),cos )2A B m A B -=-+， 5(,cos )82A B n -=，且98 m n ?= （1）求tan tan A B ?的值。 （2）求 222 sin ab C a b c +-的最大值。 通过以上例题，我们发现与三角形相关的取值范围问题常常结合正弦定理、余弦定理、面积公式、数列、三角函数、基本不等式、二次函数、向量等知识综合考查。这一类问题有利于考查学生对知识的综合运用能力，是高考命题的热点。理顺这些基本知识以及技巧和方法可以提高我们解题的能力。希望本文能对同学们复习备考有所帮助。 巩固练习 1．在ABC 中，2,1a c ==，则C ∠的取值范围为 2．若钝角三角形的三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的取值范围是
高考大题---解三角形中有关最值问题的题型汇总
解三角形中有关最值问题的题型汇总 1.（2010年浙江高考）在ABC ?中，c b a ,,C B A 所对的边分别为，，角，设S 为ABC ?的面积，满足)(4 3222c b a S -+=。 （1）求角C 的大小； （2）求B A sin sin +的最大值。 2（2011年湖南高考）在ABC ?中，c b a ,,C B A 所对的边分别为，，角，且满足C a A c sin sin = （1） 求角C 的大小； （2） 求)4cos(sin 3π +-B A 的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小。 3.（2011年全国新课标2）在ABC ?中，?=60B ，AC=3，求AB+2BC 的最大值。 4.（2012太原模拟）ABC ?中，c b a ,,C B A 所对的边分别为，，角，设向量),(a b a c m --=→，),(c b a n +=→，若→m 平行于→n 。 （1）求角B 的大小； （2）求C A sin sin +的最大值。 5（2012年浙江宁波模拟）已知函数θθπ2cos )4( sin 32)(2-+=x f ，A 为ABC ?中的最小内角，且满足32)(=A f 。 （1）求角A 的大小； （2）若BC 边上的中线长为3，求ABC S ?的最大值。 6. （2013年全国新课标2）在ABC ?中，c b a ,,C B A 所对的边分别为 ，，角，已知B c C b a sin cos += （1）求B ； （2）若b=2, 求ABC S ?的最大值。
7（2014年陕西高考）在ABC ?中，c b a ,,C B A 所对的边分别为，，角。 （1）若c b a ,,成等差数列，证明sinA+sinC=2sin(A+C); （2）若c b a ,,成等比数列，求cosB 的最小值。 8.(2015年山东高考)设)4(cos cos sin )(2π+ -=x x x x f （1）求)(x f 的单调区间； （2）在锐角ABC ?中，c b a ,,C B A 所对的边分别为，，角，若)2(A f =0，a=1，求ABC S ?的最大值。 9.（2016年北京高考）在ABC ?中，ac b c a 2222+=+ （1）求角B 的大小； （2）C A cos cos 2+求的最大值。 10（2016高考山东理数）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A B A B B A +=+ （Ⅰ）证明：a+b=2c; （Ⅱ）求cosC 的最小值． 11．（2016河南中原名校一联，理10）在ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ， c ，已知向量()cos ,cos m A B = ，(),2n a c b =- ，且//m n ． （1）求角A 的大小； （2）若4=a ，求ABC S ?的最大值。 12.（2016绥化模拟）在ABC ?中，232cos 2 --x x C 是方程的一个根。 （1）求角C ； （2）当a+b=10时，求ABC ?周长的最小值。
专题24解三角形中的最值、范围问题(解析版)
专题24 解三角形中的最值、范围问题解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角” “角转边”，另外要注意a c,ac,a2 c 2三者的关系 . 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式” ，其中的核心是“变角” ，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式 . a b c 1、正弦定理：2R，其中R为ABC 外接圆的半径 sin A sinB sinC 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化 . 其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征 . 如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行学/科-+ 网 2 2 2 2 2 2 例如：（1） sin A sin B sin AsinB sin C a b ab c （2）bcosC ccosB a sin B cosC sinC cosB sin A （恒等式） bc sin B sinC （3） a 2 sin 2 A a sin A 2、余弦定理：a2 b2 c2 2bc cos A 22 变式：a2b c 2bc 1 cosA 此公式在已知a, A的情况下，配合均值不等式可得到 b c和bc 的 最值 4、三角形中的不等关系 （1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可 . 由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少 （2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系： a b A B sinA sinB cosA cosB 其中由A B cosA cosB 利用的是余弦函数单调性，而A B sinA sinB 仅在一个三角形内有效. 5 、解三角形中处理不等关系的几种方法（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值） （2）利用均值不等式求得最值
三角形中的最值问题
第42课 三角形中的最值问题 考点提要 1．掌握三角形的概念与基本性质． 2．能运用正弦定理、余弦定理建立目标函数，解决三角形中的最值问题． 基础自测 1．（1）△ABC 中，cos A A =，则A 的值为 30° 或90° ； （2）△ABC 中，当A= 3π 时，cos 2cos 2B C A ++取得最大值 3 2 ． 2．在△ABC 中，m m m C B A 2:)1(:sin :sin :sin +=，则m 的取值范围是 2 1 >m ． 解 由m m m c b a C B A 2:)1(:::sin :sin :sin +==， 令mk c k m b mk a 2,)1(,=+==，由b c a c b a >+>+,，得2 1>m ． 3．锐角三角形ABC 中，若A=2B ，则B 的取值范围是 30o＜B ＜45o ． 4．设R ，r 分别为直角三角形的外接圆半径和内切圆半径，则 r R 1． 5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的边长分别是,,a b c ，若23b ac =，则B 的取值范围是 0°＜B ≤120° ． 6．在△ABC 中，若A>B ，则下列不等式中，正确的为 ①②④ ． ①A sin >B sin ； ②A cos B 2sin ； ④A 2cos B ?a >b A R sin 2?>B R sin 2?A sin >B sin ，故①正确； A cos < B cos ?)2sin(A -π<)2 sin(B -π ?A>B ，故②正确（或由余弦函数 在(0,)π上的单调性知②正确）； 由A 2cos B sin ?A>B ，故④正确． 知识梳理 1．直角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的边长分别是,,a b c ，C=90°，若内切圆的半径为r ，则2 a b c r +-= ． 2．在三角形中，勾股定理、正弦定理、余弦定理是基础，起到工具性的作用．它们在处理三角形中的三角函数的求值、化简、证明、判定三角形的形状及解三角形等问题中
解三角形中的取值范围问题
解三角形中的取值范围问题 1、已知a ,b ,c 分别为ABC ?的三个内角,,A B C 的对边，且2cos 2b C a c =-。 （1）求角B 的大小； （2）若ABC ?，求b 的长度的取值范围。 解析：（1）由正弦定理得2sin cos 2sin sin B C A C =-，在ABC ?中， sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，所以sin (2cos 1)0C B -=。 又因为0,sin 0C C π<<>，所以1cos 2B =，而0B π<<，所以3 B π = （2）因为1 sin 2 ABC S ac B ?= = 所以4ac = 由余弦定理得2 2 2 2 2 2scos b a c ac B a c ac ac =+-=+-≥，即2 4b ≥，所以2b ≥ 2、在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知cos (cos )cos 0C A A B +=. (1) 求角B 的大小;（2）若a +c =1,求b 的取值范围 【答案】解:(1)由已知得cos()cos cos cos 0A B A B A B -++= 即有sin sin cos 0A B A B = 因为sin 0A ≠,所以sin 0B B =,又cos 0B ≠,所以tan B =又0B π<<,所以3 B π =. (2)由余弦定理,有2 2 2 2cos b a c ac B =+-. 因为11,cos 2a c B +==,有2 2113()24 b a =-+. 又01a <<,于是有 2114b ≤<,即有1 12 b ≤<. 3、已知(2cos ,1),(cos ,)m x x n x y =+=- ，满足0m n ?= ． （I ）将y 表示为x 的函数()f x ，并求()f x 的最小正周期； （II ）已知,,a b c 分别为ABC ?的三个内角,,A B C 对应的边长，若3)2 A ( =f ，且2a =，求b c +的取值范围．
福建省泉州第五中学高三数学：微专题《隐含圆的解三角形最值问题》教学设计
微专题《隐含圆的解三角形最值问题》教学设计 泉州五中数学组教学内容：《隐含圆的解三角形最值问题》 课型：复习课 设计理念：以学生发展为本，体现学生主体地位；以学科素养为根，培养数学运算能力。 一、教学内容分析 本节课是在系统复习《解三角形》之后进行的微专题教学，主要针对解三角形中的最值问题，是对《解三角形》的进一步深化、提升。爱因斯坦曾说:提出一个问题往往比解决一个问题更为重要。本节课将以两类隐藏圆的三角形为背景设置最值问题，从试题编拟的视角进行演绎并呈现于课堂，从中总结、归纳解三角形中求最值的常见思路、方法．通过本节课的学习可以从命题的角度居高临下地认识解三角形最值问题，从而让学生学会在制高点处思考、解题．同时，本节课也将渗透逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算等数学素养．因此，学好本节课将有利于学生形成规律性的知识网络和提高数学思维能力． 二、学习者特征分析 学生已经系统复习并掌握了三角函数的性质、三角恒等变换及解三角形等知识，为微专题《解三角形的最值问题》的复习奠定了基础。同时，学生的思维普遍活跃，对进一步探索解三角形中的最值问题有了比较浓厚的兴趣，有了较强的求知欲望．但学生的学习仅仅停留于解题，往往只能就题论题，且从未曾以命题者的角度研究过试题，未能迅速洞察问题的本质。 三、教学目标设计 本着教学内容的特点和高三学生的认知能力与数学思维特征，设定的教学目标为：能较熟练地应用正余弦定理解三角形；能较熟练应用三角函数的性质、基本不等式、导数等求解最值问题。在经历解题视角的变换中，突破成规，感受数学的系统特征、辩证特征、开放特征；在经历编制试题的过程中，培养勇于创新，多方位审视问题的创造技巧，从而树立科学的治学态度。并通过例题与变式题的解题训练，使数学解题意志、习惯和个性素养得以发展。 四、教学重难点设计 基于教材内容的地位、课程标准的要求、根据学生的认知水平和学习经验，确定本节课的学习重难点：
高中数学专题：解三角形中的最值问题
解三角形中的最值问题 解三角形中的最值问题有两种解题思路： 1. 转化为三角函数求最值问题，有两个转化方法： （1）利用正弦定理将边转化为角的正弦值，A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=. （2）利用三角形内角和和诱导公式进行角的转化，C B A sin )sin(=+，C B A cos )cos(-=+，C B A tan )tan(-=+. 最终转化为一个角的三角函数形式，求其最值. 2. 转化为利用均值不等式（ab b a 222≥+）求最值问题，主要与余弦定理或其推论相结合，求三角形面积的最大值，或某一个内角余弦值的最小值. 一．转化为三角函数求最值问题. 例1.（2016年北京卷理科15题） 在ABC ?中，ac b c a 2222+=+. （1）求B 的大小； （2）求C A cos cos 2+的最大值. 解：（1）ac b c a 2222=-+，则由余弦定理得： 22222cos 222==-+=ac ac ac b c a B ，4 π=B ， （2） )4cos(cos 2)cos(cos 2cos cos 2π +-=+-=+A A B A A C A
A A A A A sin 2 2cos 22sin 22cos 22cos 2+=+-= 1)4 sin(≤+=πA 当24π π =+A 时，C A cos cos 2+取最大值，为1. 例2.（2011年全国卷理科16题） 在ABC ?中， 60=B ，3=AC ，则BC AB 2+的最大值为 . 解：设3==AC b ，AB c =，BC a =， 由正弦定理得：22 3 3sin sin sin ====C c B b A a ， 则A a sin 2=，C c sin 2=， 所以A B A A C a c BC AB sin 4)sin(2sin 4sin 222++=+=+=+ A A A A A A A cos 3sin 5sin 4cos 3sin sin 4)60sin(2+=++=++= 72)sin(72≤+=?A ；（其中5 3tan =?）， 当1)sin(=+?A 时，BC AB 2+取最大值，为72. 例3.（2018年北京卷文科14题） 若ABC ?的面积为)(43222b c a -+，且C 为钝角，则=B ；a c 的取值范围是 . 解：由余弦定理得B ac b c a cos 2222=-+， 所以B ac B ac S cos 243sin 21?==，则3tan =B ，所以3 π=B ， 由正弦定理得：
三角形中的最值与范围问题
在正余弦定理的运用中，有一类题目值得关注。这类题有一个相同的特点，即知道三角形的一条边和边所对的角，求三角形面积（或周长）的最值（或范围），但在解题方法的选择上有值得考究的地方。请先看两个例题： 例1（13年重庆綦江中学）在ABC ?中，角A,B,C 的对边分别为c b a ,,且4,4 1cos == a A . （1）若6=+c b ，且b < c ，求c b ,的值． （2）求ABC ?的面积的最大值。 解 （1）由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=， ∴bc bc c b 2 12)(162--+= ∴8=bc ， 又∵,6=+c b b 与解三角形有关的最值问题 与三角形有关的最值问题主要涉及求三角函数值最值，边长的最值，面积、向量的最值．解决这类的问题方法有：一、 将所给条件转化为三角函数，利用三角函数求解最值； 二、 将所给条件转化为边，利用基本不等式或者函数求解最值；三、 建立坐标系，求出动点的轨迹方程，利用几何意义求解最值；四、 多元问题可消元后再用上述方法求解．如2018年T14就是与解三角形有关的最值问题． 例1在△ABC 中，已知A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＋2c 2 ＝8，则△ABC 面积的最大值为________． 例2在△ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan C ＝sin A ＋sin B cos A ＋cos B . (1) 求角C 的大小； (2) 若△ABC 的外接圆直径为1，求a 2＋b 2＋c 2的取值范围． 思维变式题组训练 1. 在△ABC 中，已知2cos 2A 2＝33sin A ，若a ＝23，则△ABC 周长的取值范围为________． 2. 在△ABC 中，若sin C ＝2cos A cos B ，则cos 2A ＋cos 2 B 的最大值为________． 3. 在锐角三角形 ABC 中，已知2sin 2 A ＋ sin 2B ＝ 2sin 2C ，则1tan A ＋1tan B ＋1tan C 的最小值为________． 4. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ，b )，n ＝(cos A ，cos B )， p ＝? ?? ??22sin B ＋C 2，2sin A ，若m ∥n ，|p |＝3. (1) 求角A ，B ，C 的值； (2) 若x ∈? ?????0，π2，求函数f (x )＝sin A sin x ＋cos B cos x 的最大值与最小值． 与解三角形有关的最值问题 与三角形有关的最值问题主要涉及求三角函数值最值，边长的最值，面积、向量的最值．解决这类的问题方法有：一、 将所给条件转化为三角函数，利用三角函数求解最值； 二、 将所给条件转化为边，利用基本不等式或者函数求解最值；三、 建立坐标系，求出动点的轨迹方程，利用几何意义求解最值；四、 多元问题可消元后再用上述方法求解．如2018年T14就是与解三角形有关的最值问题． 例1在△ABC 中，已知A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＋2c 2 ＝8，则△ABC 面积的最大值为________． 例2在△ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan C ＝sin A ＋sin B cos A ＋cos B . (1) 求角C 的大小； (2) 若△ABC 的外接圆直径为1，求a 2＋b 2＋c 2的取值范围． 解三角形中的范围（最值）问题的求解策略 与解三角形相关的最值（范围）问题在高中数学中经常遇见.由于它涉及的知识面广,灵活性大,综合性强,因而利于培养学生的思维能力和创新意识.本文举例说明此类问题几种常见的解题策略,供大家参考. 一．转化为三角函数的有界性求解 例1：（2018?汉中二模）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若 ，A=3 π，则b +c 的最大值为（ ） A ．4 B ． C ． D ．2 【分析】利用正弦定理表示出b 与c ，问题转化为角的正弦函数，利用三角函数恒等变换化简为一角一函数的形式，再利用三角函数的单调性与值域即可得出． 解：由正弦定理可得：2sin sin sin 3 b c B C π ===, ∴b +c=2sinB +2sinC=2sinB +2sin 2()3 B π- =2sinB + 21sin )2 B B +=3sinB sin ()3B π +≤，当且仅当B=3 π时取等号． ∴b +c 的最大值为 C ． 【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、三角函数的单调性与值域，解决这类问题的思路是利用正弦定理把边转化为角，再利用三角函数的性质求出范围或最值。 同步训练题：（2018?三明二模）在△ABC 中，∠BAC 的平分线交BC 边于D ，若AB=2，AC=1，则△ABD 面积的最大值为（ ） A ．12 B ．23 C ．34 D ．1 解析：根据∠BAC 的平分线交BC 边于D ，可得△A BD 和△ACD 以D 为顶点的高相等．可得△ABD 面积与△ACD 面积之比为AB ：AC=2：1，则△ABD 面积为 23S △ABC ．由题意，△ABD 面积为23S △ABC ，∵S △ABC =12bcsinA ，即12 ×2×1×sinA ， 解三角形中面积（周长）最值的求法 一、考法解法 命题特点分析 在正余弦定理的运用中，有一类题目值得关注。这类题有一个相同的特点，即知道三角形的一条边和边所对的角，求三角形面积（或周长）的最值（或范围），但在解题方法的选择上有值得考究的地方。解题方法荟萃 求三角形面积（或周长）的最值（或范围），一般可有两种思路去解决： （1）用余弦定理+基本不等式 （2）用正弦定理+三角函数的取值范围 二、典型题剖析 例1 在ABC ?中，角A,B,C 的对边分别为c b a ,,且4,4 1cos ==a A . （1）若6=+c b ，且b 即c b =时三角形最大面积为 3154 例 2在ABC ?中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，2=a ，向量)sin sin ,1(),1),(sin(C B b B A a -=-=→→，且→a ⊥→ b 。 （1）求角A ； （2）求ABC ?面积的取值范围。 【解析】 解：（1）→ →⊥∴b a ， 01)sin (sin 1)sin(=?-+?-∴C B B A ， 0sin cos cos sin sin sin cos cos sin =--+-B A B A B B A B A ， 即B A B sin cos 2sin =,因0sin ≠B ， 故2 1cos =A ,又?< 解三角形中的最值问题 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2020·四川省高二期中）已知在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c 且BC 边上的高为2a ,则c b b c +的最大值为( ) A ．2 B C ． D ．4 2．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是（ ） A ．()8,10 B ．( C ．() D ． ) 3．（2020·绥德中学高二）在ABC ?中，若3 B π = ，AC =2AB BC +的最大值为（ ） A ．7 B ． C ． D ．5 4．（2020·江西省高二期末）在锐角．．ABC ?中，C ∠为最大角，且()sin :sin :sin 2:1:2A B C k k =+，则实数k 的最小值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ． 5 3 5．在锐角ABC ?中，若2C B =，则c b 的范围（ ） A ． B ． )2 C ．()0,2 D ． ) 2 6．（2020·涡阳县第九中学高二已知锐角ΔABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2 ()b a a c =+， 则2sin sin() A B A -的取值范围是（ ） A ．（ B ．1 2（ C ．12（ D ．（ 7．（2020·四川省棠湖中学）在△ABC 中，角A,B,C 所对的边长分别为,,a b c ，且满足sin cos c A C =，则sin sin A B + 的最大值是（） A ．1 B C D ．3 8．（2020·河南省高二）在锐角ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若(1cos )cos a B b A +=，则c a 的取值范围是（ ）专题 与解三角形有关的最值问题
解三角形中的范围(最值)问题的求解策略
高考数学专题：解三角形中面积(周长)最值的求法
解三角形中最值问题(含解析)