§2数列的极限
数列极限的概念(经典课件)
第二章 数列极限 引言: 在第一章中我们已经指出，数学分析课程研究的对象是定义在实数集上的函数，那么数学分析用什么方法研究实数集上的函数呢？从本质上来说，这个方法就是极限。极限思想和方法贯穿于数学分析课程的始终，几乎所有的概念都离不开极限，是我们数学分析课程的基础。 §１ 数列极限的概念 教学内容：数列极限的概念，应用定义证明简单数列的极限，无穷小数列。 教学要求：使学生逐步建立起数列极限的N ε-定义的清晰概念。深刻理解数列发散、单调、有界和无穷小 数列等有关概念。会应用数列极限的N ε-定义证明数列的有关命题，并能运用N ε-语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈述。 教学重点：数列极限的概念。 教学难点：数列极限的N ε-定义及其应用。 教学方法：讲授为主。 教学学时：2学时。 一、数列概念： １．数列的定义： 简单的说，数列就是“一列数”，是有一定的规律，有一定次序性的“一列数”。 若函数f 的定义域为全体正整数集合N +，则称:f N R +→或+∈N n n f ),(为数列。 若记()n f n a =，则数列n n n f ,2,1),(=就可写作为：12,,,, n a a a ，简记为{}n a ，其中n a 称为 该数列的通项。 ２．数列的例子： （1）(1)111:1,,,, 234n n ??---???? ； （2）11111:2,1,1,1,435 n ? ?+ +++???? （3）{}2 :1,4,9,16,25, n ； （4）{}1 1(1) :2,0,2,0,2, n ++- 二、数列极限的概念： １．引言： 对于这个问题，先看一个例子：古代哲学家庄周所著的《庄子. 天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。把每天截下的部分的长度列出如下（单位为尺）： 第１天截下 12，第２天截下2111222?=，第３天截下23111222?=，…，第n 天截下1111 222 n n -?=，… 得到一个数列：? ?? ?? ?n 21： 231111 ,,,,,2222n 不难看出，数列12n ?? ? ??? 的通项12n 随着n 的无限增大而无限地接近于零。 一般地说，对于数列{}n a ，若当n 无限增大时，n a 能无限地接近某一个常数a ，则称此数列为收敛数列，常数a 称为它的极限。不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数列。
2.1数列极限答案(1)
高等数学II 练习题 第二章 极限与连续 ________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______ 习题2.1 数列极限 一．选择题 1．下列数列}{n x 中收敛的是 （ B ） （A ）n n x n n 1)1(+-= （B ）1n 1(1)n x n +=- （C ）(1)2n n x -= （D ）1(1)10 n n n x =-+ 2．下列数列}{n x 中收敛的是 （ C ） （A ）11n n n x n =-+() (B) 11,11,n n n x n n ?+??=??-??为奇数为偶数 （C ）1,1,1n n n x n n ???=???+?为奇数为偶数 (D) 12,212,2n n n n n n x n ?+??=?-???为奇数为偶数 3．数列11111 1 0,,,,,,,234567---的极限为 （ A ） （A ）0 （B ）不存在 （C ）1 （D ）难以确定 4．若数列{}n x 有极限a ，则在a 的(0)εε>邻域之外，数列中的点 （ D ） （A ）有无穷多个 （B ）可以有有限个，也可以有无穷多个 （C ）必不存在 （D ）至多有有限个 二．填空题 1．数列1111 0,,0,,0,,0,,2 468 L 的通项n a =______________及lim n n a →∞= 。 2．若数列2,1-1,2n n n n a n n n ???-=????为奇数为偶数，则该数列的极限是 。 3．若lim 2n n a →∞=，则21lim 2n n a +→∞= ；若lim n n a A →∞=，则lim ||n n a →∞= 。 4．2 2324lim 261n n n n n →∞+-=-+ 。 三．将给定数列与其相应的特性用线连接起来． (1) 111111:1,1,1,1,1,1,1,223344 n x -+-+-+L （a ）有界 1(1)2n n +-0不存在1||A 32
2.2数列的极限
课 题：2.2 数列的极限 教学目的： 1. 理解数列极限的概念； 教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限 教学难点：数列极限的理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 这节课一开始就把学生引入数列是否“趋向于”一个常数的讨论中，虽然学生对“趋向于”并没有精确的认识，但是凭借他们的自身的感受，运用“观察”“分析”“归纳”“概括”也能得到一些数列的“极限”的肤浅认识，这是感性认识 数列的极限是一个十分重要的概念，它的通俗定义是：随着项数n 的无限增大，数列的项a n 无限地趋近于某个常数a (即|a n －a |无限地接近于0)，它有两个方面的意义. 教学过程： 一、复习引入： 1.战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的 过程可以无限制地进行下去（1）可以求出第n 天剩余的木棒长度n a ＝ 1 2n (尺)；（2）前n 天截下的木棒的总长度n b ＝1- 1 2 n (尺) 分析变化趋势. 2. 观察下列数列，随n 变化时，n a 是否趋向于某一个常数： (1)n n a n 12+= ; (2)n n a )3 1(3-=; (3)a n =4·(－1)n －1 ; (4)a n =2n ; (5)a n =3; (6)a n =n n 2)1(1--; (7)a n =(2 1)n ; (8)a n =6+n 101 二、讲解新课： 1.数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是
数学分析(1)第二章 数列极限复习自测题
数学分析（1）第二章 数列极限复习自测题 一、仔细体会并熟练掌握lim n n a A →∞ =的N ε-定义（注意体会并正确理解ε和N 在定义中 的作用和含义，掌握用定义验证数列极限的基本思想【对任意给定的正数ε，寻找在n →∞的过程中，使得n a a ε-<实现的标准N 】和实现基本思想的具体实施方法【对任意给定的正数ε，求解关于n 的不等式“n a a ε-<”，得出“n >某常数”的这种形式的解】），并用此定义证明下列极限： （1）21(1)lim 0n n n n →∞+-=，0n →∞=； （2）2233lim 212 n n n n →∞+=-； （3）1n =； （4）1n =； （5）若0n a ≥，lim n n a a →∞ =，则对于任意给定的正整数k ，lim n = 称为极限 的开方法则）。 二、正确理解并掌握lim n n a A →∞ =和lim n n a A →∞ ≠的几何意义，并用此几何意义解决下面的问题： （1）若221lim lim n n n n a a A +→∞ →∞ ==，则lim n n a A →∞ =； （2）若lim n n a A →∞ =，则lim n k n a A +→∞ =，k 为固定的正整数； （3）数列{}n a 收敛（也称lim n n a →∞ 存在）是指：存在数A ，使得lim n n a A →∞ =；数列{} n a 发散（也称lim n n a →∞ 不存在）是指：对任意的数A ，lim n n a A →∞ ≠。 证明：对任意的数A ，lim(1)n n A →∞ -≠，即{} (1)n -发散。 （4）试写出lim n n a A →∞ =的对偶命题（称为lim n n a A →∞ =的否定形式），即lim n n a A →∞ ≠的精 确的不等式表示。 三、仔细体会并熟练掌握数列极限的常用性质【极限的惟一性，有界性，保号性，保不等式性，运算性（包括四则运算性，迫敛性或夹逼性），子列性】以及常用性质的证明方法（注意体会定义在讨论数列极限问题中的作用），并用这些性质解决下面的问题： 1、用四则运算性计算下列极限（注意体会四则运算法则使用的前提条件）：
数列的极限
数列的极限 【知识概要】 1. 数列极限的定义 1）数列的极限，在n 无限增大的变化过程中，如果数列{}n a 中的项n a 无限趋向于某个常数A ，那么称A 为数列{}n a 的极限，记作lim n n a A →∞ =. 换句话说，即：对于数列{}n a ，如 果存在一个常数A ，对于任意给定的0ε>，总存在自然数N ，当n N >时，不等式 n a A ε-<恒成立，把A 叫做数列{}n a 的极限，记为lim n n a A →∞ =. 注：① 理解数列极限的关键在于弄清什么是无限增大，什么是无限趋近； ② 有限项的数列不存在极限问题，只有无穷项数列才存在极限问题； ③ 这里的常数A 是唯一的，每个无穷数列不一定都有极限，例如：{(1)}n -； ④ 研究一个数列的极限，关注的是数列后面无限项的问题，改变该数列前面任何有限多个项，都不能改变这个数列的极限； ⑤ “无限趋近于A ”是指数列{}n a 后面的项与A 的“距离”可以无限小到“零”. 例1 判断下列结论的正误 （1）若lim 0n n a →∞ =，则n a 越来越小； （2）若lim n n a A →∞ =，且{}n a 不是常数数列，则n a 无限接近A ，但总不能达到A ； （3）在数列{}n a 中，如果对一切n N ∈总有1n n a a +>，则{}n a 没有极限； （4）若lim n n a A →∞ =，则lim 0n n a A →∞ -=. 解：（1）不正确，例如：1 n a n =- ，1n n a a +> （2）不正确，例如：2)21 n n a n n n ?? =??+?，（为偶数，（为奇数），lim 2n n a →∞ =. （3）不正确，例如：1 1n a n =-，1n n a a +>，但lim 1n n a →∞=. （4）正确
数列极限部分较难习题
数列极限部分书后较难的作业解答: 一.( （书 293 P）第10题)证明数列 1 n x=+++- L 有极限 证明:(一) 因为 1 n n x x + -== >= 故{}n x单减. (二) 由不等式 =<= 2 >() 1,2, n=L 所以有 2222 n x>++++- L 22022 =->-=-. 故{}n x有下界.因此根据单调有界原理知,{}n x有极限. 二.设常数0 a> , n n x= 个 证明: {}n x收敛,且求lim n n x →∞ . 解:(一)假设{}n x收敛,并记lim. n n x A →∞ =由已知得递推关系式 : n x=令n→∞,利用 1 lim lim n n n n x x A - →∞→∞ ==,得 A=即20, A A a -+=解方程得 A= 又因为0 n x>, 故取 1 2 A=.
即1lim 2 n n x →∞ = (二)下面返证{}n x 收敛. 1. 由12,x x ==L 显然21x x >()0a >Q .归纳地设1n n x x ->, 则 1,n n x x +=>=即{}n x 单增. 2.再证{}n x 有上界.B 那么如何取B 呢? 既然{}n x 单增且有极限12A += , 那么12 A +=就应是{}n x 的一个上界. 下面仍然用归纳法证明A = {}n x 的上界. 事实上显然1x =< ; 设n x < 则 1n x +=< == 12 +< = 故{}n x 单增且有上界,因此{}n x 收敛. 注意:这里{}n x 上界的找法似乎依赖于{}n x 的极限值.为了使上述解法更符合逻辑,一般教科书往往先证(2),再求(1)的方法,不过(2)中的上界的选取实际上是事先计算出的极限.当然若{}n x 为单减的,则事先计算出的极限值就是数列的一个下界了. 注意:同理可将上例推广到一般情形: 设10,x a =>()0,2,3,,n x b n =>=L 则数列{}n x 收敛且 lim n n x →∞ = 其中 (1)当12, x x =即a =12a = 时,12 n x ≡
数学分析-数列极限
第二章 数列极限 §1 数列极限概念 教学目的与要求： 使同学们理解数列极限存在的定义，数列发散的定义，某一实数不是数列极限的定义；掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。 教学重点，难点： 数列极限存在和数列发散定义的理解；切实掌握数列收敛发散的定义，利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。 教学内容： 一、课题引入 1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。 2°实例：战国时代哲学家庄周著《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之棰， 日取其半，万古不竭。”将其“数学化”即得，每天截后剩余部分长度为（单位尺） 21，221，321，……，n 21 ，…… 或简记作数列：? ?????n 21 分析：1°、? ?? ???n 21随n 增大而减小，且无限接近于常数0； 2 二、数列极限定义 1°将上述实例一般化可得：
对数列{}n a ，若存在某常数a ，当n 无限增大时，a n 能无限接近常数a ，则称 该数为收敛数列，a 为它的极限。 例如：? ?? ???n 1， a=0； ??? ? ??-+n n )1(3， a=3; {}2 n ， a 不存在，数列不收敛； {}n )1(-， a 不存在，数列不收敛； 2°将“n 无限增大时”，数学“符号化”为：“存在N ，当n ＞N 时” 将“a n 无限接近a ”例如对? ?? ? ??-+n n )1(()3以3为极限，对ε= 10 1 3)1(3--+ =-n a a n n =10 11π n 只需取N=10，即可 3°“抽象化”得“数列极限”的定义 定义：设{}n a 是一个数列，a 是一个确定的常数，若对任给的正数ε，总存在 某一自然数N ，使得当n ＞N 时，都有 a a n -＜ε 则称数列{}n a 收敛于a ，a 为它的极限。记作 a a n n =∞ →lim ｛(或a n →a,(n →∞)) 说明 （1）若数列{}n a 没有极限，则称该数列为发散数列。 （2）数列极限定义的“符号化”记法：a a n n =∞ →lim ? ε ?＞0，?N ，当n （3）上述定义中ε的双重性：ε＞0是任意．．
数列的极限及运算法则
数列的极限及其运算法则 学习要求： 1．理解数列极限的概念。正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想 2．理解和掌握三个常用极限及其使用条件．能运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力． 3．掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列的极限 4. 掌握无穷等比数列各项的和公式. 学习材料： 一、基本知识 1.数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞ =，读作“当n 趋向 于无穷大时，n a 的极限等于a ” “n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思n a a →∞ =有时也记作：当n →∞时，n a →a ． 理解：数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义.“随着项数n 的无限增大，数列的项n a 无限地趋近于某个常数a ”的意义有两个方面：一方面，数列的项 n a 趋近于a 是在无限过程中进行的，即随着n 的增大n a 越来越接近于a ；另一方面，n a 不是一般地趋近 于a ，而是“无限”地趋近于a ，即n a a -随n 的增大而无限地趋近于0. 2.几个重要极限： （1）01 lim =∞→n n （2）C C n =∞ →lim （C 是常数） （3）lim 0n n a →∞ = (a 为常数1a <)，当1a =时，lim 1n n a →∞ =；当1a =-或1a >时，lim n n a →∞ 不存在。 3. 数列极限的运算法则: 与函数极限的运算法则类似, 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞ →∞ →那么 B A b a n n n +=+∞ →)(lim B A b a n n n -=-∞ →)(lim B A b a n n n .).(lim =∞ → )0(lim ≠=∞→B B A b a n n n 特别：若C 为常数，则lim()lim n n n n C a c a CA →∞ →∞ ==g g 推广：上面法则可以推广到有限．．多个数列的情，若{}n a ，{}n b ，{}n c 有极限，则 n n n n n n n n n c b a c b a ∞ →∞→∞→∞→++=++lim lim lim )(lim
《数学分析》第二章 数列极限word资料14页
第二章 数列极限 （计划课时：1 2 时）P23—41 §1 数列极限的定义 （ 4时 ） 一、数列： 1.数列定义 —— 整标函数.数列给出方法: 通项, 递推公式.数 列的几何意义. 2.特殊数列: 常驻列,有界列,单调列和往后单调列. 二、数列极限: 以 n a n n ) 1 (1-+=为例. 定义 (a a n n =∞ →lim 的 “N -ε”定义) 三、用定义验证数列极限： 思路与方法. 例1 .01 lim =∞→n n 证明格式：0>?ε（不妨设 <<ε0□）（不妨设>n □） 要使-a a n ε， 只须>n □. 于是0>?ε,=?N □，当N n >时，有 ε＜ □ - □. 根据数列极限的“N -ε”定义知∞ →n lim □ = □. 例2 .1 ,0lim <=∞ →q q n n
例3 .32 142332lim 2 2=+-+-∞→n n n n n 例4 .04 lim 2 =∞→n n n 证 >++?--+?-+ ?+=+=n n n n n n n n n 33! 3)2)(1(3!2)1(31)31(43 2Λ .3 ,3! 3)2)(1(3 ≥?-->n n n n 注意到对任何正整数k n k 2 ,>时有 ,2 n k n >- 就有 )2)(1(276)2)(1(27640422><--=--<
第二章极限与数列
第二章 极限与连续 一、选择题 1、在数列极限“εN -”定义中ε是（ ） （A ）很小的正数 （B ）任意的数 （C ）任意给定的正数 （D ）以上都不对 答案：（C ） （半分钟） 2、在数列极限“εN -”定义中N 是（ ） （A ）实数 （B ）整数 （C ）正整数 （D ）以上都不对 答案：（C ） （半分钟） 3、若数列{x n }有极限a ，则在a 的ε邻域之外，数列中的点（ ） （A ）必不存在 （B ）至多只有有限多个 （C ）必定有无穷多个 （D ）可以有有限个，也可以有无限多个 答案：B （半分钟） 4、若数列{x n }在（a-ε,a+ε）邻域内有无穷多个数列的点，则（ ） （A ） 数列{x n }必有极限，但不一定等于a （B ） 数列{x n }极限存在且一定等于a （C ） 数列{x n }的极限不一定存在 （D ） 数列{x n }一定不存在极限 答案：C （半分钟） 5、数列0,31,）是（, (6) 4 ,53,42 (A)以0为极限 （B ）以1为极限 (C)以 n n 2 -为极限 (D)不存在极限 答案：B （半分钟） 6、)().......21(lim 222=++∞ →n n n n n （A ）00....00lim ....2lim 1lim 2 22=++=++∞→?→∞→n n n n n n n (B)∞=+++∞→2 ......321lim n n n (C)2 1 2)1(lim 2=+∞→n n n (D)极限不存在 答案：C （1分钟） 7、数列{}n a 和{}n b 的极限分别为a 和b ，且b a ≠，则数列,,...,,...,,,22111n n b a b a b a …的极限是（ ） （A ）a （B ）b （C ）b a + （D ）一定不存在
高等数学 第二章 极限与连续
第二章 极限与连续 教学要求 1.理解数列极限和函数极限(包括左、右极限)的概念，理解数列极限与函数极限的区别与联系。 2.熟练掌握极限的四则运算法则，熟练掌握两个重要极限及其应用。 3.理解无穷小与无穷大的概念，掌握无穷小比较方法以及利用无穷小等价求极限的方法。 4.理解函数连续性(包括左、右连续)与函数间断的概念，了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性定理、最大值与最小值定理和介值定理），并能灵活运用连续函数的性质。 教学重点 极限概念，极限四则运算法则；函数的连续性。 教学难点 极限定义，两个重要极限；连续与间断的判断。 教学内容 第一节 数列的极限 一、数列 1.数列的概念； 2.有界数列； 3.单调数列； 4.子列。 二、数列的极限 三、数列极限的性质与运算 1.数列极限的性质； 2.数列极限的运算法则。 第二节 函数的极限 一、函数极限的概念 1.自变量趋于有限值时函数的极限； 2.自变量趋于无穷大时函数的极限。 二、函数极限的性质 第三节 函数极限的运算法则 一、函数极限的运算法则 二、复合函数的极限运算法则 三、两个重要极限 1.重要极限1 1sin lim 0=→x x x ； 2.重要极限2 e x x x =+∞→)11(lim 或e x x x =+→1 0)1(lim 。
第四节无穷大与无穷小 一、无穷小 二、无穷大 第五节函数的连续性与间断点 一、函数的连续性概念 1.函数的增量； 2.函数的连续性 二、函数的间断点 第六节连续函数的性质 一、连续函数的和、差、积、商的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性 四、闭区间商连续函数的性质
2015年高考第一轮复习数学：13.2 数列的极限
13.2 数列的极限 ●知识梳理 1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列{a n }以a 为极限. 注：a 不一定是｛a n ｝中的项. 2.几个常用的极限：①∞ →n lim C =C （C 为常数）;②∞ →n lim n 1 =0;③∞ →n lim q n =0（|q |＜1）. 3.数列极限的四则运算法则：设数列｛a n ｝、｛b n ｝， 当∞ →n lim a n =a , ∞ →n lim b n =b 时，∞ →n lim （a n ±b n ）=a ±b ; ∞ →n lim （a n ·b n ）=a ·b ; ∞ →n lim n n b a =b a （b ≠0）. 特别提示 （1）a n 、b n 的极限都存在时才能用四则运算法则； （2）可推广到有限多个. ●点击双基 1.下列极限正确的个数是 ①∞→n lim αn 1 =0（α＞0） ②∞→n lim q n =0 ③∞ →n lim n n n n 3232+-=－1 ④∞ →n lim C =C （C 为常数） A.2 B.3 C.4 D.都不正确 解析:①③④正确. 答案:B 2. ∞ →n lim ［n （1－ 31）（1－41）（1－51）…（1－2 1+n ）］等于 A.0 B.1 C.2 D.3 解析: ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－2 1+n ）］ =∞→n lim ［n ×32×43×54×…×2 1 ++n n ］ =∞→n lim 2 2+n n =2. 答案:C
数学分析数列极限分析解析
第二章 数列极限 §1 数列极限概念 教学目的与要求： 使同学们理解数列极限存在的定义，数列发散的定义，某一实数不是数列极限的定义；掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。 教学重点，难点： 数列极限存在和数列发散定义的理解；切实掌握数列收敛发散的定义，利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。 教学内容： 一、课题引入 1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。 2°实例：战国时代哲学家庄周著《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之棰， 日取其半，万古不竭。”将其“数学化”即得，每天截后剩余部分长度为（单位尺） 21，221，32 1，……，n 21 ，…… 或简记作数列：? ?????n 21 分析：1°、? ?? ???n 21随n 增大而减小，且无限接近于常数0； 2 二、数列极限定义 1°将上述实例一般化可得： 对数列{}n a ，若存在某常数a ，当n 无限增大时，n 能无限接近常数a 该数为收敛数列，a 为它的极限。 例如：? ?? ???n 1， a=0； ??? ? ??-+n n )1(3， a=3; {}2 n ， a 不存在，数列不收敛；
{}n )1(-， a 不存在，数列不收敛； 2°将“n 无限增大时”，数学“符号化”为：“存在N ，当n ＞N 时” 将“a n 无限接近a ”例如对??? ? ??-+n n )1(()3以3为极限，对ε =10 1 3)1(3--+ =-n a a n n =10 11 n 只需取N=10，即可 3°“抽象化”得“数列极限”的定义 定义：设{}n a 是一个数列，a 是一个确定的常数，若对任给的正数ε，总存在 某一自然数N ，使得当n ＞N 时，都有 a a n -＜ε 则称数列{}n a 收敛于a ，a 为它的极限。记作 a a n n =∞ →lim ｛(或a n →a,(n →∞)) 说明 （1）若数列{}n a 没有极限，则称该数列为发散数列。 （2）数列极限定义的“符号化”记法：a a n n =∞ →lim ? ε ?＞0，?N ，当n （3）上述定义中ε的双重性：ε＞0是任意．．的，由“任意性”可知，不等式a a n -＜ε，可用a n -替 “＜”号也可用“≤”号来代替（为什么？）（4）上述定义中N 的双重性：N 是仅依赖．．于ε的自然数，有时记作N=N （ε）（这并非说明N 是ε的函数，是即：N 是对应确定．．．．的！但N 又不是唯一．．．． 的，只要存在一个N ，就会存在无穷多
第二章数列极限
第二章 第二章 数列极限 单选题 1. 数列{}n a ( ) A. 是单调数列时必收敛. B. 有界时必收敛. C. 无界时必发散. D. 发散时必无界. 2. 当n →∞时, {}n a 以常数A 为极限, 则n a A -是 ( ) A. 预先给定的任意小的正数. B. 任意小的正数. C. 无穷小量. D. 常量. 3. 下列说法可以作为 “数列n a 以l 为极限” 定义的是 ( ) A. 0,N N ε+?∈?> 当 n n N a l ε ≥-< B. 12 n m m N N N n N a l ++?∈?∈≥-< C. 12n n N N n N a l + ?∈≥-< D. 0,ε?> 集合 {}(,)n n a l l εε∈-+为无限集. 4. 2 2 2 12lim ( )n n n n n →∞ +++ = ( ) A. 2 2 1lim lim 0000 n n n n n →∞ →∞ ++=+++= B. 2 12lim n n n →∞ +++=∞ C. 2 (1)1lim 22n n n n →∞+= D. 极限不存在. 5. 已知数列 1 410n a n =- 的极限为4, 对于1 101ε= , 满足n N >时总有4n a ε-<成立的最小N 应是 ( ) A. 9 B. 10 C. 101 D. 1000 6. 数列0, 1, 0, 1, 是 ( ) A. 收敛于0. B. 收敛于1. C. 发散. D. 以上都不对. 7. 数列1 1 1 1(1) 2n n +-- 是 ( ) A. 收敛于1. B 发散. C. 收敛于0 D. 从0左侧收敛于0. 8. 数列0. 2. 0. 4. 1(1) ,2n n +- 是 ( ) A. 收敛于0 B. 收敛但不收敛于0. C. 发散. D. 以上都不对. 9. 以下说法不正确的是 ( ) A. ε是无限接近于0的变量. B. N 是依赖于ε的. C. 有界数列必有无穷多个收敛子列. D. 数列 1111,0, ,0, ,0,,0,2 3 n 以0 为极限.
数列极限
数列极限
第二章数列极限 §1 数列极限概念 Ⅰ. 教学目的与要求 1.理解数列极限概念并利用定义证明数列是否收敛. 2.掌握无穷小数列概念并利用其证明数列是否收敛于指定的常数. Ⅱ. 教学重点与难点: 重点: 数列极限概念. 难点: 数列极限概念、利用数列极限定义证明数列是否收敛于指定的常数. Ⅲ. 讲授内容 若函数f 的定义域为全体正整数集合N+，则称 R N f →+: 或 ), (n f n + ∈N 为数列．因正整数集N+的元素可按由小到大的顺序排列，故数列)(n f 也可写作 ,,,,,2 1 ΛΛn a a a 或简单地记为}{n a ，其中n a ，称为该数列的通项． 关于数列极限，先举一个我国古代有关数列的例子．
例1 古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去． 把每天截下部分的长度列出如下(单位为尺)： 第一天截下21，第二天截下2 2 1，……，第n 天截下n 21，……这样就得到一个数列 ΛΛ,21 ,,21,212n ．或? ?? ? ??n 2 1. 不难看出，数列{n 21}的通项n 21随着n 的无限增大而 无限地接近于0．一般地说，对于数列}{n a ，若当 n 无限增大时n a 能无限地接近某一个常数a ，则称 此数列为收敛数列，常数a 称为它的极限．不具有这种特性的数列就不是收敛数列． 收敛数列的特性是“随着n 的无限增大，n a 无 限地接近某一常数a ”．这就是说，当n 充分大时，数列的通项n a 与常数a 之差的绝对值可以任意 小．下面我们给出收敛数列及其极限的精确定义．
(整理)7.7(2)数列的极限陈.
7.7数列的极限（第2课时） 【教学目标】 1.理解数列极限的概念，掌握三个常用极限； 2.会根据数列极限的意义，由数列的通项公式来考察数列的极限； 3.观察运动和变化的过程，提高概括、抽象思维能力. 【教学重点】 数列极限的概念以及简单数列的极限的求解 【教学难点】 数列极限的定义的理解 【教材分析】 极限概念是微积分中最重要和最基本的概念之一，因为微积分中其它重要的基本概念 （如导数、微分、积分等）都是用极限概念来表述的，而且它们的运算和性质也要用极限的运算和性质来推导，同时数列极限的掌握也有利于函数极限的学习，所以，极限概念的掌握至关重要. 【教学过程】 一、情景引入 复习回顾：什么是数列极限的定义？ 一般地，在n 无限增大的变化过程时，如果无穷数列{}n a 中的项n a 无限趋近于某一个常数A ，那么A 叫做数列{}n a 的极限. 二、概念形成 提问1：在定义中，如何理解“无限趋近于某一个常数a ”？ 提问2：用什么来体现这种无限趋近的过程呢？ 思考并讨论 给出结论：用n a 和a 之间的距离的缩小过程，即 a a n - 趋近0 现在以数列()n a n n 1-= 为例说明这种过程 观察： 距离量化：()n n a n n 1010=--= -，随着n 的增大，n 1的值越来越小，不论给定怎样小的一个正数（记为ε），只要n 充分的大，都有n 1 比给定的正数小. 三、概念应用：
例1.已知数列{}n a 的通项公式为1 1 +-= n n a n （1） 把这个数列的前5项在数轴上表示出来. （2）写出1-n a 的解析式. （3）{}n a 中的第几项以后的所有项都满足100 1 1<-n a ? （4）指出数列? ?? ???+-11n n 的极限. 解：（1） （2）1 2 121111+=+-=-+-=-n n n n a n （3）100 1 121< += -n a n ∴ 199>n 即{}n a 中的第199项以后的所有项都满足100 11<-n a . （4）1lim =∞ →n n a 例 2. 判断下列数列是否有极限。如果有极限，给出它的极限；如果没有极限，说明理 由。 （1）??????,4 ,,425, 4,49,1,412 n （2）()???-???--,1,,1,1,1,1n （3）常数列???-???---,3,,3,3,3 解：（1）此数列没有极限。因为当n 无限增大时，n a 也随之无限增大，不可能无限趋 近于某一常数。 （2）此数列没有极限。因为当n 无限增大时，n a 永远在1和-1之间摆动，不可能趋近于唯一的一个常数。 （3）此数列有极限，极限为3. 四、课堂反馈 判断下列命题的真假： 1 2 3 3
第二章数列极限12学时
第二章 数列极限 （12学时） §1 数列极限概念 教学目的与要求 1.理解数列极限概念并利用定义证明数列是否收敛. 2.掌握无穷小数列概念并利用其证明数列是否收敛于指定的常数. 教学重点: 数列极限概念. 教学难点: 数列极限概念、利用数列极限定义证明数列是否收敛于指定的常数. 学时安排: 3学时 教学方法：讲练结合。 教学程序： 若函数f 的定义域为全体正整数集合N+，则称 R N f →+: 或 ),(n f n +∈N 为数列．因正整数集N +的元素可按由小到大的顺序排列，故数列)(n f 也可写作 ,,,,,21ΛΛn a a a 或简单地记为}{n a ，其中n a ，称为该数列的通项． 关于数列极限，先举一个我国古代有关数列的例子． 例1 古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去． 把每天截下部分的长度列出如下(单位为尺)： 第一天截下 21，第二天截下221，……，第n 天截下n 2 1 ，……这样就得到一个数列 ΛΛ,21,,21,212n ．或? ?? ???n 21. 不难看出，数列{ n 21}的通项n 21随着n 的无限增大而无限地接近于0．一般地说，对于数列}{n a ，若当n 无限增大时n a 能无限地接近某一个常数a ，则称此数列为收敛数列，常数a 称为它的极限．不具有这种特性的数列就不是收敛数列． 收敛数列的特性是“随着n 的无限增大，n a 无限地接近某一常数a ”．这就是说，当n 充分大时，数列的通项n a 与常数a 之差的绝对值可以任意小．下面我们给出收敛数列及其极限的精确定义． 定义1 设}{n a 为数列，a 为定数．若对任给的正数ε，总存在正整数N ，使得当， n >N 时有ε<-||a a n 则称数列}{n a 收敛于a ，定数a 称为数列}{n a 的极限，并记作a a n n =∞ →lim ，或)(∞→→n a a n .
数列的极限知识点-方法技巧-例题附答案和作业题
数列的极限 一、知识要点 1数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．． 某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限记作 lim n n a a →∞ =． （注：a 不一定是｛a n ｝中的项） 2几个重要极限： （1）01 lim =∞→n n （2）C C n =∞ →lim （C 是常数） （3）()()()?? ? ??-=>=<=∞ →1,11,110lim a a a a a n n 或不存在， （4）??? ?? ??<=>=++++++++----∞→)()()(0lim 0 11101110t s t s b a t s b n b n b n b a n a n a n a s s s s t t t t n 不存在 3. 数列极限的运算法则: 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞ →∞ →那么 B A b a n n n +=+∞ →)(lim B A b a n n n -=-∞ →)(lim B A b a n n n .).(lim =∞ → )0(lim ≠=∞→B B A b a n n n 4．无穷等比数列的各项和 ⑴公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n 项的和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做lim n n S S →∞ = ⑵1 lim ,(0||1)1n n a S S q q →∞ == <<- 二、方法与技巧 ⑴只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限. ⑵运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件.（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形） ⑶求数列极限最后往往转化为 ()N m n m ∈1或()1 第二章数列极限 教学目的： 1.使学生建立起数列极限的准确概念，熟练收敛数列的性质； 2.使学生正确理解数列收敛性的判别法以及求收敛数列极限的常用方法，会用数 概 列极限的定义证明数列极限等有关命题。要求学生：逐步建立起数列极限的 语言正确表述数列不以某定数为极限等相 定义证明有关命题，并能运用 应陈述；理解并能证明收敛数列、极限唯一性、单调性、保号性及不等式性质；掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理及单调有界定理，会用这些定理求某些收敛数列的极限；初步理解柯西准则在极限理论中的重要意义，并逐步学会应用柯西准则判定某些数列的敛散性； 定义 教学重点、难点：本章重点是数列极限的概念；难点则是数列极限的 及其应用. 教学时数：14学时 § 1 数列极限的定义 教学目的：使学生建立起数列极限的准确概念；会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题。 ε-定义及其应用。 教学重点、难点：数列极限的概念，数列极限的N 教学时数：4学时 一、引入新课：以齐诺悖论和有关数列引入—— 二、讲授新课： （一）数列： 1.数列定义——整标函数.数列给出方法: 通项,递推公式.数列的几何意义. 2.特殊数列: 常数列,有界数列,单调数列和往后单调数列. （二）数列极限: 以为例. 定义( 的“ ”定义 ) 收敛的“”定义 ) 定义( 数列 注：1.关于：的正值性, 任意性与确定性,以小为贵; 2.关于：的存在性与非唯一性,对只要求存在,不在乎大小.3.的几何意义. （三）用定义验证数列极限：讲清思路与方法. 例1 例2 例3 例4 证 时有就有 注意到对任何正整数 取 于是，对 例5 证法一令有用Bernoulli不等式，有 或 证法二（用均值不等式） 例6 证时， 证明 例7设 （四）收敛的否定: ”定义 ). 定义( 的“ 定义( 数列 发散的“”定义 ). 第2讲 数列极限概念及其性质 讲授内容 一、数列极限概念 数列 ,,,,,21 n a a a 或简单地记为}{n a ，其中n a ，称为该数列的通项． 关于数列极限，先举二个我国古代有关数列的例子． （1）割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽. 园内接正n 边形的面积n R n A n π2sin 2 2 = ,4,3(=n ），当∞→n 时，2 2 22sin R n n R A n ππ ππ→= （2） 古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去． 第一天截下 2 1，第二天截下 2 2 1，……，第n 天截下 n 2 1，……这样就得到一个数列 ,21 , ,2 1 , 21 2 n ．或? ?? ???n 21.不难看出，数列{n 2 1}的通项 n 2 1随着n 的无限增大而无限地接近于0．一般地说，对于数列}{n a ，若当n 无 限增大时n a 能无限地接近某一个常数a ，则称此数列为收敛数列，常数a 称为它的极限．不具有这种特性的数列就不是收敛数列．下面我们给出收敛数列及其极限的精确定义． 定义1 设}{n a 为数列，a 为定数．若对任给的正数ε，总存在正整数N ，使得当，n >N 时有ε<-||a a n 则称数列{n a 收敛于a ，定数a 称为数列}{n a 的极限，并记作a a n n =∞ →lim ，或)(∞→→n a a n .读作“当n 趋于无穷大时，n a 的极限等于a 或n a 趋于a ”． 若数列}{n a 没有极限，则称}{n a 为发散数列．下面举例说明如何根据N -ε定义来验证数列极限． 二、根据N -ε定义来验证数列极限 例2 证明01lim =∞ →α n n ，这里α为正数 证：由于 ,1|01| α α n n = -故对任给的ε>0，只要取N=11 1 +??? ? ???? α ε，则当N n >时，便有 εα α << N n 11 即.|01| εα <-n 这就证明了01lim =∞ →α n n . 例3 证明333lim 2 2 =-∞ →n n n . 分析 由于n n n n 93 9|33 3| 2 2 2 ≤ -= -- ).3(≥n 因此，对任给的ε>o ，只要 ε数学分析 第二章数列极限
第2讲数列极限及其性质2009
（这里).1||0<