中考初中数学圆的最值问题含答案分析

数学组卷圆的最值问题

?选择题（共7小题）

2. （2013?武汉模拟）如图/ BAC=60 °半径长1的O O与/ BAC的两边相切，P为O O上一动点，以P为圆心, PA长为半径的O P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE,则线段DE长度的最大值为（）

3. （2014?武汉模拟）如图，P为O O内的一个定点，A为O O上的一个动点，射线AP、AO分别与O

O交于B、C 两点.若O O的半径长为3, OP=、则弦BC的最大值为（）

A. 2 ■: B . 3 C. '■ D. 3 ■:

4. （2015?黄陂区校级模拟）如图，扇形AOD中，/ AOD=90 ° OA=6，点P为弧AD上任意一点（不

与点A和D 重合），PQ丄OD于Q,点I OPQ的内心，过O, I和D三点的圆的半径为r.则当点P

在弧AD上运动时，r的值满足（）

A . 0 v r v 3

B . r=3 C. 3v r v 3 D . r=3 ■:

5. （2010?苏州）如图，已知A、B两点的坐标分别为（2, 0）、（0, 2） , O C的圆心坐标

为（-1, 0），半径为1.若D是O C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E,UA ABE 面积的最小

值是（）

A. 2

B. 1

C..丄

D. ■- 二

2

6. （2013?市中区模拟）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8, 0）、（0, - 6）, O C的圆

心坐标为（0, 7）,半径为5.若P是O C上的一个动点，线段PB与x轴交于点D，则

△ ABD面积的最大值是（）

A. 63

B. 31

C. 32

D. 30

2

7. （2013?枣庄）如图，已知线段OA交O O于点B，且OB=AB，点P是O O上的一个动点，

那么/ OAP的最大值是（）

A . 90 °

B . 60° C. 45 ° D . 30°

A . 3

B . 6

1.（2014春?兴化市月考）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3, 0），点B为y轴正半轴上的一点，

点）

C

为第一象限内一点，且AC=2，设tan / BOC=m，贝U m的取值范围是（

连接

B

E

B

C

C B

D 且 O

c

o

O

G

C

S

占

c

15 B

、 C

AD 为

AB 与 则半

16 画O O ,

相交于点

17. （2015秋？江阴市校级期中）如图，O O 与正方形ABCD 的两边AB 、AD 相切，且DE 与O O 相切于E 点.若正方形 ABCD 的周长为28,且DE=4 ,则sin / ODE= _______________

A D

13. （2013?陕西）如图，AB 是O O 的一条弦，点 C 是O O 上一动点，且/ ACB=30 °点E 、F 分别是 AC 、BC 的 中点，直线EF 与O O 交于G 、H 两点.若O O 的半径为乙贝U GE+FH 的最大值为 ___________________ .

14. ________________________________________________________ （2013?咸宁）如图，在 Rt △ AOB 中，OA=OB=3 .：,O O 的半径为1,点P 是AB 边上的动点，过点 P 作O O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则切线PQ 的最小值为 ______________________________________________________________ .

（2013?内江）在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为圆心的圆过点 A （13, 0）,直线y=kx - 3k+4与O O 交于

C 两点，则弦BC 的长的最小值为

_______________ . 讣 （2011?苏州校级一模）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点 O 为圆心，2为半径 月 P 是O O 是一动点且P 在第一象限内，过P 作O O 切线与x 轴相交于点A ，与y 轴 厂亠弋 B ?则线段AB 的最小值是

____ L 一 一卜、

/F 八

二.填空题（共12小题）

&（2013?武汉）如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足 AE=DF .连接CF 交BD 于点G BE 交AG 于点H .若正方形的边长为 2,则线段DH 长度的最小值是 ___________________ . 卫 ____ 呈—直一 D

.... /~、

C A I

9.

（2015?黄陂区校级模拟）如图，在 Rt △ ABC 中，/ ACB=90 ° AC=4 , BC=3

，点D 是平面内的一个动点，

AD=2 , M 为BD 的中点，在D 点运动过程中，线段 CM 长度的取值范围是 ___________________ .

10. ___________________________________________________________________________ （2012?宁波）如图， △

ABC 中，/ BAC=60 ° / ABC=45 ° AB=2血,D 是线段BC 上的一个动点，以 直径画O O 分别交AB , AC 于E , F ,连接EF ,则线段EF 长度的最小值为 _________________________________________________________ . 11.

（2015?峨眉山市一模）如图，已知直线 I 与O O 相离，OA 丄I 于点A ,

OA=10 , OA 与O O 相交于点P ,

O O 相切于点B , BP 的延长线交直线I 于点C .若O O 上存在点0,使厶QAC 是以AC 为底边的等腰三角形， 径r 的取值范围

是： ____________________________ .

12. _____________________________________________ （2013?长春模拟）如图，在 △ ABC 中，/ C=90 ° AC=12 , BC=5，经过点 C 且与边AB 相切的动圆与 CA 、CB 分别相交于点P 、Q ,则PQ 长的最小值为

. 忖

B —~~、

厶

-卜—2

八

18. （2014春？兴化市校级月考）如图所示，已知A（1，y i），B（2，y2）

（x, 0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点

19. （2015?泰兴市二模）如图，定长弦CD在以AB为直径的O O上滑动（点C、D与点A、

B不重合），M是CD 的中点，过点C作CP丄AB于点P，若CD=3，AB=8，PM=l，则I的最

大值是

.

三?解答题（共5小题）

20. （2013?武汉模拟）如图，在边长为1的等边△ OAB中，以边AB为直径作O D，

O为圆心OA长为半径作圆O, C为半圆AB上不与A、B重合的一动点，射线AC交O 于点E，

BC=a，AC=b .

（1）求证：AE=b+ _;a;

（2）求a+b的最大值；

（3）若m是关于x的方程：x2+“J.：ax=b2+ '；ab的一个根，求m的取值范围.

BD于G，连接BE交AG于H .已知正方形ABCD的边长为4cm，解决下列问题:

（1）求证：BE丄AG ;

（2）求线段DH的长度的最小值.

22 .已知：如图，AB是O O的直径，在AB的两侧有定点C和动点P，AB=5，AC=3 .点P在树■上运动（点P不与A，B 重合），CP交AB于点D，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q.

（1）求/ P的正切值；

（2）当CP丄AB时，求CD和CQ的长；

（3）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长.

23. （2013?日照）问题背景:

21. （2014春？泰兴市校级期中）如

图,

E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF .连接CF交

为反比例函数沪图象上的两点，动点P

P 的坐标是

O

如图(a),点A、B在直线I的同侧，要在直线I上找一点C,使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关

S) U) M

(1)实践运用：

如图(b),已知，O O的直径CD为4,点A在O O上，/ ACD=30 ° B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP 的最小值为______________________ .

(2)知识拓展：

如图(c),在Rt△ ABC中，AB=10 ,Z BAC=45 ° / BAC的平分线交BC于点D , E、F分别是线段AD和AB上

的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程.

24. (2012?苏州)如图，已知半径为2的O O与直线I相切于点A，点P是直径AB 左侧半

圆上的动点，过点P作直线I的垂线，垂足为C, PC与O O交于点D，连接

PA、PB,设PC 的长为x (2 V x V 4).

(1)当x=Z时，求弦PA、PB的长度；

2

(2)当x为何值时，PD?CD的值最大？最大值是多少？

25、如图，在等腰Rt△ ABC中，/ C=90 , AC=BC=4 D是AB的中点，点

过A、D、E三点作O0,0 O交AC于另一点F,在此运动变化的过程中,

E在AB边上运动(点E不与点A重合),

26、如图，线段AB=4,

则O 0半径的最小值为(

B. 口

3

C为线段

).

A.4 C.

AB上的一个动点，以AG BC为边作等边△ ACD和等边△BCE O 0外接于△ CDE

3 ;2

2

D. 2

27

、

A0

A0B中,直角顶点0在半径为1的圆心上，斜边与圆相切，延长

如图，已知直角△

BO分别与圆交于C, D.试求四边形ABCD面积的最小值.

于I的对称点B',连接AB与直线I交于点C,则点C即为所求.

线段EF长度的最小值为

图3-97

2015年12月18日王军的初中数学组卷圆的最值问题

参考答案与试题解析

一 ?选择题（共7小题）

1. （2014春?兴化市月考）在平面直角坐标系中，点

A 的坐标为（3, 0），点

B 为y 轴正半轴上的一点，点

一象限内一点，且 AC=2，设tan / BOC=m ，贝U m 的取值范围是（ ）

D . 二

???/ BOA= / ACO=90 °

???/ BOC+ / AOC=90 ° / CAO+ / AOC=90 °

???/ BOC= / OAC ,

tan / BOC=tan / OAC=—=—-

AC 2

随着C 的移动，/ BOC 越来越大， ??? C 在第一象限， ? C 不到x 轴点， 即/ BOC V 90° ? tan / BOC

2，

故选B .

【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理， 切线的性质等知识点的应用，能确定/ 关键，题型比较好，但是有一定的难度.

2. （2013?武汉模拟）如图/ BAC=60 °半径长1的O O 与/ BAC 的两边相切，P 为O O 上一动点，以 P 为圆心, PA 长为

C 为第

A . m 二0 直线与圆的位置关系；坐标与图形性质；锐角三角函数的定义.

C 在以A 为圆心，以2为半径的圆周上，只有当 OC 与圆A 相切（即到C 点）时，/ BOC 最小, 股定理求出此时的 OC ,求出/ BOC= / CAO ，根据解直角三角形求出此时的值，根据 出答案. 【解答】 解：C 在以A 为圆心，以2为半径作圆周上，只有当 OC 与圆A 相切（即到

【考点】

tan / BOC 的增减性, 根据勾

即可求 C 点）时，/ BOC 最小,

BOC 的变化范围是解此题的

B . C

.

半径的O P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE,则线段DE长度的最大值为（）

B . 6

C .

O 交于P 点，当AF 垂直于ED

时，线段DE 长最大，设圆0与AB 相切于点M , 连接0M ,

PD ,由对称性得到 AF 为角平分线，得到/ FAD 为30度，根据切线的性质得到 0M 垂直于

AD ，在直 角三角形AOM 中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出 A0的长，由AO+OP 求出AP 的长，即为圆P 的半径，由三角形 AED 为等边三角形，得到 DP 为角平分线，在直角三角形 PFD 中，利用30度所对的直角边等于 斜边的一半求出 PF 的长，再利用勾股定理求出 FD 的长，由DE=2FD 求出DE 的长，即为DE 的最大值.

【解答】解：连接A0并延长，与ED 交于F 点，与圆0交于P 点，此时线段ED 最大， 连接0M , PD ,可得F 为ED 的中

点，

???/ BAC=60 ° AE=AD , ???△ AED 为等边三角形， ??? AF 为角平分线，即/ FAD=30 ° 在 Rt △ A0M 中，0M=1，/ 0AM=30 ° ? 0A=2 ,

? PD=PA=A0+0P=3 ,

在 Rt △ PDF 中，/ FDP=30 ° PD=3 , ? PF=：

2

根据勾股定理得：FD= . |二;.— ,

【考点】 【专

切线的性质. 计算题.

连接AO 并延长，与圆 6

则 DE=2FD=3 故选D

B