统计物理学试题

一 概念公式释义题 概念四个,公式五个,释义一个 （卷面是一百个题） 1.孤立系:与外界既没有物质交换也没有能量交换的系统. 2.闭系:与外界没有物质交换,但有能量交换的系统. 3.开系:与外界既有物质交换,又有能量交换的系统.

4.热力学平衡态：一个孤立系统，不论其初态如何复杂，经过足够长的时间后，将会到达这样的状态，系统的各种宏观性质在长时间内不发生任何变化.

5.绝热壁:如果器壁具有这样的性质,当两个物体通过器壁相互接触时,两物体的状态可以完全独立的改变,彼此互不影响.

6.透热壁: 如果器壁具有这样的性质,当两个物体通过器壁相互接触时,两物体的状态不能完全独立的改变,彼此相互影响.

7.热接触:两个物体通过透热壁相互接触.

8.热平衡:假设有两个物体,各自处在平衡状体啊.如果令这两个物体进行热接触,经验表明,一般来说两个物体的平衡状态都会受到破坏,他们的状态都将发生改变.但是经过足够长的时间之后,他们的状态便不再发生变化,而达到一个共同的平衡态.

9.热平衡定律：如果两个物体各自与第三个物体达到热平衡，它们彼此也必处在热平衡.

10.温度：互为热平衡的两个系统，分别存在一个状态函数，而且两个函数的数值相等，该函数就称为系统的温度. 11.热力学极限:粒子数∞→N ,体积∞→V 而粒子数密度

V

N

为有限的极限情况. 12.准静态过程：进行的非常缓慢的过程，系统在过程中经历的每一个状态都可以看作平衡态.

13.内能：系统经绝热过程从初态变到终态，在过程中外界对系统所作的功仅取决于系统的初态和终态而与过程无关.由此可以用绝热过程中外界对系统所作的功定义一个态函数在终态和初态之差，该态函数称作内能.

14.热量：如果系统所经历的过程不是绝热过程，则在过程中外界对系统所作的功不等于过程前后其内能的变化，二者之差就是系统在过程中以热量的形式从外界吸收的热量. 15.热容量：一个系统在某一过程中温度升高K 1所吸收的热量. 16.焦耳定律:理想气体的内能只是温度的函数,与体积无关.

17.热力学第二定律开氏表述：不可能从单一热源吸热使之完全变为有用的功而不引起其它变化. 18.热力学第二定律克氏表述：不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其它变化. 19.卡诺定理:所有工作于两个一定温度之间的热机,以可逆机的效率为最高.

20.熵（热力学）：对于可逆过程,在初态A 和终态B 给定后，积分 T

dQ

B

A

?

与可逆过程的路径无关.令 A B B

A

S S T dQ

-=?， 称为熵.

21.熵增加原理:在绝热条件下,熵减少的过程是不可能实现的.

22.节流过程:管子用不导热的材料包着,管子中间有一个多孔塞或节流阀.多孔塞两边各维持着较高的压强1p 和较低的压强2p ,于是气体从高压的一边经多孔塞不断地流到低压的一边,并达到定常状态. 23.绝热去磁制冷:在绝热的条件下减少磁场时,磁介质的温度将降低. 24.态密度:单位能量间隔内的可能状态数.

25.等概率原理：对于处在平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相等的. 26.能量均分定理：对于处在温度为T 的平衡状态的经典系统，粒子能量中每一个平方项的平均值等于

kT 2

1. 27.刘维尔定理：如果随着一个代表点沿正则方程所确定的轨道在相空间中运动，其领域的代表点密度是不随时间改变

的常数.

28.微正则系综：具有确定的粒子数N 、体积V 和能量E 的系统的分布函数.

29.正则系综：具有确定的粒子数N 、体积V 和温度T 的系统的分布函数称为正则分布. 30.巨正则系综：具有确定的体积V 、温度T 和化学势μ的系统的分布函数.

31.系综：设想有大量结构完全相同的系统，处在相同的给定的宏观条件下.我们把这大量系统的集合称为系综.

32.Γ空间:以广义坐标和广义动量f 2个变量为直角坐标构成一个f 2空间. 33.最概然分布：微观状态数最多的分布，出现的概率最大，称为最概然分布. 34.熵（统计物理）：在统计物理学中有Ωln k S =，是系统混乱度的量度. 1.体胀系数

p

T V V ???

????=

1α 2.压强系数 V

T p p ??? ????=

1β 3.等温压缩系数

T

T p V V ????

????-=1κ 4.绝热压缩系数

S

S p V V ????

????-=1κ

5.α，β，T κ的关系式 p T βκα=

6.理想气体的物态方程 nRT pV =

7.范德瓦耳斯方程 ()nRT nb V V an p =-???

?

??+22

8.位力展开 ()()???

?????+???

??++??? ??=ΛT C V n T B V n V nRT p 2

1

9.顺磁性固体的物态方程 H T

C

M =

10.热力学第一定律的数学表达式 Q W U U A B +=-系统在终态B 和初态A 的内能之差A B U U -等于在过程中外界对系统所作的功与系统从外界吸收的热量之和. 11.等容热容量 V

V T U C ???

????= 12.等压热容量 p

p T H C ???

????= 13.焓 pV U H +=在等压过程中系统从外界吸收的热量等于态函数焓的增值. 14.理想气体的等压热容量和等容热容量之差 nRT C C V p =-

15.简单系统的热力学的基本微分方程 pdV TdS dU -= 在相邻的两个平衡态,状态变量U 、S 、V 的增量之间的关系.

16.n 摩尔理想气体的熵（以T 、V 为自变量）0ln ln S V nR T C S V ++= 17. n 摩尔理想气体的熵（以T 、p 为自变量）0ln ln S p nR T C S p +-= 18.简单系统的焓的微分方程 Vdp TdS dH += 19.简单系统的自由能的微分方程 pdV SdT dF --= 20.简单系统的吉布斯函数的微分方程 Vdp SdT dG +-= 21.等容热容量的熵表示 V

V T S T C ???

????= 22.等压热容量的熵表示 p

p T S T C ???

????= 23.温度保持不变时内能随体积的变化率与物态方程的关系 p T p T V U V

T -???

????=???

???? 24.温度保持不变时焓随压强变化率与物态方程的关系p T

T V T V p H ??? ????-=????

???? 25.等压热容量、等容热容量之差的一般关系 T

V p VT C C κα2

=

-

26.简单系统的开系的热力学基本微分方程 dn pdV TdS dU μ+-=

27.克拉珀龙方程

()

αβm

m V V T L dT dp -=两相平衡曲线的斜率 28.对于玻耳兹曼系统，与分布{}l a 相应的系统的微观状态数 l a l l l

l B M a N ∏∏=

Ωω!!

.. 29.对于玻色系统，与分布{}l a 相应的系统的微观状态数 ()()∏--+=

Ωl

l l l l E B a a !1!!1..ωω

30.对于费米系统，与分布{}l a 相应的系统的微观状态数()∏-=Ωl

l l

l

l D F a a !

!!

..ω

ω

31.玻耳兹曼分布 l

e a l l βεαω--=

32.玻色分布 1

-=+l

e

a l

l βεαω 33.费米分布 1

+=

+l e a l

l βεαω

34.配分函数的表达式 ∑-=l

l l e Z βε

ω1

35.内能的统计表达式 1ln Z N

U β

??

-= 36.广义作用力的统计表达式 1ln Z y

N Y ??

-

=β 37.熵的统计表达式 ???

?

????-=11ln ln Z Z Nk S ββ

38.玻耳兹曼关系 Ω=ln k S 某个宏观状态对应的微观状态数愈多,它的混乱度就愈大,熵也愈大. 39.0≥-A B S S 经绝热过程后,系统的熵永不减少 40.克劳修斯等式和不等式

02

2

11≤+T Q T Q 41.B A F F W -≤－ 系统在等温过程中对外所作的功不大于其自由能的减少. 42.0≤-A B F F 在等温等容条件下系统的自由能永不增加. 43. 0≤-A B G G 在等温等压条件下系统的吉布斯函数永不增加.

44. 普朗克公式 3

23(,)1

kT

V U T d d c e ω

ωωωωπ=-h h 45.费米动量和粒子数密度的关系式 ()

η3

123n p F π=

二 填空题 （卷面是一百个题） 1.理想气体的压强系数为

T 1，理想气体的体胀系数为T

1.

2．准静态过程在热力学理论中有着非常重要的地位，一方面在于如果没有摩擦阻力，外界在准静态过程中对系统的作用力可以用描写系统平衡状态的参量表达出来，另一方面在于如果没有摩擦阻力，外界在准静态过程中对系统的作用力可以用描写系统平衡状态的参量表达出来.

3.热力学第二定律的克劳修斯表述为不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其它变化 .

4.理想气体的初态为（T , A V ），末态为（T , B V ），其熵变为A

B

V V nR ln

. 5.克拉珀龙方程为

()

αβm

m V V T L dT dp -=. 6.对于费米系统，与分布{}l a 相应的微观状态数为

()∏-l l

l l l a a !!!

ωω. 7.根据能量均分定理，在温度T 时，单原子分子气体的定压热容量与定容热容量之比γ为. 8.热源T 吸收热量1Q ，放出热量2Q ，则熵变为

T

Q Q 2

1-. 9.磁介质的热力学基本方程为Hdm TdS dU 0μ+=，则有麦氏关系=???

????m S H S m T ??? ?

???01μ. 10.在体积V 内，在d εεε→+的内能范围内,相对论情形下三维自由粒子的的量子态数为

()

εεπd ch V

23

4. 11．气体分子的速率分布为dv v e

kT m n v kT

m 222

/32

24-

?

?

?

??ππ，则气体的平均速率=

v m

kT

π8.（计算公式2

3212

αα=

?

∞

-dx x e x ）

12.开系的热力学基本微分方程为dn pdV TdS dU μ+-=. 13.对于玻色系统，与分布{}l a 相应的微观状态数为

()()∏--+l l

l l l a a !1!!

1ωω. 14.根据能量均分定理，在温度T 时，双原子分子气体的定压热容量与定容热容量之比γ为. 15.热量Q 从高温热源1T 传到低温热源2T ，则熵变为???

?

??-1211T T Q . 16.磁介质的热力学基本方程为Hdm TdS dU 0μ+=，则有麦氏关系=???

????T H S H

T m ???

????0μ . 17.气体分子的速率分布为dv v e

kT m n v kT

m 222

/32

24-

?

?

?

??ππ，则气体的方均根速率=

s v m

kT

3.（计算公式2

/50

4832

απ

α=

?

∞

-dx x e

x ）

18.在等温膨胀过程中，理想气体从热源吸收热量，这热量全部转化为气体对外所作的功；在等温压缩过程中，外界对气体做功，这功通过气体转化为热量传递给热源.

19.在绝热压缩过程中，外界对气体做功，这功全部转化为气体的内能而使气体的温度升高.在绝热膨胀过程中，外界对气体所作的功为负值，实际上是气体对外界做功，这功是由气体在过程中所减少的内能转化而来的.

20.系统在等温过程中对外所作的功不大于其自由能的减少.换句话说，自由能的减少是在等温过程中从系统所能获得的最大功.

21.在等温等容条件下系统的自由能永不增加.在等温等容条件下，系统中发生的不可逆过程总是朝着自由能减少的方向进行的.

22.在等温等压条件下，系统的吉布斯函数永不增加，在等温等压条件下系统中发生的不可逆过程总是朝着吉布斯函数减少的方向进行的.

23.经绝热过程后，系统的熵永不减少.系统经可逆绝热过程后熵不变，经不可逆绝热过程后熵增加.在绝热条件下熵减少的过程是不可能实现的.

24.麦氏关系和雅可比行列式是进行导数变换运算的常用的工具.

25.统计物理学从宏观物质系统是由大量微观粒子组成这一事实出发，认为物质的宏观特性是大量微观粒子行为的集体表现，宏观物理量是相应微观物理量的统计平均值.、 26.将内能∑=

l

l

l a

U ε求全微分有∑∑+=

l

l

l

l

l

l

da

d a dU εε，第一项是粒子分布不变时由于外参量改变导致的能级改

变而引起的内能变换，第二项是粒子能级不变时由于粒子分布改变所引起的内能变化.第一项代表过程中外界对系统所作的功.第二项代表过程中系统从外界吸收的热量.在无穷小的准静态过程中系统从外界吸收的热量等于粒子在各能级重新分布所增加的内能.

27.范德瓦尔斯方程做位力展开的第二位力系数是RT

a b -

，第三位力系数是2

b . 28.孤立系统处在稳定平衡状态的必要和充分条件为0?F . 30.等温等压系统处在稳定平衡状态的必要和充分条件为0>?G . 三 选择题 （这里是三十五个题，卷面是四十个题）

1.一定量的理想气体，起始温度为T ，体积为0V .后经历绝热过程，体积变为20V .再经过等压过程，温度回升到起始温度，最后再经过等温过程，回到起始状态.则在此循环过程中（ A ） A.气体从外界净吸的热量为负值； B.气体对外界净作的功为正值； C.气体从外界净吸的热量为正值； D.气体内能减少.

2.根据热力学第二定律判断下列哪种说法是正确的（ D ）

A.热量能从高温物体传到低温物体，但不能从低温物体传到高温物体；

B.功可以全部变为热，但热不能全部变为功；

C.有规则运动的能量能够变为无规则运动的能量，但无规则运动的能量不能变为有规则运动的能量；

D.气体能够自由膨胀，但不能自动收缩.

3.若室内生起炉子后温度从15℃升高到27℃，而室内气压不变，则此时室内的分子数减少了（ B ）

A.0.5%； %； %； %.

4.关于热功转换和热量传递过程，有下面一些叙述(1)功可以完全变为热量，而热量不能完全变为功；(2)一切热机的效率都不可能等于l ；(3)热量不能从低温物体向高温物体传递；(4)热量从高温物体向低温物体传递是不可逆的. 以上这些叙述（ A ）

A ．只有(2)、(4)是正确的； B.有(2)、(3)、(4)正确； C. 有(1)、(3)、(4)正确； D.全部正确 .

5.一瓶氦气和一氮气密度相同，分子平均平动动能相同，而且它们都处于平衡状态，则它们（ C ） A.温度相同，压强相同； B.温度、压强都不相同；

C.温度相同，但是氦气的压强大于氮气的压强；

D.温度相同，但是氦气的压强小于氮气的压强.

6.一绝热密闭的容器，用隔板分成相等的两部分，左边盛有一定量的理想气体，压强为0P ，右边为真空，今将隔板抽去，气体自由膨胀，当气体达到平衡时，气体的压强是（ A ）

A ．0P ／2； B. 0P ； C.02P γ

； D. 0P ／γ2 (v p C C /=γ)

7.有一截面均匀的封闭圆筒，中间被一光滑的活塞分隔成两边，如果其中的一边装有0.1kg 某一温度的氢气，为了使活塞停留在圆筒的正中央，则另一边应装入同一温度的氧气的质量为：（ C ） A ．1/6kg ； B.0.8kg ； C.1.6kg ； D.3.2kg.

8.一绝热容器被隔板分成两半，一半是真空，另一半是理想气体．若把隔板抽出，气体将进行自由膨胀，达到平衡后(A ) A.温度不变，熵不变; B.温度升高，熵增加;

C.温度降低，熵增加;

D.温度不变，熵增加．

9.一定量的理想气体，经历某过程后，它的温度升高了.则根据热力学定律可以断定：(1)该理想气体系统在此过程中吸了热，(2)在此过程中外界对该理想气体系统作了正功，(3)该理想气体系统的内能增加了，(4)在此过程中理想气体系统既从外界吸了热，又对外作了正功.以上正确的断言是（A ） A.(3)； B.(1)(3)； C.(2)(3)； D.(3)(4).

10.质量一定的理想气体，从同一状态出发，分别经历等温、等压和绝热过程，使其体积增加一倍，那么气体温度的改变(绝对值)在（ D ）

A.绝热过程中最大，等压过程中最小；

B.绝热过程中最大，等温过程中最小；

C.等压过程中最大，绝热过程中最小；

D.等压过程中最大，等温过程中最小.

11.一定质量的理想气体的内能E 随体积V 的变化关系为一直线(其延长线过V E -图的原点)，则此直线表示的过程为 (B )

A.等温过程;

B.等压过程;

C.等容过程;

D.绝热过程.

12.所列四图分别表示某人设想的理想气体的四个循环过程.请选出其中一个在物理上可能实现的循环过程的图的标号（D）

13.按2

pV=恒量规律膨胀的理想气体,膨胀后的温度为（C）

A.升高;

B.不变;

C.降低;

D.无法确定

14.一定量理想气体经历的循环过程用V－T曲线表示如图．在此循环过程中，气体从外界吸热的过程是( A)

→B ； B. B→C；

→A； D. B→C和C→A.．

15．对于理想气体，下面的系数与

p

1

有关的是（B, D）.

A.体胀系数α；

B.等温压缩系数Tκ；

C.压强系数β;

D.绝热压缩系数Sκ.

16．下面的热力学量属于强度量的是（A, C）.

A.温度T；

B.等压热容量p C；

C.密度ρ；

D.内能U.

17．下面属于二级相变特征的是（C, D）.

A.可能出现亚稳态；

B.体积存在突变；

C.等温压缩系数存在突变；

D.磁化率存在突变.

18．对于理想气体，下面的系数为

T

1

的是（A, C）.

A.体胀系数α；

B.等温压缩系数Tκ；

V

O

A

B

C

)

(v f 0

C.压强系数 β;

D.绝热压缩系数 S κ. 19．下面的热力学量属于广延量的是（ B , D ）.

A.压强 p ；

B.等容热容量 V C ；

C.磁化强度 M ；

D.总磁矩m . 20．下面属于一级相变特征的是（ A , B ）. A.存在相变潜热； B.体积存在突变； C.热容量存在突变； D.磁化率存在突变.

1. 两个容器中分别装有氮气和水蒸气，它们的温度相同，则下列各量中相同的是（C ）

A ．分子平均动能；

B ．分子平均速率；

C ．分子平均平动动能；

D ．最概然速率.

2.两容器内分别盛有氢气和氦气，若它们的温度和质量分别相等，则（A ） A.两种气体分子的平均平动动能相等； B.两种气体分子的平均动能相等； C.两种气体分子的平均速率相等；

D.两种气体的内能相等.

3.已知分子的总数为N ，它们的速率分布函数为()v f ，则速率分布在21v v -区间内的分子的平均速率为（B ）

A.

?

2

1

V V dv v vf )(； B.??21

2

1

v v v v dv

v f dv

v vf )()(； C.

?2

1

V V dv v Nvf )(； D.

N

dv

v vf v v ?2

1

)(.

4．麦克斯韦速率分布曲线如图所示,图中A 、B 两部分面积相等,则该图表示(D )

A.0v 为最可几速率.

B.0v 为平均速率.

C.0v 为方均根速率.

D.速率大于和小于0v 的分子数各一半.

5.容器中储有定量理想气体,温度为T ,分子质量为m ,则分子速度在x 方向的分量的平均值为:（根据理想气体分子模型和统计假设讨论）（ D ）

6.在一容积不变的封闭容器内理想气体分子的平均速率若提高为原来的2倍，则（ D ）

A.温度和压强都提高为原来的2倍；

B.温度为原来的2倍，压强为原来的4倍；

C.温度为原来的4倍，压强为原来的2倍；

D.温度和压强都为原来的4倍. 7.当气体的温度升高时，麦克斯韦速率分布曲线的变化为（B ）

A ．曲线下的面积增大，最概然速率增大；

B ．曲线下的面积不变，最概然速率增大；

C ．曲线下的面积增大，最概然速率减小；

D ．曲线下的面积不变，最概然速率减小.

8.一定量氦气(He)和甲烷(CH 4)，都可视为理想气体，温度相同.那么它们分子的平均速率之比4:CH He υυρ

ρ为（D ）

:4; :1; :2; :1.

9.一定量氢气和氧气，都可视为理想气体，它们的温度相同，那么它们分子的平均速率之比为（B ） ：4； ：1； ：16. ：1 .

10．当系统含有两种费米子，其粒子数分别为N 和N '，总能量为E ，体积为V ，l ε和l ε'是两种粒子的能级，两种粒子的分布{}l a 和{}l a '必须满足条件（ C ）才有可能实现. ①0=∑l

l

a

δ； ②0='∑l

l a δ； ③0='+∑∑l

l l

l a a δδ；

④

0=∑l

l

l a δε； ⑤0=''∑l

l l a δε； ⑥0=''+∑∑l

l l l

l l a a δεδε.

A.③⑥；

B.③④⑤；

C.①②⑥；

D.①②④⑤.

11．设系统含有两种玻色子，其粒子数分别为N 和N '.粒子间的相互作用很弱，可以看作是近独立的.l ε和l ε'是两种粒子的能级，l ω和l ω'是能级的简并度.则在平衡状态下两种玻色子的最概然分布分别为（ A , C ）. A.1

-'

=

''+'l e a l l εβαω； B.1

-'

=

'''+'l e a l l εβαω；

C.1

-=

+l

e

a l

l βεαω； D.1

-'

=

''

'+l e

a l l εβαω.

12．非简并条件为（A , B , C , D ）.

A.1>>α

e ； B.

1<

l

a ω；

C.2

/13

/121?

?

? ??>>??? ??mkT h N V π； D.13

<<λn .

13．当系统含有两种玻色子，其粒子数分别为N 和N '，总能量为E ，体积为V 时，两种粒子的分布{}l a 和{}l a '必须满足条件（ B ）才有可能实现. ①

N a

l

l

=∑； ②N a l

l '='∑； ③N N a a l

l l

l '+='+∑∑；

④

E a

l

l

l =∑ε； ⑤E a l

l l '=''∑ε； ⑥E a a l

l l l

l l =''+∑∑εε.

A. ①②④⑤；

B. ①②⑥；

C. ③④⑤；

D. ③⑥.

14．设系统含有两种费米子，其粒子数分别为N 和N '.粒子间的相互作用很弱，可以看作是近独立的.l ε和l ε'是两种粒子的能级，l ω和l ω'是能级的简并度.则在平衡状态下两种费米子的最概然分布分别为（A , C ）. A.1

+=

+l

e

a l

l βεαω； B.1

+'

=

''

'+'l e

a l l εβαω；

C.1

+'

=

''+'l e a l l εβαω； D.1

+'

=

'''+l e a l l εβαω.

15．下列哪些条件容易使得经典极限条件容易得到满足（ A , B , C , D ）. A.气体愈稀薄； B.温度愈高；

C.分子的质量愈大；

D.气体中分子的平均距离远大于德布罗意波的平均热波长. 四 简答题（这里是二十七个题，卷面是四十个题） 1.试用熵的概念解释为何盐水的结冰温度比纯水略低.

答：结冰减少溶液中盐的有效体积，使盐的熵减少；而体系总沿熵增方向演化，结冰不利于盐的熵增加。竞争的结果是盐水结冰温度比纯水略低。

2.试写出三维自由电子气体、光子气体低温比热与温度的关系. 答：三维自由电子气体：T C ~；光子气体：3

T C ~. 3.试用熵的概念解释为何盐水的沸点比纯水略高.

答：水蒸汽减少溶液中盐的有效体积，使盐的熵减少；而体系总沿熵增方向演化，蒸发不利于盐的熵增加。竞争的结果是盐水沸点温度比纯水略高。 4.绝热过程是否一定是等熵过程举例说明.

答：不是；例如理想气体的自由膨胀，绝热，但熵发生改变。 5.图为金、银、铜低温热容量，由此推断哪种金属中声速最大

答：铜中声速最大，因为比热3

???

? ??∝D T

T

C ,33T c C c T S S

D -∝?∝,声速最大者对应于图中斜率最小. 6.两相同气泡B A ,从湖底冒出，A 上升快视为绝热，B 上升慢保持与湖水等温.设湖水温度与深度无关，试问到达湖面时哪个气泡较大.简述理由.

答:B 大，V p -图中绝热线比等温线陡。同初态到同压强末态，等温气泡体积大。 7.图为金、银、铜低温热容量，试写出热容量的共同函数形式并说明各项的意义.

答:3

AT T C V +=γ，线性项为金属中自由电子的贡献，立方项为晶格振动的贡献.

8.试在下边T -μ图中定性画出一段单元单相物质的等压曲线.

答:单调下降的上凸曲线，因为0<-=???

????S T p μ，且0>???

????=p

p T S T c 。

9.给出32,=n 维的完全相对论自由粒子（pc =ε）的态密度()εD .

答:二维：()222D h

c A ε

πε= ； 三维：()3324D h c V επε=.

10.试从微观物理图象解释为何缓慢推进活塞的绝热过程熵不变，而同为绝热过程的突然推进，熵却发生改变.

答：缓慢推进，各粒子仍然处在原来的状态，故配分函数、熵不变；突然推进，粒子会跃迁到其他状态，

配分函数、熵也就发生改变。

11.A 、B 分别为理想气体的等温和绝热线，试问哪条是等温线，简述理由.

答：A 是等温线，因为V p -图中绝热线比等温线陡或从等温,const pV =绝热1>=γ,const pV r

加以解释。 12.试简要解释为何常温下不考虑电子的比热.

答：只有能量在μ附近、量级为kT 的范围内的电子对热容量有贡献。以有效N 表示能量在μ附近kT 范围内对热容量有贡献的有效电子数N kT

N μ=

有效。将能量均分定理用于有效电子，每一有效电子对热容量的贡献为kT 2

3

，则金属中自由电子对热容量的贡献为F

V T T

Nk kT Nk C 2323=???? ??=

μ。在室温范围2701≈F T T ，所以在室温范围，金属中自由电子对热容量的贡献远小于经典理论值。与离子振动的热容量相比，电子的热容量可以忽略不计。 13.图中实线为某物质的一段固液相界，0T T =时固液两相中哪一相的摩尔体积大哪一相的摩尔熵大

答：V V p T

?=????

????μ小的相可等温加压得到，故固态摩尔体积小。由?=V S dT dp ??斜率为负，故固态摩尔熵大.

14.由能量均分定理给出双原子分子理想气体的内能和热容量.

答：双原子分子有平动和转动（常温不考虑振动），其能量有五个平方项。根据能量均分定理，在温度T 时，双原子分子的平均能量为kT 25=

ε，则双原子分子理想气体的内能为NkT U 25=，定容热容量Nk C V 2

5

=，定压热容量Nk C p 2

7

=

. 15.由能量均分定理给出单原子分子理想气体的内能和热容量.

答：单原子分子只有平动，其能量有三个平方项。根据能量均分定理，在温度T 时，单原子分子的平均能量为kT 2

3

=ε，则单原子分子理想气体的内能为NkT U 23=

，定容热容量Nk C V 23=，定压热容量Nk C p 2

5

=. 16.对一级相变，熟知化学势μ连续，焓H 、内能U 、自由能F 是否连续对二级相变，这些函数是否连续

答：TS G H +=，TS pV G U +-=，pV G F -=，对于一级相变：S ，V 不连续，故H 、U 、F 不连续(3分)；对于二级相变：S ，V 连续，故H 、U 、F 连续.

17.写出32,=n 维非相对论自由粒子（m p 22

/=ε）的态密度()εD .

答：二维：()2

2h Am

D πε=(3分)；三维：()()312

322h m V D επε=(3分).

18.试根据热力学第二定律说明空窖辐射的内能密度只取决于温度，与空窖的其它特性无关.

答:设想有两个空窖，温度相同但形状、体积和窖壁材料不同。开一小窗把两个空窖联通起来，如果能量密度在两窖不等，能量将通过小窗从内能密度较高的的空窖辐射到内能密度较低的空窖使前者温度降低后者温度升高。这样就在温度相同的两个空窖自发的产生温度差，热机可以利用此温度差吸取热量而作功。这违背热力学第二定律，显然是不可能的。所以空窖辐射的内能密度只取决于温度，与空窖的其它特性无关。 19.室温下某半导体中导电电子的数密度为20

10

=n m -3 ,试说明该种电子气体是否为简并气体.电子的质量

31101.9-?=e m kg,普朗克常量3410626.6-?=h J ·s,玻尔兹曼常量2310381.1-?=k J ·K -1 .

解:13

<<λn 的情形下费米气体满足非简并性条件，遵从玻尔兹曼分布；反之，13

>>λn 的情形下，气体形成强简并

的费米气体。2

3

2

32???

?

??=mkT h

n n πλ，将300=T K ，2010=n m -3 代入，得110

5

3<<≈-λn ，说明该半导体中的导电

电子是非简并气体。

20.试根据热力学第二定律说明气体的自发压缩过程是不可能的.

解:假设气体的自发压缩过程是可能的，令该过程与等温膨胀过程联系在一起构成一个循环过程。理想气体的等温膨胀过程从单一热源吸热而将之全部转化为机械功，同时伴随着理想气体的体积膨胀，如果气体的自发压缩过程是可能的，则可以让膨胀的体积回复到原来的体积大小。这样该循环的净结果就是从单一热源吸热而将之全部转化为机械功而不引起其它变化，违背了热力学第二定律的开氏表述，因此气体的自发压缩过程是不可能的。

21.室温下某金属中自由电子气体的数密度28

106?=n m -3 ,试说明该种电子气体是否为简并气体.电子的质量

31101.9-?=e m kg,普朗克常量3410626.6-?=h J ·s,玻尔兹曼常量2310381.1-?=k J ·K -1 .

解:13

<<λn 的情形下费米气体满足非简并性条件，遵从玻尔兹曼分布；反之，13

>>λn 的情形下，气体形成强简并

的费米气体。2

3

2

32????

??=mkT h

n n πλ，将300=T K ，28106?=n m -3

代入，得1103

3>>≈λn ，说明该金属中的自

由电子形成强简并的费米气体。

22．某一热力学系统的热力学基本微分方程为dU TdS Ydy =+，写出相应的麦氏关系。

答：S y y T S Y ???? ????=???

????， Y S S y Y T ??? ????-=??? ????，y T T Y y S ???

????-=???? ????，Y T T y Y S ??? ????=??? ?

??? 23．根据热力学第二定律说明两条绝热线不能相交。

答：假设在V p -图中两条绝热线交于C 点，为了构造一个循环过程，画一条等温线与两条绝热线分别交于A 点和B 点，如图所示。

在循环过程ABCA 中，在等温过程AB 中系统p

从外界吸取了热量Q ，在绝热过程中系统与外界无热量的传递。而在循环过程中系统对外界做功W ，根据热力学第一定律有Q W =。这样

一来，系统在上述循环过程中就从单一热源吸热并将之完全转变为功了，这违背了热力学第二定律的开尔文表述，是不可能的。因此两条绝热线不能相交。

24．求出与玻色系统分布{}l a 相应的系统的微观状态数。

答：（1）对于玻色系统，粒子不可分辨，每一个个体量子态能够容纳的粒子数不受限制。（2）首先计算l a 个粒子占据能级l ε上的l ω个量子态有多少种可能的方式。量子态用数字l ω,,2,1Λ标记，粒子用ο标记，将所有的量子态的标记和粒子的标记排成一行，使最左方为量子态的标记1。例如：Λοοοοοοοοοο53421令任何一种这样的排列代表粒子占据各量子态的一种方式。（3）由于最左方固定为量子态的标记1，其余的量子态和粒子的总数是()1-+l l a ω个，将它们加以排列共有()1-+l l a ω！种方式。因为粒子是不可分辨的，应除去粒子之间的相互交换数l a ！和量子态之间的相互交换数()1-l ω！。则l a 个粒子占据能级l ε上的l ω个量子态有

)!

1(!)!

1(--+l l l l a a ωω种可能的方式。（4）将各能级的结果

相乘，就得到玻色系统与分布}{l a 相应的微观状态数为∏--+=

Ωl l

l l l a a )!1(!)!

1(ωω 25．忽略磁介质的体积变化，写出与磁介质的热力学基本微分方程0dU TdS HdM μ=+相应的麦氏关系。 答：M S S H M T ??? ????=???

????0μ， H S S M H T ??? ????-=??? ????0μ， H T T M H S ??? ????=??? ????0μ，M

T T H M S ???

????-=??? ????0μ 26．画出用反证法证明热力学第二定律的两个表述等效的示意图。

V

27．求出与玻尔兹曼系统分布{}l a 相应的系统的微观状态数。

答：（1）对于玻耳兹曼系统，粒子可以分辨，每一个个体量子态能够容纳的粒子数不受限制。（2）首先计算l a 个粒子占据能级l ε上的l ω个量子态有多少种可能的方式。单个粒子占据l ω个量子态的方式有l ω种方式,由于每一个个体量子态能够容纳的粒子数不受限制，则l a 个粒子占据l ω个量子态有l a

l ω方式。（3）将各个能级的结果相乘

l

a l

l

ω

∏，但是

由于粒子是可以分辨的，因此需要再乘以不同能级上的粒子交换数。该交换数等于所有粒子的交换数!N 除以各个能级上的粒子的粒子交换数

!l

l

a ∏。（4）这样得到玻耳兹曼系统与分布}{l

a 相应的微观状态数为

∏∏=

Ωl

a l

l

l l

a N ω!! 五 计算证明题（这里有二十个题，卷面是三十个题） 1.推导出三维空间热平衡辐射的普朗克公式.

解：平衡态下光子气体的化学势为零，因此光子气体的统计分布为1

l l

l a e βεω=

-，光子的自旋在动量方向的投影可取±h

两个可能值，因此在体积为V 的空窖内，在p 到p dp +的动量范围内，光子的量子态数为

2

38V p dp h π，由于cp εω==h ，所以在体积为V 的空窖内，在ω到d ωω+的圆频率范围内，光子的量子态数为223V

d c

ωωπ，则平均

光子数为2231kT V d c e ωωωπ-h ，则辐射场内能按频率的分布公式为3

23(,)1

kT

V U T d d c e ω

ωωωωπ=-h h .此即普朗克公式. 2. 写出三维空间中热平衡辐射的平均光子数公式和普朗克公式,并据此求平均总光子数、内能.

解：平均光子数为2231

kT V d c e ωωωπ-h ，积分可得总平均光子数3

324042??

?

??ηkT c V π..

普朗克公式为323(,)1

kT V U T d d c e ω

ωωωωπ=-h h ,将上式积分，可求得空窖辐射的内能3230

1

kT

V

U d c

e

ωωωπ∞

=-?

h h ，引入变量 x kT ω=h ， 4

3

230

1

x

V kT x U dx c e π∞

??=

?-??

?

h h 求出积分，得 2443315k U VT c π=h .

3.计算异核双原子分子转动自由度在常温时量子情况下的内能和热容量.

解：转动能级为(),......,,,210212

=+=

l I

l l r

ηε，l 为转动量子数.能级的简并度为12+l ，因此转动配分函数为()()∑∞

=+-

+=o

i IkT

l l r e

l Z 211

212η.引入转动特征温度r θ，r k I θ=22η，可以将r Z 1表为()()∑∞=+-+=0

1112i l l T r

r e l Z θ

，转动特征温度r θ取决于分子的转动惯量，可以由分子光谱的数据定出.在常温范围，

1<

r

θ，在这情形下当l 改变时，

()1+l l T

r

θ可以

近似看成准连续变量.因此，求和可以用积分代替.令()

()

T

l dx T

l l x r

r

θθ12,1+=+=，即有

2

12ηβθθI T

dx e T

Z r

x r

r =

=

=

?

∞

-，由此得NkT Z N U r r

=??-=1ln β

，Nk C r V =. 4.试求0K 时三维电子气体的费米动量和费米温度．

解：考虑电子自旋有两种取向后，三维电子气体在

εεεd +→的能量范围内电子的量子态数为

()()εεπεεd m h

V

d D 21

23324=.所以0K 时电子的最大能量由下式确定

()

()N d m

h V =?

εεπμ212300

2

24，即()3

222320/?

?

? ??=V N m πμη.则费米动量为()η3

12302???

??=V N m p F πμ,费米温度为()3

/222320?

?

? ??==V N mk k T F πμη.

5. 试求0K 时三维电子气体内能和简并压．

解：考虑电子自旋有两种取向后，三维电子气体在

εεεd +→的能量范围内电子的量子态数为

()()εεπεεd m h

V

d D 21

23324=.所以0K 时电子的最大能量由下式确定

()

()N d m h

V =?

εεπμ212300

2

24，即()3

222320/?

?

? ??=V N m πμη.内能为()()()

()05

324000

2

32

33μεεπμN d m h

V

U ==?

. 所以简并压为

()05232μn V U p ==. 6.计算双原子分子振动自由度在常温下量子情况的内能和热容量.

解：量子情况时一维振动的能级为1

()2

n n εω=+h ，0,1,2,n =L 对应的简并度为1，因此振动配分函数为

1

()

2

n n Z e

βω∞

-+==∑h 即21e Z e βω

βω-

-=-h h 因此振动对内能的贡献为ln 21

N N U N Z e βω

ωω

β?=-=+?-h h h 则振动对定容热容量的贡献为()2

/2

/1kT V kT V U e C Nk T kT e ωωω?????

== ? ??????-h h h 在常温时，因为kT ω>>h ，则上式化简为2

/kT

V V U C Nk e

T kT ωω-?????== ? ??????

h h 7. 试用正则分布计算顺磁性固体的物态方程、内能和熵. 解：离子磁矩的大小为

μ，在外场中能量的可能值为B μ-和B μ，则配分函数为

()

()()

N

B

B N

i B i N B i e e e i N i N Z μμμμ-=--+=-=∑1!!!

.磁化强度为Z V M ln 1ββ??=B

B B B e e e e n βμβμβμβμμ--+-=??

?

??=kT B n μμtanh ，内能为

mB kT

B

B N Z U -=-=??-

=μμβtanh ln ，

熵

为

???

??

???? ????? ??-??? ??+=???? ????-=kT B kT B kT B Nk Z Z k S μμμββtanh lncosh 2ln ln ln . 8.试用玻尔兹曼分布求顺磁性固体的居里定律

解：顺磁性固体可以看作是由定域近独立的磁性离子组成的系统，遵从玻尔兹曼分布.离子磁矩的大小为μ，在外场中能量的可能值为B μ-和B μ，则配分函数为B B

e e

Z βμβμ-+=1.

磁化强度为1ln Z n M ββ??=B

B B B e e e e n βμβμβμβμμ--+-=??

? ??=kT B n μμtanh 弱场和高温极限下，kT B e kT

B

μμ±≈±1，则H T

C

B kT n M ==2μ，这就是居里定律，其中 k n

C /02μμ=.

9.试用玻尔兹曼分布求顺磁性固体的内能和熵

解：顺磁性固体可以看作是由定域近独立的磁性离子组成的系统，遵从玻尔兹曼分布.离子磁矩的大小为μ，在外场中能量的可能值为B μ-和B μ，则配分函数为B B

e e

Z βμβμ-+=1.

磁化强度为1ln Z n M ββ??=B

B B B e e e e n βμβμβμβμμ--+-=??

?

??=kT B n μμtanh 内能为mB kT B B N Z N U -=-=??-=μμβtanh ln 熵为???

???

??? ????? ??-??? ??+=???? ????-=kT B kT B kT B Nk Z Z Nk S μμμββtanh lncosh 2ln ln ln 11

10. 试用正则分布求单原子分子理想气体的物态方程、内能和熵.

解：单原子分子气体只需考虑分子的平动，平动能量是准连续的，可以应用经典统计理论处理.有N 个单原子分子组成的理想气体，其能量的经典表达式为

∑==N

i i m

p E 312

2则配分函数

Z

为

N N m

p N dp dp dq dq e h N Z N

i i 31312331

2

!1ΛΛ?∑==-β

i m

p N i N N

dp e

h N V i

?

-=∏=23132β!2

322!N

N

h m N V ???

?

??=

βπ.

气体的压强为,V NkT Z V p =??=

ln 1β或NkT pV =，这就是物态方程.气体的内能为NkT Z U 2

3

ln =??-=β.气体的熵为???

? ????-=Z Z k S ln ln ββ.252ln ln ln 2323

2???

?????+??? ??++=h mk Nk N V Nk T Nk π 11.计算空窖辐射系统的内能、熵和化学势.

解：由于能量密度只是温度T 的函数，则平衡辐射的总能量(,)U T V 可以表为(,)()U T V u T V =利用热力学公式

T V U p T p V T ??????

=- ? ?

??????可得33T du u u dT =-即4du T u dT =积分得4u aT =a 是积分常数.所以4U uV aT V ==.因为dU pdV

dS T

+=

4311()3d aT V aT dV T =

+23443aT VdT aT dV =+34()3ad T V =所以34

3

S aT V =.因为43441033G U TS pV aT V T aT V aT V =-+=-?+?=，所以0G

n μ==.

12.将质量相同而温度分别为1T 和2T 的两杯水在等压下绝热的混合，求熵变. 解：两杯水等压绝热混合后，终态温度为

2

2

1T T +.以T 、p 为状态参量，两杯水的初态分别为()()p T p T ,,21和，终态为??

?

??+p T T ,221.根据热力学基本方程，T pdV dU dS +=，由于dS 是完整微分，可以沿联结初态和终态的任意积分路径进行积分来求两态的熵差.既然两杯水在初态和终态的压强相同，在积分中可令压强保持不变.在压强不变时，

pdV dU dH +=，故T dT C T dH dS p ==，积分后得两杯水的熵变分别为1

21212ln 2

11T T T C T dT C S T T T p p +==?+?，?

++==222122

12

2ln T T T p p T T

T C T

dT C S ?，总的熵变等于两杯水的熵变之和()2

12

2

1214ln T T T T C S S S p +=+=???.

13．试求导克拉珀龙方程

()

αβm

m V V T L dT dp -=. 证明：平衡共存的两相分别用α和β标记，根据复相平衡的条件可知T T T αβ== ， p p p αβ==，

(,)(,)T p T p αβμμ= 则d d αβμμ=,因为dp V dT S d m m --=μ, 所以dp V dT S dp V dT S m m m m β

βαα--=--则

()

α

βαβαβm

m m m m m V V T L V V S S dT dp -=--=,其中()α

βm m S S T L -= 14．试证明关系式2

p V T

VT C C ακ-=

（证明过程使用复合函数变换的方法）.

证明：等压热容量和等容热容量之差为V

p V p T S T T S T C C ???

????-???

????=-.选T ，p 为状态参量，

)],(,[),(p T V T S p T S =，关于T 求偏导，有p

T V p T V V S T S T S ???

??????? ????+??? ????=??? ????

p T V p T V V S T S T S ??? ??????? ????=??? ????-??? ????p V T V T p ??? ??????? ????=,V p T S T T S T ??? ????-??? ????p V T V T p T ???

??????? ????= V p C C -T

p V TV TpV T V T p T καβα2)()(==????=

15．只保留第二位力系数，昂尼斯方程近似为1()nRT n p B T V

V ??=

+????

.试用该方程对焦汤效应进行分析. 证明：由于修正项

()n B T V 远小于1，在该修正项中以零级近似n p

V RT

=

代入昂尼斯方程中有 1()nRT p p B T V RT ??=+ ???或()RT V n B T p ??=+ ???

则p T p H p

V H

T V T p

T H

p C T μ??????

- ? ??????????==-= ?????

?? ????，把V 代入则

p n dB T T C dT μ??=

- ???

dB T dT 都是正的，在足够的温度下B 取负值，此时0μ>，温度足够高时使B 取正值，有可能使0μ<。此即为焦汤效应。

16.只保留第二位力系数，昂尼斯方程近似为1()nRT

n p B T V

V ??=+????

.试用该方程分析为何在气体自由膨胀实验中体现不出实际气体的效应. 证明：由于修正项

()n B T V 远小于1，在该修正项中以零级近似n p

V RT

=

代入昂尼斯方程中有 1()nRT

p p B T V

RT ??=

+ ???

,则

V T U

V V

p U p T T T V U

V C T ??????

- ? ?

?????????=-= ??????? ????，把

p

代入则

2

2U V T RT dB n V C dT V ?????=- ? ??????可见焦耳系数与2

n V ??

???

有关，因此体现不出实际气体的效应。

17.试求导简单系统的开系的热力学基本微分方程dU TdS pdV dn μ=-+.

证明：)(m nU d dU =dn U ndU m m +=dn U pdV TdS n m m m +-=)(,因为dn S ndS nS d dS m m m +==)(,

dn

V ndV nV d dV m m m +==)(,所以

dn U dn pV pdV dn TS TdS dU m m m ++--=

dn pV TS U pdV TdS m m m )(+-+-=dn pdV TdS μ+-=,其中m m m pV TS U +-=μ.

18．试证明关系式2

p V T

VT C C ακ-=

（证明过程使用雅可比行列式）.

证明：p

p T S T C ???

????=)

,()

,(p T p S T ??= =),(),(),(),(),(),(V T p T V T p T p T p S T

??????)

,(),()

,(),(V T p T V T p S T ????=T

V

T T V V p T p V S V p T S T

??? ??????? ??????? ????-??? ??????? ????=