计算结构力学课程讲义

第1章绪论

1.1 课程内容

(1) 研究内容

本课程主要研究工程结构计算机分析（数值分析）的常用方法——有限单元法、加权残数（余量）法和边界单元法的基本概念、基本原理及其应用。

(2) 参考书籍

课程的主要参考书籍如下：

唐锦春，孙炳楠，郭鼎康，计算结构力学，浙江大学出版社，1989

丁皓江, 谢贻权, 何福保，弹性和塑性力学中的有限单元法，机械工业出版社，1989

王勖成，有限单元法，清华大学出版社，2003

王勖成，邵敏，有限单元法基本原理及数值方法，第二版，清华大学出版社，1997

徐次达，固体力学加权残数法，同济大学出版社，1987

孙炳楠，项玉寅，张永元，工程中边界单元法及其应用，浙江大学出版社，1991 Bath, K. J. Finite Element Procedures, Prentice-Hall, Inc., 1996.

Zienkiewicz, O. C., The Finite Element Method, 5th Edition, McGraw Hill, 2001.

Brebbia, C.A., The Boundary Element Method for Engineers, Pentech Press, London, 1978.

Chandrupatla, T. R., Belegundu, A.D. Introduction to Finite Elements in Engineering, Prentice-Hall, Inc., 2002.

1.2 结构分析方法概述

一个工程技术问题总可由一组基本方程（通常是微分方程）加一组边界条件描述，即由下式给出：

基本方程：L(u)-p=0，∈V（域内）

边界条件：B(u)-g=0，∈S（边界）

式中L、B为算子，p、g为已知函数。

工程技术问题的常用分析方法有：

(1) 解析方法

只适用于少数简单问题，即形状规则且外部作用（如外荷载）简单的结构分析

问题。

(2) 数值方法

数值方法可分为区域型方法和边界型方法。常用的区域型方法包括有限差分法、加权残数法、里兹(Ritz)法（变分法）和有限单元法等，其中有限差分法是直接对基本微分方程进行离散，再对离散后的代数方程进行求解；后几种方法则是先建立基本方程（一般是微分方程）的等效积分表达式，再进行离散求解。边界型方法中最典型的是边界单元法。它是先将基本微分方程变换为等效的边界积分方程，再在边界上对其进行离散求解。

例如，图1.1给出了一个受复杂横向荷载（分布荷载、集中力、集中力偶等）作用的两端固定变截面梁。为求梁的挠度和内力，可列出梁的基本方程和边界条件如下：

图1.1 变截面单跨梁受横向荷载作用

基本方程：L(u )-p =0，∈V （域内）

——EI (x )y ’’= -M (x ), 0≤x ≤l .

边界条件：B(u )-g =0， ∈S （边界）

——(y )x =0或x =l =0，(y ’)x =0或x =l =0

以下分别就采用加权残数法、里兹法（位移变分法）和有限单元法的基本原理进行讨论。

(1) 加权残数法

为求近似解，设试探函数∑==m

k k k u u 1α代入基本方程和边界条件，得残值：

R L =L(u )-p （域内），R B =B(u )-g （边界）

迫使残值在某种平均意义（加权积分）上等于零，则有

0d d =?+?S S

j B V j L S W R V W R

由此可得到关于待定系数αi 的代数方程组，解方程可求得待定系数及解答的近似表达式，其中的试函数可以选择多项式、三角函数、样条函数等。

b

h (x )

(2) 里兹法（位移变分法）

里兹法的理论依据是最小势能原理。该原理可表述为：给定外力作用下，满足几何条件的各种可能位移中，真实的位移使总势能取极值，据此有

δ(U +U R )=0

假设满足位移边界条件的位移函数为：

∑=i

i i u A u

将其代入方程得到关于待定系数A i 的代数方程，解方程可得A i 。

里兹法需要在整个计算区域上假设近似函数，很难适应形状（边界）较复杂或解答较难预测的问题。

(3) 有限单元法

有限单元法的理论依据是最小势能原理或其他形式的变分原理。该方法及里兹法的主要区别是不在整体计算区域上假设近似函数，而是先将连续的求解区域离散为一个由有限个单元组成并按一定方式相互连接的单元集合体，再以各单元连接结点处的场量（如位移量）作为基本未知量，在各单元内假设近似函数（通过结点未知量插值得到），从而将一个无限自由度问题简化为有限自由度问题。

图1.2 一维试函数的分段假设

例如图1.2中的曲线是某个一维问题的目标函数曲线，若采用里兹法对整个区段假设一个近似的试函数，显然比较困难。但如果现对整个区域进行分段（如图中短线为分段线），再对各个区段假设试函数，则要简单和准确得多，如可将各区段均假设为二次函数。哟次可见，有限单元法可视为一种分片（或分块、分段）形式的变分法。

虽然有限单元法的理论依据和里兹法是一致的，但采用了分片（或分块、分段）假设试函数的处理方法以后，使得该方法的具体实施变得简便易行，具有了优越的可操作性和更为明确的物理意义，也使得该方法具有了其他方法（如里兹法）所不具备的优点：

1) 概念简单、明确，易为工程人员接受；也可建立严格的数学分析和证明；

2) 适用性十分广泛，适应于各类复杂边界和不同外部作用的问题；

3) 求解过程程序化，易于编程和计算机实现。

1.3 课时安排

课程的总体课时安排如下：

有限单元法部分包括概论、进展；平面三角形、矩形、等参元；杆元、板元等，共约20个课时；加权残数法部分包括基本原理、方法分类，以及伽辽金（Galerkin）方法、最小二乘法的应用，共需约4～6个课时；边界单元法主要包括基本原理（以二维势问题为例）；梁弯曲和板弯曲问题，共需约4～6个课时。

思考题

1.1区域型分析法和边界型分析法在对问题的基本方程和边界条件的处理上有何不

同和相同点？试分别举例说明。

1.2里兹法和有限单元法的理论依据、基本未知量的选取、试函数的假设等方面有

何异同点？

1.3及里兹法相比，有限单元法在解决复杂问题上的适应性更为广泛，你认为主要

的原因在于那些方面？

第2章有限单元法

2.1 概述

2.1.1 发展概况

有限单元法的发展概况：

1943年R. Courant尝试应用三角形区域上定义的分片连续函数和最小势能原理解决St. Venant扭转问题，是较早的有限元思想的体现：

R. Courant, Variational Methods for the Solution of Problems of Equilibrium and Vibrations, Bulletin of the American Mathematical Society, 49: 1-23, 1943 1956年M.J. Turner，R.W. Clough等将刚架矩阵位移法推广到弹性力学平面问题，开始了有限元的第一个成功尝试和应用；用直接刚度法建立单元刚度特性：M.J. Turner, R.W. Clough, H.C. Martin and L.T. Topp, Stiffness and deflection analysis of complex structures, J. Aeronaut. Sci., 25: 805-823, 1956

1960年Clough第一次提出“有限单元法（FEM）”的名称，沿用至今。

Zienkiewicz等——编写第一本有限元方面专著：

O.C. Zienkiewicz and Y.K. Cheung, The Finite Element Method in Continuum and Structural Mechanics, McGraw-Hill, New York, 1965

1963-1964年发现该方法是基于变分原理的里兹法的另一种形式，确立其理论基础。我国冯康在同一时期独立提出并证明了该方法：

Melosh证明了位移法就是基于最小势能原理的Rayleigh-Ritz法

冯康，基于变分原理的差分格式，应用数学和计算数学，1965，2(4): 238-262 1960至今：实际工程应用：平面?空间?板壳；静力?动力、波动?稳定；弹性?塑性?粘弹性、复合材料；固体?流体、传热等连续介质力学；计算分析?优化设计、及CAD技术结合。

E.L. Wilson：编写了第一个公开的有限元软件SAP；

通用有限元软件：SAP、ADINA、NASTRAN、ANSYS、ABAQUS、MIDAS 等

从半个多世纪以来有限单元法的萌芽、理论依据的证明和充实及其逐步的广泛应用可以看到，它的发展和计算机软硬件的发展基本上是同步的。如果没有计算机的强大软硬件支撑，有限单元法只有其微不足道的一点理论上的意义，而没有更为重要的实际应用的意义。

2.1.2 有限单元法概念

(1) 离散化

离散化的过程是将连续体划分为有限数目、有限大小的单元的集合体。单元及单元之间只在指定点（即结点）连接，其他位置则一般保持连续即可。单元可以具有不同的形状，即单元外形可以不同；单元及单元之间可以有不同的连接方式，即单元的结点数目、位置可以不同。

图2.1 连续体离散为单元集合体示例

(2) 单元分析

对典型单元假设位移模式（由各结点位移插值），再分析单元的力学特性，建立单元的结点力及结点位移之间的关系，即单元刚度方程：

{F }e =[k ]{?}e ）

并将各类荷载变换为作用在结点上的等效结点荷载。

(3) 整体分析

将各单元刚度方程集成整体结构的整体刚度方程：

{F }=[K ]{?}

根据结点的平衡条件，得最终的有限元方程：

[K ]{?}={R }

求解该方程可得到未知的结点位移。

(4) 再次单元分析

求出各单元的应变和应力。

2.2 弹性力学平面问题的矩阵描述

2.2.1两类平面问题

弹性力学的平面问题可分为平面应力问题和平面应变问题两类。实际上，所有的弹性力学问题都是空间问题。所谓平面问题，并不是说这个问题所分析的对象本身（如形状、荷载分布）是平面的，而是指该问题的形状、外部作用以及问题的解答（即由此产生的效应，如位移、应力等）只在平面内有变化，而沿着平面外就保持不变了。因此可以肯定地说，所谓的平面问题就是一个特殊的空间问题。

那么，是不是一个问题的形状和外部作用（即已知的位移和应力边界条件）只在平面内发生变化，而沿着平面外保持不变了，这个问题就是平面问题呢？不是的，还必须附加其他条件，这一结论才能成立。这个附加条件就是该问题沿平面外的尺寸及平面内尺寸相比要么非常小（如无限短），要么非常大（如无限长）。如果符合前者条件，则弹性体内只存在平面内的应力，而平面外的应力均为零，故这类问题称为平面应力问题；如果符合后者条件，则弹性体内只存在平面内的位移或平面内的应变，而平面外的位移及应变均等于零，故这类问题称为平面应变问题。

图2.2 平面应力问题示例

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