函数的可导性与连续性的关系教案汇总
函数的可导性与连续性的关系教案
教学目的
1．使学生理解函数连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件．
2．使学生了解左导数和右导数的概念．
教学重点和难点
掌握函数的可导性与连续性的关系．
教学过程
一、复习提问
1．导数的定义是什么？
2．函数在点x0处连续的定义是什么？
在学生回答定义基础上，教师进一步强调函数f(x)在点x=x0处连续必须具备以
∴f(x)在点x0处连续．
综合(1)(2)原命题得证．
在复习以上三个问题基础上，直接提出本节课题．先由学生回答函数的可导性与连续性的关系．
二、新课
1．如果函数f(x)在点x0处可导，那么f(x)在点x0处连续．
∴f(x)在点x0处连续．
提问：一个函数f(x)在某一点处连续，那么f(x)在点x0处一定可导吗？为什么？若不可导，举例说明．
如果函数f(x)在点x0处连续，那么f(x)在该点不一定可导．
例如：函数y=|x|在点x＝0处连续，但在点x=0处不可导．从图2－3看出，曲线y ＝f(x)在点O(0，0)处没有切线．
证明：(1)∵Δy=f(0＋Δx)－f(0)＝|0＋Δx|－|0|=|Δx|，
∴函数y=|x|在点x0处是连续的．
2．左导数与右导数的概念．
(2)左、右导数存在且相等是导数存在的充要条件(利用左右极限存在且相等是极限存在的充要条件，可以加以证明，本节不证明)．
(3)函数在一个闭区间上可导的定义．
如果函数y=f(x)在开区间(a，b)内可导，在左端点x＝a处存在右导数，在右端点x ＝b处存在左导数，我们就说函数f(x)在闭区间[a，b]上可导．
三、小结
1．函数f(x)在x0处有定义是f(x)在x0处连续的必要而不充分条件．
2．函数f(x)在x0处连续是f(x)在x0处有极限的充分而不必要条件．
3．函数f(x)在x0处连续是f(x)在x0处可导的必要而不充分的条件．
四、布置作业
作业解答的提示：
=f(1)．
∴ f(x)在点x＝1处连续．
∴ f(x)在x=1处不可导．
正余弦函数的图像与性质(周期性)
第一课时 题目：正弦函数、余弦函数的图象 授课时间：3月25日，星期一 课型：新授课 教学目标： 理解借助单位圆中的三角函数线（正弦线）画出y sin x 的图象， 进而画出 y cosx 的图象；会用“五点法”画y sin x 和y cosx 在一个周期内的简图。 教学重点和难点： 重点：利用三角函数线画正弦函数x 0,2的图象，用“五点法”画y sin x 和 y cosx 在一个周期内的简图。 难点：正弦函数与余弦函数图象间的关系、图象变换。 学情分析： 学生在之前已经学了一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数，已掌握了一些基础函数的图像和性质，并了解一些函数图像的画法。而且刚分班学生的学习动力很足，但学生分析、理解能力较差，对具体形象的事物比较感兴趣，但对学习抽象理论知识存在畏难情绪，缺乏学习主动性，因此在教学中要注意引导学生积极思考和多动手画图练习。 教学方法： 通过多媒体展示正弦函数的形成，是学生更直观形象的了解正弦函数的形成，加深印象增加兴趣。并配合适当讲授法。在五点法画图中要学生动手实践，加深印象和理解。 教具、学具的准备：多媒体、直尺、圆规 教学过程： （一）知识链接 1、正弦线的概念 2、诱导公式（六） （二）情景设置 在初中和必修一的函数学习中，我们知道函数的图像为我们解决相关的函数问题提供了重要的方法和工具，那么三角函数的图像是怎样的呢？ 这节课让我们来共同探讨正、余弦函数的图像问题。 【设计意图】从原有知识出发，类比联想，引入问题情景，学生主动参与，积极思考 （三）课题导入 提问1、如何作正弦函数的图象？ ①列表描点法： 步骤：列表、描点、连线 大家试着画出正弦函数sin y x =[]0,2x π∈的图像
一次函数教学设计及课后反思
２．一次函数 一、学生起点分析 在七年级下期学生已经探索了变量之间关系，在此基础上，本章前一节继续通过对变量关系的考察，让学生初步体会函数的概念，能判断两变量之间的关系是否可看作函数。本节课进一步研究其中最简单的一种函数——一次函数.由于有前面内容的铺垫，学生已经会建立变量之间的关系，可能有部分学生表述上还不太规范，在教学中，教师要注意纠正学生的一些错误习惯，如将解析式写成1,1x y x y +=-=-等，培养学生良好的书写习惯. 二、教学任务分析 《一次函数》是义务教育课程标准北师大版实验教科书 八年级 (上) 第四章 《一次函数》的第二节.本节内容安排了1个课时：让学生理解一次函数和正比例函数的概念，能根据已知信息写出简单的一次函数表达式，并初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力. 与原传统教材相比，新教材更注重借助生活中的实际背景，让学生经历一般规律的探究过程来理解一次函数和正比例函数的概念；同时，新教材调整了知识的安排顺序，原来教材正比例函数在一次函数前面，而新教材是将正比例函数作为一次函数特殊情况给出来的. 本节课教学目标分析是： (1)理解一次函数和正比例函数的概念； (2)能根据所给条件写出简单的一次函数表达式. (3)经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力； (4)经历从实际问题中得到函数关系式这一过程，发展学生的数学应用能力. (5)体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣. (6)在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心. 本节课教学重点是： 理解一次函数和正比例函数的概念. 本节课教学难点是： 能根据所给条件写出简单的一次函数表达式,发展学生的抽象思维能力. 三、教学过程设计 本节课设计了七个环节: 第一环节:复习引入；第二环节：新课讲述；第三环节：巩固练习；第四环节：知识提高；第五环节：反馈练习；第六环节：课堂小结；第七环节：布置作业.
函数的可导性与连续性的关系教学方案
函数的可导性与连续性的关系教案 教学目的 1．使学生理解函数连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件． 2．使学生了解左导数和右导数的概念． 教学重点和难点 掌握函数的可导性与连续性的关系． 教学过程 一、复习提问 1．导数的定义是什么？ 处连续的定义是什么？ 2．函数在点x 处连续必须具备以在学生回答定义基础上，教师进一步强调函数f(x)在点x=x
∴f(x)在点x 处连续． 综合(1)(2)原命题得证． 在复习以上三个问题基础上，直接提出本节课题．先由学生回答函数的可导性与连续性的关系． 二、新课 1．如果函数f(x)在点x 0处可导，那么f(x)在点x 处连续．
处连续． ∴f(x)在点x 提问：一个函数f(x)在某一点处连续，那么f(x)在点x 处一定可导吗？为什么？若 不可导，举例说明． 处连续，那么f(x)在该点不一定可导． 如果函数f(x)在点x 例如：函数y=|x|在点x＝0处连续，但在点x=0处不可导．从图2－3看出，曲线y＝f(x)在点O(0，0)处没有切线． 证明：(1)∵Δy=f(0＋Δx)－f(0)＝|0＋Δx|－|0|=|Δx|， 处是连续的． ∴函数y=|x|在点x
2．左导数与右导数的概念． (2)左、右导数存在且相等是导数存在的充要条件(利用左右极限存在且相等是极限存在的充要条件，可以加以证明，本节不证明)． (3)函数在一个闭区间上可导的定义． 如果函数y=f(x)在开区间(a，b)可导，在左端点x＝a处存在右导数，在右端点x ＝b处存在左导数，我们就说函数f(x)在闭区间[a，b]上可导． 三、小结 1．函数f(x)在x 0处有定义是f(x)在x 处连续的必要而不充分条件． 2．函数f(x)在x 0处连续是f(x)在x 处有极限的充分而不必要条件． 3．函数f(x)在x 0处连续是f(x)在x 处可导的必要而不充分的条件． 四、布置作业
正余弦函数的周期性
正余弦函数的周期性 【学习目标】 1.理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义。 2.掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并会求一些简单三角函数的周期。 3.根据函数图像导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美。 【学习重点】周期函数的定义及正、余弦函数的周期性。 【学习难点】周期函数的定义及运用定义求函数的周期。 【学案导学】 1. 请同学们画出正余弦函数的图像并观察图象的变化规律。 问题1: (1)正余弦函数的图像是按照一定规律重复出现。 (2)这个规律由诱导公式 可以说明。 (3)规律：当自变量x 的值增加2π的整数倍时，函数值就重复出现。 结论1：像这种函数，就叫做周期函数。 2. 周期函数的定义： 周期的定义： 问题2：正弦函数的周期为多少？周期中是否存在一个最小的正数？若存在，则最小的正数为多少？ 最小正周期的定义: 结论2：正弦函数是周期函数， 都是它的周期，最小正周期是 。 余弦函数是 。 问题3：（1）周期函数的周期唯一吗？ x y 1 -1 4π-3π-2π-π2π3π4ππ-32π-52π-72π-2π-2π32π52π72πo x y 1 -1 4π-3π-2π-π2π3π4ππ-32π-52π-72π-2π-2π32 π52π72πo
（2）教材第36页练习题第1题。 （3）函数()1f x =是周期函数吗？它有最小正周期吗？ 注意：（1） （2） （3） 例1. 求下列函数的周期。 (2)sin 2,y x x R =∈ 1(3)2sin(),26 y x x R π=-∈ 问题4：你能从以上的解答过程中归纳一下这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？ 结论3：sin(),cos()(,,00y A x y A x A A ω?ω?ω?ω=+=+≠>为常数，，） T= 练习：教材第36页第2题 (5)cos 2y x =- (6)sin()3y x ππ=+ (7)2cos(2)(0)4 y x πωω=+> 3.求周期的常用方法：（1） （2） （3） 练习： 4.课堂小结： （1） （2） （3） 作业： 【迁移发散】 课外思考题： (1)你认为上述结论3能否推广到求一般周期函数的周期上去？ 即命题：如果函数()y f x =的周期是T ，那么函数()(0)y f x ωω=>的周期是 ? (2)求函数sin ,y x x R =∈的周期？ (3)已知函数f x （）定义域为R 且满足1f x f x +=-（）（），求函数f x （）的周期？ (1)3cos ,y x x R =∈T ω36P 346P 3.10
《函数的表示方法》教学设计与反思
《函数的表示方法》教学设计与反思 函数的表示法是高中数学的重要内容，是今后进一步学习其他函数，以及运用函数模型解决实际问题的基础。函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念，使学生更好地体会、领悟与理解数学思想方法（如数形结合、化归等）。同时，数学是人类文化的一部分，函数的多种表示是丰富多彩的社会实际的要求，体现了人们观察世界的一种立场、观点和方法。下面将从5个方面来阐述对这节内容的理解和设计。 一、教材分析 教材从引进函数概念开始，就比较注重函数的不同表示方法。在本节中，教材仍以引进函数概念时所用的三个问题为背景，引入函数的表示方法，体现知识情境呈现的一致性。解析法表示函数关系时，函数关系简明、清楚，便于用解析式来研究函数性质，体现了透过现象看本质的哲学思想。列表法简洁明了，动态的变量采用静态的数据表示，“输入值”与“输出值”一目了然，体现出“动与静”的辩证关系。图象法能直观形象地表示出函数值随着自变量的变化而变化的趋势，表示出数学的美学意义和数形结合的数学
思想。在教学中除了书中的例子外，还应引导学生多举社会生活或其他学科中的例子，如银行里的利息表、列车时刻表、公共汽车上的票价表、邮资、出租车费，股市走向图等等，拉近与学生的距离，使学生感受到函数就在身边，感到亲切、自然，加深对函数表示法的理解。教材还通过例子介绍了分段函数的特点及应用，要注意让学生尝试用数学表达式去表达实际问题。 二、教学目标 ①明确函数的三种表示方法，在了解函数三种表示方法各自优点、特征的基础上，会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数。 ②通过具体实际，了解简单的分段函数，并能进行简单的应用，培养学生将实际问题抽象转化成数学问题，再去求解数学问题的能力。 ③渗透数形结合思想方法，重视知识的形成发展过程，培养学生观察、分析、归纳、总结、表达能力与辩证唯物主义观点，进一步激发学生学习数学的兴趣。 三、学情分析与重、难点 学生在初中已经接触过函数的三种表示方法，但是对于各自的优点和不足，以及根据不同的实际情境来选择恰当的表示函数方法等方面，认识还不够深入、
函数的连续性 教案示例
函数的连续性·教案示例 目的要求 了解函数在一点处连续的定义，知道已学过的基本初等函数及由它们经过有限次四则运算所产生的函数在定义区间内每一点都连续，会从几何直观上理解闭区间上的连续函数有最大值和最小值． 内容分析 1．在微积分中我们所研究的函数主要是连续函数，而连续概念是建立在极限概念的基础上的．本节课介绍函数f(x)在点x ＝x 0处连续的概念 时，除借助图形直观描述外，主要以函数值、极限值都存→f(x )lim f(x)0x x 0 在且两者相等为定义方式，这种定义与极限关系密切，所以将连续作为本章的最后部分既是承上启下的，又是顺理成章的． 2．人们对事物的认识是不断加深的，研究也是由浅入深的．对函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等进行了研究，本课再用学过的极限概念对函数的连续性加以研究，使我们对函数的了解认识更进一步，更完善． 3．本课时的重点是函数在x ＝x 0处连续的定义．定义包含三层意思： (1)f(x)在点x ＝x 0处及其附近有定义； (2)lim f(x)(3)lim f(x)f(x )x x x x 0 00→→存在；＝ 可结合图形说明，只要缺其中的任意一个条件，就说f(x)在点x 0处不连续．难点是对连续的理解，由于连续较抽象，故要对照图形讲解． 4．函数在区间连续是建立在函数在一点连续的基础上的．如果函数f(x)在开区间(a ，b)内每一点都连续，就说函数f(x)在开区间(a ，b)内连 续；如果在开区间，内连续，在＝处有＝，在＝处有＝，就说在闭区间，上连续．这种环环相扣、 →→f(x)(a b)x a lim f(x)f(a)x b lim f(x)f(b)f(x)[a b]x a x b +- 层层推进的定义方式能很好地培养学生严谨的逻辑思维． 5．指出已学过的基本初等函数及由它们经过有限次四则运算所产生的函数在其定义区间里每一点都是连续的． 6．从几何直观上讲解函数的连续性和连续函数的性质． 7．从连续函数的定义可知，所谓函数y ＝f(x)在它的定义域内某点x 0处连续，意思是说，当自变量x 无限接近x 0时，相应的函数值f(x)也就无限地接近函数值f(x 0)．也可用“增量”(改变量)来说明函数的连续性：设自变量x 的增量为Δx ＝x －x 0，则函数值的改变量为Δy ＝f(x ＋x 0)－f(x 0)．所谓f(x)在点x 0处连续，就是指当Δx →0时，相应的增量Δy
高一必修一函数的概念教学设计及反思
函数的概念 教学目标：1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。 2.了解对应关系在刻画函数概念中的作用。 3.了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域。 教学重点：函数概念和函数定义域及值域的求法。 教学难点：函数概念的理解。 教学方法：自学法和尝试指导法 教学过程： （Ⅰ）引入问题 问题1 初中我们学过哪些函数？（正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数） 问题2 初中所学函数的定义是什么？（设在某变化过程中有两个变量x 和y ，，如果给定了一个x 的值，相应地确定唯一的一个y 值，那么就称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量）。 （Ⅱ）函数感性认识 教材例子（1）：炮弹飞行时间的变化范围是数集{026}A x x =≤≤，炮弹距地面的高度h 的变化范围是数集{0845}B h h =≤≤，对应关系21305h t t =- （*）。从问题的实际意义可知，对于数集A 中的任意一个时间t ，按照对应关系（*），在数集B 中都有唯一确定的高度h 和它对应。 例子（2）中数集{19792001}A t t =≤≤，{026}B S S =≤≤，并且对于数集A 中的任意一个时间t ，按图中曲线，在数集B 中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S 和它对应。 例子（3）中数集{1991,1992,,2001},{53.8,52.9,,37.9(%)}A B ==L L ，且对于数集A 中的每一个时间（年份），按表格，在数集B 中都有唯一确定的恩格尔系数和它对应。 （III ）归纳总结给函数“定性” 归纳以上三例，三个实数中变量之间的关系都可以描述为两个数集A 、B 间的一种对应关系：对数集A 中的每一个x ，按照某个对应关系，在数集B 中都有唯一确定的y 和它对应，记作:f A B →。 （IV)理性认识函数的定义 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作(),y f x x A =∈，其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域（domain ），与x 的值相队对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{()}f x x A ∈叫做函数的值域(range)。 定义域、值域、对应法则，称为函数的三个要素，缺一不可； （1）对应法则f (x)是一个函数符号，表示为“y 是x 的函数”,绝对不能理解为“y 等于f 与x 的乘积”，在不同的函数中，f 的具体含义不一样； y=f(x)不一定是解析式，在不少问题中，对应法则f 可能不便使用或不能使用解析式，这时就必须采用其它方式，如数表和图象，在研究函数时，除用符号f (x)表示外，还常用g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示； 自变量x 在其定义域内任取一个确定的值a 时，对应的函数值用符号f (a)来表示。如函数f (x)=x 2+3x+1,当x=2时的函数值是：f (2)=22 +3×2+1=11。
高等数学第一章函数极限与连续教案
教学内§1.1 函数 教学目的】 理解并掌握函数的概念与性质 教学重点】 函数的概念与性质 教学难点】 函数概念的理解 教学时数】 4 学时 一、组织教学，引入新课 极限是微积分学中最基本、最重要的概念之一，极限的思想与理论，是整个高等数 学的基础，连续、微分、积分等重要概念都归结于极限 . 因此掌握极限的思想与方法是 学好高等数学的前提条件 . 本章将在初等数学的基础上，介绍极限与连续的概念 、讲授新课 （一）、实数概述 1、实数与数轴 1）实数系表 2）实数与数轴关系 x,x 0 1）绝对值的定义： x x,x 0 x,x 0 2）绝对值的几何意义 3）绝对值的性质 练习：解下列绝对值不等式：① x 5 3 ，② x 1 2 3、区间 （1）区间的定义：区间是实数集的子集 （2）区间的分类：有限区间、无限区间 ① 有限区间：长度有限的区间 设 a 与 b 均为实数，且 a b ，则 （3）实数的性质： 封闭性 有序性 稠密性 连续性
数集｛ x a x b ｝为以 a 、 b 为端点的半开半闭区间，记作 [a ，b ) 数集｛ x a x b ｝为以a 、 b 为端点的半开半闭区间，记作( a ，b ] 区间长度： b a ② 无限区间 数集｛ xa x ｝记作[a ， )， 数集｛xa x ｝记作( a ， ) 数集｛ x x a ｝记作( ，a]， 数集｛ x x a ｝记作( ，a ) 实数集 R 记作( ， ) 3)邻域 ① 邻域：设 a 与 均为实数，且 0 ，则开区间( a ， a )为点 a 的 邻域 记作U(a, ) ，其中点 a 为邻域的中心， 为邻域的半径 ② 去心邻域：在的 邻域中去掉点 a 后，称为点 a 的去心邻域，记作 U (a, ) (二) 、函数的概念 1、函数的定义 ： 设有一非空实数集 D ，如果存在一个对应法则 f ，使得对于每一个 x D ，都有一个 惟一的实数 y 与之对应，则称对应法则 f 是定义在 D 上的一个函数. 记作 y f(x)， 其中 x 为自变量， y 为因变量，习惯上 y 称是的函数。 定义域： 使函数 y f ( x )有意义的自变量的全体，即自变量 x 的取值范围 D 函数值：当自变量 x 取定义域 D 内的某一定值 x 0时，按对应法则 f 所得的对应 值 y 0 称 为函数 y f(x)在 x x 0时的函数值，记作 y 0 f(x 0)。 值 域：当自变量 x 取遍 D 中的一切数时，所对应的函数值 y 构成的集合，记 数集｛ x a x b ｝为以 a 、 b 为端点的闭区间，记作 [a ，b ] 数集｛ x a x b ｝为以 a 、 b 为端点的开区间，记作 ( a ，b )
12-6.多元函数的连续性PPT
多元函数的连续性
二元函数的连续性 定义1()(,)D f P f x y =设二元函数的定义域为， 00000,)D ,)D P x y P x y ∈（是的聚点，且（ ，如果0000,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=（00(,)(,)f x y P x y 则称函数在点处连续。 (,)D (,)D (,)D (,)C() f x y f x y f x y f x y D ∈如果在的每一点处都连续，则称函数在上连续，或称是上的连续函数，记作
例1讨论函数222,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y f x y x y x y ?≠?=+??=? 在(0,0)处的连续性． 解2 22x y x y +x 2 1≤,00??→?→x 222 00 lim 0(0,0)x y x y f x y →→∴==+故函数在(0,0)处连续.
例2讨论函数 ?? ?? ?=+≠++=0,00,),(222222y x y x y x xy y x f 在(0,0)的连续性． 解取kx y =2222 0lim x k x kx kx y x +==→21k k +=其值随k 的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．
闭区域上连续函数的性质 （1）最大值和最小值定理 有界闭区域D上的多元连续函数一定有最大值和最小值． （2）介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的一切值．
多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的． 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．
大学高等数学函数极限和连续
第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2),
则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x ∈X 2.初等函数:
指数函数教学设计与反思
指数函数教学设计及反思 一、教材的地位和作用 本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数 函数，以及指数函数的图像与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作 用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。因此，本节课的内容十分重要，它 对知识起到了承上启下的作用。 此外，《指数函数》的知识与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系，尤其体现在细胞分裂、贷款利率的计算和考古中的年代测算等方面，因此学习这部分知识还有着广泛 的现实意义。 二、教学目标 知识目标： ①掌握指数函数的概念； ②掌握指数函数的图象和性质和简单应用；使学生获得研究函数的规律和方法。 能力目标：①培养学生观察、联想、类比、猜测、归纳等思维能力； ②体会数形结合思想、分类讨论思想，增强学生识图用图的能力； T一般T特殊的认知过程，了解指数函数的实 情感目标：①让学生自主探究，体验从特殊 际背景； ②通过学生亲手实践，互动交流，激发学生的学习兴趣，努力培养学生的创新 意识，提咼学生抽象、概括、分析、综合的能力。 三、教学重难点 教学重点：进一步研究指数函数的图象和性质。 指数函数的图像与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用， 研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。因此它对知识起到了承上启下的作用。 教学难点：弄清楚底数a对函数图像的影响。 对于底数a>1和1>a>0时函数图像的不同特征，学生不容易归纳认识清
函数连续性教学设计
函数的连续性教学设计 ———凌亚丽内容分析： 函数的连续性是在学生学习了函数概念、函数极限的概念以及极限计算的基础上，对函数的性质进一步进行的讨论。高等数学研究的主要对象是初等函数，而连续性是初等函数的重要性质。因此，这一节内容是高等数学课程的基础性知识，十分重要。 学情分析： 《高等数学》是我院所有专业学生必学的一门公共基础课，也是学生学习专业知识的基础，是学生专升本必学必考的一门课程。但据多数学生反映及本人教学发现，高等数学确实是一门比较难的课程，对于我们学校的学生而言学习更为困难。之所以更难，有两个主要原因。其一，高等数学这门课程难，它是初等数学以外的一门数学，它有其固有的特点，这就是高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。其二，高职学生的知识基础差，学习兴趣低．教学中发现学生对这门课程表现出不知所措，无奈，无所谓的态度，这是一种令人担忧的现象，尤其是在讲函数的连续性这块，问题更是很多：无趣，无用，无耐等．教学目标: 1. 理解函数连续的概念，会利用定义判断函数在某一点的连续性; 2. 了解闭区间上连续函数的性质； 3．培养学生利用函数连续与间断的思想思考、分析、判断工程问题中变量变化规律的能力。 能力训练: 任务一会讨论函数在某一点的连续性; 任务二会用初等函数的连续性求极限。 教学重点:函数连续的概念，初等函数的连续性。 教学难点:函数连续的定义。
教学过程设计：
教学反思： 通过多用日常生活、经济问题、工程问题的例子，引起学生的学习兴趣，提高学生的学习动力，最后再用所学的数学知识解决实际问题，体现数学的实用性。
教学过程中，也采用的图象的形式，给予了学生直观的感觉，有利于学生理解概念，消化知识。 当然，还有不足，还需不断学习，不断提高自己。
高中数学教案——函数的连续性
课题：2.5函数的连续性 教学目的： 1.理解掌握函数在一点连续须满足的三个条件的基础上，会判断函数在一点是否连续. 2.要会说明函数在一点不连续的理由. 3.要了解并掌握函数在开区间或闭区间连续的定义. 4.要了解闭区间上连续函数的性质，即最大值最小值定理 教学重点：函数在一点连续必须满足三个条件． 教学难点：借助几何图象得出最大值最小值定理． 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节教学知识点有函数在一点连续满足的三个条件，函数在一点连续概念，函数在开区间和闭区间连续的定义，函数在闭区间上有最大、最小值的定义，
最大最小值定理 函数的连续性是建立在极限概念基础上的，又为以后微积分的学习做铺垫，它是承上启下的.函数在一点连续必须满足三个条件，这是要学生重点掌握的内容.函数在区间连续的定义也是建立在一点连续的基础上的.借助函数的几何图象得到闭区间上连续函数的一个性质，即最大值最小值定理. 函数在一点连续必须满足三个条件，缺一不可.如何得出这三个条件，可以借助函数图象，让学生观察、总结出来.同样借助几何图象得出最大值最小值定理. 在学生已掌握极限概念的基础上，并通过分析函数图象，让学生主动地总结出函数在一点连续的三个条件及概念.以及通过区间是由点组成的，进行概念的顺应，得出函数在区间上连续的概念.让学生主动地学习. 教学过程： 一、复习引入： 1.000 lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=?== 其中0lim ()x x f x a -→=表示当x 从左侧趋近于0x 时的左极限，0 lim ()x x f x a +→=表示当x 从右侧趋近于0x 时的右极限 2. 我们前面学习了数列极限和函数极限、数列可以看成是一种特殊的函数，不同的是函数的定义域往往是连续的.而数列的定义域是自然数集，是一个一个离散的点.而在我们日常生活中，也会碰到这种情况.比如温度计的水银柱高度会随着温度的改变而连续地上升或下降，这是一种连续变化的情况；再比如邮寄信件的邮费，随邮件质量的增加而作阶梯式的增加(打个比方：20克以内是8毛钱邮票，21克~30克是1元，31克~40克是1.2元)等等.这就要求我们去研究函数的连续与不连续问题 二、讲解新课： 1.观察图像 如果我们给出一个函数的图象，从直观上看，一个函数在一点x =x 0处连续，就是说图象在点x =x 0处是不中断的.下面我们一起来看一下几张函数图象，并观察一下，它们在x =x 0处的连续情况，以及极限情况. 分析图，第一，看函数在x 0是否连续.第二，在x 0是否有极限，若有与f (x 0)的值关系如何： 图(1)，函数在x 0连续，在x 0处有极限，并且极限就等于f (x 0).
数列的极限、函数的极限与连续性教案
看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。 考点42 数列的极限、函数的极限与连续性 一、选择题 1、(2011·重庆高考理科·T3)已知x 2ax 1lim 2x 13x →∞-??+= ?-? ?,则=a ( ) (A) -6 (B) 2 (C) 3 (D)6 【思路点拨】对小括号内的表达式进行通分化简利用极限的相关性质求出a 的值. 【精讲精析】选D. x x 2x 16x (ax 1)(x 1)lim lim x 13x 3x(x 1)→∞→∞??-+--??+= ???--???? 22x ax (5a)x 1a lim 2,3x 3x 3 →∞??+-+===??-??所以.6=a 2、（2011·四川高考理科·Ｔ11）已知定义在[0，+∞?)上的函数()f x 满足()f x =3(2)f x +， 当[0,2)x ∈时，()f x =22x x -+，设()f x 在[22,2)n n -上的最大值为*([0,)n a n N ∈且 {}n a 的前n 项和为S n ，则lim n n S →∞=（ ）. （A ）3 （B ）52 (C) 2 （D ）32 【思路点拨】 首先需要确定数列{}n a .先由1n =求出1a ，当2n =时，由()3(2) f x f x =+可推得 1()(2)3 f x f x =-，先求出(2)f x -的最大值，在求()f x 的最大值，即求得2a ， 3,4,...n =依次求 解. 【精讲精析】选D ， [)[)[)22122,20,2,0,2()2(1)1n n n x f x x x x =-=∈=-+=--+时，时，， ()=(1)1f x f =最大值，1 1.a ∴= [)[)[)[)222,22,4,2,420,2n n n x x =-=∈-∈时，若，则， 2(2)22(2)f x x x -=--+-（）
二次函数教学设计与反思
二次函数》教学设计 一、教材分析 （一）教材内容、地位和作用 《二次函数》是鲁教版九年级上册第二章第二节，在螺旋式上升的数学知识体系中，是继常量与变量、一次函数、正比例函数、反比例函数之后，学习的又一种非常基本的初等函数。 二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，二次函数的图象也是人们最为熟悉的曲线之一，如喷泉水流、抛掷的铅球划过的轨迹等，同时，二次函数的相关性质也是解决最优化问题的理论基础。 本章从大量的生活情境入手，通过学生感兴趣的、广泛联系生活及其他学科的问题，使学生感受二次函数的意义及它的应用价值。 本节是在前面《对函数的再认识》基础上，通过实际情境，让学生观察、思考、归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的模型思想。 （二）教学目标： 1）知识与技能目标：经历探索和表示二次函数关系的过程，获 得用二次函数 表示变量之间关系的体验。
（2）过程与方法目标： 能够表示简单变量之间的二次函数关系。能利用尝试求值的方法解决实际问题，如猜测增种多少棵橙子树可以使橙子的总产量最多的问题。 （3）情感、态度与价值观目标： 通过学生对现实问题的思考、分析、归纳、解决，提高学生“学数学、用数学”的责任意识。 （三）教学重、难点： （1）教学重点：对二次函数概念的理解。 （2）教学难点：由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围。 二、学情分析 对于九年级的学生来说，之前已经学习过常量与变量、一次函数、正比例函数和反比例函数，对于函数是刻画变量之间关系的数学模型思想也有了一定的认识，可以在此基础上用类比的方法继续深入学习二次函数。而且，学生的逻辑思维、概括归纳能力也有了一定的高度，本节课可以在教材的基础上，更加灵活地处理，从现实情境入手，安排大量的探究活动，提高课堂思维含量，同时加强学生间的合作交流，获得相应的知识和技能，积累应用函数思想解决问题的能力。
函数的连续性的例题与习题集
函数的连续性的例题与习题 函数连续性这个内容所涉及到的练习与考试题目，大致有3大类。第一类是计算或证明连续性；第二类是对间断点（或区间）的判断，包括间断点的类型；第三类是利用闭区间上的连续函数的几个性质（最值性质，零点存在性质），进行理论分析。 下面就这三大类问题，提供若干例题和习题。还是那句老话：看到题目不要看解答，而是先思考先试着做！这是与看文学小说的最大区别。 要提醒的是，例题里有不少是《函数连续性（一）（二）》中没有给出解答的例题，你事先独立做了吗？如果没有做，是不会做好是根本不想做，还是没有时间？ 一．函数的连续 例1.1（例1.20（一），这个序号值的是《函数连续性（一）中的例题号，请对照） 设()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，且()f x 在0x =连续。证明：()f x 在任意点x 处连续。 分析：证明题是我们很多同学的软肋，不知道从何下手。其实，如果你的基本概念比较清晰，证明题要比计算题号做，因为它有明确的方向，不像计算题，不知道正确的答案是什么 在本题里，要证的是“()f x 在任意点x 处连续”，那么我们就先固定一个点x ，用函数连续的定义来证明在x 处连续。你可能要问：函数连续的定义有好几个，用哪一个? 这要看已知条件，哪个容易用，就用那一个。在本题中，提供了条件()()()f x y f x f y +=+，也就是()()()f x y f x f y +-=，你的脑海里就要想到，如果设y x =?，那么就有 ()()()y f x x f x f x ?=+?-=?；这个时候，你应该立即“闪过”，要用题目给的第二个条件了：()f x 在0x =连续！它意味着：0 lim (0)(0)x f x f ?→+?=。 证明的思路就此产生！ 证明：因为 ()()()f x y f x f y +=+，取0y =，则有 ()()(0)f x f x f =+，所以(0)0f =。 （#） 对于固定的x （任意的！），若取y x =?，有 ()()()y f x x f x f x ?=+?-=?， （+） 在（+）式两边取0x ?→的极限，那么
高等数学(上册)教案05 函数的连续性与间断点
第1章 函数、极限与连续 函数的连续性与间断点 【教学目的】： 1. 理解函数在一点连续的概念； 2. 会求简单函数的间断点； 【教学重点】： 1. 函数连续、间断的概念； 2. 函数在一点处连续的判定方法； 3. 函数间断点的分类； 【教学难点】： 1. 函数在一点处连续的判定方法； 2. 分段函数分段点处的连续性判断； 3. 函数间断点的分类。 【教学时数】：2学时 【教学过程】： 1.4.1函数的连续性的概念 1、函数的增量 2、函数的连续性 定义 1 设函数)(x f y =在点0x 及其附近有定义，且0lim 0 =?→?y x ，则称函数)(x f 在点0x 连续，0x 称为函数)(x f y =的连续点． 连续的另一等价定义是： 定义2 设函数()x f y =在点0x 及其附近有定义，如果函数()x f 当0x x →时的极限存在，且等于它在点0x 处的函数值()0x f ，即()()00 lim x f x f x x =→，那么就称函数()x f y =在点0x 连续. 注意：由定义知函数)(x f 在0x 处连续要()()00lim x f x f x x =→成立，则必须同时满足以下三个条件 (1) 函数)(x f 在0x 处有定义； (2) 极限)(lim 0 x f x x →存在； (3) 极限值等于函数值，即)()(lim 00 x f x f x x =→． 定义3 如果函数)(x f y =在0x 处及其左邻域内有定义，且)(lim 0 x f x x -→=)(0x f ，则称函数)(x f y =在0x 处左连续．如果函数)(x f y =在0x 处及其右邻域内有定义，且)()(lim 00 x f x f x x =+→，则称函数)(x f y =在0x 处右连续． )(x f y =在0x 处连续 ? )(x f y =在0x 处既左连续且右连续．
高等数学函数的极限与连续习题精选及答案
1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴ ()12 ++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与() x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1) 1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2 x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．
函数的表示方法教学设计及教学反思
1.2.2 函数表示法教学设计及教学反思 【教学目标】 1. 知识与技能 （1）了解函数的一些基本表示方法，会用不同表示方法表示函数； （2）掌握分段函数定义，能画出分段函数图像； 2.过程与方法 通过实例，引入分析并了解函数三种不同的表示方法，通过分段函数改变的形成过程， 培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想。 3.情感态度、态度与价值观 通过对函数不同表方法的教学，从中体会数学的简洁统一美，树立应用数形结合的思想 方法。 【教学重难点】 重点：函数的三种表示方法；分段函数定义。 难点：函数解析法与函数图像法；分段函数的表示及其性质。 【教学过程】 一、复习回顾 1.函数的定义： 2.函数三要素： 二、引入新课 前面我们已经对函数三要素中定义域的求法做了系统的学习，这节课我们继续来研究 函数三要素中的第二个要素——对应关系，在这里，我们考虑：函数的对应关系究竟该怎 么表示呢？这就是我们这节课主要研究的内容：（板书课题） 1.学习探究： 活动：学生快速阅读书本19-21页内容。 探究：回顾我们学习函数概念时所研究的三个例题，大家来总结一下函数都有哪些表示方 法？ 归纳总结：函数有三种表示方法： ①解析法：用具体数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这个数学表达式也叫做 函数的解析式。如1.2.1实例（1）。 ②图像法：用图像来表示两个变量之间的关系，其中一般自变量x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标。 ③列表法：列出表格来表示两个变量之间对应关系。 2.实例探究 例1. 某种口味的饮料的零售价是4元/瓶，假设某人一共买了x 瓶，其中x ∈{x ∈ +N |4≤x }，共花费了y 元。请用三种不同方法表示函数)(x f y =，并说说他们都各自 的优缺点。 ①解析法：}4,3,2,1{;4∈=x x y 注：解析法必须注明函数的定义域，否者使函数解析式有意义的自变量取值范围为函 数的定义域。
函数的连续性优质课教案
函数的连续性优质课教 案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
2 课 题：2.5函数的连续性 教学目的： 1.理解掌握函数在一点连续须满足的三个条件的基础上，会判断函数在一点是否连续. 2.要会说明函数在一点不连续的理由. 3.要了解并掌握函数在开区间或闭区间连续的定义. 4.要了解闭区间上连续函数的性质，即最大值最小值定理 教学重点：函数在一点连续必须满足三个条件． 教学难点： 借助几何图象得出最大值最小值定理． 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教学过程： 一、复习引入： 1.000 lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=?== 其中 0lim ()x x f x a -→=表示当x 从左侧趋近于0x 时的左极限，0lim ()x x f x a +→=表示当x 从右侧趋近于0x 时的右极限 2. 我们前面学习了数列极限和函数极限、数列可以看成是一种特殊的函数，不同的是函数的定义域往往是连续的.而数列的定义域是自然数集，是一个一个离散的点.而在我们日常生活中，也会碰到这种情况.比如温度计的水银柱高度会随着温度的改变而连续地上升或下降，这是一种连续变化的情况；再比如邮寄信件的邮费，随邮件质量的增加而作阶梯式的增加(打个比方：20克以内是8毛钱邮票，21克~30克是1元，31克~40克是1.2元)等等.这就要求我们去研究函数的连续与不连续问题 二、讲解新课：
1.观察图像如果我们给出一个函数的图象，从直观上看，一个函数在一点x=x0处连续，就是说图象在点x=x0处是不中断的.下面我们一起来看一下几张函数图象，并观察一下，它们在x=x0处的连续情况，以及极限情况 . 分析图，第一，看函数在x0是否连续.第二，在x0是否有极限，若有与f(x0)的值关系如何： 图(1)，函数在x0连续，在x0处有极限，并且极限就等于f(x0). 图(2)，函数在x0不连续，在x0处有极限，但极限不等于f(x0)，因为函数在x0处没有定义. 图(3)，函数在x0不连续，在x0处没有极限. 图(4)，函数在x0处不连续，在x0处有极限，但极限不等于f(x0)的值. 函数在点x=x0处要有定义，是根据图(2)得到的，根据图(3)，函数在x=x0处要有极限，根据图(4)，函数在x=x0处的极限要等于函数在x=x0处的函数值即f(x0).函数在一点连续必须满足刚才的三个条件. .函数f(x)在点x=x0处连续必须满足下面三个条件. (1)函数f(x)在点x=x0处有定义；(2)0 lim x x→f(x)存在； (3)0 lim x x→f(x)=f(x0)，即函数f(x)在点x0处的极限值等于这一点的函数值. 3