浙江省高三数学专题复习 专题三 数列过关提升 理
专题三 数 列
专题过关·提升卷 第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题
1．设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是数列“{a n }为递增数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要且不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝8，S 3＝6，则a 9等于( ) A ．32 B ．24 C ．16
D ．8
3．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2
－10x ＋9＝0的两个根，则S 6等于( ) A ．120 B ．254 C ．364
D ．128
4．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a m ＋1·a m －1＝2a m (m ≥2)，数列{a n }的前n 项积为T n ，若log 2T 2m －1＝9，则m 的值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
5．(2015·太原诊断)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ＋1
＋a (n ∈N *
)，则实数a 的值是
( ) A ．－3 B ．－1 C ．1
D ．3
6．(2015·绍兴鲁迅中学模拟)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 2＝10，S 4＝36，则过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N *
)的直线的一个方向向量是( )
A.? ??
??－12，－2 B ．(－1，－1)
C.? ????－12，－1
D.? ??
??2，12
7．(2015·长沙模拟)数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *
都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1
a 1
＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 012
等于( )
A.4 0242 013
B.4 018
2 012 C.2 0102 011
D.
2 009
2 010
8．(2015·郑州质检)设数列{a n }是首项为1，公比为q (q ≠－1)的等比数列，若
????
??1a n ＋a n ＋1是等差数列，则? ????1a 2＋1a 3＋? ??
??1a 3＋1a 4＋…＋? ????1a 2 013＋1a 2 014＋? ??
?
?1a 2 014＋1a 2 015＝( )
A ．2 012
B ．2 013
C ．4 024
D ．4 026
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题
9．各项为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝5S 2，a 2＝2且S k ＝31，则正整数k 的值为________．
10．(2015·衡水联考)已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝13a n －1＋? ????13n (n ≥2，且n ∈N *
)，则数
列{a n }的通项公式为________．
11．(2015·天津七校联考)已知正项等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4
n
的最小值为________．
12．(2015·陕西高考)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．
13．(2015·乐清联考)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5
，则ln a 1＋ln
a 2＋…＋ln a 20＝________．
14．(2015·江苏高考)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *
)，则数列????
??1a n 前10
项的和为________．
15．(2015·菏泽调研)西非埃博拉病毒导致2 500多人死亡，引起国际社会广泛关注，为防止疫情蔓延，西非各国政府在世界卫生组织、国际社会援助下全力抗击埃博拉疫情，预计某
首都医院近30天内每天因治愈出院的人数依次构成数列{a n }，已知a 1＝3，a 2＝2，且满足
a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n ，则该医院30天内因治愈埃博拉病毒出院的患者共有________人．
三、解答题
16．(2015·大庆质检)已知公差不为0的等差数列{a n }满足S 7＝77，且a 1，a 3，a 11成等比数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .
17．(2015·金华模拟)已知等比数列{a n }满足：a n >0，a 1＝5，S n 为其前n 项和，且20S 1，S 3，7S 2成等差数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝log 5a 2＋log 5a 4＋…＋log 5a 2n ＋2，求数列????
??
1b n 的前n 项和T n .
18．(2015·山东高考)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n
＋3. (1)求{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n .
19．(2015·杭州外国语学校模拟)已知数列{b n }满足S n ＋b n ＝
n ＋13
2
，其中S n 为数列{b n }的前
n 项和．
(1)求证：数列?
?????
b n －12是等比数列，并求数列{b n }的通项公式；
(2)如果对任意n ∈N *
，不等式12k 12＋n －2S n ≥2n －7恒成立，求实数k 的取值范围．
20．设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＝1－2S n ；将函数y ＝sin πx 在区间(0，＋∞)内的全部零点按从小到大的顺序排成数列{a n }． (1)求{b n }与{a n }的通项公式；
(2)设c n ＝a n ·b n (n ∈N *
)，T n 为数列{c n }的前n 项和．若a 2
－2a >4T n 恒成立，试求实数a 的取值范围．
专题过关·提升卷
1．D [当a 1<0，q >1时，数列{a n }是递减数列．当{a n }为递增数列时，a 1<0，00，
q >1.因此，“q >1”是{a n }为递增数列的既不充分也不必要条件．]
2．C [设等差数列{a n }的公差为d ，首项为a 1，因为a 5＝8，S 3＝6，
所以?
????a 1＋4d ＝8，3a 1＋3d ＝6，解得a 1＝0，d ＝2.
所以a 9＝a 1＋8d ＝8×2＝16.]
3．C [因为a 1，a 3是方程x 2
－10x ＋9＝0的两个根，所以????
?a 1＋a 3＝10，a 1·a 3＝9，
又{a n }是递增数列，
所以a 1＝1，a 3＝9，所以q ＝3，S 6＝1－36
1－3＝364.]
4．B [由等比数列的性质，a m ＋1·a m －1＝a 2m ， ∴a 2
m ＝2a m (a m ≠0)，从而a m ＝2， 因此T 2m －1＝a 1·a 2·a 3·…·a 2m －1＝a 2m －1
m ＝2
2m －1
，
所以log 2T 2m －1＝log 222m －1
＝2m －1＝9，则m ＝5.]
5．A [由S n ＝3
n ＋1
＋a ，则S n －1＝3n
＋a .
∴a n ＝S n －S n －1＝2·3n
(n ≥2，n ∈N *
)． ∵a 1＝S 1＝9＋a ， 又数列{a n }为等比数列，
因此a 1应满足a n ＝2·3n
，即a 1＝6. 所以9＋a ＝6，∴a ＝－3.]
6．A [设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得：
?????2a 1＋d ＝10，4a 1＋6d ＝36，解之得?
????a 1＝3，
d ＝4. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －1. 则P (n ，4n －1)，Q (n ＋2，4n ＋7)，
因此过点P 、Q 的直线的一个方向向量坐标PQ →
＝(2，8)．
∴与PQ →
共线的一个方向向量为? ??
??－12，－2.]
7．A [令m ＝1得a n ＋1＝a n ＋n ＋1，即a n ＋1－a n ＝n ＋1， 于是a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ， 上述n －1个式子相加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ， 所以a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）
2
，
因此1
a n
＝
2n （n ＋1）＝2? ??
??1
n －1n ＋1，
所以1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 012
＝2? ????1－12＋12－13＋…＋12 012－12 013
＝2?
?
???1－
12 013＝
4 024
2 013
.] 8．D [因为??
?
?
??1a n ＋a n ＋1是等差数列，则1a 1＋a 2＋1a 3＋a 4＝2
a 2＋a 3，
又{a n }是首项为1，公比为q (q ≠－1)的等比数列， ∴
11＋q ＋1q 2＋q 3＝2·1
q ＋q 2
?q ＝1， 所以数列{a n }是首项为1，公比为1的常数列，则a n ＝1.
故? ????1a 2＋1a 3＋? ??
??1a 3＋1a 4＋…＋? ??
??1a 2 014＋1a 2 015＝4 026.] 9．5 [由S 4＝5S 2，得a 3＋a 4＝4(a 1＋a 2)， ∴q 2
(a 1＋a 2)＝4(a 1＋a 2)，由于a 1＋a 2≠0，则q ＝2. 又a 2＝2a 1＝2.知a 1＝1.
∴S k ＝1·（1－2k
）1－2
＝31，解得k ＝5.]
10．a n ＝n ＋2
3n [由a n ＝13a n －1＋? ??
??13n ，得3n a n ＝3n －1
a n －1＋1(n ≥2)．
∴数列{3n
a n }是以3为首项，公差为1的等差数列． 因此3n
a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2，所以a n ＝
n ＋2
3
n
.]
11.3
2 [设正项等比数列{a n }的公比为q (q >0)． 由a 7＝a 6＋2a 5，得q 2
－q －2＝0，则q ＝2. 又a m ·a n ＝4a 1，即a m ·a n ＝16a 2
1， ∴a 2
1·2
m －1
·2
n －1
＝16a 21，2
m ＋n －2
＝16.
则m ＋n ＝6，即1
6
(m ＋n )＝1.
故1m ＋4n ＝16(m ＋n )? ????1m ＋4n ＝16? ????5＋n m ＋4m n ≥16?
????5＋2n m ·4m n ＝1
6
(5＋4)＝32， 当且仅当n ＝2m ，即m ＝2，n ＝4时，上式等号成立． 因此1m ＋4n 的最小值为3
2
.]
12．5 [设数列的首项为a 1，由等差数列与中位数定义，则a 1＋2 015＝2×1 010，∴a 1＝5.]
13．50 [∵a 10a 11＋a 9a 12＝2a 1a 20＝2e 5
， ∴a 1·a 20＝e 5
，
则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1·a 2·…·a 20)＝ ln(a 1·a 20)10
＝ln e 50
＝50.]
14.2011 [∵a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *
)， ∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)， 将上面n －1个式子相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n . ∴a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）
2
(n ≥2)，
又a 1＝1适合上式， 因此a n ＝
n （n ＋1）
2
(n ∈N *
)，
令b n ＝1
a n
＝
2n （n ＋1）＝2? ??
??1
n －1n ＋1，
故S 10＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10
＝2??????? ????1－12＋? ????12－13＋…＋? ????110－111＝2011
.] 15．285 [由a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n
，知，
当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0；当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2.
所以数列a 1，a 3，a 5，…，a 29为常数列；a 2，a 4，a 6，…，a 30是公差为2的等差数列．又a 1＝3，a 2＝2， 因此S 30＝15×3＋
a 2＋a 30
2×15＝45＋2＋30
2
×15＝285.]
16．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)， 由S 7＝7a 4＝77，得a 4＝11， ∴a 1＋3d ＝11，①
因为a 1，a 3，a 11成等比数列，
所以a 2
3＝a 1a 11，整理得2d 2
＝3a 1d ，又因d ≠0. 所以2d ＝3a 1②
联立①，②解得a 1＝2，d ＝3. 所以{a n }的通项公式a n ＝3n －1.
(2)因为b n ＝2a n ， 所以b n ＝2
3n －1
＝12
·8n
， 所以数列{b n }是以4为首项，8为公比的等比数列， 由等比数列前n 项和公式得， T n ＝4（1－8n ）1－8＝23n ＋2
－47
.
17．解 (1)设数列{a n }的公比为q (q >0)． ∵20S 1，S 3，7S 2成等差数列， ∴2S 3＝20S 1＋7S 2.
则2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2
)＝20a 1＋7(a 1＋a 1q )． 化简得2q 2
－5q －25＝0，解得q ＝5或q ＝－52.
由q >0.舍去q ＝－5
2
.
所以数列{a n }的通项公式a n ＝a 1q n －1
＝5n
.
(2)由(1)知，a 2n ＋2＝5
2n ＋2
，则log 5a 2n ＋2＝2n ＋2.
因此b n ＝log 5a 2＋log 5a 4＋…＋log 5a 2n ＋2 ＝2＋4＋…＋2(n ＋1)＝(n ＋1)(n ＋2)． ∴1b n
＝
1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1
n ＋2
，
∴T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n
＝? ????12－13＋? ????13－14＋…＋? ??
??1n ＋1－1n ＋2 ＝12－1n ＋2＝n 2（n ＋2）. 18．解 (1)∵2S n ＝3n
＋3，①
∴当n ＝1时，2a 1＝2S 1＝3＋3，∴a 1＝3. 当n ≥2时，2S n －1＝3
n －1＋3.②
则①－②得2a n ＝2S n －2S n －1＝3n
－3
n －1
，则a n ＝3
n －1
.
所以a n ＝?
????3，n ＝1，
3n －1，n ≥2.
(2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝1
3，
当n ≥2时，b n ＝3
1－n
log 33
n －1
＝(n －1)·3
1－n
.
所以T 1＝b 1＝1
3
；
当n ≥2时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝13＋[1×3－1＋2×3－2＋…＋(n －1)×31－n
]，
所以3T n ＝1＋[1×30
＋2×3－1
＋…＋(n －1)×3
2－n
]，
两式相减，得2T n ＝23＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n )－(n －1)×31－n
＝23＋1－31－n
1－3－1－(n －1)×31－n ＝136－6n ＋32×3n ，所以T n ＝1312－6n ＋34×3
n ， 经检验，n ＝1时也适合．综上可得T n ＝1312－6n ＋34×3n .
19．解 (1)对于任意n ∈N *
，S n ＋b n ＝
n ＋13
2
①
S n ＋1＋b n ＋1＝
（n ＋1）＋13
2
②
②－①得b n ＋1＝12b n ＋1
4，
所以b n ＋1－12＝12?
?
???b n －12
又由①式知，S 1＋b 1＝142，即b 1＝7
2
.
所以数列?
?????b n －12是首项为b 1－12＝3，公比为1
2的等比数列，
b n －12＝3×? ????12n －1，b n ＝3×? ??
??12n －1＋12.
(2)因为b n ＝3×? ??
?
?12n －1＋1
2
所以S n ＝3? ????1＋12＋122＋…＋12n －1＋n 2＝3? ???
?1－12n 1－12
＋n 2＝6? ????1－12n ＋n
2
.
因为不等式12k 12＋n －2S n ≥2n －7，化简得k ≥2n －72n ，对任意n ∈N *
恒成立，
设c n ＝2n －72n ，则c n ＋1－c n ＝2（n ＋1）－72n ＋1
－2n －72n ＝9－2n
2n ＋1， 当n ≥5时，c n ＋1≤c n ，c n 为单调递减数列， 当1≤n <5时，c n ＋1>c n ，c n 为单调递增数列， 116＝c 4 ， 所以，要使k ≥2n －72n 对任意n ∈N * 恒成立，k ≥332. 20．解 (1)由b n ＝1－2S n ，令n ＝1， 则b 1＝1－2S 1＝1－2b 1，∴b 1＝1 3. 又当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1， ∴b n －b n －1＝(1－2S n )－(1－2S n －1)＝－2b n . 因此3b n ＝b n －1(n ≥2，n ∈N * )， ∴数列{b n }是首项b 1＝13，公比为q ＝1 3的等比数列． 所以b n ＝b 1q n －1 ＝1 3 n . 令y ＝sin πx ＝0，x ∈(0，＋∞)，得πx ＝n π(n ∈N * )， ∴x ＝n (n ∈N * )，它在区间(0，＋∞)内的取值构成以1为首项，以1为公差的等差数列． 于是数列{a n }的通项公式a n ＝n . (2)由(1)知，c n ＝a n ·b n ＝n 3n ， 则T n ＝13＋232＋333＋…＋n 3n ① 所以13T n ＝132＋233＋…＋n －13n ＋n 3 n ＋1② 由①－②，得23T n ＝13＋132＋…＋13n －n 3n ＋1＝12? ????1－13n －n 3n ＋1，于是T n ＝34－14·3n －1－n 2·3n <34， 要使a 2 －2a >4T n 恒成立， 则a 2 －2a ≥3.解之得a ≥3或a ≤－1， 所以实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 假如单以金钱来算,我在香港第六、七名还排不上,我这样说是有事实根据的.但我认为,富有的人要看他是怎么做.照我现在的做法我为自己内心感到富足,这是肯定的. 求数列通项专题高三数学复习教学设计 海南华侨中学邓建书 课题名称 求数列通项（高三数学第二阶段复习总第1课时） 科目 高三数学 年级 高三（5）班 教学时间 2009年4月10日 学习者分析 数列通项是高考的重点内容 必须调动学生的积极让他们掌握！ 教学目标 一、情感态度与价值观 1. 培养化归思想、应用意识. 2.通过对数列通项公式的研究 体会从特殊到一般 又到特殊的认识事物规律 培养学生主动探索 勇于发现的求知精神 二、过程与方法 1. 问题教学法------用递推关系法求数列通项公式 2. 讲练结合-----从函数、方程的观点看通项公式 三、知识与技能 1. 培养学生观察分析、猜想归纳、应用公式的能力； 2. 在领会函数与数列关系的前提下 渗透函数、方程的思想 教学重点、难点 1.重点：用递推关系法求数列通项公式 2.难点：（１）递推关系法求数列通项公式（２）由前n项和求数列通项公式时注意检验第一项（首项）是否满足 若不满足必须写成分段函数形式；若满足 则应统一成一个式子. 教学资源 多媒体幻灯 教学过程 教学活动1 复习导入 第一组问题： 数列满足下列条件 求数列的通项公式 （1）；（2） 由递推关系知道已知数列是等差或等比数列即可用公式求出通项 第二组问题：[学生讨论变式] 数列满足下列条件 求数列的通项公式 （1）；（2）； 解题方法：观察递推关系的结构特征 可以利用"累加法"或"累乘法"求出通项 （3） 解题方法：观察递推关系的结构特征 联想到"？=？)" 可以构造一个新的等比数列 从而间接求出通项 教学活动2 变式探究 变式1：数列中 求 思路：设 由待定系数法解出常数 高三数学数列专题复习题含答案 一、选择题 1.等比数列{}n a 中，12a =，8a =4，函数 ()128()()()f x x x a x a x a =---L ，则()'0f =（ ） A ．62 B. 92 C. 122 D. 152 【答案】C 【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有x 项均取0，则()' 0f 只与函数()f x 的一次项 有关；得：412 123818()2a a a a a a ??==L 。 2、在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m= （A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12 【答案】C 3、已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =，则数列1n a ?? ???? 的前5项和为 （A ） 158或5 （B ）3116或5 （C ）3116 （D ）15 8 【答案】C 【解析】本题主要考查等比数列前n 项和公式及等比数列的性质，属于中等题。 显然q ≠1，所以3639(1q )1-=121-q 1q q q q -?+?=-，所以1{}n a 是首项为1，公比为1 2 的等比数列， 前5项和5 51 1()31211612 T -= =-. 4、已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a = (A) 【答案】A 【解析】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a ===g ，3 7897988()a a a a a a a ===g 10,所以 13 2850a a =, 所以13 3 3 64564655 28()()(50)52a a a a a a a a a =====g 5.已知等比数列{m a }中，各项都是正数，且1a ， 321 ,22 a a 成等差数列，则91078a a a a +=+ A.12+ B. 12- C. 322+ D 322- 6、设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为,,X Y Z ，则下列等式中恒成立的是 A 、2X Z Y += B 、()()Y Y X Z Z X -=- C 、2 Y XZ = D 、()()Y Y X X Z X -=- 【答案】 D 【分析】取等比数列1,2,4,令1n =得1,3,7X Y Z ===代入验算，只有选项D 满足。 8、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】A 【解析】设该数列的公差为d ，则461282(11)86a a a d d +=+=?-+=-，解得2d =， 所以22(1) 11212(6)362 n n n S n n n n -=-+ ?=-=--，所以当6n =时，n S 取最小值。 9、已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=L ，且25252(3)n n a a n -?=≥，则当1n ≥时， 2123221log log log n a a a -+++=L A. (21)n n - B. 2 (1)n + C. 2n D. 2 (1)n - 高三文科数学数列专题 高三文科数学复习资料 ——《数列》专题 1. 等差数列{ a n}的前n项和记为S n，已知a1030, a2050 . （ 1）求通项a n； （ 2）若S n242 ，求 n ； （ 3）若b n a n20 ，求数列 { b n } 的前 n 项和 T n的最小值. 2. 等差数列{ a n}中，S n为前n项和，已知S77, S1575 . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）若b n S n，求数列 {b n } 的前 n 项和 T n. n 3. 已知数列{ a n}满足a1 1 a n 1 ( n 1) ，记 b n 1 ， a n . 1 2a n 1 a n （1）求证 : 数列{ b n}为等差数列； （2）求数列{ a n}的通项公式 . 4. 在数列a n 中， a n 0 ， a1 1 ，且当 n 2 时，a n 2S n S n 1 0 . 2 （ 1）求证数列1 为等差数列；S n （ 2）求数列a n的通项 a n； （ 3）当n 2时，设b n n 1 a n，求证： 1 2 (b2 b3 b n ) 1 . n 2(n 1) n 1 n 5. 等差数列{ a n}中，a18, a4 2 . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）设S n| a1 | | a2 || a n |，求 S n； 1 (n N *) ， T n b1 b2 b n (n N *) ，是否存在最大的整数m 使得对任（ 3）设b n n(12 a n ) 意 n N * ，均有T n m m 的值，若不存在，请说明理由. 成立，若存在，求出 32 6. 已知数列{log2(a n1)} 为等差数列，且a13, a39 . （ 1）求{ a n}的通项公式； （ 2）证明： 1 1 ... 1 1. a2 a1 a3 a2 a n 1 a n 7. 数列{ a n}满足a129, a n a n 12n 1(n 2, n N * ) . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）设b n a n，则 n 为何值时， { b n } 的项取得最小值，最小值为多少？n 8. 已知等差数列{ a n}的公差d大于0 , 且a2,a5是方程x2 12 x 27 0 的两根,数列 { b n } 的前 n 项和 为 T n,且 T n 1 1 b n. 2 （ 1）求数列{ a n} , { b n}的通项公式； （ 2）记c n a n b n，求证:对一切 n N 2 , 有c n. 3 9. 数列{ a n}的前n项和S n满足S n2a n 3n . （1）求数列{ a n}的通项公式a n； （2）数列{ a n}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由 . 10. 已知数列{ a n}的前n项和为S n，设a n是S n与 2 的等差中项，数列{ b n} 中， b1 1，点 P(b n , b n 1 ) 在 直线 y x 2 上. （ 1）求数列{ a n} , { b n}的通项公式 新数学《数列》期末复习知识要点 一、选择题 1．在数列{}n a 中，若10a =，12n n a a n +-=，则23111 n a a a +++L 的值 A ． 1 n n - B ． 1 n n + C ． 1 1n n -+ D ． 1 n n + 【答案】A 【解析】 分析：由叠加法求得数列的通项公式(1)n a n n =-，进而即可求解23111 n a a a +++L 的和. 详解：由题意，数列{}n a 中，110,2n n a a a n +=-=， 则112211()()()2[12(1)](1)n n n n n a a a a a a a a n n n ---=-+-++-+=+++-=-L L ， 所以 1111 (1)1n a n n n n ==--- 所以 231111111111(1)()()12231n n a a a n n n n -+++=-+-++-=-=-L L ，故选A. 点睛：本题主要考查了数列的综合问题，其中解答中涉及到利用叠加法求解数列的通项公式和利用裂项法求解数列的和，正确选择方法和准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力. 2．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ） A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 【答案】B 【解析】 由a 1+a 3+a 5=21得24242 1(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴ a 3+a 5+a 7=2 135()22142q a a a ++=?=，选B. 3．设数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，76a =.则这个数列的前7项和等于（ ） A ．12 B ．21 C ．24 D ．36 【答案】B 【解析】 【分析】 根据等差数列的性质可得3a ，由等差数列求和公式可得结果. 【详解】 因为数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=， 高考数学数列题型专题 汇总 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08] 高考数学数列题型专题汇总 一、选择题 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列 条件中，使得()*∈ A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则 6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 *∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2a n 的最大值 为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则 a 1= ，S 5= . 【答案】1 121 数列（理） 考查内容：本小题主要考查等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、 不等式证明等基础知识，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力、 推理论证能力及综合分析、解决问题的能力。 1、在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a +=+。 （1）设1 2 n n n a b -= 。证明：数列{}n b 是等差数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S 。 2、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()21n n n ba b S -=- （1）证明：当2b =时，{} 12n n a n --?是等比数列； （2）求{}n a 的通项公式 3、已知数列{}n a 的首项12 3 a = ，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…。 （1）证明：数列? ?? ?? ?-11n a 是等比数列； （2）数列? ?? ?? ?n a n 的前n 项和n S 。 4、已知数列{}n a 满足：1±≠n a ，2 11=a ，()() 2211213n n a a -=-+，记数列21n n a b -=，221n n n c a a +=-， n N *∈。 （1）证明数列 {}n b 是等比数列； （2）求数列{}n c 的通项公式； （3）是否存在数列{}n c 的不同项k j i c c c ,,，k j i <<，使之成为等差数列？若存在请求出这样的不同项 k j i c c c ,,，k j i <<；若不存在，请说明理由。 5、已知数列{}n a 、{}n b 中，对任何正整数n 都有： 11213212122n n n n n n a b a b a b a b a b n +---+++++=--L 。 （1）若数列{}n a 是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）若数列{}n b 是等比数列，数列{}n a 是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由； （3）若数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，求证：1132 n i i i a b =<∑ 。 6、设数列{}n a 满足11a =，22a =，121 (2)3 n n n a a a --= +，(3,4,)n =L 。数列{}n b 满足11,(2,3,)n b b n ==L 是非零整数，且对任意的正整数m 和自然数k ，都有 111m m m k b b b ++-≤+++≤L 。 （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）记(1,2,)n n n c na b n ==L ，求数列{}n c 的前n 项和n S 。 7、有n 个首项都是1的等差数列，设第m 个数列的第k 项为mk a ， (,1,2,3,,, 3)m k n n =L ≥，公差为m d ，并且123,,,,n n n nn a a a a L 成等差数列。 （1）证明1122m d p d p d =+，n m ≤≤3，12,p p 是m 的多项式，并求12p p +的值； （2）当121, 3d d ==时，将数列{}m d 分组如下：123456789(), (,,), (,,,,),d d d d d d d d d L （每组数的个数构成等差数列），设前m 组中所有数之和为4()(0)m m c c >，求数列{2}m c m d 的前n 项和n S 。 （3）设N 是不超过20的正整数，当n N >时，对于（2）中的n S ，求使得不等式1 (6)50 n n S d ->成立的所有N 的值。 8、数列}{n a 的通项公式为?? ? ? ?-=3sin 3cos 22 2 ππn n n a n ，其前n 项和为n S 。 （1）求n S ； （2）设n n n n S b 4 3?= ，求数列}{n b 的前n 项和n T 。 9、数列}{n a 满足}221221,2,(1cos )sin ,1,2,3,.22 n n n n n a a a a a n ππ+===++=L 满足。 数列 20．（本小题满分12分） 已知等差数列{}n a 满足：22,5642=+=a a a ，数列{}n b 满足n n n na b b b =+++-12122 ，设数列{}n b 的前n 项和为n S 。 （Ⅰ）求数列{}{}n n b a ,的通项公式； （Ⅱ）求满足1413< （1）求这7条鱼中至少有6条被QQ 先生吃掉的概率； （2）以ξ表示这7条鱼中被QQ 先生吃掉的鱼的条数，求ξ的分布列及其数学期望E ξ． 18．解：（1）设QQ 先生能吃到的鱼的条数为ξ QQ 先生要想吃到7条鱼就必须在第一天吃掉黑鱼，()177 P ξ== ……………2分 QQ 先生要想吃到6条鱼就必须在第二天吃掉黑鱼，()61667535 P ξ==?= ……4分 故QQ 先生至少吃掉6条鱼的概率是()()()1166735P P P ξξξ≥==+== ……6分 （2）QQ 先生能吃到的鱼的条数ξ可取4,5,6,7,最坏的情况是只能吃到4条鱼:前3天各吃掉1条青鱼,其余3条青鱼被黑鱼吃掉,第4天QQ 先生吃掉黑鱼,其概率为 64216(4)75335P ξ==??= ………8分 ()6418575335 P ξ==??=………10分 所以ξ的分布列为（必须写出分布列, 否则扣1分） ……………………11分 故416586675535353535 E ξ????= +++=，所求期望值为5． (12) 20.∵a 2=5，a 4+a 6=22，∴a 1+d=5，（a 1+3d ）+（a 1+5d ）=22， 解得：a 1=3，d=2． ∴12+=n a n …………2分 在n n n na b b b =+++-1212 2 中令n=1得：b 1=a 1=3， 又b 1+2b 2+…+2n b n+1=（n+1）a n+1， ∴2n b n+1=（n+1）a n+1一na n ． ∴2n b n+1=（n+1）（2n+3）－n （2n+1）=4n+3， 高三数列专题训练二 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．在公差不为零的等差数列{}n a 中，已知23a =，且137a a a 、、成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，记，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； 1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T . 3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，，2S ，3S 成等差数列，数列{}n b 满足2n b n =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n n n c a b =?，若对任意*n N ∈，求λ的取值范围． 4．已知等差数列{n a }的公差2d =，其前n 项和为n S ，且等比数列{n b }满足11b a =， 24b a =，313b a =． （Ⅰ）求数列{n a }的通项公式和数列{n b }的前n 项和n B ； （Ⅱ）记数列的前n 项和为n T ，求n T ． 5．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()21,2,3,n n S a n =-=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足11b =，且1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式； （3）设()3n n c n b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 2019年高考数学真题分类汇编 专题18：数列（综合题） 1.（2019?江苏）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{a n }()* n N ∈满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为 “M－数列”； （2）已知数列{b n }满足: 111221,n n n b S b b +==- ，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式； ②设m 为正整数，若存在“M－数列”{c n }()* n N ∈ ，对任意正整数k ， 当k ≤m 时，都有1k k k c b c +≤≤成立，求m 的最大值． 【答案】 （1）解：设等比数列{a n }的公比为q ， 所以a 1≠0，q ≠0. 由 ，得 ，解得 ． 因此数列 为“M—数列”. （2）解：①因为 ，所以 ． 由 得 ，则 . 由 ，得 ， 当 时，由 ，得 ， 整理得 ． 所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n . ②由①知，b k =k ， . 因为数列{c n }为“M–数列”，设公比为q ， 所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1 ， 所以 ，其中k =1，2，3，…，m . 当k=1时，有q≥1； 当k=2，3，…，m时，有． 设f（x）= ，则． 令，得x=e.列表如下： x e(e，+∞) +0– f（x）极大值 因为，所以． 取，当k=1，2，3，4，5时，，即， 经检验知也成立． 因此所求m的最大值不小于5． 若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上，所求m的最大值为5． 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用，等比数列的通项公式，等差关系的确定 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式，用“M－数列”的定义证出数列{a n}为“M－数列”。（2）①利用与的关系式结合已知条件得出数列为等差数列，并利用等差数列通项公式求出数列的通项公式。②由①知，b k=k， .因为数列{c n}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0，因为c k≤b k≤c k+1，所以，其中k=1，2，3，…，m ，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，进而求出函数的最值，从而求出m的最大值。 2０18届高三第二轮复习——数列 第１讲等差、等比考点 【高考感悟】 从近三年高考看,高考命题热点考向可能为： 1．必记公式 （１）等差数列通项公式:a n=a1＋（ｎ－1)ｄ. (2)等差数列前n项和公式：Sｎ＝错误!=ｎa1+错误!. (３)等比数列通项公式：a nａ１ｑn-1. （4)等比数列前n项和公式: S n=错误!. (5)等差中项公式：2a n＝aｎ－1+ａn＋１(n≥２). (６)等比中项公式：ａ错误!=a n－1·aｎ+1（n≥2). (7)数列{a n}的前n项和与通项a n之间的关系:a n＝错误!. 2．重要性质 (１）通项公式的推广:等差数列中,aｎ=ａm＋(n-m）d;等比数列中，aｎ=ａmｑn-ｍ. (2）增减性：①等差数列中,若公差大于零，则数列为递增数列;若公差小于零，则数列为递减数列． ②等比数列中,若a１＞0且q＞1或ａ1<0且０<ｑ＜１，则数列为递增数列;若a1>０且0 2.(２015·新课标Ⅱ高考)已知等比数列{a n ｝满足a 1=错误!，a 3a 5=4(ａ4-1)，则a 2＝( ） A.2 Ｂ.1 C.＼ｆ(1，2） Ｄ.＼f (1,８） 3.(２０1５·浙江高考)已知｛ａn }是等差数列，公差d 不为零.若ａ2,a 3,ａ7成等比数列，且2a 1+ａ２＝1,则ａ 1=____＿____＿,ｄ=________. 4．(2０１6·全国卷1)已知{}n a 是公差为3的等差数列,数列{}n b 满足12111 ==3 n n n n b b a b b nb +++=1，，,. (Ｉ)求{}n a 的通项公式；(II ）求{}n b 的前n 项和. 【考 点 突 破 】 考点一、等差（比)的基本运算 1.(2015·湖南高考）设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,若a １＝1，且3Ｓ1，2Ｓ2,S 3成等差数列，则a n ＝＿_____＿＿. 2．(2015·重庆高考）已知等差数列{a n }满足a 3=２,前3项和S 3＝9 2 ． （1)求｛a ｎ}的通项公式; (2)设等比数列｛b n ｝满足b 1=ａ1，b 4=a １5，求｛ｂｎ}的前n 项和T n . 考点二、等差（比)的证明与判断 【典例1】( ２017·全国1 )记S ｎ为等比数列{}n a 的前ｎ项和,已知Ｓ2=2,S 3=-6. (1)求{}n a 的通项公式；（2）求S ｎ,并判断Ｓn +１，Ｓｎ,S n +２是否成等差数列。 . 2008届高三文科数学第二轮复习资料 ——《数列》专题 1.等差数列}{n a 的前n 项和记为n S ，已知50,302010==a a . （1）求通项n a ； （2）若242=n S ，求n ； （3）若20-=n n a b ，求数列}{n b 的前n 项和n T 的最小值. 2.等差数列}{n a 中，n S 为前n 项和，已知75,7157==S S . （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若n S b n n = ，求数列}{n b 的前n 项和n T . 3.已知数列}{n a 满足11=a ，)1(211 1>+=--n a a a n n n ，记n n a b 1=. （1）求证:数列}{n b 为等差数列； （2）求数列}{n a 的通项公式. 4.在数列{}n a 中，0≠n a ，2 11=a ，且当2≥n 时，021=?+-n n n S S a . （1）求证数列? ?????n S 1为等差数列； （2）求数列{}n a 的通项n a ； （3）当2≥n 时，设n n a n n b 1-- =，求证：n b b b n n n 1)(12)1(2132<+???++-<+. 5.等差数列}{n a 中，2,841==a a . （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设||||||21n n a a a S +++= ，求n S ； （3）设*)() 12(1N n a n b n n ∈-=，*)(21N n b b b T n n ∈+++= ，是否存在最大的整数m 使得对任意*N n ∈，均有32m T n > 成立，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由. 6.已知数列)}1({log 2-n a 为等差数列，且9,331==a a . （1）求}{n a 的通项公式； （2）证明： 11...1112312<-++-+-+n n a a a a a a . 7.数列{}n a 满足*1129,21(2,)n n a a a n n n N -=-=-≥∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n n a b n = ，则n 为何值时，{}n b 的项取得最小值，最小值为多少？ 8.已知等差数列}{n a 的公差d 大于0,且52,a a 是方程027122=+-x x 的两根,数列}{n b 的前n 项和为n T ,且n n b T 211-=. （1）求数列}{n a ,}{n b 的通项公式； （2）记n n n b a c =，求证:对一切+∈N n ,有3 2≤ n c . 9.数列{}n a 的前n 项和n S 满足23n n S a n =-. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）数列{}n a 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在， 请说明理由. 10. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，设n a 是n S 与2的等差中项，数列{}n b 中，11b =，点1(,)n n P b b +在 数列专题复习 一、等差数列的有关概念： 1、等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。 如设{}n a 是等差数列，求证：以b n =n a a a n +++ 21 *n N ∈为通项公式的数列{} n b 为等差数列。 2、等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。 如(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = （答：210n +）； （2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答： 8 33 d <≤） 3、等差数列的前n 和：1()2n n n a a S += ，1(1) 2n n n S na d -=+。 如（1）数列 {}n a 中，* 11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和152 n S =-， 则1a ＝ ＿，n ＝＿（答：13a =-，10n =）； （2）已知数列 {}n a 的前n 项和2 12n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T （答： 2* 2* 12(6,)1272(6,) n n n n n N T n n n n N ?-≤∈?=?-+>∈??）. 4、等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2 a b A += 。 提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…， 2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ） 5、等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+ =+-是关于n 的二次 高三文科数学复习资料 ——《数列》专题 1.等差数列}{n a 的前n 项和记为n S ，已知50,302010==a a . （1）求通项n a ； （2）若242=n S ，求n ； （3）若20-=n n a b ，求数列}{n b 的前n 项和n T 的最小值. 2.等差数列}{n a 中，n S 为前n 项和，已知75,7157==S S . （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若n S b n n =，求数列}{n b 的前n 项和n T . 3.已知数列}{n a 满足11=a ，)1(2111>+= --n a a a n n n ，记n n a b 1 =. （1）求证:数列}{n b 为等差数列； （2）求数列}{n a 的通项公式. 4.在数列{}n a 中，0≠n a ，2 1 1=a ，且当2≥n 时，021=?+-n n n S S a . （1）求证数列? ?? ?? ?n S 1为等差数列； （2）求数列{}n a 的通项n a ； （3）当2≥n 时，设n n a n n b 1 --=，求证： n b b b n n n 1)(12)1(2132<+???++-<+. 5.等差数列}{n a 中，2,841==a a . （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设||||||21n n a a a S +++=Λ，求n S ； （3）设*)() 12(1 N n a n b n n ∈-= ，*)(21N n b b b T n n ∈+++=Λ，是否存在最大的整数m 使得对任 意*N n ∈，均有32 m T n >成立，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由. 6.已知数列)}1({log 2-n a 为等差数列，且9,331==a a . （1）求}{n a 的通项公式； （2）证明：11 ...1112312<-++-+-+n n a a a a a a . 7.数列{}n a 满足* 1129,21(2,)n n a a a n n n N -=-=-≥∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n n a b n =，则n 为何值时，{}n b 的项取得最小值，最小值为多少？ 8.已知等差数列}{n a 的公差d 大于0,且52,a a 是方程027122 =+-x x 的两根,数列}{n b 的前n 项和为n T ,且n n b T 2 11-=. （1）求数列}{n a ,}{n b 的通项公式； （2）记n n n b a c =，求证:对一切+∈N n ,有3 2≤n c . 9.数列{}n a 的前n 项和n S 满足23n n S a n =-. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）数列{}n a 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在， 请说明理由. 10. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，设n a 是n S 与2的等差中项，数列{}n b 中，11b =，点1(,)n n P b b +在 直线2y x =+上. （1）求数列}{n a ,}{n b 的通项公式 高三文科数学数列专题练习 1. 已知数列{}() n a n N *∈是等比数列,且130,2,8.n a a a >== (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求证: 11111321<++++n a a a a ； (3)设1log 22+=n n a b ,求数列{}n b 的前100项和. 1. 解：(1)设等比数列{}n a 的公比为q . 则由等比数列的通项公式1 1n n a a q -=得3131a a q -=,28 4,2 q ∴= = 又() 0,22n a q >∴=L L 分 ∴数列{}n a 的通项公式是()12223n n n a -=?=分L L . () 123231111211111112221222212 n n n a a a a ++++-? =++++= -L L ()1 1,2n =- 6分L L ()1 1,117,2 n n ≥∴-<分Q L L ()1231111 18.n a a a a ∴ ++++<分L L L ()()()(){}()2132log 21219,212112,, n n n n n b n b b n n b -=+=+-=+--+=????∴由分又常数数列是首项为3,公差为2的等差数列11分L L Q L L ∴数列{}n b 的前100项和是()10010099 1003210200122 S ?=?+ ?=分L L 2.数列{a n }中，18a =，42a =，且满足21n n a a ++-=常数C (1)求常数C 和数列的通项公式； (2)设201220||||||T a a a =+++， (3) 12||||||n n T a a a =++ +,n N +∈ 2．解：（1）C 2102n a n =＝－，－ 1256 1256712512 5 6720520 (2)||||||||| =(+a ) =2()(++a ) =2S S =260 n n n T a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++++++++++ ++++++｜－－－ (3)2 2 9 , 5 409, 5 n n n n T n n n ?≤?=?+>??－－ 3. 已知数列n n 2,n a =2n 1,n ???为奇数； －为偶数； ， 求2n S 12321352124621352-1 2 ()()2(14)(-1 2222)(3711)34 142 2(41) 23 n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a n n n n n =+++???=+++???++++???=???++++???=++?=++－3.解：－） （＋＋＋－－ 4 .已知数列{}n a 的相邻两项1,+n n a a 是关于x 的方程022=+-n n b x x ∈n (N )* 的两根,且 11=a . 高三数学二轮专题复习教案――数列 一、本章知识结构： 二、重点知识回顾 １．数列的概念及表示方法 （１）定义：按照一定顺序排列着的一列数． （２）表示方法：列表法、解析法（通项公式法和递推公式法）、图象法． （３）分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列． （４）n a 与n S 的关系： 11(1)(2)n n n S n a S S n -=?=? -?≥． 2．等差数列和等比数列的比较 （１）定义：从第2项起每一项与它前一项的差等于同一常数的数列叫等差数列；从第2项起每一项与它前一项的比等于同一常数（不为0）的数列叫做等比数列． （２）递推公式：110n n n n a a d a a q q n *++-==≠∈N ，·，，． （３）通项公式： 111(1)n n n a a n d a a q n -* =+-=∈N ，，． （４）性质 等差数列的主要性质： ①单调性：0d ≥时为递增数列，0d ≤时为递减数列，0d =时为常数列． ②若m n p q +=+，则()m n p q a a a a m n p q *+=+∈N ，，，．特别地，当2m n p +=时，有2m n p a a a +=． ③()() n m a a n m d m n *-=-∈N ，． ④ 232k k k k k S S S S S --，，，… 成等差数列． 等比数列的主要性质： ①单调性：当 1001 a q ??>?时，为递增数列；当101a q ?，，，或1001a q >??<ΛΛ时 n a a a a a a ----+++=ΛΛ87621 . 7212)12()6612(222226+-=---??=-=n n n n S S n 综上， ?????>+-≤-=.6,7212,6,122 2 n n n n n n T n 点评：本题考查了数列的前n 项与数列的通项公式之间的关系，特别要注意n ＝１时情况，在解题时经常会忘记。第 二问要分情况讨论，体现了分类讨论的数学思想． 例２、（2008广东双合中学）已知等差数列 } {n a 的前n 项和为 n S ，且 35 a =， 15225 S =. 数列 } {n b 是等比数列， 32325,128 b a a b b =+=（其中1,2,3,n =…）. （I ）求数列 } {n a 和 {} n b 的通项公式；（II ）记 ,{}n n n n n c a b c n T =求数列前项和. 解：（I ）公差为d ， 则???=?+=+,22571515,5211d a d a 1 2,2, 11-=? ? ?==∴n a d a n 故(1,2,3,n =)…. 设等比数列}{n b 的公比为q ， ?????=?=,128, 82 333q b q b b 则 .2,83==∴q b求数列通项专题高三数学复习教学设计
高三数学数列专题复习题含答案
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