初三平面几何的解析法
初三平面几何的解析法
几何学是数学的一个重要分支，主要研究空间和图形的性质以及它
们之间的关系。解析几何是几何学的一种方法，它通过代数方法研究
几何问题，使得复杂的几何推理转化为简单的代数计算。在初三阶段
学习平面几何时，解析法可以为我们提供一种更加直观、清晰的思考
方式。本文将介绍初三平面几何的解析法及其应用。
1. 点的坐标表示
在解析几何中，我们使用坐标系来表示点的位置。常见的是二维坐
标系，也就是笛卡尔坐标系，其中有一个水平的x轴和一个垂直的y 轴，它们的交点称为原点，通常表示为O。我们可以用一个有序数对(x, y)来表示一个点的坐标，其中x代表水平方向上的位置，y代表垂直方
向上的位置。例如，点A的坐标为(2, 3)，表示A在x轴上距离原点2
个单位，y轴上距离原点3个单位。
2. 直线的方程表示
在解析几何中，我们可以用方程表示直线。常见的直线方程有斜截
式和一般式两种形式。
2.1 斜截式方程
斜截式方程的一般形式为y = kx + b，其中k是直线的斜率，b是直
线与y轴的截距。我们可以通过两个已知点的坐标来确定直线的斜率，并利用其中一个点的坐标代入方程，求解出直线与y轴的截距b。
2.2 一般式方程
一般式方程的一般形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C是常数，且A和B不同时为0。我们可以通过两个已知点的坐标，利用直线的
斜率公式和垂直平分线的性质，得到直线方程的一般式表示。
3. 直线与直线之间的关系
3.1 平行
当两条直线的斜率相等时，它们是平行的。我们可以通过斜截式方
程或一般式方程计算出直线的斜率，并进行比较。
3.2 垂直
当两条直线的斜率的乘积为-1时，它们是垂直的。我们可以通过斜
截式方程或一般式方程计算出直线的斜率，并进行比较。
4. 直线与圆的关系
4.1 判断点是否在圆上
一个点在圆上，当且仅当点到圆心的距离等于圆的半径。我们可以
计算点到圆心的距离，与圆的半径进行比较。
4.2 直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系主要有相离、相切和相交三种情况。
当直线与圆没有公共点时，它们是相离的；当直线与圆只有一个公
共点时，它们是相切的；当直线与圆有两个不重合的公共点时，它们
是相交的。我们可以利用点到直线的距离公式来计算点到直线的距离，与圆的半径进行比较。
5. 三角形的性质与判定
在解析几何中，我们也可以利用解析法来研究三角形的性质与判定。
5.1 三角形的面积
已知三角形的三个顶点坐标，我们可以利用向量叉积的方法计算三
角形的面积。
5.2 三角形的形状
我们可以利用三角形的边长或角度等信息，通过解析方法计算出三
角形的性质，如等腰三角形、直角三角形等。
综上所述，解析法为初三学生在平面几何的学习中提供了一种更加
直观、清晰的思考方式。通过学习和掌握解析几何的基本原理和方法，我们能够更好地理解几何问题，并提升解决问题的能力。初三学生在
学习平面几何时，可以灵活运用解析法来分析和解决问题，提升数学
思维和逻辑推理能力。同时，解析法也为我们打开了数学的大门，为
进一步学习高级数学奠定了基础。希望本文的介绍能够对初三学生在
平面几何的学习中有所帮助。
解析几何方法
解析幾何方法 解析几何的发展史 十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体试验着抛物线运动的。这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。 1637年，法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作《方法论》，这本书的后面有三篇附录，一篇叫《折光学》，一篇叫《流星学》，一篇叫《几何学》。当时的这个“几何学”实际上指的是数学，就像我国古代“算术”和“数学”是一个意思一样。 笛卡尔的《几何学》共分三卷，第一卷讨论尺规作图；第二卷是曲线的性质；第三卷是立体和“超立体”的作图，但他实际是代数问题，探讨方程的根的性质。后世的数学家和数学史学家都把笛卡尔的《几何学》作为解析几何的起点。 从笛卡尔的《几何学》中可以看出，笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学，把算术、代数、几何统一起来。他设想，把任何数学问题化为一个代数问题，在把任何代数问题归结到去解一个方程式。 为了实现上述的设想，笛卡尔茨从天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对(x,y)的对应关系。x,y的不同数值可以确定平面上许多不同的点，这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。这就是解析几何的基本思想。 具体地说，平面解析几何的基本思想有两个要点：第一，在平面建立坐标系，一点的坐标与一组有序的实数对相对应；第二，在平面上建立了坐标系后，平面上的一条曲线就可由带两个变数的一个代数方程来表示了。从这里可以看到，运用坐标法不仅可以把几何问题通过代数的方法解决，而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系了起来。 解析几何的产生并不是偶然的。在笛卡尔写《几何学》以前，就有许多学者研究过用两条相交直线作为一种坐标系；也有人在研究天文、地理的时候，提出了一点位置可由两个“坐标”（经度和纬度）来确定。这些都对解析几何的创建产生了很大的影响。 在数学史上，一般认为和笛卡尔同时代的法国业余数学家费尔马也是解析几何的创建者之一，应该分享这门学科创建的荣誉。 费尔马是一个业余从事数学研究的学者，对数论、解析几何、概率论三个方面都有重要贡献。他性情谦和，好静成癖，对自己所写的“书”无意发表。但从他的通信中知道，他早在笛卡尔发表《几何学》以前，就已写了关于解析几何的小文，就已经有了解析几何的思想。只是直到1679年，费尔马死后，他的思想和著述才从给友人的通信中公开发表。 笛卡尔的《几何学》，作为一本解析几何的书来看，是不完整的，但重要的是引入了新的思想，为开辟数学新园地做出了贡献。 解析几何的基本内容
平面解析几何(圆的方程)
平面解析几何——圆的方程 圆的定义与方程 【知识拓展】 1．确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为 (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D 、E 、F 的方程组； (3)解出a 、b 、r 或D 、E 、F 代入标准方程或一般方程． 2．点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种． 圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0) (1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2； (2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2； (3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2
平面 解析几何公式
平面解析几何公式 1、 直线的斜率坐标公式：21 21 y y x x -- 2、 直线方程 点斜式：00(x x )y y k -=- 斜截式：y kx b =+ 两点式： 11 2121y y x x y y x x --= -- (1212,x x y y ≠≠) 截距式：1x y a b += 一般式：0ax by c ++= (,a b 不同时为0) 3、 两点之间的距离公式： A （11,x y ） B （22,x y ）两点的距离公式： 4点到直线的距离公式： 点P （00,x y ）到直线0ax by c ++= 的距离为：d = 5、 两平行直线的距离公式： 直线1L :10Ax By C ++= 直线2L :20Ax By C ++= 的距离公式为：d =6、 圆的标准方程： 222(x a)(y b)r -+-= 圆心是：(a,b)o ，半径是：r 7圆的一般方程：
220x y Dx Ey C ++++= 圆心是：(,)22D E o - -，半径是：r =8、椭圆的标准方程 焦点在x 轴上的标准方程：22 221x y a b += (a b 0) >> 焦点坐标：12(a,0),(a,0)F F - 准线方程：2 a x c =± 焦点在y 轴上的标准方程：22 221y x a b += (a b 0) >> 焦点坐标：12(0,b),(0,b)F F - 准线方程：2 a y c =± a,b,c 三者之间的关系：222 a b c =+ 离心率：c e a = 两准线之间的距离：2 2a d c = 焦点到相应的准线的距离：2 b d c = 9、双曲线的标准方程： 焦点在x 轴上的标准方程：22 221x y a b -= (a 0,b 0)>> 焦点坐标：12(a,0),(a,0)F F - 准线方程：2 a x c =± 焦点在y 轴上的标准方程：22 221y x a b -= (a 0,b 0)>>
解析法证明平面几何经典问题--举例
五、用解析法证明平面几何问题----极度精彩！充分展现数学之美感！何妨一试？ 例1、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引两条直线分别交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二） （例1图） （例2图） 例2、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、 BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 【部分题目解答】 例1、(难度相当于高考压轴题) ； ，、点的方程为：直线的方程为：设直线方程为：轴建立坐标系，设圆的为为原点，轴，为如图，以)(),(,AD ,,)-(2211222y x C y x B nx y mx y AB r a y x Y AO A x MN ===+ 、；则，、，C B )()(4433y x E y x D , 1 - ;12-2-)1,{)-(22 2212212222222+=+=+=++=+=m r a x x m am x x r a amx x m y r a y x mx y 由韦达定理知：得：（消去,1- ;1222 243243+=+=+n r a x x n an x x 同理得： ),-(---23 23 22x x x x y y y y CD = 方程为：直线 ,--Q 3 23 223Q y y y x y x x = 点横坐标：由此得 , --P 1 41441P y y y x y x x = 点横坐标：同理得 ,------1 41441323223P Q y y y x y x y y y x y x x x AQ AP ===；即证：，只需证明：故，要证明 N B
初三平面几何的解析法
初三平面几何的解析法 几何学是数学的一个重要分支，主要研究空间和图形的性质以及它 们之间的关系。解析几何是几何学的一种方法，它通过代数方法研究 几何问题，使得复杂的几何推理转化为简单的代数计算。在初三阶段 学习平面几何时，解析法可以为我们提供一种更加直观、清晰的思考 方式。本文将介绍初三平面几何的解析法及其应用。 1. 点的坐标表示 在解析几何中，我们使用坐标系来表示点的位置。常见的是二维坐 标系，也就是笛卡尔坐标系，其中有一个水平的x轴和一个垂直的y 轴，它们的交点称为原点，通常表示为O。我们可以用一个有序数对(x, y)来表示一个点的坐标，其中x代表水平方向上的位置，y代表垂直方 向上的位置。例如，点A的坐标为(2, 3)，表示A在x轴上距离原点2 个单位，y轴上距离原点3个单位。 2. 直线的方程表示 在解析几何中，我们可以用方程表示直线。常见的直线方程有斜截 式和一般式两种形式。 2.1 斜截式方程 斜截式方程的一般形式为y = kx + b，其中k是直线的斜率，b是直 线与y轴的截距。我们可以通过两个已知点的坐标来确定直线的斜率，并利用其中一个点的坐标代入方程，求解出直线与y轴的截距b。
2.2 一般式方程 一般式方程的一般形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C是常数，且A和B不同时为0。我们可以通过两个已知点的坐标，利用直线的 斜率公式和垂直平分线的性质，得到直线方程的一般式表示。 3. 直线与直线之间的关系 3.1 平行 当两条直线的斜率相等时，它们是平行的。我们可以通过斜截式方 程或一般式方程计算出直线的斜率，并进行比较。 3.2 垂直 当两条直线的斜率的乘积为-1时，它们是垂直的。我们可以通过斜 截式方程或一般式方程计算出直线的斜率，并进行比较。 4. 直线与圆的关系 4.1 判断点是否在圆上 一个点在圆上，当且仅当点到圆心的距离等于圆的半径。我们可以 计算点到圆心的距离，与圆的半径进行比较。 4.2 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系主要有相离、相切和相交三种情况。 当直线与圆没有公共点时，它们是相离的；当直线与圆只有一个公 共点时，它们是相切的；当直线与圆有两个不重合的公共点时，它们
解析法在中学几何题中的应用
解析法在中学几何题中的应用 1. 解析法在中学几何题中应用的简介 解析法，又称为几何分析法，是一种求解几何问题的数学方法，它是依据元素、定理、定律和46种基本图形几何定性表达，结合解题过程中的分析、推理和转化，最终将几何图形、概念及表达结构与数学计算、推理相结合，通过用计算出来的量解出几何图形、关系，以达到求出几何问题答案的过程。在中学几何实际题目中，解析法及其方法也同样受到重视，它既可以用来求得几何图形、关系的证明及定性，又可以将其转化成数字问题，从而定性地解决定量问题，能够有效地解决复杂的几何问题。 2. 解析法在中学几何题中的应用 （1）求解图形的定性性质：中学几何实际应用题目中，有许多要求学生确定具体的图形的性质的题目，在数学上的定性表达可以采用解析法来解答，它以理性的思维来推导结果，锻炼学生的数学思维和认知能力； （2）证明图形的性质：在几何实际应用题目中，解析法能够将直观的图形数学推理联系起来，将若干复杂的定理和结论整合利用起来给出正确的证明，能够更全面深入地深入理解几何定理和结论； （3）求解图形的定量性质：解析法将几何图像转化成数学模式，可以解决定量的几何问题，它利用简单的几何知识将直接确定的量和间接求得的量解出几何形式，有效地实现了几何思想和数学理论的统一。
3. 解析法在中学几何题中能带来的好处 （1）熟悉几何定理及其证明：通过解析法用思维推导和证明，对几何 图形的概念、性质、习题的解法等可以建立较为深刻的认知； （2）灵活应用经典定理：用解析法推导、证明和理解问题，可以灵活 运用所学经典定理； （3）锻炼抽象和归纳能力：解析法通过从具体的事例向一般的规律抽象、归纳，引导学生分析图形关系，提高学生的抽象思维能力和归纳 能力； （4）提升数学解题能力：解析法将几何知识和数学思维有机结合，提 高数学解题能力，提供了一种更加科学有效地解决几何问题的新思路。
2 用解析法求解初等平面几何问题
2 用解析法求解初等平面几何问题 在初等几何的教学中, 常常遇到不同类型的证明题, 一般情况下, 用初等几何有关定义、定理处理比较方便, 但有些题目却要添加辅助线, 发掘隐含条件等高技巧的特殊处理措施, 初学者解题时常遇到困难.如果采用解析法, 有些问题思路反而清晰简单, 具有独特的优点.以下将常见的不同类型证明题的思路加以罗列, 于读者共同研究分析. 平面上建立直角坐标系后, 点与有序实数对),(b a 建立了一一对应关系, 直线和圆分别对应与某确定的二元方程.这样, 就可以将几何问题转化为代数问题.将代数问题解决而得到几何问题的证明, 这就是解析法的证明方法.平面解析几何是借助平面坐标系, 利用代数方法来研究平面图形性质的一门学科.通过建立平面坐标系, 平面内的点均可用坐标表示出来, 从而平面图形的性质可以表示为图形上点的坐标之间的关系, 特别是代数关系, 以此实现几何问题与代数问题的相互转化.下面通过两个例题来分析解析法的基本思想方法和解题过程. 例8 证明：三角形的三条高交于一点[3]. AD 已知, EF , CF 分别是ABC ?的三边上 的高, 求证：AD , BE , CF 相交于一点. 证明 如图4所示, 以BC 边为x 轴, BC 边 上的高AD 为y 轴建立直角坐标系.不防设A , B , C 三点的坐标分别为(0,)A a , (,0)B b , (,0)C c .根 据斜率公式得, AB b K a =-, CA a K c =-, 0BC K =,
又根据两直线垂直的充要条件及直线点斜式方程, 容易求出三条高所在的直线方程分别为 :0AD x =, :0BE cx ay bc --=, :0CF bx ay bc --=. 这三个方程显然有公共解, 0x =, bc y a =- , 从而证明了三角形的三条高相交与一点. 例9 一个面积为232cm 的平面凸四边形中, 两条对边与一条对角线的长度之和为cm 16试确定另一个对角线的所有可能的长度[3]. 解 如图5, 建立直角坐标系, 并设平面凸四边形的4个顶点的坐标分别为 )0,(a A -, (,)B b b '-, (,0)C c , (0,).D d 根据已知条件有 11()3222 ABCD S c a d c a b '=+++=（）, ||||||AB CD AC + += ()16a c +=.即有 ?????+-=++++='++) (16)(64)(2222c a d c b b a b d a c ）（ )2()1( 根据图5可知 2b d '+≤ )3( 由(1), (2), (3)得()[16()]64a c a c +-+≥, 即2[()8]0c a +-≤, 所以.8=+a c 且上述不等式只能取等号, 于是得 8b d '+=, 0c =, 0a b +=.由此可知, 8a =, 8b =-.所以, 另一条对角线BD 的长度为||BD = )cm =. 从上述两题的解题过程不难看出, 其解 法的关键在于通过建立坐标系, 把原来的几何问题转化成了代数(计算)问题.也就是借助于坐标系, 在点曲线与数组(方程)之间建立起对应关系, 以次来实现几X Y 图5
关于一道平面几何问题的多种解法及思考
关于一道平面几何问题的多种解法及思考 问题描述： 如图，在平面直角坐标系中，若 $\triangle ABC$ 的坐标分别为 $A(0,0)$， $B(5,0)$，$C(2,6)$，$P$ 为第 $x$ 轴上一点，且满足 $AP+BP+CP$ 最小，求 $x$ 取值。 解法一：几何法 1.显然可以发现 $\triangle ABC$ 是个等腰三角形，且底边 $BC$ 是第 $x$ 轴。 2.设 $AP=x$，则 $\overrightarrow{AP}=(x,0)$。 3.设 $H$ 为 $\triangle ABC$ 的垂心，则 $CH$ 是 $\triangle ABC$ 的高， $CH=3$。 5.根据余弦定理可得： $$\cos\angle BPC=\frac{(5-x)^2+36-25}{2(5-x)\cdot 3}=\frac{(x-5)^2+9}{6(x-5)}$$ 6.根据三角形三边和公式可得：$AP+BP+CP=AP+BP+CH$。 7.设 $F$ 为线段 $BP$ 上一点使得 $PF\perp BC$，则 $BF=5-x$，$FP=h$。 8.则 $AP+BP+CH=AP+BF+FP+CH=x+(5-x)+\sqrt{h^2+9}=5+\sqrt{h^2+9}$。 9.由勾股定理可知 $BF^2+FH^2=BH^2$，即 $(5-x)^2+h^2=36$。 10.代入式子中可得： 11.观察式子后可得 $AP+BP+CP$ 的最小值为 $2\sqrt{21}$，此时 $x=3$。 解法二：解析法 1.设线段 $AP$ 的方程为 $y=mx$。 4.通过求两条直线之间的距离可得 $AP$ 与 $BP$ 的交点为 $(\frac{5m}{1+m^2},\frac{5m^2}{1+m^2})$。 6.根据距离公式可得 $AP+BP+CP=\sqrt{m^2+1}(\frac{5}{\sqrt{m^2+1}}+\sqrt{(5- \frac{5m}{1+m^2})^2+(3-\frac{5m^2}{1+m^2})^2}+\sqrt{(2-\frac{6m}{1+m^2})^2+(6- \frac{6m^2}{1+m^2})^2})$。 8.由于 $\sqrt{m^2-2m+34}$ 为常数，故只需求 $m$ 的极值。 10.故 $x=\frac{5}{m}=3$，答案正确。
第56讲 解析法证几何题
第56讲 解析法证 几何题 解析法是利用代数方法解决几何问题的一种常用方法．其一般的顺序是：建立坐标系，设出各点坐标及各线的方程，然后根据求解或求证要求进行代数推算．它的优点是具有一般性与程序性，几何所有的平面几何问题都可以用解析法获解，但对于有些题目演算太繁． 此外，如果建立坐标系或设点坐标时处理不当，也可能增加计算量．建系设点坐标的一般原则是使各点坐标出现尽量多的0，但也不可死搬教条，对于一些“地位平等”的点、线，建系设点坐标时，要保持其原有的“对称性”． A 类例题 例1．如图，以直角三角形ABC 的斜边AB 及直角边BC 为边向三角形两侧作正方形ABDE 、CBFG ． 求证：DC ⊥F A ． 分析 只要证k CD ·k AF ＝－1，故只要求点D 的坐标． 证明 以C 为原点，CB 为x 轴正方向建立直角坐标系．设A (0 ，
a)，B(b，0)，D(x，y)． 则直线AB的方程为ax＋by－ab＝0． 故直线BD的方程为bx－ay－(b·b－a·0)＝0， 即bx－ay－b2＝0． ED方程设为ax＋by＋C＝0． 由AB、ED距离等于|AB|，得 |C＋ab| a2＋b2 ＝a2＋b2， 解得C＝±(a2＋b2)－ab． 如图，应舍去负号． 所以直线ED方程为ax＋by＋a2＋b2－ab＝0． 解得x＝b－a，y＝－b．(只要作DH⊥x轴，由△DBH≌△BAC就可得到这个结果)． 即D(b－a，－b)． 因为k AF＝b－a b，k CD＝ －b b－a ，而k AF·k CD＝－1．所以DC⊥F A． 例2．自ΔABC的顶点A引BC的垂线，垂足为D，在AD上任取一点H，直线BH交AC于E，CH交AB于F． 试证：AD平分ED与DF所成的角． 证明建立直角坐标系，设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)， H(0，h)，于是
解析几何十一种方法
解析几何11种方法 解析几何是数学的一个重要分支，它使用代数方法来研究几何对象。 以下是11种解析几何的方法： 1.坐标法：这是解析几何中最基本的方法，通过引入坐标系，将几何问题转 化为代数问题，进而通过代数运算解决几何问题。 2.参数法：当某些几何量（如距离、角度等）不容易直接求出时，可以引入 参数，将问题转化为参数的求解问题。 3.向量法：向量是解析几何中的重要工具，它可以表示点、方向、速度等几 何概念，通过向量的运算可以方便地解决许多几何问题。 4.极坐标法：在平面几何中，除了直角坐标系外，还可以使用极坐标系。通 过极坐标，可以方便地表示点和线的方程，并解决相关问题。 5.复数法：复数在解析几何中也有广泛应用，例如在解决圆的方程时，可以 通过复数的方法简化计算。 6.三角法：在解析几何中，三角函数是重要的工具，它可以用来表示角度、 长度等几何量，并解决相关问题。 7.面积法：在解决几何问题时，有时可以通过计算面积来找到解决方案，例 如在解决三角形问题时。 8.解析法：通过解析几何的方法，可以将几何问题转化为代数问题，进而通 过代数运算解决几何问题。 9.代数法：代数法是解析几何中的一种重要方法，通过代数运算和代数方程 的求解，可以解决许多几何问题。 10.对称法：在解析几何中，有时可以通过观察图形的对称性来找到解决方案，
例如在解决关于对称点、对称线的问题时。 11.数形结合法：数形结合是解析几何中的一种重要思想，通过将代数与几何 相结合，可以更方便地解决许多问题。 以上就是解析几何的11种方法。需要注意的是，每种方法都有其适用的范围和局限性，需要根据具体的问题选择合适的方法来解决。
初中平面几何解题技巧
The biggest reason for a person's failure is that he lacks sufficient confidence in his own abilities, and even thinks that he is bound to fail.悉心整理助您一臂（页眉可删） 初中平面几何解题技巧 几何学是人类实践的产物。它的基本知识在生产、生活和科学研究中有着广泛的应用，同时又是学习其他学科的基础。以下是整理的初中平面几何解题技巧，欢迎阅读。 【初中平面几何解题技巧：做辅助线】 一、辅助线与证明关系 证明是由题设（已知）出发，经过一步一步地推理，最后推出结论（求证）正确的过程。证明前的分析，是确定运用哪个性质（或定理）和需要添加哪些辅助线。如"三角形的内角和定理"的证明，应结合命题先画出图形，写出已知、求证，再证明。分析，这个定理的条件比较简单，除了三角形的三条边和三个内角，并没有其他的条件，因此这个定理的证明一定要借助辅助线。怎样作辅助线呢？一条证明题的辅助线有时有多种作法，而作法的不同，证明的方法也不同，也就是说，一个命题可以有多种证明方法，所以辅助线的作法与证明方法有密切联系。 二、常用几种作辅助线的方法
由上面的讲述可知，辅助线的作法有时可以有多种的作法，并没有什么特别的规定，那么怎样比较容易地作出需要的辅助线呢？经过多年的教学经验，笔者总结出以下几种方法与大家共同研究。 1.根据剪拼法作辅助线 剪拼法是把一个一般的多边形剪开，使其分为几个特殊的图形，这种方法在多边形证明题中用得最多，特别是学过特殊四边形之后，通过添加辅助线的方法，把多边形转化为特殊四边形和三角形，并利用特殊四边形或三角形的知识加以解决。这样就把复杂的问题化为简单的问题了。 2.根据命题给出的已知条件作辅助线 给出一个命题后，审清题意，由已知条件确定要使用的性质或定理，然后根据这个性质或定理的特点去作出所需要的辅助线。 3.根据命题结论去作辅助线 若由命题的题设没有办法证明出结论，就从结论出发，由结论的特点确定运用哪个性质或定理，然后根据这个性质或定理作出所需的辅助线。 4.根据图形的特点去作辅助线
几何题初三知识点归纳总结
几何题初三知识点归纳总结 几何是数学中的一个重要分支，研究空间、形体和其性质的科学。 在初中阶段，几何作为数学的一个主要组成部分，扮演着提高学生空 间想象力、推理能力和解决实际问题的重要角色。以下是几何题初三 知识点的归纳总结。 一、平面图形 初三几何中最基础而重要的知识点是平面图形，主要有以下几种形状： 1. 三角形 三角形是由三条边和三个顶点构成的图形。根据角度的不同，可分 为等边三角形、等腰三角形和一般三角形。 2. 矩形 矩形是一个有四条边的图形，四个角都是直角，并且相对的边长相等。 3. 正方形 正方形是一种特殊的矩形，所有边长均相等，并且每个角都是直角。 4. 平行四边形 平行四边形有两组对边互相平行，对边长度相等。 二、立体图形
除了平面图形，初三几何还包括立体图形的知识点，主要有以下几 种形状： 1. 立方体 立方体是一个有六个相等的正方形面的立体图形。 2. 圆柱体 圆柱体是一个有两个相等的平行圆底面，并用一直线与两底面连接 的立体图形。 3. 圆锥体 圆锥体是一个有一个圆底面，并用一直线连接圆心和侧面上的点的 立体图形。 4. 球体 球体是一个所有点到心距离都相等的立体图形。 三、相似形与全等形 1. 相似形 相似形是指形状相同但大小不同的图形，各边之间的比值相等。 2. 全等形 全等形是指形状和大小完全相同的图形，各边之间对应的边长相等，对应角度相等。
四、平面几何的运算 1. 长度的计算 计算平面图形边长的方法，如三角形的周长、矩形的周长等。 2. 面积的计算 计算平面图形面积的方法，如三角形的面积、矩形的面积等。 五、空间几何的运算 1. 体积的计算 计算立体图形体积的方法，如立方体的体积、圆柱体的体积等。 2. 表面积的计算 计算立体图形表面积的方法，如立方体的表面积、圆柱体的表面积等。 以上是初三几何题知识点的简要归纳总结。通过学习和掌握这些几何知识点，可以帮助学生培养空间想象力和推理能力，提高解决实际问题的能力。在解答几何题时，需要注意题目的要求，运用所学知识进行分析和推导，巩固几何知识点的同时，也提高了数学解题能力的水平。希望本文的总结对学生的几何学习有所帮助。
初三平面几何的知识点总结
初三平面几何的知识点总结 1. 点、线、面的基本概念 - 点：没有长度、宽度和高度的几何图形。 - 线段：由两个不同点确定的部分，具有长度。 - 直线：由无数个点连在一起而成的线段。 - 射线：由一个点和一个方向确定的部分，具有长度但无端点。 - 面：由无数个点组成的平面图形，具有长度和宽度。 2. 图形的分类 - 几何图形分为平面图形和空间图形。 - 平面图形包括：点、线、面，以及由它们组成的多边形、圆等。 - 空间图形包括：球体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥等。 3. 几何图形的性质与证明方法 - 三角形：
- 内角和定理：三角形的内角和为180°。 - 外角和定理：三角形的一个外角等于两个不相邻内角的和。 - 三角形的分类：根据边长和角度的关系，三角形可分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形等。 - 四边形： - 矩形： - 对角线互相垂直。 - 对角线相等。 - 平行四边形： - 对角线互相平分。 - 相邻内角互补，对角线互相平行且长度成比例。 - 圆：圆心到圆上各点的距离相等。 - 四边形面积公式： - 正方形面积 = 边长² - 长方形面积 = 长 ×宽 - 平行四边形面积 = 底 ×高 - 梯形面积 = 上底 + 下底 ×高 ÷ 2 - 三角形面积 = 底 ×高 ÷ 2 4. 平面几何的推理与证明
- 平行线的证明： - 同位角相等或内错角相等。 - 平行线与一条截线的夹角相等。 - 相似三角形的证明： - AA判定法：两个三角形对应的两个角相等。 - 三边比例相等。 - SSS相似定理。 - 三角形的全等条件及构造： - SAS判定法：两个三角形的一边及其夹角相等。 - ASA判定法：两个三角形的两个角及它们对应的边相等。- SSS判定法：两个三角形的三条边分别相等。 - 圆的周长与面积计算： - 圆的周长=2π × 半径 - 圆的面积=π × 半径² 5. 平面几何应用题的解决方法 - 应用题的解题步骤： - 读懂题意，理清思路。
坐标法──解析几何
坐标法──解析几何
坐标法──解析几何 解析几何的产生 十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体试验着抛物线运动的。这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。 1637年，法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作《方法论》，这本书的后面有三篇附录，一篇叫《折光学》，一篇叫《流星学》，一篇叫《几何学》。当时的这个“几何学”实际上指的是数学，就像我国古代“算术”和“数学”是一个意思一样。 笛卡尔的《几何学》共分三卷，第一卷讨论尺规作图；第二卷是曲线的性质；第三卷是立体和“超立体”的作图，但他实际是代数问题，探讨方程的根的性质。后世的数学家和数学史学家都把笛卡尔的《几何学》作为解析几何的起点。从笛卡尔的《几何学》中可以看出，笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学，把算术、代数、几何统一起来。他设想，把任何数学问题化为一个代数问题，在把任何代数问题归结到去解一个方程式。
为了实现上述的设想，笛卡尔茨从天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对(x,y)的对应关系。x,y的不同数值可以确定平面上许多不同的点，这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。这就是解析几何的基本思想。 具体地说，平面解析几何的基本思想有两个要点：第一，在平面建立坐标系，一点的坐标与一组有序的实数对相对应；第二，在平面上建立了坐标系后，平面上的一条曲线就可由带两个变数的一个代数方程来表示了。从这里可以看到，运用坐标法不仅可以把几何问题通过代数的方法解决，而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系了起来。 解析几何的产生并不是偶然的。在笛卡尔写《几何学》以前，就有许多学者研究过用两条相交直线作为一种坐标系；也有人在研究天文、地理的时候，提出了一点位置可由两个“坐标”（经度和纬度）来确定。这些都对解析几何的创建产生了很大的影响。 在数学史上，一般认为和笛卡尔同时代的法国业余数学家费尔马也是解析几何的创建者之一，应该分享这门学科创建的荣誉。 费尔马是一个业余从事数学研究的学者，对数论、解析几何、概率论三个方面都有重要贡献。他性情谦和，好静成癖，对自己所写的“书”无意发表。但从他的通信中知道，他早在笛卡尔发表《几何学》以前，就已写了关于解析几何的小文，
苏教版初三数学教材几何题解题技巧
苏教版初三数学教材几何题解题技巧几何是初中数学中的重要内容之一，对于初三学生来说，掌握几何解题技巧是必不可少的。本文将为大家介绍几种解题技巧，帮助大家更好地应对苏教版初三数学教材中的几何题。 一、图形的性质和定理 在几何题中，我们常常需要利用图形的性质和定理来推导出结论。因此，熟练掌握各种图形的性质和定理是解题的关键。 1. 三角形的性质 对于三角形来说，熟练掌握其性质是解题的基础。我们常用的三角形性质有： (1) 任意两边之和大于第三边：a + b > c (2) 任意两边之差小于第三边：|a - b| < c (3) 三角形内角和为180°：∠A + ∠B + ∠C = 180° (4) 等腰三角形的底角相等：∠A = ∠B (5) 等边三角形的三个内角均为60° 掌握这些性质，能够帮助我们更好地理解和解决与三角形相关的题目。 2. 圆的性质 对于圆的性质，我们需要掌握以下几点：
(1) 圆的周长公式：C = 2πr (2) 圆的面积公式：S = πr² (3) 直径和半径的关系：d = 2r (4) 弧度制和角度制的转化关系：360° = 2π弧度 掌握这些性质有助于我们解决与圆相关的计算和推导题。 二、几何题解题步骤 解决几何题时，我们需要按照一定的步骤进行推导和计算。下面是解题的一般步骤： 1. 阅读题目 阅读题目是解题的第一步，我们需要仔细理解题目，明确题目要求和给出的条件。 2. 绘制图形 根据题目给出的条件，我们需要在纸上绘制相应的几何图形，以便更好地理解和分析题目。 3. 利用性质和定理 根据题目所给的条件，我们可以利用图形的性质和定理进行推导和计算。通过运用正确的定理和性质，可以简化题目，减少计算量。 4. 运用计算方法
平面几何证明题的一般思路及方法简述
平面几何证明题的一般思路及方法简述 【摘要】惠特霍斯曾说过,“一般地,解题之所以成功,在很大程度上依赖于选择一种最适宜的方法。”灵活、恰当地选择解题方法是求解平面几何问题的良好途径。解决任何一道平面几何证明题,都要应用这样或那样的方法,而选择哪一种方法,就取决于我们用什么样的解题思路。本文试对平面几何证明题中常用的几种解题思路及方法进行分析。 【关键词】平面几何证明题思路方法 平面几何难学,是很多初中生在学习中的共识,这里面包含了很多主观和客观因素,而学习不得法,没有适当的解题思路则是其中的一个重要原因。波利亚曾说过,“解题的成功要靠正确思路的选择,要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒。为了辨别哪一条思路正确,哪一个方向可接近它,就要试探各种方向和思路。”由此可见,掌握证明题的一般思路、探索证题过程中的数学思维、总结证题的基本规律是求解几何证明题的关键。常见的证题思路有直接式思路和间接式思路。 一、直接式思路 证题时,首先应仔细审查题意,细心观察题目,分清条件和结论,并尽量挖掘题目中隐含的一些解题信息,以在缜密审题的基础上,根据定义、公式、定理进行一系列正面的逻辑推理,最后得出命题的证明,这种证题的思路被称为直接式思路。由于思维方式的逆顺,在证题时运用的方法主要有“分析法”和“综合法”。 1.分析法。分析法是从命题的结论入手,先承认它是正确的,执果索因,寻求结论正确的条件,这样一步一步逆而推之,直到与题设会合,于是就得出了由题设通往结论的思维过程。在由结论向已知条件的寻求追溯过程中,则由于题设条件的不同,或已知条件之间关系的隐含程度不同等,寻求追溯的形式会有一定差异,因而常把分析法分为以下四种类型。 (1)选择型分析法。选择型分析法解题,首先要从题目要求解的结论A出发,逐步把问题转化为分析要得出结论A需要哪些充分条件。假设有条件B,就有结论A,那么B就成为选择找到的使A成立的充分条件,然后再分析在什么条件下能选择得到B……最终追溯到命题中的某一题设条件。 (2)可逆型分析法。如果再从结论向已知条件追溯的过程中,每一步都是推求的充分必要条件,那么这种分析法又叫可逆型分析法,因而,可逆型分析法是选择型分析法的特殊情形。用可逆型分析法证明的命题用选择型分析法一定能证明,反之用选择型分析法证明的命题,用可逆型分析不一定能证明。 (3)构造型分析法。如果在从结论向已知条件追溯的过程中,在寻找新的充分条件的转化“三岔口”处,需采取相应的构造型措施:如构造一些条件,作某些辅助图等,进行探讨、推导,才能追溯到原命题的已知条件的分析法叫做构造型分析法。 (4)设想型分析法。在向已知条件追溯的过程中,借助于有根据的设想、假定,形成“言之成理”的新构思,再进行“持之有据”的验证,逐步地找出正确途径的分析法称为设想型分析法。 2.综合法。综合法则是由命题的题设条件入手,由因导果,通过一系列的正确推理,逐步靠近目标,最终获得结论。再从已知条件着手,根据已知的定义、公式、定理,逐步推导出结论。在这一过程中,由于思考角度不同,立足点不同,综合法常分为四种类型: (1)分析型综合法。我们把分析法解题的叙述倒过来,稍加整理而得到的解法称为分析型综合法。 (2)奠基型综合法。当由已知条件着手较难,或没有熟悉的模式可供归纳推导,就可转而寻找简单的模式,然后再将一般情形化归到这个简单的模式中来,这样的综合法称为奠基型综合法。 (3)媒介型综合法。当问题给出的已知条件较少,且看不出与所求结论的直接联系时,或条
平面解析几何知识点总结
基本要求 ①.掌握两条直线平行、垂直的条件,能根据直线方程判断两条直线的位置关系; ②.掌握两条直线的夹角公式、到角公式和点到直线的距离公式。 ③.掌握圆的标准方程和一般方程. ④.掌握圆的方程的两种形式,并能合理合理运用; ⑤.灵活运用圆的几何性质解决问题. 1直线方程的五种形式 点斜式：)(00x x k y y -=-， (斜率存在) 斜截式：b kx y += (斜率存在) 两点式：1 21121x x x x y y y y --=--，(不垂直坐标轴) 截距式： 1=+b y a x (不垂直坐标轴,不过原点) 一般式：0=++C By Ax 2.直线与直线的位置关系： （1）有斜率的两直线l 1：y=k 1x+b 1；l 2：y=k 2x+b 2； 有：①l 1∥l 2⇔k 1=k 2且b 1≠b 2；②l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=-1； ③l 1与l 2相交⇔ k 1≠k 2 ④l 1与l 2重合⇔k 1=k 2 且b 1=b 2。 （2）一般式的直线l 1：A 1x+B 1y+C 1=0，l 2：A 2x+B 2y+C 2=0 有：①l 1∥l 2⇔A 1B 2-A 2B 1=0；且B 1C 2-B 2C 1≠0 ②l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0 ③l 1与l 2相交⇔ A 1B 2-A 2B 1≠0 ④l 1与l 2重合⇔ A 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1=0。 3.点与直线的位置关系： 点P （x 0，y 0）到直线Ax+By+C=0的距离：2200B A C By Ax d +++=。 平行直线Ax+By+C 1=0与Ax+By+C 2=0之间的距离为222 1B A C C d +-= 两点间距离公式：12||PP = .4直线系方程 ①过直线l 1：A 1x+B 1y+C 1=0，l 2：A 2x+B 2y+C 2=0交点的直线系方程为：A 1x+B 1y+C 1+λ（A 2x+B 2y+C 2）=0（λ∈R ）(除l 2外)。 ②过定点00(,)M x y 的直线系方程为)(00x x k y y -=-（其中不包括直线0x x =） ③和直线0=++C By Ax 平行的直线方程为'0Ax By C ++=(')C C ≠ ④和直线0Ax By C ++=垂直的直线方程为'0Bx Ay C -+= 5.圆的定义:平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆. 在平面直角坐标系内确定一个圆需要三个独立条件:如三个点,半径和圆心(两个坐标)等. 6.圆的方程(1)标准式：(x-a)2+(y-b)2=r 2(r>0)，其中r 为圆的半径，(a ，b)为圆心。 (2)一般式：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F>0)，其中圆心为(,)22D E -- (3) 参数方程:cos sin x r y r αα=⎧⎨=⎩，⎩⎨⎧+=+=)(sin cos 是参数αααr b y r a x .消去θ可得普通方程 （4）A(x 1，y 1)B(x 2，y 2)为直径的圆: (x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0; （5）.过圆与直线（或圆）交点的圆系方程： i) x 2+y 2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0，表示过圆与直线交点圆的方程
初中教学竞赛常用解题方法(平面几何)
初中数学竞赛解题思想方法 --观察归纳与猜想 一、教学目标 1了解观察归纳猜想与证明的数学方法 2掌握数形结合逻辑推理思想与能力 3解决一些简单问题 二、教学过程 【1】例题讲解 如图①：MA1①NA2，图①：MA1①NA3，图①：MA1①NA4，图①：MA1①NA5，……， 则第8个图中的①A1+①A2+①A3+…+①A8＝_____． 解：①MA1与NA n平行， ①在图①可得①A1+①A2＝180°， 在①中可过A2作A2B①MA1，如图． ①MA1①NA3， ①A2B①NA3，
①①MA1A2+①BA2A1＝①BA2A3+①NA3A2＝180°，①①A1+①A2+①A3＝360°， 同理可得①A1+①A2+①A3+①A4＝540°， ①①A1+①A2＝180°＝1×180°， ①A1+①A2+①A3＝360°＝2×180°， ①A1+①A2+①A3+①A4＝540°＝3×180°， ①①A1+①A2+①A3++…+①A8＝7×180°＝1260°． 故答案为：1260°． 【2】随堂演练 一、单选题 1．如图，直线ι 1①x轴于点(1，0)，直线ι 2 ①x轴于点(2，0)，直线ι 3 ①x轴于点(3， 0)，……ι n ①x轴于点(n，0).函数y=x的图象与直线ι 1 、ι 2 、ι 3 、……ι n 分别交于 点A 1、A 2 、A 3 、……A n ；函数y=2x的图象与直线ι 1 、ι 2 、ι 3 、……ι n 分别交于 点B 1、B 2 、B 3 、……B n ；如果①O A 1 B1的面积记作S1，四边形A1A2B2B1的面积 记作S 2，四边形A 2 A3B3B2的面积记作S3，……四边形A n −1 A n B n B n −1 的面积记作 S n，那么S2018=()
初中：平面解析几何必备公式
初中：平面解析几何必备公式 （文/李文龙） 初三的同学们现在应该学习二次函数了吧。再此之前你必须把平面解析几何的一些常识和公式弄清楚。 本文将从我们熟知的定理出发，通过一系列证明，最后得出好用的结论。记住这些结论，从初三到高三你就可以自由的畅游在坐标系中，游刃有余。 以下内容有的很基础，有的则需借助高中知识，对于学生学习水平的要求也不一样，我以精英班★★★，目标班 ★★和提高班★为要求，每一部分后面会有能力等级的标注。学习★是考试必备的技能，学习★★能让你做题更快，学习★★★可以让你做题方法增多。文章较长，因此建议先收藏再慢慢学 目录 （一）两点之间 1、求距离★ 2、取中点★ 3、算斜率★★ 4、速求解析式★★ 5、构造圆★★★
（二）点线之间 1、距离公式 ①利用圆方程★★★ ②利用斜率关系★★ ③利用相似★★ （三）两线之间 1、平行★★★ 2、垂直★★ （一）两点之间 在坐标系下给出两个已知的定点可以算出那些东西呢？以下结论不要错过！ 1，求距离★ 如下图坐标系中有两点A（x1，y1）和B（x2，y2），求线段AB的长度 我们分别作水平和竖直线如下图所示， 可以得到Rt△ABC，其中C（x2,y1）， 这样AC的长为丨x2-x1丨 由于不知道x2和x1谁大，线段长度为正，因此需要加绝对值。 同理BC长为丨y2-y1丨。
根据勾股定理可知 举例：A（2,1），B（-2，4）则 这样就免去画图了，一步出答案。因此必须记住这个公式。 2，取中点★ 坐标系中有两点A（x1，y1）和B（x2，y2），求AB 中点C的坐标 若A和B在x轴同侧，如下图，则y1和y2都大于零 我们向横轴作垂线，AD=y1，BF=y2， 四边形ADFB是直角梯形， CE是中位线，y=CE=（y1+y2）/2， 同理都向纵轴作做垂线，可得x=（x1+x2）/2 若A和B在x轴两侧，如图，y1＜0，y2＞0 我们作水平和竖直辅助线如下图：BN=y2-y1， CM为△ABN中位线，CM=（y2-y1）/2。 而EM=-y1 则y=CE=（y2-y1）/2-（-y1）=（y1+y2）/2。 同理x=（x1+x2）/2