分别通过迭代和递归计算1+2+...+n
#include
//利用函数的递归调计算1+2+...+n
intfRecursion(int n){
int f1=1;
int sum;
if(n==1){
sum=1;
}
else{
sum= fRecursion(n-1)+n;
}
return sum;
}
//利用迭代计算1+2+...+n
int a[1000]={0,1};
for(inti=1;i<=n;i++){
a[i]=a[i-1]+i;
}
return a[n];
}
void main(){
int n;
printf("请输入n值:");
scanf("%d",&n);
printf("递归结果: 1+2+...+n=%d \n",fRecursion(n)); printf("迭代结果: 1+2+...+n=%d \n",fIteration(n)); }
递归与循环的优缺点
递归与循环的优缺点（转载） 2011-08-24 17:49:40| 分类：算法数据结构| 标签：|字号大中小订阅 递归的话函数调用是有开销的，而且递归的次数受堆栈大小的限制。 以二叉树搜索为例： bool search(btree* p, int v) { if (null == p) return false; if (v == p->v) return true else { if (v < p->v) return search(p->left, v); else return search(p->right, v); } } 如果这个二叉树很庞大，反复递归函数调用开销就很大，万一堆栈溢出怎么办？现在我们用循环改写： bool search(btree* p, int v) { while (p) { if (v == p->v) return true; else { if (v < p->v) p = p->left; else p = p->right; } }
return false; } --------------------------------------------------------------------------------------------------------- 递归好处：代码更简洁清晰，可读性更好 递归可读性好这一点，对于初学者可能会反对。实际上递归的代码更清晰，但是从学习的角度要理解递归真正发生的什么，是如何调用的，调用层次和路线，调用堆栈中保存了什么，可能是不容易。但是不可否认递归的代码更简洁。一般来说，一个人可能很容易的写出前中后序的二叉树遍历的递归算法，要写出相应的非递归算法就比较考验水平了，恐怕至少一半的人搞不定。所以说递归代码更简洁明了。 递归坏处：由于递归需要系统堆栈，所以空间消耗要比非递归代码要大很多。而且，如果递归深度太大，可能系统撑不住。 楼上的有人说： 小的简单的用循环, 太复杂了就递归吧,,免得循环看不懂 话虽然简单，其实非常有道理：对于小东西，能用循环干嘛要折腾？如果比较复杂，在系统撑的住的情况下，写递归有利于代码的维护（可读性好） 另：一般尾递归（即最后一句话进行递归）和单向递归（函数中只有一个递归调用地方）都可以用循环来避免递归，更复杂的情况则要引入栈来进行压栈出栈来改造成非递归，这个栈不一定要严格引入栈数据结构，只需要有这样的思路，用数组什么的就可以。 至于教科书上喜欢n!的示例，我想只是便于递归思路的引进和建立。真正做代码不可能的。 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 循环方法比递归方法快, 因为循环避免了一系列函数调用和返回中所涉及到的参数传递和返回值的额外开销。 递归和循环之间的选择。一般情况下, 当循环方法比较容易找到时, 你应该避免使用递归。这在问题可以按照一个递推关系式来描述时, 是时常遇到的, 比如阶乘问题就是这种情况。反过来, 当很难建立一个循环方法时, 递归就是很好的方法。实际上, 在某些情形下, 递归方法总是显而易见的, 而循环方法却相当难找到。当某些问题的底层数据结构本身就是递归时, 则递归也就是最好的方法了。
数值计算迭代法
习题二 3、证明：当X 0=1.5时，迭代法X k+1=Xk +410和X k+1=21k X 310-都收敛于方程f(x)=x 3+4x 2-10=0在区间[1,2]内唯一实根x *，并分别用上述迭代法求满足于精度要求︱X k+1-X k ︱≤10-5的近似根。 解：证明：{先用迭代法求f(x)=x 3+4x 2-10=0的根。 （a ）对x 3+4x 2-10=0变形有：4x 2=10-x 3 所以：X=21310X - 则相应的迭代公式为：X k+1=21k X 310- 取：X 0=1.5，根据计算可以看出看，我们认为得到的迭代序列是 收敛的。}（此行可忽略） { 由 f(x)=x 3+4x 2-10=0得迭代方程：X=21310X -=g （x ） 先证明在区间【1,2】上x=g （x ）有实根。由于[1,2]上g ‘（x ）存在，所以g （x ）连续。作Q （x ）=x-g(x),则Q(x)在[1,2]上也连续。由定理1条件2有：Q （1）=1-g （1）≤0，Q （,2）=1-g （2）≥0 故存在x *∈[1,2]使Q *（x ）=0，即x *= Q *（x ） 又因为，x *是方程f(x)=x 3+4x 2-10=0在区间[1,2]内的唯一实根，（由定理一条件 2）对任意的x 0∈[1,2]时，X k ∈[1,2]（k=0,1,2,3…） 因为：x *- X k+1=g （x *）-g （X k ）=g ‘（h k ）（x *- X k ）故由条件1知： ︱X *-X k+1︱≤L ︱X *-X k ︱（k=0,1,2,3…）于是有：0≤︱X *-X k ︱≤L k ︱X *-X 0︱,0＜L ＜1，立即可知：lim （k 趋于无穷）︱X *-X k ︱=0,从而lim （k 趋于无穷）X k= X *。所以当X 0=1.5时，迭代法X k+1=Xk +410和X k+1=21k X 310-都是由迭代法X k+1=g （X k ）产生的迭代序列{ X k }收敛于方程f(x)=x 3+4x 2-10=0在区间[1,2]内唯一实 根x *。 正解如下： (1) （牛顿迭代法）： 证明：对方程f(x)=x 3+4x 2-10=0在区间[1,2]内， （a ） f ‘(x)=3x 2+8x ，f ’‘(x)=6x+8，f ’‘(x)在区间[1,2]内连续； （b ） f （1）=-5，f （2）=14，f （1）f （2）＜0； （c ） 对于任意的x ∈[1,2]，都有f ‘(x)=/(不等于)0； （d ） f ’‘(x)在[1,2]上保号； 综上所述，当X 0=1.5时，迭代法X k+1=Xk +410和X k+1=21k X 310-都收敛于方程f(x)=x 3+4x 2-10=0在区间[1,2]内唯一实根x *。 （2）用牛顿迭代法求近似根。 方程f(x)=x 3+4x 2-10=0有唯一实根x *∈[1,2]，容易验证，f(x)=x 3+4x 2-10在[1,2]
算法之2章递归与分治
算法分析(第二章)：递归与分治法 一、递归的概念 知识再现：等比数列求和公式： 1、定义：直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。 用函数自身给出定义的函数称为递归函数。 2、与分治法的关系： 由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。 3、递推方程： (1)定义：设序列01,....n a a a简记为{ n a}，把n a与某些个() i a i n <联系起来的等式叫做关于该序列的递推方程。 (2)求解：给定关于序列{n a}的递推方程和若干初值，计算n a。 4、应用：阶乘函数、Fibonacci数列、Hanoi塔问题、插入排序 5、优缺点： 优点：结构清晰，可读性强，而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性，因此它为设计算法、调试程序带来很大方便。 缺点：递归算法的运行效率较低，无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法要多。 二、递归算法改进： 1、迭代法： (1)不断用递推方程的右部替代左部 (2)每一次替换，随着n的降低在和式中多出一项 (3)直到出现初值以后停止迭代 (4)将初值代入并对和式求和 (5)可用数学归纳法验证解的正确性 2、举例： -----------Hanoi塔算法----------- ---------------插入排序算法----------- ()2(1)1 (1)1 T n T n T =?+ = ()(1)1 W n W n n W =?+? （1）=0
归并排序算法实现 (迭代和递归)
归并排序算法实现（迭代和递归）\递归实现归并排序的原理如下： 递归分割: 递归到达底部后排序返回: 最终实现排序： #include
} while(i
牛顿迭代法
牛顿迭代法 李保洋 数学科学学院信息与计算科学学号：060424067 指导老师：苏孟龙 摘要：牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法，即牛顿迭代法.迭代法是一种不断用变量的旧值递推新值的过程.跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题.迭代法又分为精确迭代和近似迭代.“牛顿迭代法”属于近似迭代法，本文主要讨论的是牛顿迭代法，方法本身的发现和演变和修正过程，避免二阶导数计算的Newton迭代法的一个改进，并与中国古代的算法，即盈不足术，与牛顿迭代算法的比较. 关键词：Newton迭代算法；近似求解；收敛阶；数值试验；中国古代数学； 九章算术；Duffing方程；非线性方程；收敛速度；渐进性 0 引言： 迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题.迭代法又分为精确迭代和近似迭代.“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法. 迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法.它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值.具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况： (1)如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制. (2)方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败. 所以利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作： 1、确定迭代变量.在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量. 2、建立迭代关系式.所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式(或关系).迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成. 3、对迭代过程进行控制，在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题.不能让迭代过程无休止地重复执行下去.迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来;另一种是所需的迭代次数无法确定.对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制;对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件. 1牛顿迭代法：
MAAB计算方法迭代法牛顿法二分法实验报告
姓名 实验报告成绩 评语： 指导教师（签名） 年 月 日 说明：指导教师评分后，实验报告交院（系）办公室保存。 实验一 方程求根 一、 实验目的 用各种方法求任意实函数方程0)(=x f 在自变量区间[a ，b]上，或某一点附近的实根。并比较方法的优劣。 二、 实验原理 (1)、二分法 对方程0)(=x f 在[a ，b]内求根。将所给区间二分，在分点 2a b x -=判断是否0)(=x f ；若是，则有根2a b x -=。否则，继续判断是否0)()(
+)(0x f 0))(('0=-x x x f 设0)('0≠x f ,则=x -0x )(') (00x f x f 。取x 作为原方程新的近似根1x ，然后将1x 作为0x 代入上式。迭代公式为：=+1 k x -0x )(')(k k x f x f 。 三、 实验设备：MATLAB 软件 四、 结果预测 （1）11x = （2）5x = （3）2x =0,09052 五、 实验内容 （1）、在区间[0,1]上用二分法求方程0210=-+x e x 的近似根，要求误差不超 过3105.0-?。 （2）、取初值00=x ，用迭代公式=+1 k x -0x )(') (k k x f x f ，求方程0210=-+x e x 的近似根。要求误差不超过3105.0-?。 （3）、取初值00=x ，用牛顿迭代法求方程0210=-+x e x 的近似根。要求误差 不超过3105.0-?。 六、 实验步骤与实验程序 （1） 二分法 第一步：在MATLAB 软件，建立一个实现二分法的MATLAB 函数文件如下： function x=agui_bisect(fname,a,b,e) %fname 为函数名，a,b 为区间端点，e 为精度 fa=feval(fname,a); %把a 端点代入函数，求fa fb=feval(fname,b); %把b 端点代入函数，求fb if fa*fb>0 error('两端函数值为同号'); end
新旧图幅编号
我国基本比例尺地形图分幅与编号的计算方法 韩丽蓉 (青海大学水电系,青海西宁 810016) 摘要:通过实例探讨了我国基本比例尺地形图分幅与编号的计算方法,此方法可以帮助使用者快速地由某点的经纬度值计算出高斯投影带带号和某比例尺地形图的图幅编号,在测绘工作中具有一定的实用性。 关键词:分幅;编号;六度带;中央子午线经度 中图分类号:K 99 文献标识码:B 文章编号:1006-8996(2006)06-0079-04 1 高斯分带投影 1.1 基本概念 在地理坐标中,经度是以经过英国格林威治天文台的子午面作为起算点(零度),自西向东逆时针至180°为东经,自东向西顺时针从0°至180°为西经,东、西经180°经线是重合的。地图投影是把不可展的 地球椭球体面上的经纬网,按照一定的数学法则转绘到平面上[1,2]。我国的8种国家基本比例尺地形图 (1:1000000～1:5000)中,除了1:1000000万地形图采用国际通用的正轴等角割圆锥投影外,其余7种国家基本比例尺地形图统一采用高斯投影。 高斯投影中限制长度变形的最有效方法是按一定经差将地球椭球面划分成若干投影带,通常投影分为六度带和三度带。分带时既要控制长度变形使其不大于测图误差,又要使带数不致过多以减少换带计算工作。我国1:500000～1:25000的比例尺地形图多采用六度带高斯投影,1:10000～1:5000的地形图采用三度带高斯投影。我国基本比例尺地形图的分幅与编号需要用到某地所在的1:1000000 地形图(经差6° )的中央子午线经度,故需计算该六度带的带号及中央子午线经度。1.2 投影带带号和中央子午线经度的计算方法 1.2.1 六度带 从格林威治零度经线起,每隔经差6°分为一个投影带,自西向东逆时针分带,全球依次编号为1,2, 3,……60,每带中间的子午线称为中央子午线[1,2]。 东半球从经度0°逆时针回算到东、西经180°,投影带号为1～30。假如知道东半球某地区的平均大地经度L 东,则其投影带带号M 东和中央子午线经度L 6东的计算公式为: M 东=[L 东Π6](取整数商)+1(有余数时);L 6东=(6M 东-3)° (东经)西半球投影带从东、西经180°逆时针回算到0°,投影带号为31～60,假如知道西半球某地区的平均大地经度L 西,则其投影带带号M 西和中央子午线经度L 6西的计算公式为: M 西=[(360°-L 西)Π6](取整数商)+1(有余数时)=[(180°-L 西)Π6](取整数商)+1(有余数时)+30;L 6西={360°-(6M 西-3)°}(西经) 1.2.2 三度带 自东经115°子午线起,每隔经差3°自西向东分带,依次编号为1,2,3,……120[1,2] 。 东半球有60个投影带,编号为1～60,假如知道东半球某地区的平均大地经度L 东,其投影带带号N 东和中央子午线经度L 3东的计算公式为: 收稿日期:2006-07-10 作者简介:韩丽蓉(1967—),女,撒拉族,青海循化人,副教授,硕士。第24卷 第6期2006年12月 青海大学学报(自然科学版)Journal of Qinghai University (Nature Science ) Vol 124No 16Dec 12006
线性方程组的迭代法及程序实现
线性方程组的迭代法及程序实现 学校代码:11517 学号:200810111217 HENAN INSTITUTE OF ENGINEERING 毕业论文 题目线性方程组的迭代法及程序实现 学生姓名 专业班级 学号 系 (部)数理科学系 指导教师职称 完成时间 2012年5月20日河南工程学院 毕业设计(论文)任务书 题目:线性方程组的迭代法及程序实现专业:信息与计算科学学号 : 姓名一、主要内容: 通过本课题的研究,学会如何运用有限元方法来解决线性代数方程组问题,特别是Gaussie-Seidel迭代法和Jacobi迭代法来求解线性方程组。进一步学会迭代方法的数学思想,并对程序代码进行解析与改进,这对于我们以后学习和研究实际问题具有重要的意义。本课题运用所学的数学专业知识来研究,有助于我们进一步掌握大学数学方面的知识,特别是迭代方法。通过这个课题的研究,我进一步掌握了迭代方法的思想,以及程序的解析与改进,对于今后类似实际问题的解决具有重要的意义。
二、基本要求: 学会编写规范论文,独立自主完成。 运用所学知识发现问题并分析、解决。 3.通过对相关资料的收集、整理,最终形成一篇具有自己观点的学术论文,以期能对线性方程组迭代法的研究发展有一定的实践指导意义。 4.在毕业论文工作中强化英语、计算机应用能力。 完成期限: 2012年月指导教师签名:专业负责人签名: 年月日 目录 中文摘要....................................................................................Ⅰ英文摘要 (Ⅱ) 1 综述 1 2 经典迭代法概述 3 2.1 Jacobi迭代法 3 2.2 Gauss?Seidel迭代法 4 2.3 SOR(successive over relaxation)迭代法 4 2.4 SSOR迭代法 5 2.5 收敛性分析5 2. 6 数值试验 6 3 matlab实现的两个例题8 3.1 例1 迭代法的收敛速度8 3.2 例 2 SOR迭代法松弛因子的选取 12致谢16参考文献17附录19
迭代与递归的区别
迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。 利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作： 一、确定迭代变量。在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。 二、建立迭代关系式。所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。 三、对迭代过程进行控制。在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。 例 1 ：一个饲养场引进一只刚出生的新品种兔子，这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子，新生的兔子也如此繁殖。如果所有的兔子都不死去，问到第 12 个月时，该饲养场共有兔子多少只？ 分析：这是一个典型的递推问题。我们不妨假设第 1 个月时兔子的只数为 u 1 ，第 2 个月时兔子的只数为 u 2 ，第 3 个月时兔子的只数为 u 3 ，……根据题意，“这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子”，则有 u 1 ＝ 1 ， u 2 ＝ u 1 ＋u 1 × 1 ＝ 2 ， u 3 ＝ u 2 ＋u 2 × 1 ＝ 4 ，…… 根据这个规律，可以归纳出下面的递推公式： u n ＝ u n － 1 × 2 (n ≥ 2) 对应 u n 和 u n － 1 ，定义两个迭代变量 y 和 x ，可将上面的递推公式转换成如下迭代关系： y=x*2 x=y 让计算机对这个迭代关系重复执行 11 次，就可以算出第 12 个月时的兔子数。参考程序如下： cls
数值计算_第4章 解线性方程组的迭代法
第4章解线性方程组的迭代法 用迭代法求解线性方程组与第4章非线性方程求根的方法相似，对方程组进行等价变换，构造同解方程组(对可构造各种等价方程组， 如分解，可逆，则由得到)，以此构造迭代关系式 （4.1） 任取初始向量，代入迭代式中，经计算得到迭代序列。 若迭代序列收敛，设的极限为，对迭代式两边取极限 即是方程组的解，此时称迭代法收敛，否则称迭代法发散。我们将看到，不同于非线性方程的迭代方法，解线性方程组的迭代收敛与否完全决定于迭代矩阵的性质，与迭代初始值的选取无关。迭代法的优点是占有存储空间少，程序实现简单，尤其适用于大型稀疏矩阵；不尽人意之处是要面对判断迭代是否收敛和收敛速度的问题。 可以证明迭代矩阵的与谱半径是迭代收敛的充分必要条件，其中是矩阵的特征根。事实上，若为方程组的解，则有 再由迭代式可得到
由线性代数定理，的充分必要条件。 因此对迭代法(4.1)的收敛性有以下两个定理成立。 定理4.1迭代法收敛的充要条件是。 定理4.2迭代法收敛的充要条件是迭代矩阵的谱半径 因此，称谱半径小于1的矩阵为收敛矩阵。计算矩阵的谱半径，需要求解矩阵的特征值才能得到，通常这是较为繁重的工作。但是可以通过计算矩阵的范数等方法简化判断收敛的 工作。前面已经提到过，若||A||p矩阵的范数，则总有。因此，若，则必为收敛矩阵。计算矩阵的1范数和范数的方法比较简单，其中 于是，只要迭代矩阵满足或，就可以判断迭代序列 是收敛的。 要注意的是，当或时，可以有，因此不能判断迭代序列发散。
在计算中当相邻两次的向量误差的某种范数小于给定精度时，则停止迭代计算，视为方程组的近似解（有关范数的详细定义请看3.3节。） 4.1雅可比（Jacobi）迭代法 4.1.1 雅可比迭代格式 雅可比迭代计算 元线性方程组 （4.2） 写成矩阵形式为。若将式（4.2）中每个方程的留在方程左边，其余各项移到方程右边；方程两边除以则得到下列同解方程组： 记，构造迭代形式
C语言(迭代法与递归法)
一、用迭代法求斐波那契数列。 #include
printf("输入sin（x）中的x:\n"); scanf("%lf",&x); do { sum=sum+sign*pow(x,n)/factorial(n); n=n+2; sign=-sign; }while(pow(x,n)/factorial(n)>=1e-6); printf("sin(%.2lf)=%.2lf\n",x,sum); return 0; }
迭代法
迭代方法（也称为“折返”方法）是一个过程，在该过程中，不断使用变量的旧值来递归推导新值。与迭代方法相对应的是直接方法（或称为第一求解方法），即问题已解决一次。迭代算法是使用计算机来解决问题的一种基本方式，它利用计算机的运行速度，适合于重复操作的特性，让计算机对一组指令（或步骤）必须每次都重复执行在执行的这组指令（或这些步骤）中，由于变量的原始值是新值，因此迭代方法分为精确迭代和近似迭代。典型的迭代方法（例如“二分法”和“牛顿迭代”）属于近似迭代方法。 迭代方法的主要研究主题是构造收敛的迭代方案，并分析问题的收敛速度和收敛范围。迭代方法的收敛定理可以分为以下三类：（1）局部收敛定理：假设问题的解存在，则得出结论：当初始逼近足够接近解时，迭代法收敛。 （2）半局部收敛定理：结论是，迭代方法根据迭代方法在初始逼近时所满足的条件收敛到问题的解，而不假定解的存在。 （3）大范围收敛定理：得出的结论是，迭代方法收敛到问题的解，而无需假设初始近似值足够接近解。 迭代法广泛用于求解线性和非线性方程，优化计算和特征值计算。 迭代法是一种迭代法，用于数值分析中，它从初始估计值开始寻找一系列解决问题的迭代解法（通常为迭代法），以解决问题（迭代法）。 通常，可以做出以下定义：对于给定的线性方程组（x，B和F
都是矩阵，任何线性方程组都可以转换为这种形式），公式（表示通过迭代获得的x k次，并且初始时间k = 0）逐渐替换为该方法以找到近似解，这称为迭代方法（或一阶时间不变迭代方法）。如果存在，则将其表示为x *，并称迭代方法收敛。显然，x *是该系统的解，否则称为迭代散度。 迭代方法的对应方法是直接方法（或第一种解决方法），它是对问题的快速一次性解决方案，例如通过求平方根来求解方程x + 3 = 4。通常，如果可能，直接解决方案始终是首选。但是，当我们遇到复杂的问题时，尤其是当未知数很多并且方程是非线性的时，我们无法找到直接解（例如，第五和更高阶代数方程没有解析解，请参见Abelian 定理）。时候，我们可以通过迭代的方法寻求方程（组）的近似解。 最常见的迭代方法是牛顿法。其他方法包括最速下降法，共轭迭代法，可变尺度迭代法，最小二乘法，线性规划，非线性规划，单纯形法，罚函数法，斜率投影法，遗传算法，模拟退火等。
递归算法详解完整版
递归算法详解标准化管理处编码[BBX968T-XBB8968-NNJ668-MM9N]
递归 冯文科一、递归的基本概念。 一个函数、概念或数学结构，如果在其定义或说明内部直接或间接地出现对其本身的引用，或者是为了描述问题的某一状态，必须要用至它的上一状态，而描述上一状态，又必须用到它的上一状态……这种用自己来定义自己的方法，称之为递归或递归定义。在程序设计中，函数直接或间接调用自己，就被称为递归调用。 二、递归的最简单应用：通过各项关系及初值求数列的某一项。 在数学中，有这样一种数列，很难求出它的通项公式，但数列中各项间关系却很简 a与前面临近几项之间的关单，于是人们想出另一种办法来描述这种数列：通过初值及 n 系。 要使用这样的描述方式，至少要提供两个信息：一是最前面几项的数值，一是数列间各项的关系。 比如阶乘数列 1、2、6、24、120、720…… 如果用上面的方式来描述它，应该是： a的值，那么可以很容易地写成这样： 如果需要写一个函数来求 n
这就是递归函数的最简单形式，从中可以明显看出递归函数都有的一个特点：先处理一些特殊情况——这也是递归函数的第一个出口，再处理递归关系——这形成递归函数的第二个出口。 递归函数的执行过程总是先通过递归关系不断地缩小问题的规模，直到简单到可以作为特殊情况处理而得出直接的结果，再通过递归关系逐层返回到原来的数据规模，最终得出问题的解。 以上面求阶乘数列的函数) f为例。如在求)3(f时，由于3不是特殊值，因此需 (n 要计算)2( 3f，但)2(f是对它自己的调用，于是再计算)2(f，2也不是特殊值，需要计 * 算)1( f，返回 )1(= 2f，需要知道)1(f的值，再计算)1(f，1是特殊值，于是直接得出1 * 上一步，得2 3 * )2( )3(= = f，从而得最终 =f )1( 3 2 * * )2(= =f 2 f，再返回上一步，得6 解。 用图解来说明，就是
迭代算法
算法设计之迭代法 军人在进攻时常采用交替掩护进攻的方式，若在数轴上的点表示A，B两人的位置，规定在前面的数大于后面的数，则是A>B，B>A交替出现。但现在假设军中有一个胆小鬼，同时大家又都很照顾他，每次冲锋都是让他跟在后面，每当前面的人占据一个新的位置，就把位置交给他，然后其他人再往前占领新的位置。也就是A始终在B的前面，A向前迈进，B跟上，A把自己的位置交给B（即执行B = A操作），然后A 再前进占领新的位置，B再跟上……直到占领所有的阵地，前进结束。像这种两个数一前一后逐步向某个位置逼近的方法称之为迭代法。 迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程,跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。 利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作： 一、确定迭代变量。在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。 二、建立迭代关系式。所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。 三、对迭代过程进行控制。在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。 最经典的迭代算法是欧几里德算法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理： 定理：gcd(a, b) = gcd(b, a mod b) 证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b 。假设d是a,b的一个公约数，则有 d% a==0, d%b==0，而r = a - kb，因此d%r==0 ，因此d是(b, a mod b)的公约数 同理，假设d 是(b, a mod b)的公约数，则 d%b==0 , d%r==0 ，但是a = kb +r ，因此d也是(a,b)的公约数。 因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。 欧几里德算法就是根据这个原理来做的，欧几里德算法又叫辗转相除法，它是一个反复迭代执行，直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。其算法用C语言描述为： int Gcd_2(int a, int b)// 欧几里德算法求a, b的最大公约数 { if (a<=0 || b<=0) //预防错误 return 0; int temp; while (b > 0) //b总是表示较小的那个数，若不是则交换a，b的值 { temp = a % b; //迭代关系式
例详解dns递归和迭代查询原理及过程
例详解dns递归和迭代查询原理及过程 在互联网中，一个域名的顺利解析离不开两类域名服务器，只有由这两类域名服务器可以提供“权威性”的域名解析。 第一类就是国际域名管理机构，也就InterNIC，主要负责国际域名的注册和解析，第二类就是国内域名注册管理机构，在中国就是 CNNIC了，主要负责国内域名注册和解析，当然，尽管分为国际和国内，但两者一主一辅，相互同步信息，毕竟最终的目的是在全球任何一个有网络的地方都可以顺利访问任何一个有效合法的域名，其间的联系就可见一斑了。 有的朋友可能会有这个疑问，域名服务器不是有很多吗？为什么说只有2类呢？是的，ISP何其多？当我们输入某一网址（或域名），系统将这个域名发送至需要将其当前已配置的DNS服务器，以便转换为IP地址进行访问，通常会是当地的公共DNS服务器（内网环境可能直接提交到防火墙或路由器上做进一步转发处理）。公网DNS服务器收到此请求后，并非立刻处理，比如转发至上一级的DNS服务器（在第一节讲过DNS有着很严格的逻辑层次关系），而是首先会查看自己的DNS缓存，如果有这个域名对应的IP，则直接返回给用户，系统收到这个IP后交给浏览器做进一步处理。在这个轮回的过程中，客户端所得到的DNS的回复就是“非权威的性”的，也就是说这个结果并不是来自这个域名所直接授权的DNS服务器，而是该记录的副本。简单的说，“非权威性”的应答是从别的 DNS服务器上复制过来的，与之对应的，就是“权威性”应答则是由域名所在的服务器作出的应答，听起来似乎不易理解，我们来看一个例子。 我所在地是深圳，这里的公共DNS服务器是202.96.134.133，我们来检测一下。 如下图： 这里用到了nslookup命令，用来查询当前本机解析域名所依赖的DNS服务器，从上图中文名可以得知当前默认的DNS解析服务器是 https://www.360docs.net/doc/cc14581615.html,，对应的IP地址为202.96.134.133，也就是说在这台机子上运行的网络程序，如果需要用到DNS域名解析的，都会将请求到这个服务器上，寻求解析。 当然，如果你是在内网，或是其他类型的局域网，在解析时候可能无法顺利得到上图的结果，多半是代理或防火墙的缘故。建议ADSL用户可以自测一下，加深印象。现在，我们来解析一个网站的别名记录，以此来了解一下何为“非授权记录” 以网易为例吧。如下图：
递归迭代及均衡形态交易系统
递归迭代及均衡形态交易系统 第一章 递归均衡 递归（Recursion）本是指函数/过程/子程序在运行过程中，直接或间接调用自身而 产生的重入现象。著名的斐波那契（Fibonacci）数列就可以使用递归公式来描述：Fib(n) = Fib(n-1) + Fib(n-2) 第一节 递归比率 在这里，我们主要应用其比率（Ratio）关系： HTR 之间存在平方、倒数、递归关系，甚至还应用了圆周率。
我们在图表上会经常看到相似的形态，例如： 上证指数在跌到1664点之后，走出了一个蝴蝶形态，而大蝴蝶中又嵌套着小蝴蝶。在完成了递归形态之后，股指便走出了一波强劲的升势。我们再来看一幅指数图： 两幅相当类似的形态。也许我们可以把它们理解为三重顶形态或三角形整理形态，这有点类似艾略特的波浪理论，只是直观的看法，而递归形态才能告诉我们事物的本质。
最简单直观的均衡（Balance）状态就是：赚钱＝赔钱。1万涨到2万，利润率是100%；2万跌到1万，利润率是-50%。所以，我们可以经常看到股价下跌一半时，便出现了背驰（Retracement）。图如： 成交额＝成交价×成交量，所以在画均线时我们使用了成交量权重（使用DMA函数），实际的均衡价位与50%会有些差异。在飞狐交易师（和讯收购后更名为大交易师）中有“点石成金”画线工具，可以参考 Paul Levine 的 Midas 技术分析文章。Midas 的头三个字母与中间 Middle 一样，所以下面我们称之为 M 线。
上图为2006-2007年的大牛市，股指从1000点开始不断创出新高，几乎没有象样的调整。直到4000点才出现了一个均衡调整，当时称之为530暴跌。成交量在下降，但股指依然攀升到6124点，又出现了一次均衡调整，之后无法创出新高才掉头向下。注意到两次调整的反递归关系了吗？ 金融风暴之下，我们依然看到历史在重演——递归均衡！ 第二章 迭代共振 在数学中，迭代（Iteration）函数是在分形（Fractal）和动力（Dynamic）系统中深入研究的对象。迭代函数是重复的与自身复合的函数，这个过程叫做迭代。所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。 简单的讲，递归和迭代都具有重复和递推的特性。区别在于，递归是自己调用自己，而迭代是不断地根据变量的旧值推出新值。交易是由人完成的：我们有时会有一种心理，就是在一次成功之后，自然就会想到复制成功，会有相同的预期，这就是递归思想；而有时条件发生了较大的变化，就会根据情况改变预期，这就是迭代思想。斐波那契数列用递归或迭代算法都容易得出，所以在黄金比例出现的价位，较容易获得均衡。
DNS中的递归查询和迭代查询
迭代查询 合理使用DNS中的递归查询和迭代查询 前言 本章主要介绍递归查询与迭代查询的差别，以及他们混合工作时的方式。并且简单的介绍了如何根据实际情况进行部署。 目录 ?递归查询的工作方式 ?迭代查询的工作方式 ?如何配置递归查询及迭代查询 ?调整最佳性能的查询方式 递归查询的工作方式 递归查询是最常见的查询方式，域名服务器将代替提出请求的客户机（下级DNS服务器）进行域名查询，若域名服务器不能直接回答，则域名服务器会在域各树中的各分支的上下进行递归查询，最终将返回查询结果给客户机，在域名服务器查询期间，客户机将完全处于等待状态。 示例：（红色为查询，蓝色为迭代查询返回的提示信息，棕色为递归查询返回的IP信息）
示例说明：A向B发送递归查询请求，B向C发送迭代查询请求（下一节将介绍迭代查询），得到C给出的提示后，B向D发送迭代查询请求，得到D给出的提示后，B向E发出迭代请求，得到E给出的提示后，B向F发出迭代查询请求，得到F给出的提示后，B得到了F返回G的IP地址，B向A返回G的IP 地址，整个查询结束。 也许你现在还很难理解什么是迭代查询，下一节中将以一个非常易于理解的方法说明。 迭代查询的工作方式 迭代查询又称重指引，当服务器使用迭代查询时能够使其他服务器返回一个最佳的查询点提示或主机地址，若此最佳的查询点中包含需要查询的主机地址，则返回主机地址信息，若此时服务器不能够直接查询到主机地址，则是按照提示的指引依次查询，直到服务器给出的提示中包含所需要查询的主机地址为止，一般的，每次指引都会更靠近根服务器（向上），查寻到根域名服务器后，则会再次根据提示向下查找。从上节的图中可以知道，B访问C、D、E、F、G，都是迭代查询，首先B访问C，得到了提示访问D的提示信息后，开始访问D，这时因为是迭代查询，D又返回给B提示信息，告诉B应该访问E，依次类推。 说明：假设你要寻找一家你从未去过的公司，你会有2种解决方案，1是找一个人替你问路，那可能是你的助手，2是自己问路，每走过一个路口，就问一个人，这就好比递归查询和迭代查询，递归查询在这里代表你的第1种解决方案，而迭代则是第2种解决方案。 如何配置递归查询及迭代查询 在默认情况下DNS服务器既接受来自其他客户机（其他DNS服务器）的迭代查询也接受其他客户机（其他DNS服务器）的递归查询。 提醒：在DNS服务器属性中，你可能会混淆高级选项卡中的“禁止递归”选项和转发器选项中的“不对这个域使用递归”后者控制将要接受的查询类型。 修改： 禁止递归查询。在DNS服务器属性中，高级选项卡，服务器选项，“禁止递归”。 通常根服务器或者流量较大的域名服务器都不使用递归查询，其原因也很简单，大量的递归查询会导致服务器过载。 问题：为什么不连迭代查询也关闭？这样不更节省损耗吗？这绝对是一个让人哭笑不得的问题。原因是如果不建立迭代查询，你的DNS又可以做什么事情呢？那不如不建立DNS服务器。 调整最佳性能的查询方式 一般的，你的企业内部如果有超过300台机器，你就应该在你的部署计划中建立多个DNS服务器了。根据活动目录或者物理位置将多个DNS平均分布。而根域名服务器总应该使用迭代查询，而不应该使用递归查询。同时，为了减轻客户机的负担，所有的下级域名服务器就都应该使用递归查询与迭代查询的混合