九章算术中的立体几何
《九章算术》中的立体几何
《九章算术》文字古奥，历代注释者甚多，其中以刘徽的注本最为有名.刘徽是我国魏晋时期著名数学家，他在曹魏末年撰成《九章算术注》九卷。在继承的基础上，又提出了许多自己的创见与发明，刘徽的观点，对现今的数学有很多借鉴的地方。
《九章算术》是一部问题集，全书分为九章，共收有246个问题，每题都有问、答、术三部分组成。内容涉及算术、代数、几何等诸多领域，并与实际生活紧密相连，充分体现了中国人的数学观与生活观。其中卷第五“商功”，主要讲各种几何体体积的计算，包括现阶段高中数学教材中的棱柱、棱锥、棱台，圆柱、圆锥、圆台，或可化为上述几何体的几何体体积的计算。
《九章算术》是东方数学的思想之源，也是我国多年来各级各类考试的重要题库。卷第五“商功”第25题作为2015年全国卷（Ⅰ）（文理）第6题,通过古题新解考查阅读理解能力，通过圆锥体积的计算考查空间想象能力与求解运算能力。
题目是：《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”
其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的
四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米
堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为
1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（解法见
例25）
A.14斛
B.22斛
C.36斛
D.66斛
2015年湖北理科19题、文科20题选用《九章算术》“商功”第16题“阳马”与第17题“鳖臑”的组合考查立体几何中线、面间的位置关系与度量关系.
《九章算术》卷第五“商功”共收录28个题目，现将这28个问题整理如下，供参考。
【例1】今有穿地积一万尺.问为坚、壤各几何？
【注释】穿地：挖地取土. 坚：坚实的土. 壤：松软的土.
【译文】现挖地体积为1000立方尺，问换算成坚土、松土各多少？
【解析】本题是各种土方量的换算，有专门的换算比例，这里不赘述.
【说明】从例2到例7都是直四棱柱求体积问题，以例2为例，介绍它们的算法.【例2】今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺。问积几何？【注释】广袤：广，东西方向，袤，南北方向.
【译文】现有城，下底长4丈，上底长2丈，高5丈，
纵长126丈5尺.问这段城的体积是多少？
【解析】本题是求水平放置的直四棱柱的体积.
如图，底面为等腰梯形，上底20a =尺，下底 40b =尺，高50h =尺，侧棱1265l =尺，所求体积 ()(2040)501265189750022
a b h V S h l +?+?=?=?=?=立方尺. 【例3】今有垣下广三尺，上广二尺，高一丈二尺，袤二十二丈五尺八寸.问积
几何？
【注释】垣: 低矮的墙. 【译文】现有矮墙下底长3尺，上底长2尺，高1丈2尺，纵长22丈5尺8寸.问这段矮墙的体积是多少？
【例4】今有堤下广二丈，上广八尺，高四尺，袤一十二丈七尺.问积几何？
【译文】现有坝堤下底长2丈，上底长8尺，高4尺，纵长12丈7尺.问这段坝堤的体积是多少？
【例5】今有沟上广一丈五尺，下广一丈，深五尺，袤七丈.问积几何？
【译文】现有沟，上底长1丈5尺，下底长1丈，高5尺，纵长7丈.问这段沟的容积是多少？
【例6】今有堑上广一丈六尺三寸，下广一丈，深六尺三寸，袤一十三丈二尺一寸.问积几何？
【注释】堑:护城河
【译文】现有护城河上底长1丈6尺3寸，下底长1丈，深6尺3寸，纵长13丈2尺1寸.问这段护城河的容积是多少？
【例7】今有穿渠上广一丈八尺，下广三尺六寸，深一丈八尺，袤五万一千八百二十四尺.问积几何？
【译文】现挖渠上底长1丈8尺，下底长3尺6寸，深1丈8尺，纵长5万1千8百24尺.问这段渠的容积是多少？
【例8】今有方堡壔方一丈六尺，高一丈五尺.问积几何？
【注释】堡壔:土筑小城. 方堡壔：正四棱柱形的土筑小城堡.
【译文】现有正四棱柱形的土筑小城堡，底面边长为1丈6尺，高1丈5尺，问它的体积是多少？
【解析】本题是求正四棱柱的体积.底面正方形，边长16a =尺，高15h =尺，所求体积1616153840V S h a a h =?=??=??=立方尺.
【例9】今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？
【注释】圆堡壔：圆柱形的土筑小城堡.
【译文】现有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，问它的
a b l h
体积是多少？
【解析】本题是求圆柱的体积.设底面圆的半径为r ，周长c ,高h ，因为2c r π=, 所以2c r π
=,则所求体积22248112112412c h V S h r h ππ??=?=?===(取3π=)立方尺.
【例10】今有方亭，下方五丈，上方四丈，高五丈.问积几何？
【注释】方亭:正四棱台形建筑物.
【译文】现有正四棱台形的建筑物，下底面正方形的边长为5丈，上底面正方形的边长为4丈，高为5丈.问它的体积是多少？
【解析】本题是求正四棱台的体积.设上底边长为a ，上底面的面积为1S ,下底边
长为b ,下底面的面积为2S ,高h ，则所求体积121(3
V h S S =++, 221305()33
a b ab h =++=立方丈.
对于公式121(3
V h S S =+适用所有棱台或圆台计算体积. 【例11】今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈.问积几何？
【注释】圆亭:圆台形建筑物.
【译文】现有圆台形的建筑物，下底面圆的周长为3丈，上底面圆的周长为2丈，高为1丈.问它的体积是多少？
【解析】本题是求圆台的体积.设上底面圆的半径为r ，周长为12C r π=,面积 211S r π=，下底面圆的半径为R ,周长为22C R π=,面积为22S R π=,高h .对于圆
台，可以用上下底圆的面积面与高表示为：121(3
V h S S =++，也可用上下底面圆的半径与高表示：221()3
V h r R rR π=++,也可用上下底面圆的周长与高表示2212121()12V h C C C C π=++,所求体积为1912V π
=立方丈. 【例12】今有方锥，下方二丈七尺，高二丈九尺.问积几何？
【注释】方锥: 正四棱锥.
【译文】现有正四棱锥，下底面正方形的边长为2丈7尺，高为2丈9尺.问它的体积是多少？
【解析】本题是求正四棱锥的体积.设底面正方形边长为a ,高为h .
13V Sh =2127293
=??7047=立方尺.
【例13】今有圆锥下周三丈五尺，高五丈一尺.问积几何？
【译文】现有圆锥,下底面圆的周长为3丈5尺,高为5丈1尺.问它的体积是多少？
【解析】本题是求圆锥的体积.设底面半径为r ,高为h .底面周长2C r π=,底面积22
4C S r ππ==,于是体积13V Sh =22211()33212C C h r h h ππππ=?==6247512π=立方尺.
【例14】今有堑堵下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺.问积几何？
【注释】堑堵: 底面是直角三角形直三棱柱.
【译文】现有底面是直角三角形直三棱柱，底面直角三角形 的两条直角边宽为2丈，长为18丈6尺.高为2丈5尺，问它
的体积是多少？
【解析】本题是求直三棱柱的体积.如图，直三棱柱
111ABC A B C -中，侧棱1AA 垂直于底面ABC ，AC BC ⊥.设底面直角ABC ?的边
20AC a ==,186BC b ==,高为125h AA ==.体积
V Sh =1120186254650022ab h =??=???=立方尺. 【例15】今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺.问积几何？
【注释】阳马: 底面是矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥. 【译文】现有底面是矩形，一条侧棱与底面垂直的四棱锥，
底面宽为5尺，长为7尺，高为8尺，问它的体积是多少？
【解析】本题是求四棱锥的体积.如图所示，在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形，侧棱PA ⊥平面ABCD ,设底面矩形的宽为5a =,长为7b =,高为8h =.体
积13V Sh =11280578333
ab h =??=???=立方尺. 【例16】今有鳖臑下广五尺，无袤，上袤四尺，无广，高七尺.问积几何？
【注释】鳖臑:四面都是直角三角形的四棱锥.
【译文】现有四面都是直角三角形的三棱锥，底宽5尺而无长，上底长4尺而无宽，高7尺，问它的体积是多少？
【解析】本题是求三棱锥的体积.如图(1)，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥底面ABC ,
AC BC ⊥.图（2）
、（3）是图（1）的不同视觉放置下的直观图.
P A B C D a
b h
A B C A 1 B 1 C 1 a b h
根据题意，5a =, 4b =,高为7h =.体积11115743332
V Sh ah b =
=??=???? 703=立方尺. 【例17】今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺.问积几何？
【注释】羡除：墓道.三个侧面为等腰梯形，其余两个面为直角三角形的五面体.
【译文】现有三个侧面都为等腰梯形，其他两面为直角三角形的五面体，下宽6 尺，上宽1丈，深3尺，末端宽8尺，无深，长7尺.问它的体积是多少？
【解析】本题是求规则形状的五面体的体积.如图，五面体EF ABCD -中,四边 形ADEF ,ABCD ,EFBC 均为等腰梯形，EF ∥AD ∥BC .ABF ?,CDE ?均为直 角三角形，AB AF ⊥,CD DE ⊥.设下广EF a =，上广AD b =，末广BC c =.高： EF 到平面ABCD 的距离为h ，长：AD 与BC 的距离l . 算法：1()6V a b c h l =++??
采用割的方法推导计算公式.连接BE ，BD ,AE ,如图2,得三个三棱锥，设三棱 锥BAEF 的体积为1V ,三棱锥BAED 的体积为2V ,三棱锥BDEC 的体积为3V ,则 3V 16clh =，216V blh =，12V b V a =，12a V V b =, 所以1216
a V V alh
b ==,于是五面体的体积公式1231()6
V V V V a b c h l =++=++??.代入数据6a =,10b =,8c =, 7l =,3h =，代入公式得84V =立方尺. S A B C a b
h S A B C a h b S A B C
a h
b 图（1） 图（2） 图（3） E F A B C D 下广a 上广b 末广
c E F A B C
D 图1 图2
【例18】今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈.问积几何？
【注释】刍甍：盖上草的屋脊. 刍：草；甍：屋脊.这里指底面为长方形的屋脊状的楔体.
【译文】现有底面为长方形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，无宽，高1丈，问它的体积是多少？
【解析】本题是求底面为长方形的楔体（五面体）的体积.如图所示，在五面体 EF ABCD -中，EF ∥底面ABCD ,底面ABCD 是长方形，EF 到平面ABCD 的距离为h , BC a =,AB b =,EF c =. 算法：1()6
V b b c ah =++?
采用割的方法推导计算公式.连接BE ，BF ,DF ,如图2,得三个三棱锥，设三棱 锥ABDE 的体积为1V ,三棱锥BCDF 的体积为2V ,三棱锥BDEF 的体积为3V ,则
1216V V abh ==，32V c V b =，321166
c c V V abh ach b b ==?=,于是五面体的体积公式1231()6
V V V V b b c ah =++=++?.代入数据4b =,2c =,3a =,1h =，得5V =立方丈.
【例19】今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈.问积几何？
【注释】刍童：上下底面都为长方形的草垛.
【译文】现有上下底面都为长方形的草垛，下底面宽2丈，长3丈；上底宽3丈， 长4丈，高3丈，问它的体积是多少？
【解析】如图所示，在六面体EFGH ABCD -中，面EFGH ∥面ABCD 且都为长 方形，距离为h .设EF a =，FG b =，AB m =，BC n =. 算法：[]1(2)(2)6V h m a n a m b =+++或[]1(2)(2)6
V h b n a n b m =+?++.
E F A B C D a b c 图1 h E F A B
D a b c 图2 A B C D
E
F
G
H a b m n
h 图1 A
B C D E F G H 图2
采用割的方法推导计算公式.连接AF ，BD ,CF ,DF ,HF ,ED .如图2,得六个 三棱锥，设三棱锥ABDF 的体积为1V ,三棱锥BCDF 的体积为2V ,三棱锥CGHF 的体积为3V ,设三棱锥CHFD 的体积为4V ,三棱锥HEFD 的体积为5V ,三棱锥
EAFD 的体积为6V ,则116V mnh =，216V mnh =，316V abh =，43V m V a =，43m V V a
= 41166m V abh bmh a =?=,516V abh =,65V n V b =,61166
n V abh anh b =?=,于是六面体的 体积公式1234561()6
V V V V V V V mnh mnh abh bmh abh anh =+++++=+++++ [][]11()()(2)(2)66
mn mn an ab ab bm h m a n a m b h =+++++=+++. 2m =,3n =,3a =,4b =,3h =,代入公式得26.5V =立方丈.
【例20】今有曲池，上中周二丈，外周四丈,广一丈,下中周一丈四尺,外周二丈 四尺，广五尺，深一丈.问积几何？
【注释】曲池:上下底面都为扇环形的水池.
【译文】现有上下底面都为扇环形的水池，上底面扇环的内弧长为2丈，外弧长为4丈，母线长1丈；下底面扇环的内弧长为1丈4尺，外弧长为2丈4尺，母线长5尺；深1丈. 问它的容积是多少？ 注意：上底长4232+==丈，下底长 1.4 2.4 1.92
+==丈. 【例21】今有盘池，上广六丈，袤八丈，下广四丈，袤六丈，深二丈.问积几何？
【注释】盘池：上下底面都为长方形的土池.
【译文】现有上下底面都为长方形的土池，上底面宽6丈，长8丈；下底宽4丈， 长6丈，深2丈，问它的容积是多少？
【例22】今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺.问积几 何？
【注释】冥谷：上下底面都为长方形的墓坑.
【译文】现有上下底面都为长方形的墓坑，上底面宽2丈，长7丈；下底宽8尺， 长4丈，深6丈5尺，问它的容积是多少？
【说明】从例20到例22的容积求法与例19算法完全一样.
【例23】今有委粟平地，下周一十二丈，高二丈.问积及为粟几何？
【注释】委粟平地：在平地堆放谷子.（成圆锥形）
【译文】现将谷子堆放在平地成圆锥形，圆锥底面圆的周长为12丈，高2丈.问
这堆谷子的体积是多少？应有谷子是多少斛？
【解析】本题是求圆锥的体积是多少立方尺（与例13解法完全相同）及谷子有多少斛.“斛”旧量器，方形，口小，底大. 已知1斛谷子的体积约为2.7立方尺.
体积
2
2
1
312
C
V r h h
π
π
==，取3
π=.代入数据得
2
12
C
V h
π
=
2
12020
8000
123
?
==
?
立方尺.
所求谷子数为：800026
29622963
2.727
=+≈斛.
【例24】今有委菽依垣，下周三丈，高七尺.问积及为菽各几何？
【注释】委菽依垣：靠墙壁堆放大豆（成半圆锥形）；菽：大豆.
【译文】现将大豆靠墙堆放成半圆锥形，底面半圆的弧长为3丈，高7尺.问这堆大豆的体积是多少？应有大豆是多少？
【解析】本题是求半圆锥的体积是多少立方尺及大豆有多少斛.已知1斛大豆的体积约为2.43立方尺.先补形为圆锥，求出圆锥的体积，再除以2，即为所求体积.
体积
2
2
1
312
C
V r h h
π
π
==，取3
π=.代入数据得
21
122
C
V h
π
=?
2
6071
350
1232
?
=?=
?
立
方尺.所求谷子数为：3508
144144
2.43243
=+≈斛.
【例25】今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问积及为米几何？
【注释】委米依垣内角: 靠墙壁内角堆放米（成1
4
圆锥形）.
【译文】现将米靠墙壁内角堆放成1
4
圆锥形，底面扇形的弧长为8尺，高5尺.
问这堆米的体积是多少？应有米是多少？
【解析】本题是求1
4
圆锥的体积是多少立方尺及米有多少斛.2015年全国卷（Ⅰ）
中，第6题作为选择题，
21
124
C
V h
π
=?
2
(84)51320
12349
??
=?=
?
立方尺.1斛米
1.62
=立方尺，320
1.6222
9
÷≈斛.
【例26】今有穿地，袤一丈六尺，深一丈，上广六尺，为垣积五百七十六尺.穿地下广几何？
【译文】现挖坑，上底面长1丈6尺，宽6尺，深1丈.用挖的土筑墙，墙的体积为576立方尺.问所挖坑的下底宽是多少？
【解析】所挖坑为水平放置的底面为等腰梯形的直四棱柱，计算方法与例2完全
相同，
()
2
a b h
V S h l
+?
=?=?，不过需要注意两点：（1）已知体积求底面宽，需
要解方程；（2）挖坑为“虚土”，筑墙为“坚土”，换算关系为：虚土:坚土4:3
=.
于是，所挖虚土为
4
576768
3
?=，则
(6)10
160768
2
b
+?
?=，
18
5
b=尺.所挖坑的
下底宽是18
3.6
5
=尺.
【例27】今有仓广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛.问高几何？
【译文】现有粮仓（长方体），宽3丈，长4丈5尺，可装谷子10000斛.问该粮仓高是多少？
【解析】本题是已知长方体的长、宽、体积求高.需要将斛换算成立方尺.由例23知1斛粟 2.7
=立方尺,则有10000 2.73045h
?=??，20
h=尺2
=丈.
【例28】今有圆困，高一丈三尺三寸、少半寸，容米二千斛.问周几何？
【注释】困：古代一种圆形的谷仓. 少半寸：1
3寸.
【译文】现有圆柱形粮仓，高1丈3尺3寸又1
3
寸，（即
400
3
寸）.容纳米2000斛.
问该粮仓底面周长是多少？
【解析】本题是已知圆柱的体积和高求底面圆的周长.需要将斛换算成立方寸. 知1斛粟 1.62
=立方尺1620
=立方寸.设底面周长为C,半径为r，高为h,容积为V
则C=200016203240000
V=?=
立方寸，540
C===寸
5
=丈4尺.
湖北省荆门市2020届高三4月模拟考试数学(理)试题 含答案
2020年荆门市高三年级高考模拟考试 理科数学试题 全卷满分150分，考试用时120分钟 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知i 是虚数单位，若复数i i z -=123 ，则z =（ ） A.i -1 B.i +1 C.i --1 D.i +-1 2．已知集合{})3lg(,11x y x B x x A -==? ?? ???>=，则（ ） A.)1,(-∞=B A I B.)3,0(=B A Y C.φ=B C A R I D.),1[+∞=B A C R Y 3.已知等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，且m a a a =++9513，则 9 7 62S a a -=（ ） A. 5m B.9m C.51 D.9 1 4．已知+ ∈R b a ,，则“1>ab ”是“2>+b a ”的（ ） A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．2019冠状病毒病（ CoronaVirus Disease2019（COVID-19））是由新型冠状病毒（2019-nCoV ）引发的疾病，目前全球感染者以百万计，我国在党中央、国务院、中央军委的坚强领导下，已经率先控制住疫情，但目前疫情防控形势依然严峻，湖北省中小学依然延期开学，所有学生按照停课不停学的要求，居家学习。 小李同学在居家学习期间，从网上购买了一套高考数学冲刺模拟试卷，快递员计划在下午4:00～5:00之间送货到小区门口的快递柜中，小李同学父亲参加防疫志愿服务，按规定，他换班回家的时间在下午4:30～5:00，则小李父亲收到试卷无需等待的概率为（ ） A. 81 B.41 C.43 D.8 7
几何原本与九章算术的异同
《几何原本》与《九章算术》的异同 《几何原本》和《九章算术》都是经典的数学著作，一部是西方的著作，一部是中国的古代著作，这两部著作都对后来的数学发展做出了很大的贡献，并对人类文明产生深远的影响。《几何原本》和《九章算术》本身是关于纯数学的专著，但高度抽象化的数学是必定是需要和其它的学科相结合的。 下面，我就《几何原本》和《九章算术》的异同做一些阐述，首先，《几何原本》和《九章算术》产生的背景不同： 《几何原本》产生的背景： 欧几里得的生平，现在知道的甚少，欧几里得在公元前300年左右，来到亚历山大里亚教学．人们称赞欧几里得治学精神严谨、谦虚，是一个温良敦厚的数学教育家．欧几里得在从事数学教育中，总是循循善诱地启发学生，提倡刻苦钻研，弄懂弄通，反对投机取巧、急功近利的狭隘思想．欧几里得在从事数学教育中，善于积累数学知识，并进行了拓宽与创新．他的巨著《几何原本》是一生中最重要的工作，这部著作的形成具有无以伦比的历史意义．他精僻地总结了人类长时期积累的数学成就，建立了数学的科学体系，为后世继续学习和研究数学提供了课题和资料，使几何学的发展充满了活的生机．这部著作长时期被人崇拜、信仰，从来没有一本教科书，像《几何原本》那样长期广为传颂．从1482年到19世纪末，欧几里得《几何原本》的印刷本竟用各种文字印刷1000版以上，在此之前，它的手抄本统御几何学也已达近1800年之久．欧几里得继承和发展了前人的数学知识，《几何原本》所用到的材料大部分是希腊前期各学派创建的成果．欧几里得是柏拉图的门徒，他的著作基本沿续了柏拉图的传统思想，承袭了《共和国》中所论及的科学方法．欧几里得在《几何原本》中，发展了柏拉图的以哲学为基础，“数论、几何、音乐、天文”4科为内容的科学思想． 另外，欧几里得还采用了欧多克索斯等学者的一些定理，并加以完善．《几何原本》所采用的公理、定理都是经过细致斟酌、筛选而成，并按严谨的科学体系进行编排，使之系统化、理论化，超过了以前的所有著作，因此，当《几何原本》问世之后，其它诸类逐渐消声匿迹了．
15-17年全国高考立体几何真题及答案详解
近三年立体几何高考真题几详解 1、（2015年1卷6题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 【答案】B 【解析】设圆锥底面半径为r ，则12384r ??==16 3 r =，所以米堆的体积为211163()5433????=3209，故堆放的米约为 320 9 ÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式 2、（2015年1卷11题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 【答案】B 【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为221 42222 r r r r r r πππ?+?++?=2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故选B. 考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式 3、（2015年1卷18题）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE=2DF ，AE ⊥EC.
精品解析：【全国市级联考】重庆市2018届高三上学期期末考试(康德卷)数学理试题(解析版)
2017年秋高三（上）期末测试卷 理科数学 第I卷 一．选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分。 1. B. 2 C. 10 D. 13 【答案】B 本题选择B选项. 2. A. {1，2} B. {5，6} C. {1，2，5，6} D. {3，4，5，6} 【答案】C 本题选择C选项. 3. 为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B
综上可得：四个命题中真命题的个数为2. 本题选择B选项. 4. 【答案】D 【解析】利用排除法： A错误， B错误， 当C错误， 本题选择D选项. 5. 根据如下样本数据： B. C. 11 3 D.
【答案】D 回归方程过样本中心点，则：， ， 可知变量 11时，无法确定y的值； . 本题选择A选项. 点睛：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值． 6. 9，则输出的结果是 B. 0 D. 1 【答案】C 【解析】由题意可得，该流程图的功能计算的值为：
本题选择C选项. 7. A. B. C. D. 【答案】A 则函数图象关于坐标原点对称，选项C,D错误； B错误； 本题选择A选项. 8. 甲、乙、丙、丁五位同学相约去学校图书室借阅四大名著（每种名著均有若干本），已知每人均只借阅一本名著，每种名著均有人借阅，且甲只借阅《三国演义》，则不同的借阅方案种数为 A. 72 B. 60 C. 54 D. 48 【答案】C 【解析】分类讨论： 若乙丙丁戊中有人借阅《三国演义》，则满足题意的不同借阅方案种数为 若乙丙丁戊中没有人借阅《三国演义》，原问题等价于4个球放入三个盒子，每个盒子均不空，放置的方法
荆门市2020届高三年级高考模拟考试试题理科数学(含答案)
荆门市2020届高三年级高考模拟考试试题 理科数学 （全卷满分150分，考试用时120分钟） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知i 是虚数单位，若复数i i z -=123 ，则z =（ ） A.i -1 B.i +1 C.i --1 D.i +-1 2．已知集合{})3lg(,11x y x B x x A -==? ?? ???>=，则（ ） A.)1,(-∞=B A I B.)3,0(=B A Y C.φ=B C A R I D.),1[+∞=B A C R Y 3.已知等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，且m a a a =++9513，则 9 7 62S a a -=（ ） A. 5m B.9m C.51 D.9 1 4．已知+ ∈R b a ,，则“1>ab ”是“2>+b a ”的（ ） A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．2019冠状病毒病（ CoronaVirus Disease2019（COVID-19））是由新型冠状病毒（2019-nCoV ）引发的疾病，目前全球感染者以百万计，我国在党中央、国务院、中央军委的坚强领导下，已经率先控制住疫情，但目前疫情防控形势依然严峻，湖北省中小学依然延期开学，所有学生按照停课不停学的要求，居家学习。 小李同学在居家学习期间，从网上购买了一套高考数学冲刺模拟试卷，快递员计划在下午4:00～5:00之间送货到小区门口的快递柜中，小李同学父亲参加防疫志愿服务，按规定，他换班回家的时间在下午4:30～5:00，则小李父亲收到试卷无需等待的概率为（ ） A. 81 B.41 C.43 D.8 7
数学文化——立体几何
数学文化——立体几何（22题） 1、“堑堵” 【编号第1题】 1．【2016春?厦门校级月考】《九章算术》中，将底面是直角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为（） A．4+2B．2 C．4+4D．6+4 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积． 【解析】：根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱ABC﹣A′B′C′， 底面是一个直角三角形，两条直角边分别是、斜边是2， 且侧棱与底面垂直，侧棱长是2， 所以几何体的表面积S=2×+2×2+2×=6+4，故选：D． 【点评】本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力． 【编号第2题】 2．【2016?厦门模拟】《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（） A．2 B．4+2C．4+4D．6+4 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的侧面积． 【解析】：根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱ABC﹣A′B′C′， 底面是一个直角三角形，两条直角边分别是、斜边是2， 且侧棱与底面垂直，侧棱长是2， 所以几何体的侧面积S==4+4，
故选：C． 【点评】本题考查三视图求几何体的侧面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力． 2、商鞅铜方升 【编号第3题】 3．【2016?辽宁校级模拟】中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为（立方寸），则图中的x为（） A． B．1.6 C． D． 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．利用体积求出x． 【解析】：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．由题意得：1， （﹣x）×3×1+π?（ 2）2x=，x=． 故选：B． 【点评】本题考查三视图，考查体积的计算，确定直观图是关键． 3、鳖臑 【编号第4题】 4．【2015秋?厦门校级月考】《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑PABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且AP=AC=1，过A点分别作AE⊥PB于E、AF⊥PC于F，连接EF当△AEF的面积最大时，tan∠BPC的值是（） A．B．C．D． 【考点】直线与平面垂直的判定．
【必考题】高三数学下期末试题及答案(5)
【必考题】高三数学下期末试题及答案(5) 一、选择题 1．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．14 2．()6 2111x x ??++ ??? 展开式中2x 的系数为（ ） A ．15 B ．20 C ．30 D ．35 3．已知函数()()sin f x A x =+ω?()0,0A ω>>的图象与直线()0y a a A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则()f x 的单调递减区间是（ ） A ．[] 6,63k k ππ+，k Z ∈ B ．[]63,6k k ππ-，k Z ∈ C ．[]6,63k k +，k Z ∈ D ．[]63,6k k -，k Z ∈ 4．甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点各不相同”，事件B 为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则(A |B)P 等于（ ） A ． 49 B ． 29 C ． 12 D ． 13 5．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和3 4 ，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 A ． 12 B ． 512 C ． 14 D ． 16 6．圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0的公共弦的长为（ ）
A ．2 B ．3 C ．22 D ．32 7．对于不等式2n n + 《几何原本》与《九章算术》的异同 古希腊数学的经典之作是欧几里得的名著《几何原本》。亚历山大前期大数学家欧几里得完成了具有划时代意义工作——把以实验和观察而建立起来的经验科学，过渡为演绎的科学，把逻辑证明系统地引入数学中，欧几里得在《几何原本》中所采用公理、定理都是经过细致斟酌、筛选而成，并按照严谨的科学体系进行内容的编排，使之系统化、理论化，超过他以前的所有著作。《几何原本》分十三篇。含有467个命题。 《几何原本》对世界数学的贡献主要是： 1.建立了公理体系，明确提出所用的公理、公设和定义。由浅入深地揭示一系列定理，使得用一小批公理证出几百个定理。 2.把逻辑证明系统地引入数学中，强调逻辑证明是确立数学命题真实性的一个基本方法。 3.示范地规定了几何证明的方法：分析法、综合法及归谬法。 《几何原本》精辟地总结了人类长时期积累的数学成就，建工了数学的科学体系。为后世继续学习和研究数学提供了课题和资料，使几何学的发展充满了活的生机。 二千年来，一直被公认为初等数学的基础教材。 而中国的经典之作是《九章算术》。不同的是，《九章算术》并不是一人一时写成的，它经历了多次的整理、删补和修订，是几代人共同劳动的结晶。大约成书于东汉初年（公元一世纪）。《九章算术》采用问题集形式。全书分为九章，例举了246个数学问题，并在若干问题之后，叙述这类问题的解题方法。 《九章算术》对世界数学的贡献主要有： 1.开方术，反应了中国数学的高超计算水平，显示中国独有的算法体系。 2.方程理论，多元联立一次方程组的出现，相当于高斯消去法的总结，独步于世界。 3.负数的引入，特别是正负数加减法则的确立，是一项了不起的贡献。 刘徽公元263年注《九章算术》，主要贡献是整理此前的中国古代数学成就，并用自己的理解加以评述，特别是一些数学方法的提炼，达到中国数学的高峰。 《九章算术》系统地总结了西周至秦汉时期我国数学的重大成就，是中国数学体系形成的重要标志，其内容丰富多彩，反映了我国古代高度发展的数学。《九章算术》对中国数学发展的影响，可与欧几里得《几何原本》对西方数学的影响一样，是非常深远的。 结论：《九章算术》和《几何原本》同为世界最重要的数学经典。《九章算术》以其实用、算法性称誉世界，《几何原本》以其逻辑演绎的思想方法风靡整个科学界。 二者是互相补充的，并非一个掩盖另一个。 古希腊数学的特点如下： 1.希腊人将数学抽象化，使之成为一种科学，具有不可估量的意义和价值。希腊人坚持使用演绎证明，认识到只有用勿容置疑的演绎推理法才能获得真理。要获得真理就必须从真理出发，不能把靠不住的事实当作已知。从《几何原本》中的10个公理出发，可以得到相当多的定理和命题。 2.希腊人在数学内容方面的贡献主要是创立平面几何、立体几何、平面与球面三角、数论，推广了算术和代数，但只是初步的，尚有不足乃至错误； 3.希腊人重视数学在美学上的意义，认为数学是一种美，是和谐、简单、明确以及有秩序的艺术； 4.希腊人认为在数学中可以看到关于宇宙结构和设计的最终真理，使数学与自然界紧密联系起来，并认为宇宙是按数学规律设计的，并且能被人们所认识的。 中国数学的特点如下： 《九章算术》的历史地位 1引言 1.1研究背景 《九章算术》是世界数学发展史上的宝贵遗产，是古代中国数学发展史上的重要里程碑。《九章算术》作为中国汉族学者在古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种。该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，极具研究价值。本文将对九章算术这部古代中国数学著作对现代数学的影响及其重要的历史地位进行简单的分析。 1.2研究方法 利用历史研究法、文献分析法等。 2 《九章算术》概述 《九章算术》作为中国汉族学者在古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种。魏晋时期刘徽为《九章算术》作注时这样写到：“周公制礼而有九数，九数直流则《九章》是矣……汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补，故校其目则与古异，而所论多近语也”。这段注是说，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补。最后成书最迟在东汉前期，但是其基本内容在东汉后期已经基本定型。《汉书艺文志》(班固根据刘歆《七略》写成者)中着录的数学书仅有《许商算术》、《杜忠算术》两种，并无《九章算术》，可见《九章算术》的出现要晚于《七略》。《后汉书马援传》载其侄孙马续“博览群书，善《九章算术》”，马续是公元1世纪最后二、三十年时人。再根据《九章算术》中可供判定年代的官名、地名等来推断，现传本《九章算术》的成书年代大约是在公元1世纪的下半叶。九章算术将书中的所有数学问题分为九大类，就是《九章算术》。《九章算术》是世界数学发展史上的宝贵遗产，是古代中国数学发展史上的重要里程碑。它对古代中国数学发展的影响之大是任何其他数学书籍不能相比的。它几乎成了中国古代数学的代名词。中国历代数学家从中吸取着丰富的营养，不断地将中国数学向前推进。 《九章算术》的内容十分丰富。它采用问题集的形式，收有246个与生产实践有关的应用问题，包括问题、答案和术三部分，并配有插图。分为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、赢不足、方程和勾股等九章。这些问题来源于实际，又进行了改造、整理和虚构，从而使其更具有一般意义。题目的答案简洁明了。其术则是用简练、规范的语言将计算步骤编制成一个个程序，构成了一些定理或公式。这种编写体例成为古代中国数学著作典范。16世纪之前的 一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{lg(2)}A x y x ==-∣，{ } 2 120B x x x =--<∣，则A B ?=（ ） A ．()2,4 B ．()3,4- C ．()2,3 D ．()4,3- 2．若复数21i z i -= +，复数z 在复平面对应的点为Z ，则向量OZ （O 为原点）的模OZ =（ ） A ．2 B C ．52 3．已知α，β表示不同平面，则//αβ的充分条件是（ ） A ．存在直线a ，b ，且,a b α?，//a β，//b β B ．存在直线a ，b ，且a α?，b β?，//a β，//b α C ．存在平面γ，αγ⊥，βγ⊥ D ．存在直线,a a α⊥，a β⊥ 4．《九章算术》大约成书于公元一世纪，是我国最著名的数学著作．经过两千多年的传承，它的贡献一方面是所解决生活应用问题的示范，另一方面是所蕴涵的数学思想，这对我国古代数学的发展起着巨大的推动作用．如在第一章《方田三七》中介绍了环田计算方法，即圆环的面积计算：即将圆环剪开拉直成为一个等腰梯形，如图，计算这个等腰梯形的面积就是圆环的面积．据此思想我们可以计算扇环面积．中国折扇扇面艺术也是由来已久，传承着唐宋以来历代书画家的诗情画意．今有一扇环折扇，扇面外弧长 40cm ，内弧长20cm ，该扇面面积为2450cm ，则扇面扇骨（内外环半径之差）长为（ ） A ．10 B ．15 C ．20 D ．25 5．6 12x x ??+- ??? 的展开式中含5 x 项的系数为（ ） A ．12 B ．12- C ．24 D ．24- 6．已知函数2 ()f x ax bx c =++，满足(3)(3)f x f x +=-，且(4)(5)f f <，则不等式 (1)(1) f x f -<的解集为（ ） A ．(0,)+∞ B ．(2,)-+∞ C ．(4,0)- D ．(2,4) 2015-2017立体几何高考真题 1、（2015年1卷6题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 【答案】B 【分析】设圆锥底面半径为r ，则 12384r ??==16 3 r =，所以米堆的体积为211163()5433????=3209，故堆放的米约为 320 9 ÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质和圆锥的体积公式 2、（2015年1卷11题）圆柱被一个平面截去一部分后和半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 【答案】B 【分析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球和半个圆柱的组合体，圆柱的半径和球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为221 42222 r r r r r r πππ?+?++?=2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故选B. 考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式 3、（2015年1卷18题）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE=2DF ，AE ⊥EC. １９８０年创刊 摘要：众所周知，《九章算术》和《几何原本》是现代数学思想的两大源泉，虽然它们都是古代数学名著，但是在风格上却存在较大的差异性。 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，而《几何原本》则是古希腊数学家欧几里得的一部数学著作。本文基于数学教育视野，对这两本书进行了对比分析，通过各方面的了解和剖析，结合当代我国数学教育现状，得到教育改革的启示。 关键词：数学教育《九章算术》《几何原本》比较 从数学教育的角度比较分析《九章算术》与《几何原本》 ⊙杜存芳［青海民族大学，西宁 810007］ 《九章算术》是“算经十书”中最重要的一种，该书内容非常丰富，且系统化总结并概括了战国、秦朝，以及汉时期的数学成就。此外，该书在数学领域也取得了杰出的成就，首次提出分数、负数及加减运算法则等。概括来说，《九章算术》 是一本综合性的数学历史著作，该书的出现标志着中国古代数学体系的基本形成。《几何原本》在数学界又被称为《原本》，该书为欧洲数学的发展奠定了良好的基础，且被广泛认为是历史上最成功的教科书，书中主要总结并归纳了平面几何的五大公设。除此之外，《几何原本》在西方也占据着相当重要的位置，仅次于《圣经》。这两本著名的数学著作对数学的发展都发挥着非常重要的作用，但是二者还存在诸多差异。本文对这两本书从成书背景、体例、内容等方面进行研究后，得出二者的差异所在。在此基础上，对其数学教育观、数学教育目的、数学教材及数学文化也进行了详细论述，基于现代数学视野，对现代数学教育改革提供启示，以供参考。 一、成书背景的对比 《九章算术》是中国古代的数学专著，也是“算经十书”中最重要的一种。众所周知，我国春秋战国时期，诸子百家争鸣，众多学派相继出现，在形式逻辑研究方面，相比其他学派而言，墨家比较突出，但之后形式逻辑在我国并没有太大的进展，而《九章算术》恰巧问世。该书成书最迟是在东汉前期，但内容的定型却在西汉后期，这时候出现，就注定其呈现出非逻辑结构的特点。中国古代数学专著都是在不断总结生活现象的过程中逐渐衍生而来的，《九章算术》也不例外，该书主要强调的是数学知识的应用，在不断地总结、归纳、推理、论证的过程中，最终发展成演绎推理。 《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造于一体的不朽之作，整本书的内容是把人们公认的一些事实归纳成定义和公理，将形式逻辑的方法运用于教学研究。通过这些定义和公理对几何图形的性质进行探讨，最终建立起一套数学理论体系，简称几何学。该书的成书与《九章算术》有着不同的背景，当时古希腊正处于形式逻辑的发展时期，形式逻辑的思想方法被运用到了数学及其应用领域中，逐渐形成了强大的数学思潮，之后欧几里得不断研究和探索，将其用演绎法进行归类和整理，编写成《几何原本》一书。这本书也是欧式几何的奠基之作。此书主要囊括了几何学从公元前7世纪的古埃及， 一直到公元前4世纪———欧几里得生活时期———前后四百多年的数学发展历史。从内容上分析，该书保存了古希腊早期的几何学理论，之后欧几里得对其进行了系统化的整理，使其成为现代数学发展的思想源泉。总体来说，《几何原本》开创了古典数论的研究，创立了欧几里得几何学体系，成为用公理化方法建立起来的数学演绎体系的最早典范。 二、《九章算术》与《几何原本》在体例方面的对比 研究这两本书发现，其在体例方面存在一定的差异性，表现在：《九章算术》是按照问题的性质和解法具体分类的，总共九类，且每一类为一章节，每一章节又分多个小类，每一小类都有解题步骤，包括数学公式、推理等。这种结构体系，是以算法为中心，根据算法组建理论体系，表现出了中国特有的数学思想。《几何原本》在结构方面与《九章算术》存在较大的差异性，该书共十三篇，主要包含两大部分。第一部分中，有4条作图公法，36条定义，19条公设和公理，为全书的推理基础。第二部分主要是题，其中每一道题都相当于一条定理，后面附注证明过程和推论过程，还有少部分题后面有图解。总之，《几何原本》主要是将逻辑推理进行系统化归纳，形成数学体系中的逻辑演绎系统。 １５８ 九师联盟3月在线公益联考 高三数学(理科) 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 。 4.本卷命题范围：高考范围。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若全集U ＝R ，M ＝{x|1x <1}，则U eM ＝ A.{x|x ≤1} B.{x|0≤x ≤1} C.{x|x ≥0} D.{x|x<0或x>1} 2.若13z i i =-+(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数的模是 A.22 B.20 C.25 D.8 3.在“新零售”模式的背景下，自由职业越来越流行，诸如淘宝店主、微商等等。现调研某行业自由职业者的工资收入情况，对该行业10个自由职业者人均年收入y(千元)与平均每天的工 作时间x(小时)进行调查统计，得出y 与x 具有线性相关关系，且线性回归方程为?y ＝12x ＋60、若自由职业者平均每天工作的时间为5小时，估计该自由职业者年收入为 A.120千元 B.72千元 C.60千元 D.50千元 4.函数f(x)＝()sin x x e e x x --的部分图象大致是 5.2020年东京夏季奥运会将设置4×100米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员参加比赛，按照仰泳→蛙泳→蝶泳→自由泳的接力顺序，每种泳姿100米且由1名运动员完成，且每名运动员都要出场。若中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或者蛙泳，剩下的2名运动员四种泳姿都可以承担，则中国队参赛的安排共有 A.144种 B.8种 C.24种 D.12种 6.《算经十书》是指汉、唐一千多年间的十部著名的数学著作，它们曾经是隋唐时代国子监算学科的教科书。十部书的名称是：《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《五曹算经》《孙子算经》《夏侯阳算经》《张丘建算经》《五经算术》《缉古算经》《缀术》。小明计划从这十部书中随机选择两部书购买，则选择到《九章算术》的概率是 A.12 B.310 C.25 D.15 7.若执行如图所示的程序框图，则输出k 的值是 A.8 B.10 C.12 D.14 8.已知菱形ABCD 边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝2DF ，则AE AF ?=u u u r u u u r A.－2 B.2 C.1 D.－1 9.将函数f(x)＝2sin(3x ＋φ)(0<φ<π)图象向右平移 8π个单位长度后，得到函数的图象关于直线x ＝3π对称，则函数f(x)在[8π，8 π]上的值域是 A.[－1，2] B.[32] c[2，1] D.[2，2] 10.已知三棱锥D －ABC 的体积为2，△ABC 是边长为2的等边三角形，且三棱锥D －ABC 的外接球的球心O 恰好是CD 的中点，则球O 的表面积为 数理学院数学史课程结课论文 学院：数理学院 班号： 777777777 学号： 888888888888 姓名： ******* 专业：数学与应用数学 《九章算术》及对中国古数学的影响 摘要：本文简单介绍了《九章算术》的成书，内容，思想，地位；从数学教育，对后世数学家著书立说的典范作用，对后世数学的思想，表现《九章算术》对我国数学发展的影响。 关键字：《九章算术》，计算，数学教育，影响 《九章算术》是世界数学发展史上的宝贵遗产, 是中国古代数学发展史上的重要里程碑,它对中国古代数学发展的影响之大是任何其他数学书籍不能相比的。它几乎成了中国古代数学的代名词。中国历代数学家从中济取着丰富的营养, 不断地将中国数学推向前进。 《九章算术》的成书年代，成书于何时，目前仍未能判定。但从现有史料所载，如东汉时马续、郑玄等都学习或研究过该书；东汉时期甚至把这部书规定为国家校核度量衡的依据等，可见该书在东汉时期已广为流传了。而《九章算术》的作者，我们认为这部书是在较长时期内，经多人之手，整理、修改，逐步充实而成的。比如刘徽就说过：“往者暴秦焚书，经术散坏。自时厥后，汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补。故校其目则与古或异，而所论者多近语也。” 《九章算术》的内容十分丰富。它采用问题集的形式, 收有2 4 6 个与生产实践有联系的应用题,包括问题、答案和术三部分, 并配有插图。分为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、赢不足、方程和勾股等九章，这些题目来源于实际, 又进行了改造、整理和虚构, 从而使其更具有一般意义。题目的答案简洁明了。其术则是用简练, 规范的语言将计算步骤编制成一个个程序, 构成了一些定理或公式。这种编写体例成为中国古代数学著作典范，16世纪之前的中国数学著作基本上都采用了这种体例。 《九章算术》以计算为主, 体现了重实用的原则, 但又不乏理论基础, 如正负术、经率术、开立方术、勾股定理等。《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作；其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造；“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。在代数方面，《九章算术》在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则；现在中学讲授的线性方程组的解法和《九章算术》介绍的方法大体相同。尽管有个别问题的解答公式有误差或者仅提供了一种近似计算法, 但基本上体现了理论与实践相结合的原则。《九章算术》以解决问题为目的, 将代数与几何结合起来处理, 几何与代数交错贯穿, 相辅相成, 图文并茂, 体现了数形结合的思想。这成为后世中国数学发展的一种特点。 如果将埃及纸草, 巴比伦泥版文书, 阿拉伯、印度、中世纪欧洲、日本等地历史上数学原始文献中的著名算题与有选择地选取《九章算术》的算题汇在一起, 然后把算题分成10 类: 四则运算、定和问题、余数问题、盈亏问题、互给问题、合作问题、行程问题、比例问题、数列问题和几何计算问题。每类问题又分为若干子目, 按历史年代排序通过对照比较算题的题文、答数以及术文, 我们便可惊喜地发现: 在这10类问题中, 《九章算术》不仅都有涉及, 而且许多算题在题材丰富多样上、在数学内容的深度广度上, 在发生的年代上都居领先地位, 其中 合肥市2020年高三第二次教学质量检测 数学试题（理科） （考试时间:120分钟满分:150分） 第I 卷（满分60分） 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1. 若集合2230|2x A x x x B x --≤≥＝｛｜｝，＝｛，则A B =I ＝ A ． 1,32?????? B ． 1,12?????? C ． 13,2??-??? ? D ．[]2,3 2.欧拉公式i cos sin e θθθ=+把自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数cos sin θθ和联系在一起， 充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数z 满足i (i)i e z π+=g 则z = A ． 1 B ． 2 C ． 2 D 3.若实数x ，y 满足约束条件240403230x y x y x y +-≥??-+≥??+-≥? 则2z x y -＝的最小值是 A ． 5- B ． 4- C ． 7 D ．16 4.已知f x （）为奇函数，当0x ＜时，2x f x e ex --（）＝（e 是自然对数的底数）则曲线 y f x ＝（）在1x ＝处的切线方程是 A ． y ex e =-+ B ． y ex e =+ C ． y ex e =- D ．1 1(2)2y e x e e e =--+ 5. 若cos801m o o ＝ ，则m ＝ A ． 4 B ． 2 C ． 2- D ．4- 6.已知函数tan 002f x x πω?ω?（）＝（＋）（＞，＜＜）的图象关于点6π （，0）成中心对称，且与直线y a ＝的两个相邻交点间的距离为 2 π，则下列叙述正确的是 A.函数f x （）的最小正周期为π B.函数f x （）图象的对称中心为(0)6 k k Z π π∈＋，（） C.函数f x （）的图象可由tan 2y x ＝的图象向左平移6 π得到 《九章算术》是中国古代数学专著，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。是《算经十 书》中最重要的一种。它的出现，标志着中国古代数学体系的形成。作为中国古代数学的系统总结，对中国传统数学的发展有了深远的影响。 《九章算术》的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有证明），有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。分为九章。第一章“方田”有关田亩面积的计算。第二章“粟米”有关粮食谷物按一定比例进行折算的方法。第三章“衰分”将物品按一定比例进行分配。第四章“少广”已知面积或体积，逆求一边的长等问题。提出开平方和开立方的方法。第五章“商功”有关筑城、修堤、开渠、积 粮等工程的计算问题。第六章“均输”研究如何合理摊派赋税的问题。 第七章“盈不足”研究盈亏、比例的问题。第八章“方程”用消元法解三元一次方程组。第九章“勾股”运用勾股定理解决一些实际问题。 数学成就是多方面的： (1)、在算术方面的主要成就有分数运算、比例问题和“盈不足”算法。《九章 算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作，在第二、三、六章中有许多比例问 题，在世界上也是比较早的。“盈不足”算法需要给出两次假设，是一项创造，中世 纪欧洲称它为“双设法”，有人认为它是由中国经中世纪阿拉伯国家传去的． 《九章算术》中有比较完整的分数计算方法，包括四则运算，通分、约分、化带 分数为假分数等等。 《九章算术》中还有求最大公约数和约分的方法。 (2)、《九章算术》总结了生产、生活实践中大量的几何知识，在方田、商功和 勾股章中提出了很多面积、体积的计算公式和勾股定理的应用。 《九章算术》方田章主要论述平面图形直线形和圆的面积计算方法。 《九章算术》商功章收集的都是一些有关体积计算的问题。但是商功章并没有论 述长方体或正方体的体积算法。看来《九章算术》是在长方体或正方体体积计算公式： V=abc的基础上来计算其他立体图形体积的。 刘徽在注释中把对于平面图形的出入相补原理推广应用到空间图形，成为“损广 补狭”以证明几何体体积公式。 (3)、《九章算术》中的代数内容同样很丰富，具有当时世界的先进水平。《九 章算术》方程章中的“方程”是专指多元一次方程组而言，与现在“方程”的含义并 不相同。《九章算术》中多元一次方程组的解法，是将它们的系数和常数项用算筹摆 成“方阵”(所以称之谓“方程”)。消元的过程相当于现代大学课程高等代数中的线 性变换。 （一）《九章算术》中的数学成就 （1）算术方面，主要有分数运算、比例问题和“盈不足”算法。是世界上最早系统叙述分数运算的著作。“盈不足”算法需给出两次假设，是一项创造，中世纪欧洲称为“双设法”。（2）几何方面，主要是面积、体积计算。 （3）代数方面，主要有一次方程组解法、平方、一般二次方程解法等。“方程”一章还在世 《九章算术》中的立体几何 《九章算术》文字古奥，历代注释者甚多，其中以刘徽的注本最为有名.刘徽是我国魏晋时期著名数学家，他在曹魏末年撰成《九章算术注》九卷。在继承的基础上，又提出了许多自己的创见与发明，刘徽的观点，对现今的数学有很多借鉴的地方。 《九章算术》是一部问题集，全书分为九章，共收有246个问题，每题都有问、答、术三部分组成。内容涉及算术、代数、几何等诸多领域，并与实际生活紧密相连，充分体现了中国人的数学观与生活观。其中卷第五“商功”，主要讲各种几何体体积的计算，包括现阶段高中数学教材中的棱柱、棱锥、棱台，圆柱、圆锥、圆台，或可化为上述几何体的几何体体积的计算。 《九章算术》是东方数学的思想之源，也是我国多年来各级各类考试的重要题库。卷第五“商功”第25题作为2015年全国卷（Ⅰ）（文理）第6题,通过古题新解考查阅读理解能力，通过圆锥体积的计算考查空间想象能力与求解运算能力。 题目是：《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?” 其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的 四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米 堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为 1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（解法见 例25） A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 2015年湖北理科19题、文科20题选用《九章算术》“商功”第16题“阳马”与第17题“鳖臑”的组合考查立体几何中线、面间的位置关系与度量关系. 《九章算术》卷第五“商功”共收录28个题目，现将这28个问题整理如下，供参考。 【例1】今有穿地积一万尺.问为坚、壤各几何？ 【注释】穿地：挖地取土. 坚：坚实的土. 壤：松软的土. 【译文】现挖地体积为1000立方尺，问换算成坚土、松土各多少？ 【解析】本题是各种土方量的换算，有专门的换算比例，这里不赘述. 【说明】从例2到例7都是直四棱柱求体积问题，以例2为例，介绍它们的算法.【例2】今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺。问积几何？【注释】广袤：广，东西方向，袤，南北方向. 【译文】现有城，下底长4丈，上底长2丈，高5丈， 2020 年荆门市高三年级高考模拟考试 理科数学试题 全卷满分150 分，考试用时120 分钟 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知 i 是虚数单位，若复数 z 2i3 1 i ，则z =（） A.1i B.1i C. 1i D. 1i 2．已知集合 1 1 , B x y lg(3 x ) A x ，则（） x A. A B (,1) B. A B (0,3) C. A C B D.C A B [1,) R R 3.已知等差数列 a ，其前 n 项和 为 n S ，且a 1 3a a m ，则 n 5 9 2a 6 S 9 a 7 =（） A. m 5 B. m 9 C. 1 5 D. 1 9 4．已知a,b R ，则“ab 1”是“a b 2 ”的（） A.充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件 5．2019 冠状病毒病（CoronaVirus Disease2019（COVID-19））是由新型冠状病毒（2019-nCoV）引发的疾病，目前全球感染者以百万计，我国在党中央、国务院、中央军委的坚强领导下，已经率先控制住疫情， 但目前疫情防控形势依然严峻，湖北省中小学依然延期开学，所有学生按照停课不停学的要求，居家学习。 小李同学在居家学习期间，从网上购买了一套高考数学冲刺模拟试卷，快递员计划在下午4:00～5:00 之间送货到小区门口的快递柜中，小李同学父亲参加防疫志愿服务，按规定，他换班回家的时间在下午 4: 30～5:00，则小李父亲收到试卷无需等待的概率为（） A. 1 8 B. 1 4 C. 3 4 D. 7 8《几何原本》与《九章算术》的异同
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