01-有理数的意义—初中数学知识点解读与提高
有理数的意义
要点一、正数与负数
像+3、+1.5、、+584等大于0的数，
叫做正数；像－3、－1.5、、－584等在
正数前面加“－”号的数，叫做负数．
（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质
符号，“+”常省略，但“-”不能省略.
（2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，
哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”
等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．
（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负
数的分界线．
要点二、有理数的分类
（1）按整数、分数的关系分类：
（2）按正数、负数与0的关系分类：
（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可
以看作是分母为1的数.
（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，
所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但
无限不循环小数不是分数，例如．
（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为
非正数；正整数、0、负整数统称整数．
类型一、正数与负数
：中国人很早开始使用负数，中国古
代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在
世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100
元记作+100元．那么﹣80元表示（）
A．支出20元 B．收入20元C．支出80
元 D．收入80元
在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个
为正，则另一个就用负表示．
C
解：根据题意，收入100元记作
+100元，则﹣80表示支出80元．故选：C．
1
2
+
1
2
-π1．掌握用正负数表示实际问题中具有相
反意义的量；
2．理解正数、负数、有理数的概念；
3. 掌握有理数的分类方法，初步建立分
类讨论的思想．
【变式1】
一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”， 则下列各袋大米中质量不合格的是（ ）
A ．50.0千克
B ．50.3千克
C ．49.7千克
D ．49.1千克
D ．
解：“50±0.5千克”表示最多为50.5千克，最
少为49.5千克．
【变式2】
（1）如果收入300元记作+300元，那么支出500元用___________ 表示，0元表示__________ .
(2)若购进50本书，用-50本表示，则盈利30元如何表示？
(1) -500元；既没有收入也没有支出. (2) 不是一对具有相反意义的量，不能表示.
【变式3】
如果60m 表示“向北走60m ”，那么“向南走40m ”可以表示为（ ）．
A ．－20m
B ．－40m
C ．20m
D ．40m
B
: 体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3，1，0 （1） 这8名男生有百分之几达到标准？ （2） 他们共做了多少引体向上？
（1）由题意可知：正数或0
表示达标，而正数或0的个数共有5个，所以
百分率为：；
答：这8名男生有62.5%达到标准.
（2）（7+2）+（7-1）+7+（7+3）+（7-2）+（7-3）+（7+1）+7=56（个） 答：他们共做了引体向上56个.
类型二、有理数的分类
: 下面说法中正确的是( )． A ． 非负数一定是正数．
B ． 有最小的正整数，有最小的正有理数．
C ．一定是负数．
D ．正整数和正分数统称正有理数．
D
5100%62.5%8⨯=a -本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量
一定要先弄清“基准”是什么.
(A) 不对，因为非负数还包括0；(B) 最小的正整数为1，但没有最小的正有理数；
(C)不对，当为负数或0时，则为正数或
0，而不是负数；(D)对
【变式1】 判断题：
（1）0是自然数，也是偶数．（ ） （2）0既可以看作是正数，也可以看成是负数.（ ） （3）整数又叫自然数.（ ） （4）非负数就是正数，非正数就是负数.（ ）
√， ，，
【变式2】
下列四种说法，正确的是( ). (A)所有的正数都是整数 (B)不是正数的数一定是负数
(C)正有理数包括整数和分数 (D)0不是最小的有理数
D
: 请把下列各数填入它所属于的集合
的大括号里.
1, 0.0708, -700, -3.88, 0, 3.14159265, ， . 正整数集合:{ …}，
负整数集合:{ …}，
整数集合: { …}，
正分数集合:{ …}， 负分数集合:{ …}， 分数集合: { …}， 非负数集合:{ …}， 非正数集合:{ …}.
正整数： 1；负整数：-700；整
数：1，0，-700；正分数：0.0708，3.14159265，
；负分数： -3.88，；分数：0.0708，3.14159265，，-3.88，；非负数： 1,0.0708， 3.14159265，0，；非正数：
-700, -3.88, 0,
a a -⨯⨯⨯723
-7
23
-
7
23
-
723
-一个有理数既有性质符号，又有除性质
符号外的数值部分，两者合在一起才表示这个有理数.
填数的方法有两种：一种是逐个考察，一一进行填写；二是逐个填写相关的集合，从给出的数中找出属于这个集合的数.此外注意几个概念：非负数包括0和正数；非正数包括0和负数.
【变式】
在有理数、﹣5、3.14中，属于分数的个数
共有个．
2.
类型三、探索规律
: 某校生物教师李老师在生物实验室
做实验时，将水稻种子分组进行发芽试验：第1
组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4
组取9粒，.按此规律，那么请你推测第n组
应该有种子是粒.
()
第1组取3粒，第2组取5粒，
第3组取7粒，第4组取9粒，，由此我们
观察到的粒数与组数之间有一定关系：
，，，
，，按此规律，第n组应该有种
子数（）粒.
【变式1】有一组数列：2，-3，2，-3，2，-3，
，根据这个规律，那么第2010个数是：
-3
【变式2】
观察下列有规律的数：根据
其规律可知第9个数是：
1
2+
n
1
1
2
3+
⨯
=1
2
2
5+
⨯
=1
3
2
7+
⨯
=
1
4
2
9+
⨯
=
1
2+
n
,
,
30
1
,
20
1
,
12
1
,
6
1
,
2
1
90
1
研究一列数的排列规律时，其中的数与
符号往往都与序数有关.
【巩固练习】
一、选择题
1. 下列语句正确的（）个
（1）带“﹣”号的数是负数；
（2）如果a为正数，则﹣a一定是负数；
（3）不存在既不是正数又不是负数的数；
（4）0℃表示没有温度．
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
2.关于数“0”，以下各种说法中，错误的是 ( ) A．0是整数 B．0是偶数
C．0是正整数 D．0既不是正数也不是负
数
3.如果规定前进、收入、盈利、公元后为正，
那么下列各语句中错误的是 ( )
A．前进-18米的意义是后退18米
B．收入-4万元的意义是减少4万元
C．盈利的相反意义是亏损
D．公元-300年的意义是公元后300年
4.一辆汽车从甲站出发向东行驶50千米，然后
再向西行驶20千米，此时汽车的位置是 ( ) A．甲站的东边70千米处
B.甲站的西边20千米处
C．甲站的东边30千米处
C.甲站的西边30千米处
5．在有理数中，下面说法正确的是（）A．身高增长和体重减轻是一对具有
相反意义的量
B．有最大的数
C．没有最小的数，也没有最大的数
D．以上答案都不对
6.下列各数是正整数的是（）
A．－1 B．2 C．0．5 D． 2
二、填空题
1．如果用+4米表示高出海平面4米，那么低于
海平面5米可记作．2．在数
中，非负数是______________；非正数是__________.
3.把公元2008年记作+2008，那么-2008年表示 .
4.既不是正数，也不是负数的有理数是 .
5.如果向东行驶10米，记作+10米，那么向西行驶20米，记作__________米．
6.是整数而不是正数的有理数是 .
7.既不是整数，也不是正数的有理数是 .
8.一种零件的长度在图纸上是（）毫米，
表示这种零件的标准尺寸是毫米，加工要求最大不超过毫米，最小不小于毫米.
三、解答题
1．说出下列语句的实际意义.
（1）输出-12t （2）运进-5t （3）浪费-14元（4）上升-2m (5)向南走-7m
2．下面两个圈分别表示负数集和分数集，请把下列6个数填入这两个圈中合适的位置．
﹣28%，，﹣2014，3.14，﹣（+5），﹣0.
cm
2.1kg
2.1
03
.0
02
.0 10+
-
3.随着人们的生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入普通家庭．小明家买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程，以50km 为标准，多于50km 的记为“+”，不足50km 的记为“﹣”，刚好50km 的记为“0”，记录数据如下表：
（1）请你估计小明家的小轿车一月（按30天计）要行驶多少千米？
（2）若每行驶100km 需用汽油8L ，汽油每升7.14元，试求小明家一年（按12个月计）的汽油费用是多少元？
4．观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律?请接着写出后面的两个数，你能说出第2011个数是什么吗?
(1)1，-2，3，-4，5，-6，7，-8， ， ，... ，... (2)-1,
,-
,
,,
,
, , ,... ,...
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】B 【解析】（1）带“﹣”号的数不一定是负数，如﹣（﹣2），错误；
（2）如果a 为正数，则﹣a 一定是负数，正确；
（3）0既不是正数也不是负数，故不存在既不是正数又不是负数的数此表述错误；
（4）0℃表示没有温度，错误． 综上，正确的有（2），共一个．
2.【答案】C
【解析】0既不是正数也不是负数，但0是整数，是偶数，是自然数.
3. 【答案】D
【解析】D 错误，公元-300年的意义应该是公元前300年.
4. 【答案】 C
【解析】画个图形有利于问题分析，向东50千米然后再向西20千米后显然此时汽车在甲站的东边30千米处.
5.【答案】C
【解析】A 错误，因为身高与体重不是具有相反意义的量；B 错误，没有最大的数也没有最小数；C 对.
6. 【答案】B
二、填空题
1.【答案】﹣5米
2.【答案】0.5，100，0，
；，0，
-45
【解析】正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，零既不是正数也不是负数.
2
13
14
15
1-
6
17
1
-
1
121
22
-时间
第一天
第二天
第四天
第五天
第六天
第七天
路程
（km ） ﹣8 ﹣11 0 ﹣16 +41 +8
3.【答案】公元前2008年
【解析】正负数表示具有相反意义的量.
4.【答案】0
【解析】既不是正数也不是负数的数只有零.
5.【答案】-20. 【解析】解：∵向东行驶10米，记作+10米，
∴向西行驶20米，记作﹣20米， 故答案为：﹣20．
6.【答案】负整数和0
【解析】整数包括正整数和负整数，又因为不是正数，所以只能是负整数和0.
7.【答案】负分数
【解析】不是整数，则只能是分数，又不是正数，所以只能是负分数.
8.【答案】10，，
【解析】表示的数的范围为：大于，而小于，即大于而
小于. 三、解答题 1. 【解析】（1）输出-12t 表示输入12t ； （2）运进-5t 表示运出5t ； （3）浪费-14元表示节约14元； （4）上升-2m 表示下降2m ；
(5)向南走-7m 表示向北走7m. 提示：“-”表示相反意义的量.
2．【解析】
3.【解析】
解：（1）=50，
50×30=1500（km ）．
答：小明家的小轿车一月要行驶1500千米； （2）
×8×7.14×12=10281.6（元），
答：小明家一年的汽油费用是10281.6元．
4．【解析】（1）9，-10，…，2011，…
（2）
10.039.9803
.002
.010+--（100.02）（10+0.03）9.98
10.03111
,,...,, (892011)
--
初一数学第1章有理数知识点总结
初一数学第1章有理数知识点总结 ⒈正数和负数的概念 负数：比0小的数正数：比0大的数0既不是正数，也不是负数 注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数; 当a表示负数时，-a是正数;当a表示0时，-a仍是0。(如果出判 断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断) ②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。 2.具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：零上8℃表示为：+8℃;零下8℃表示为：-8℃ 3.0表示的意义 ⑴0表示“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人; ⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。 1.有理数的概念 ⑵正分数和负分数统称为分数 ⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。 理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数 都可化成分数，都是有理数。 注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。
2.有理数的分类 ⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分正整数 整数正有理数正分数 有理数有理数(0不能忽视)负整数 分数负有理数负分数 总结：①正整数、0统称为非负整数(也叫自然数) ②负整数、0统称为非正整数 ③正有理数、0统称为非负有理数 ④负有理数、0统称为非正有理数 ⒈数轴的概念 规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。 注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线;⑵原点、正方向、 单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可;⑶同一数轴上的单位长度 要统一;⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。 2.数轴上的点与有理数的关系 ⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。 ⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。(如，数轴上的点π不是有理数) 3.利用数轴表示两数大小 ⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大; ⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数; ⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。
初中数学第一章有理数知识点归纳总结
初中数学第一章有理数知识点归纳总结初中数学第一章主要涉及有理数的概念、运算规则、绝对值和相反数 等知识点。下面将对这些知识点进行归纳总结。 1.有理数的概念： 有理数是整数和分数的统称，包括正整数、负整数、零，以及正分数 和负分数。有理数可以用分数形式表示，也可以用小数形式表示。 2.整数的概念： 整数包括正整数、负整数和零。正整数表示数量时为正，负整数表示 数量时为负，零表示没有数量。 3.分数的概念： 分数由分子和分母组成，分子表示被分成的份数，分母表示总的份数。分数可以表示一个数在单位等分之中的一部分。 4.有理数的比较： 有理数可以通过大小进行比较。对于两个有理数a和b，如果a-b>0，则a>b；如果a-b<0，则a -不同符号的两个数相加或相减，绝对值较大的数保留符号，结果的符号与绝对值较大的数的符号相同。 6.有理数的乘法与除法： 有理数的乘法和除法满足以下性质： -两个正数相乘或相除的结果为正数。 -两个负数相乘或相除的结果为正数。 -一个正数与一个负数相乘或相除的结果为负数。 -任何数除以零的结果为零。 7.绝对值： 一个数的绝对值表示这个数离零的距离。如果一个数是正数，那么它的绝对值就等于它本身；如果一个数是负数，那么它的绝对值等于它的相反数。 8.相反数： 一个数与它的相反数的和为零。一个数的相反数可以通过改变符号获得，正数变为负数，负数变为正数。 9.有理数的绝对值与相反数的关系： 一个有理数的绝对值等于它的相反数的绝对值。 10.混合运算： 初一数学第一章有理数01有理数基本概念 辅导讲义 导 航：有理数的基本概念 考点1．负数 （1）用正负数表示相反意义的量（增加，减少；零上，零下；向前，向后…） （2）定义：在正数前面加“—”（读负）的数，（-5，-2.8，3 (4) -） （3）a -不一定是负数，关键看a 是正数、负数还是0 例题： 例1、设向东行驶为正，则向东行驶30m 记做 ，向西行驶20m 记做 ，原地不动记做 ，-5m 表示向 行驶5m ，+16m 表示向 行驶16m.。 例2、收入-2000元，表示 。 【中考链接】 1、甲、乙两厂三月产值与上月相比，甲厂增产3%，可记作______，乙厂减产1.2%,可记作________. 2、已知今天早晨的气温是–14℃，中午的气温比它高5℃，则今天中午的气温是________. 3、下列说法错误的是 ( ) A 、零是非负数 B 、零是整数 C 、零的相反数是零 D 、零的倒数是零 4、自行车车轮向顺时针方向旋转200圈记做+200圈, 那么向逆时针方向旋转150圈应记做________. 5、下表记录了某星期内股市的升跌情况,阅读并完成下表. 考点2．有理数 （1）定义： 整数： 正整数、零和负整数统称为整数。()...2,1,0,1,2....-- 自然数：正整数和零。() 0,1,2,3.... 分数：正分数和负分数统称为分数。40.3,0.31,......5???? - ??? ???? ???? 有限小数小数无限循环小数无限小数无限不循环小数 有限小数和无限循环小数与分数可以相互转化，所以这类小数也称为分数。 【注】π，以及π的倍数都不是分数。 有理数：整数和分数统称为有理数。 （2）有理数分类 A 、按有理数的定义分类 B 、按正负分类 正整数 正整数 整数 0 正有理数 有理数 负整数 有理数 正分数 正分数 0 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数 （3）习惯上将―正有理数和零‖称作非负有理数（即非负数） （4）应理解下面常用的一些数字语言和符号。 a 是非负数，指a 30a =b （a >0或a =0） a 是非正数，指a ￡0 （a <0或a =0） a 不大于b ，指a ￡b （a b 或a =b ） （5）数集：把一些数放在一起就组成了一个数集，简称数集。有理数集，整数集，非负整数集等等。 【注】（1）0既不是正数也不是负数，0是整数，0是自然数，0是非负数，0是非正数。0不仅仅表示没有，还表示正负数的分界有起点之意。 （2）最小的正整数是1，最大的负整数是-1，没有最大、最小的整数，最小的自然数是0。 例题： 例1、7 6%,5,260,2001,0,120.1,100020,- ,3 1 -?--??，负数有 个，正数有 个，整数有 个，正分数有 个，非负整数有 个。 第2讲 有理数的意义 【学习目标】 1．掌握有理数的意义； 2．利用数轴比较有理数的大小； 3．掌握相反数与绝对值的代数意义和几何意义． 【教学重难点】 1．利用数轴比较有理数的大小； 2．相反数与绝对值的代数意义和几何意义． 考点1：利用数轴比较有理数的大小 知识点与方法技巧梳理： 1．0既不是正数，也不是负数，正数和0统称为非负数． 2．所有的有理数都可以在数轴上用点来表示，但数轴上的点所表示的不一定都是有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系． 3．通过数轴从图形上直观的解释相反数（数形结合），帮助理解绝对值的意义，还可以比较有理数的大小． 4．有理数的大小比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．正数大于0，负数小于0，正数大于负数． 【例1】比－4.2大的负整数是____________________． 【变式】1．大于－3.5而不大于3的整数是____________________． 2．在数轴上，与表示－5的点相距2个单位长度的点所表示的数是___________． 3．若a 为整数，在－a 与a 之间（不包含－a 和a ）有9个整数，则a 的值为___________． 【例2】在数轴上把数4.5、－2.5、－1.5、| －3|、－( －3 )、－| －2|表示出来，并用“＜”号把它们连接起来． 【变式1】数a 、b 在数轴上表示的点如图所示，比较a 、b 、－a 、－b 的大小． 【变式2】（2016青羊区期末）在数轴上，a 、b 所表示的数如图所示，下列结论正确的是（ ） A ．a ＋b ＞0 B ．|b |＜|a | C ．a －b ＞0 D ．ab ＞0 【变式3】（2017盐道街期末）有理数m 、n 在数轴上的表示如图所示，下列关系中正确的个数是（ ） ①m ＋n ＜0 ②n －m ＞0 ③1 m ＞－ 1 n ④2m －n ＞0 ⑤－n －m ＞0 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【变式4】（2017双流区期末）如图，在数轴上的A 、B 、C 三点表示的数分别是a 、b 、c ，且AB ＝BC ，|a |＞|c |＞|b |，那么该数轴的原点的位置在（ ） A ．点A 的左边 B ．点A 与点B 之间 C ．点B 与点C 之间 D ．点C 的右边 【变式5】有理数m 、－3、n 在数轴上的位置如图所示，请将m 、－3、n 的相反数在数轴上表示出来，并将这六个数用“＜”号连接起来． 考点2：绝对值 －－－－－－ B C A － 有理数的意义 要点一、正数与负数 像+3、+1.5、、+584等大于0的数， 叫做正数；像－3、－1.5、、－584等在 正数前面加“－”号的数，叫做负数． （1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质 符号，“+”常省略，但“-”不能省略. （2）用正数和负数表示具有相反意义的量时， 哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升” 等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负． （3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负 数的分界线． 要点二、有理数的分类 （1）按整数、分数的关系分类： （2）按正数、负数与0的关系分类： （1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可 以看作是分母为1的数. （2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化， 所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但 无限不循环小数不是分数，例如． （3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为 非正数；正整数、0、负整数统称整数． 类型一、正数与负数 ：中国人很早开始使用负数，中国古 代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在 世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100 元记作+100元．那么﹣80元表示（） A．支出20元 B．收入20元C．支出80 元 D．收入80元 在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个 为正，则另一个就用负表示． C 解：根据题意，收入100元记作 +100元，则﹣80表示支出80元．故选：C． 1 2 + 1 2 -π1．掌握用正负数表示实际问题中具有相 反意义的量； 2．理解正数、负数、有理数的概念； 3. 掌握有理数的分类方法，初步建立分 类讨论的思想． 【变式1】 一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”， 则下列各袋大米中质量不合格的是（ ） A ．50.0千克 B ．50.3千克 C ．49.7千克 D ．49.1千克 D ． 解：“50±0.5千克”表示最多为50.5千克，最 少为49.5千克． 【变式2】 （1）如果收入300元记作+300元，那么支出500元用___________ 表示，0元表示__________ . (2)若购进50本书，用-50本表示，则盈利30元如何表示？ (1) -500元；既没有收入也没有支出. (2) 不是一对具有相反意义的量，不能表示. 【变式3】 如果60m 表示“向北走60m ”，那么“向南走40m ”可以表示为（ ）． A ．－20m B ．－40m C ．20m D ．40m B : 体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3，1，0 （1） 这8名男生有百分之几达到标准？ （2） 他们共做了多少引体向上？ （1）由题意可知：正数或0 表示达标，而正数或0的个数共有5个，所以 百分率为：； 答：这8名男生有62.5%达到标准. （2）（7+2）+（7-1）+7+（7+3）+（7-2）+（7-3）+（7+1）+7=56（个） 答：他们共做了引体向上56个. 类型二、有理数的分类 : 下面说法中正确的是( )． A ． 非负数一定是正数． B ． 有最小的正整数，有最小的正有理数． C ．一定是负数． D ．正整数和正分数统称正有理数． D 5100%62.5%8⨯=a -本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量 一定要先弄清“基准”是什么. 初中-数学-打印版 有理数课标解读 1.有理数的意义是在回顾先前学习的正整数、负整数、零，正分数、负分数等相关内容后给出的，据此可以给出有理数两种方法的分类，即整数和分数的统称，或正有理数、负有理数和零。为了更好地研究有理数的相关概念和性质，需要介绍数轴，学习“用数轴上的点表示有理数”，从而建立了(有理)数与形(数轴—直线)的对应关系，也为研究有理数大小的比较方法、相反数和绝对值提供了直观手段。 2.对有理数概念的深化理解，教材是借助于数轴来完成的。数轴是规定了原点、正方向和单位长度的一条直线。《课标》要求“能用数轴上的点表示有理数“，即有理数可以用数轴上的点来表示，但是数轴上的点并不都表示有理数。数轴上的点也可以表示无限不循环小数(即无理数)。限于知识的局限(实数与无理数的概念将在七下学习)，这里只要求学生理解“有理数可以用数轴上的点来表示”即可，不必向学生作过多的说明。 3.借助于数轴，我们可以直观地得到有理数大小的比较方法，即“正数大于负数与零；零大于负数；两个负数，绝对值大的反而小”。对两个负数大小的比较方法，需要借助于对数轴表示的数的直观介绍与感知，让学生明白，越是向数轴正方向上移动的点表示的数越大，越是向数轴负方向上移动的点表示的数越小。 4.对相反数、绝对值的概念与性质，既是一种规(约)定，又可以借助于数轴理解一个数的相反数、绝对值的意义。 两个数只有符号不同(言下之意是其他完全相同)，则它们互为相反数，并规定：0的相反数是0。人教版七上教材还用字母表示了数与互为相反数，并通过反问“一定是负数吗？”进一步揭示了“字母可能是负数，也可能是正数或0”。在任意一个数前面添上“-”号，新的数就表示原数的相反数。 字母表示一个数的相反数与绝对值，学生初始理解可能困难，需要教师仔细地分析和讲解对一个数的绝对值，教材是利用其几何意义(即数轴上表示数离开原点的距离)来定义的。正因为表示数离开原点的距离，因此就不可能是负数，即或，这样就容易得到下面的结论：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。人教版七上教材也用字母和分类思想表示了一个数的绝对值的三种，即：若，则；若，则；若，则。对于用，不能急于求成。 需要说明的是，在研究相反数、绝对值的概念与性质时，人教版七上教材没有刻意指明或界定是有理数，因为即使是无理数，其相反数、绝对值的概念与性质也是一样的。 5.本节内容，无论是有理数的概念、相反数与绝对值的概念，还是数轴和绝对值的几何意义，有理数大小的比较方法等，都十分突出地体现了分类讨论思想和数形结合思想。教学中，应该引导学生充分体会其中蕴含的这些数学思想方法，进而让他们逐步学会数学地思考，喜爱数学。 初中-数学-打印版 有理数的意义、数轴、绝对值 第一部分：有理数 1、正负数的概念：比0大的数是正数，比0小的数是负数。“—” 用正数和负数表示相反意义的量 Ⅰ. 相反意义的量必须包含两个因素：1、它们的意义相反；2、它们都具有数量，而且一定是同类量。 Ⅱ.相反意义的量可以人为的规定其正负。在实际生活中，习惯把零以上的温度、上升的高度、收入、买入物品等规定为正数，而把它们相反意义的量规定为负的，用负数表示。2、对“0”的理解：0不在正、负数的范围内，它是正数和负数的分水岭。它的意义非常特殊，它既可以表示无意义，也可以表示其他特殊的意义。 3、有理数的概念：整数和分数统称为有理数；正数、负数、零都是有理数。 4、有理数的分类： 例1：（1）如果把收入50元记做50元，那么下列各数分别表示什么意义？ 20元 2.5元 -80元 0元 （2）如果6摄氏度用6C︒表示，那么零下4摄氏度如何表示？ 例2：把 1312 1271 2.80734%0.67 247 -- 、、、、、、、、、、、、、、-、、分别填在表示正数 和负数的圈内。 正数负数 巩固练习： 1、如果规定向南走为正，那么﹣100米表示向________走100米。 2、某公司股票上周五的收盘价是27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（上涨为正）： 由上表知，星期一收盘时，每股价格是元，星期四收盘时，每股价格是元。 3、下列说法正确的是（） A.一个有理数不是正数就是负数 B.一个有理数不是正数就是分数 C.有理数是指整数、分数（正有理数、0、负有理数） D.以上说法都正确 4、把下列各数填入相应的大括号内：-7，3.01,300%，-0.142,0.1,0,5/3,-355/113,12 （1）正整数集：{ }；（2）分数集：{ } （3）负数集：{ }；（4）非负整数集：{ } 5、下列判断正确的是( ) A.所有的整数都是正数 B.正整数，负整数统称为整数 C.分数一定是有理数 D.有理数包括小数和整数 初中数学知识点――有理数 1、有理数 （1）凡能写成（a、b都是整数且a≠0）形式的数，都是有理数。正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数。（注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；p不是有理数） （2）有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性。 （3）自然数是指0和正整数；a＞0，则a是正数；a＜0，则a是负数； a≥0，则a是正数或0（即a是非负数）；a≤0，则a是负数或0（即a是非正数）。 2、数轴 数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3、相反数 （1）只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0。 （2）注意：a-b+c的相反数是-a+b-c；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b； （3）相反数的`和为0时，则a+b=0；即a、b互为相反数。 4、绝对值 （1）正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。（注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离）。 （2）绝对值可表示为|a|。 （3）|a|是重要的非负数，即|a|≥0。（注意：|a|・|b|=|a・b|）。 5、有理数比大小 （1）正数的绝对值越大，这个数越大； （2）正数永远比0大，负数永远比0小； （3）正数大于一切负数； （4）两个负数比大小，绝对值大的反而小； （5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； （6）大数-小数＞0，小数-大数＜0。 6、互为倒数 乘积为1的两个数互为倒数。（注意：0没有倒数；若a、b≠0，那么的倒数是；倒数是本身的数是±1；若ab=1，则a、b互为倒数；若ab=-1，则a、b互为负倒数。 7、有理数加减法则 （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 （2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 （3）一个数与0相加，仍得这个数。 8、有理数加减的运算律 （1）加法的交换律：a+b=b+a。 （2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）。 9、有理数乘法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）。 10、有理数乘法法则 （1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同零相乘都得零。 （3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定。 11、有理数乘法的运算律 （1）乘法的交换律：ab=ba。 初中数学知识点——有理数 1、有理数 〔1〕凡能写成〔a、b都是整数且a≠0〕形式的数，都是有理数。正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数。〔留意：0即不是正数，也不是负数；-a不肯定是负数，+a也不肯定是正数；p不是有理数〕 〔2〕有理数中，1、0、-1是三个特别的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性。 〔3〕自然数是指0和正整数；a＞0，那么a是正数；a＜0，那么a是负数；a≥0，那么a是正数或0〔即a是非负数〕；a≤0，那么a是负数或0〔即a是非正数〕。 2、数轴 数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3、相反数 〔1〕只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0。 〔2〕留意：a-b+c的相反数是-a+b-c；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b； 〔3〕相反数的`和为0时，那么a+b=0；即a、b互为相反数。 4、肯定值 〔1〕正数的肯定值是其本身，0的肯定值是0，负数的肯定值 是它的相反数。〔留意：肯定值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离〕。 〔2〕肯定值可表示为|a|。 〔3〕|a|是重要的非负数，即|a|≥0。〔留意：|a|·|b|=|a·b|〕。 5、有理数比大小 〔1〕正数的肯定值越大，这个数越大； 〔2〕正数永久比0大，负数永久比0小； 〔3〕正数大于一切负数； 〔4〕两个负数比大小，肯定值大的反而小； 〔5〕数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； 〔6〕大数-小数＞0，小数-大数＜0。 6、互为倒数 〔留意：0没有倒数；假设a、b≠0，乘积为1的两个数互为倒数。 那么的倒数是；倒数是本身的数是±1；假设ab=1，那么a、b互为倒数；假设ab=-1，那么a、b互为负倒数。 7、有理数加减法那么 〔1〕同号两数相加，取相同的符号，并把肯定值相加。 〔2〕异号两数相加，取肯定值较大的符号，并用较大的肯定值减去较小的肯定值。 〔3〕一个数与0相加，仍得这个数。 8、有理数加减的运算律 〔1〕加法的交换律：a+b=b+a。 初一数学第1章有理数知识点总结 1.正数和负数的概念 负数：比0小的数正数：比0大的数0既不是正数，也不是负数 注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数； 当a表示负数时，-a是正数;当a表示0时，-a仍是0。（如果出判 断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误 的，例如+a,-a就不能做出简单判断） ②正数有时也可以在前面加“ + ”，有时“ + ”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。 2.具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意 义的量，比如：零上8℃表示为：+8℃;零下8℃表示为：-8℃ 3.0表示的意义 40表示“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人； 50是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。 1.有理数的概念 ⑵正分数和负分数统称为分数 ⑶正整数，0,负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。 理解：只有能化成分数的数才是有理数。①n是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。 注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,- 6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。 2.有理数的分类 ⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分正整数 整数正有理数正分数 有理数有理数（0不能忽视）负整数 分数负有理数负分数 总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数） ②负整数、0统称为非正整数 ③正有理数、0统称为非负有理数 ④负有理数、0统称为非正有理数 3.数轴的概念 规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。 注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线;⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可;⑶同一数轴上的单位长度要统一;⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。 4.数轴上的点与有理数的关系 ⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。 ⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点n不是有理数） 5.利用数轴表示两数大小 ⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大； ⑵正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数； ⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。 解读有理数的有关概念 一、正数与负数： 1.正数：像+1.8，+420、+30、+10%等带有理数“+”号的数叫做正数。为了强调正数，前面加上“+”号，也可以省略不写。 2.负数：像－3、－4754、－50、－0.6、－15%等带有“－”号的数叫做负数。而负数前面的“－”号不能省略。 3.零既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界点。 注意：对于正数与负数，不能简单地理解为：带“+”号的数是正数，带 “－”号的数是负数。例如－a 不一定是负数，因为字母a 代表任何一个有理数，当a 是0时，－a 是0，当a 是负数时，－a 是正数；能用正数与负数表示相反意义的量，习惯上把增加、盈利等规定为正，它们相反意义的量规定为负，正、负是相对而言有理数。 二、有理数及其分类： 有理数：整数与分数统称为有理数。整数包括三类：正整数、零、负整数。分数包括两类：正分数和负分数。 注意：小学学过的零表示没有，而引入负数后，就不能把“零”完全当作没有了，如0℃就是一个特定的温度；现在我们学过的数，除π和与π有关的数外，其他的数都是有理数；引入负数后，数的范围扩大为有理数，奇数和偶数的外延也由自然数扩大到整数。 按整数、分数的关系分类： 按正数、负数、零的关系分类： ⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数 ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩ 正整数 正有理数正分数有理数零负整数负有理数负分数 三、数轴： 1.数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 注意：①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；②数轴有三要素：原点、正方向、单位长度三者缺一不可；③原点的位置、正方向的取向、单位长度的大小的选定，都是根据实际需要而定的。 四、相反数： 只有符号不同的两个数互为相反数。规定零的相反数是零。 从数轴上看，表示互为相反数的两个数，分别位于原点的两侧，且与原点的距离相等，如图1，3与－3互为相反数。 注意：相反数是成对出现的，不能单独存在，如+2与－2互为相反数，说明+2的相反数是－2，－2的相反数是+2，单独一个数不能说相反数；“只有”的含义说明像+5与－3这样的两个数不是互为相反数。 五、绝对值： 绝对值的几何定义：在数轴上，表示一个数a 的点到原点的距离叫做这个数a 的绝对值，记作|a |。 绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0. 注意：①绝对值的求法：先判断这个数是正数、负数、还是零，再根据绝对值的代数定义去掉绝对符号；②绝对值的非负性：任何一个有理数的绝对值 都是非负数，即|a ≥|0， (0) |0 (0) (0)a a a a a a >⎧⎪ ==⎨⎪-<⎩ |。 六、非负数 若数a ≧0，则称a 为非负数。 非负数的性质：任何非负数的和仍为非负数；如果几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0。 初中数学知识点——有理数 初中数学知识点——有理数 有理数是整数(正整数，0，负整数)和分数的统称，是整数和分数的聚合。以下是边肖整理的初中数学知识点——的有理数，供大家参考，希望对有需要的小伙伴有所帮助。 1.有理数 (1)所有可以写成(A，B为整数，a0)的数都是有理数。正整数、0和负整数统称为整数；正负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数。(注意：0既不是正，也不是负；——A不一定是负的，A也不一定是正的；p不是有理数) (2)在有理数中，1、0和-1是三个有各自特点的特殊数；这三个数字把数轴上的数字分成四个区域，这四个区域的数字也各有特点。 (3)自然数是指0和正整数；A >。0，那么a是正数；A <。0，则a为负；A0，则a为正或0(即a为非负)；A0，则a为负或0(即a为非正)。 2.数轴 数轴是定义原点、目标目的和单位长度的直线。 3.反数 (1)符号不同的数字只有两个，我们说其中一个是另一个的反义词；0的倒数仍然是0。 (2)注：a-b c的反义词是-a B- c；a-b的反数是B- A；a的倒数是-a-a-b； (3)反数之和为0时AB=0；也就是a和b是相反的数字。 4.绝对值 (1)正数的绝对值是本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的倒数。(注：绝对值是指数轴上代表某个数字的点到原点的距离)。 (2)绝对值可以表示为|a|。 (3)|a|是一个主要的非负数，即|a|0。(注意：| a || b|=| a b|)。 5.有理数比 (1)正数的绝对值越大，这个数就越大； (2)正数总是大于0，负数总是小于0； (3)正数大于所有负数； 【教材解读】七年级上册 第一章有理数-教学策略 一、本章学习目标 1.理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小。 2.能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道|a|的含义（这里a表示有理数）。 3.理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）. 4.理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算。 5.能运用有理数的运算解决简单的问题。 六、对本章教学的建议 1.做好与前两个学段的衔接 前两个学段学过自然数、正分数（即正有理数和0）及其运算的知识，还学过用字母表示数的知识，这些都是学习本章的基础。 实际上，前两个学段学过的数及运算的知识，就是有理数及其运算的知识，数的范围限制在“正数和0”.因此，本章内容的教学，首先要做好与以往算术知识和方法的衔接，在原有基础上自然引申出新的问题和思路。例如，对负数的认识，借助实际生活、生产中大量存在的“相反意义的量”，提出引入“新数”的需要，然后借助“大于0的数叫做正数”，自然引入“在正数前面加上符号“-”（负）的数叫做负数”；又如，有理数的运算，本质上是：先确定符号，再归结为正数和0之间的运算；再如，关于运算律的学习，也是在复习已有运算律的基础上展开新的学习的.总之，加强与前两个学段学过的数及运算的衔接，不仅有利于学生理解本章知识，而且也有利于培养学生提出问题的能力. 另外，本章渗透了用字母表示数的知识。例如，用-a表示a的相反数；用字母表示求一个数的绝对值的结论；用字母表示有理数的运算法则和运算律；等等，这样，既使问题阐述得更简明、更深入，也使学过的数与代数的知识得到巩固、加强和提高。 2.把握好教学要求 前面已指出，负数的引入是由具体数学向形式数学的第一次转折.数学家、数学教育家F.克莱因曾说过，“数学上最伟大的进展之一――负数及负数运算的引人，竟不是某一个人自觉的逻辑思考的创造.相反，它的缓慢的、有机的发展，是与事物广泛地打交道的结果，所以几乎好像是字母记号的运算把负数教给了人。过了很长一段时间，人才有了理性的认识，知道已经发现了某一正确的、与严格的逻辑相容的法则.”①由于个体对事物的认识进程要重演人类认识的进程，因此，学生对负数及运算的认识不能一蹴而就.所以，本章的教学一定要把握好教学要求，不要操之过急，要让学生慢慢地积累经验，给他们接受这些知识的时间。 ①[德]F.克莱因.高观点下的初等数学（第一卷）。算术代数分析，舒湘芹等译。上海：复旦大学出版社，2008，第20~21页。 首先，负数是从现实生活到数学的一个提炼过程，本质上是一个数学抽象的过程.因此，负数的教学必须充分发挥学生生活经验的作用，让学生有机会通过自己的举例、思考、探究，借助这些经验体会负数概念.不要过分地追求有理数概念的逻辑严谨性，特别是在开始阶段，不要给形式化的表示，只要学生知道有理数集包含哪几类数就可以。 其次，绝对值概念的学习也要有一个循序渐进的过程.与绝对值相关的一些知识，如数轴上两点之间距离的表示、绝对值不等式等，都是在后续学习中要专门安排的，因此这里不要涉及。本章安排绝对值概念，目的是为有理数运算作准备，会求一个数的绝对值就达到了本章要求。教科书中用字母表示求一个数的绝对值的结论，只是给出一个数的绝对值的符号表示，教学时不要对这个符号表示进行变式训练，更不要在绝对值中出现字母并加以讨论。 再次，有理数的加、减、乘、除、乘方运算中涉及的数应简单一些，特别是混合运算，课程标准明确提出“以三步以内为主”所以，在有理数运算的要求上，不要在数字的复杂性、运算技巧、运算速度等方面提出过高要求，应当加强的是用运算法则确定结果的符号、用运算律简化运算、运用有理数的运算解决简单实际问题等方面的训练，提高数学学习的层次，以更好地体现有理数 有理数的概念 一、本节学习指导 本节知识点比较多，同学们要认真学习并加以总结，用自己的语言来理解部分知识是有助于我们记忆的。对于本节的知识如果一时记不住也不要急，毕竟我们才刚刚进入初级数学的学习。本节有配套学习视频。 二、知识要点 1、正数和负数 （1）、大于0的数叫做正数。 （2）、在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。 （3）、数0既不是正数，也不是负数，0是正数与负数的分界。 （4）、在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有相反的意义。 2、有理数 (1)凡能写成分数形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数. 注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，如：-（-2）=4，这个时候的a=-2。 π不是有理数； (2)有理数的分类:①⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数②⎪⎪⎪⎩ ⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 (3)自然数＜====＞0和正整数；a ＞0 ＜====＞a 是正数； a ＜0 ＜====＞a 是负数； a ≥0＜====＞a 是正数或0＜====＞a 是非负数； a ≤0＜====＞a 是负数或0＜====＞a 是非正数. 3、数轴【重点】 （1）、用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。它满足以下要求： ①在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点； ②通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； ③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1,2,3…；从原点向左，用类似的方法依次表示-1,-2，-3… （2）、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。 （3）、画数轴的步骤：一画（画一条直线并选取原点）；二取（取正反向）；三选（选取单位长度）；四标（标数字）。数轴的规范画法：是条直线，数字在下，字母在上。 注意：所有的有理数都可以用数字上的点表示，但是数轴上的所有点并不都表示有理数。（4）、一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a 个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。 4、相反数 （1）、只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 ①注意：a-b+c的相反数是-a+b-c；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b； ②相反数的商为-1； ③相反数的绝对值相等。 （2）、一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，他们分别在原点的两侧，表示a和-a，我们说这两点关于原点对称。 （3）、a和-a互为相反数。0的相反数是0，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。相反数是它本身的数只有0。 （4）、在任意一个数前面添上“-”号，新的数就表示原数的相反数。 （5）、若两个数a、b互为相反数，就可以得到a+b=0；反过来若a+b=0，则a、b互为相反数。 （6）、多重符号的相乘由“-”的个数来定：若“-”的个数为偶数，相乘结果为正数；若“-“的个数为奇数，化简结果为负数。比如：-2×4×-3×-1×-5，首先由4个负号，所以最终结果是正数，再算数字相乘得到120 沪科版七年级上数学知识点总结（一） 2023年7月 第一章：有理数 一、有理数的意义 1-1正数和负数 1、为什么初中数学要引入负数？ 答：正数和负数是在实际需要中产生的，我们可以用正数和负数来表达相反意义的量。 2、在生产和生活中，相反意义的量重要有哪些？请列举： 答：常见的有：（1）温度高于0度记作“+”，低于0度记作“-”。（2）高度高于海平面记作“+”，低于海平面记作“-”。（3）高于正常水位记作“+”，低于正常水位记作“-”。（4）超过标准重量记作“+”，低于标准重量记作“-”。（5）储蓄中存入为正，取出为负。（6）收入为正，支出为负。（7）盈余为正，亏损为负。（8）上升为正，下降为负。（9）进为正，出为负。（10）增长为正，减少为负。（11）向东为正，向西为负。…… 3、你了解以下各种数的定义和范围吗？并举例。 正数：大于0的数，叫做正数。分为正整数和正分数。（a＞0） 负数：小于0的数，叫做负数。分为负整数和负分数。（a＜0） 0：既不是正数，也不是负数。 整数：正整数、0、负整数统称整数。 分数：正分数、负分数统称分数。 有理数：整数和分数统称有理数。 有理数又分为正有理数、0、负有理数。 非负数：通常又把0和正数称为非负数。（a≥0） 非正数：0和负数称为非正数。（a≤0） 4、有理数的两种分类方法是什么？ 1-2数轴、相反数和绝对值 1-2-1 数轴 1、什么是数轴？你能画好一条数轴吗？ 答：规定了原点、正方向、和单位长度的直线。 （所有的有理数都可以用数轴上的点表达。但数轴上的点并不是都表达有理数）。 2、数轴的三要素是什么？数轴的三要素有什么规定？ 答：原点（任意、标0）、正方向（向右、箭头）和单位长度（合适）。 七年级数学辅导讲义 数轴 ⒈数轴的概念 规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。 注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。 2.数轴上的点与有理数的关系 ⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。 ⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π不是有理数） 3.利用数轴表示两数大小 ⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大； ⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数； ⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。 4.数轴上特殊的最大（小）数 ⑴最小的自然数是0，无最大的自然数； ⑵最小的正整数是1，无最大的正整数； ⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数 5.a可以表示什么数 ⑴a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0； ⑵a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0 ⑶a=0表示a是0；反之，a是0,，则a=0 6.数轴上点的移动规律 根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。 相反数 ⒈相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。 注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负； ⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。 2.相反数的性质与判定 ⑴任何数都有相反数，且只有一个； ⑵0的相反数是0； ⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0 3.相反数的几何意义 在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。 说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。 4.相反数的求法 ⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）； ⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b）。化简得-5a-b）； ⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5的相反数是-（-5），化简得5) 5.相反数的表示方法 ⑴一般地，数a 的相反数是-a ，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。 当a>0时，-a<0（正数的相反数是负数） 《有理数》全章复习与巩固（提高）知识讲解 【学习目标】 1．理解正负数的意义，掌握有理数的概念. 2．理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算. 3．学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识. 4. 理解科学记数法及近似数的相关概念并能灵活应用； 5. 体会数学知识中体现的一些数学思想. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、有理数的相关概念 1．有理数的分类： （1）按定义分类：（2）按性质分类： 要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量； （2）有理数“0”的作用： 作用举例 表示数的性质0是自然数、是有理数 2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如π． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的． （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“-”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“-”号的个数若有偶数个时，化简结果为 正，若有奇数个时，化简结果为负． 4．绝对值： （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a 的绝对值记作a ． （2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离． 要点二、有理数的运算 1 ．法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a· 1 b (b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3， －[+（－3）]=3． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果 中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指 数为偶数，则幂为正，例如： 2 (3)9-=， 3 (3)27-=-． 2．运算律： （1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a ； ②乘法交换律:ab=ba ；初一数学第一章有理数-01有理数基本概念-辅导讲义
七年级数学上册北师版~第2讲《有理数的意义》
01-有理数的意义—初中数学知识点解读与提高
北师大版-数学-七年级上册-有理数 课标解读
有理数的意义包括知识点与配合练习
初中数学知识点――有理数
初中数学知识点——有理数
初一数学有理数知识点总结
初一数学——有理数知识点
初中数学知识点——有理数
初中数学部编人教版教材解读〖七年级上册第一章有理数-教学策略〗
七年级上册数学《有理数》有理数的概念 知识点整理
2023年沪科版七年级上数学知识点总结
初中七年级数学辅导讲义：《有理数》知识点总结及经典题型精讲
人教版初一数学上册《有理数》全章复习与巩固(提高)知识讲解