高考专题高三数学考前指导答案
2014届高三数学《考前指导》参考答案
专题二函数、导数
二、考题剖析
例1．解 (1)方程f (x )＝|m |，即|x －m |＝|m |. 此方程在x ∈R 时的解为x ＝0和x ＝2m .(2分)
要使方程|x －m |＝|m |在x ∈[－4，＋∞)上有两个不同的解．∴2m ≥－4且2m ≠0. 则m 的取值范围是m ≥－2且m ≠0.(5分)
(2)原命题等价于：对于任意x 1∈(－∞，4]，任意x 2∈[3，＋∞)， f (x 1)min ＞g (x 2)min .(7分)
对于任意x 1∈(－∞，4]，f (x 1)min ＝?
??
??
0 (m ≤4)，
m －4 (m ＞4).
对于任意x 2∈[3，＋∞)，g (x 2)min ＝?
????
m 2
－10m ＋9 (m ＜3)，
m 2
－7m (m ≥3).(9分)
①当m ＜3时，0＞m 2
－10m ＋9.(11分)∴1＜m ＜3.
②当3≤m ≤4时，0＞m 2
－7m .(13分)∴3≤m ≤4.
③当m ≥4时，m －4＞m 2
－7m .(15分)∴4≤m ＜4＋2 3 综上所述1＜m ＜4＋2 3.(16分)
例2．解:（I ）,2)(x
a
x x f -
='依题意]2,1(,0)(∈>'x x f ,即22x a <,]2,1(∈x . ∵上式恒成立,∴2≤a ① ………………2分
又x
a
x g 21)(-=',依题意)1,0(,0)(∈<'x x g ,即x a 2>,)1,0(∈x .
∵上式恒成立,∴.2≥a ② …………4分
由①②得2=a .
∴.2)(,ln 2)(2x x x g x x x f -=-=
…………5分
（II ）由(1)可知,方程2)()(+=x g x f ,.022ln 22=-+--x x x x 即 设22ln 2)(2-+--=x x x x x h ,,1
122)(x
x x x h +--
='则 令0)(>'x h ,并由,0>x 得,0)222)(1(>+++-x x x x x 解知.1>x
令,0)(<'x h 由.10,0<<>x x 解得 列表分析
知)(x h 在∴0)(=x h 在(0,+∞)上只有一个解.
即当x ＞0时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解.
…………10分
（III ）设2'
23122()2ln 2()220x x x bx x x b x x x
??=--+=---<则,
()x ?∴在(0,1]为减函数min ()(1)1210x b ??∴==-+≥又1b >- 所以：11≤<-b 为所求范围. …………16分
例3．解：（1）2
12S R θ=扇，21sin 2
OCD S R θ?=,21()(sin )2S f R θθθ==-弓. 又
1
2S Rl =扇，21sin 2OCD l S R R
?=,1()(sin )2l S g l R l R R ==-弓.
(2)设总利润为y 元，草皮利润为1y 元，花木地利润为2y ，观赏样板地成本为3y
21113()22y R lR π=-，221sin 82y R θ=?，31
(sin )22
y R l R θ=-?,
22221231111
3()sin 8(sin )22222
y y y y R R R R πθθθθ∴=+-=-+?--?.
21
[3(510sin )]2
R πθθ=--. 设()510sin g θθθ=-(0,)θπ∈.'()510cos g θθ=-,…………12分
'1()0,cos ,()2g g π
θθθθ<>∈在（0, ）
3上为减函数； '1()0,cos ,()2g g π
θθθθπ><∈在（，）
3
上为增函数. 当3
π
θ=
时，()g θ取到最小值,此时总利润最大.
答：当园林公司把扇形的圆心角设计成
3
π
时，总利润最大.
三、热身冲刺
1.解:解：（1）函数x
x x f ln )(=的定义域为),1()1,0(+∞ ，2ln 1
()ln x f x x -'=，……3分
令()0f x '=，解得e x =，列表
x
)1,0(
),1(e
e
),(+∞e
()f x '
－
－
+ )(x f 单调递减 单调递减 极小值)(e f
单调递增
所以极小值为)(e f ＝e ，无极大值.
（2）当0x ≤时，对任意0a ≠，不等式恒成立； 当0x >时，在x a
e x >两边取自然对数，得
ln x
x a
>， 1当01x <≤时，ln 0x ≤，当0a >，不等式恒成立；
如果0a <，ln 0x <，ln 0a x >，不等式等价于ln x
a x
<，
由(1)得，此时(,0)ln x
x
∈-∞，不等式不恒成立.
2当1x >时，ln 0x >，则0a >,不等式等价于ln x a x
<, 由(1)得，此时ln x
x
的最小值为e ，得0a e <<.…………14分
综上：a 的取值范围是0a e <<.
【说明】本题考查用导数判断函数单调性、求极值、对数函数的性质、转化化归思想、分类讨论思想、不等式的性质、恒成立问题处理方法
2．解：（1）22(2),,
()2(2),,x a x x a f x x x a x x a x x a ?+-?=-+=?-++
由()f x 在R 上是增函数，则2,22,2a a a a -?-???+???
≥≤即22a -≤≤，则a 范围为22a -≤≤；…4分
（2）由题意得对任意的实数[1,2]x ∈，()()f x g x <恒成立，
即1x x a -<，当[1,2]x ∈恒成立，即1x a x -<
，11x a x x
-<-<， 11x a x x x -<<+，故只要1
x a x
-<且1a x x <+在[1,2]x ∈上恒成立即可，
在[1,2]x ∈时，只要1x x -的最大值小于a 且1
x x
+的最小值大于a 即可，………6分
而当[1,2]x ∈时，21110x x x '?
?-=+> ??
?，1x x -为增函数，max 132x x ??-= ???；
当[1,2]x ∈时，21110x x x '?
?+=-> ??
?，1x x +为增函数，min 12x x ??+= ???，
所以3
22
a <<；…………………10分
（3）当22a -≤≤时，()f x 在R 上是增函数，则关于x 的方程()()f x t f a =不可能有三个不等的实数根；………11分
则当(2,4]a ∈时，由22(2),,
()(2),x a x x a f x x a x x a
?+-?=?-++
x a ≥时，2()(2)f x x a x =+-对称轴2
2
a x a -=<， 则()f x 在[,)x a ∈+∞为增函数，此时()f x 的值域为[(),)[2,)f a a +∞=+∞，
x a <时，2()(2)f x x a x =-++对称轴2
2
a x a +=<，
则()f x 在2,2a x +?
?∈-∞ ???为增函数，此时()f x 的值域为2(2),4a ??+-∞ ???， ()f x 在2,2a x a +??
∈????为减函数，此时()f x 的值域为2(2)2,4a a ??+ ???
；
由存在(2,4]a ∈，方程()()2f x t f a ta ==有三个不相等的实根，则2(2)22,4a ta a ??
+∈ ???，
即存在(2,4]a ∈，使得2(2)1,8a t a ??+∈ ??
?即可，令2(2)14()488a g a a a a +??
=
=++ ???， 只要使()max ()t g a <即可，而()g a 在(2,4]a ∈上是增函数，()max 9
()(4)8
g a g ==，
故实数t 的取值范围为91,8??
???
；…………………15分
同理可求当[4,2)a ∈--时，t 的取值范围为91,8??
???
；
综上所述，实数t 的取值范围为91,8??
???
．……………16分
专题三三角函数、平面向量
二、考题剖析
例1．解：（Ⅰ）),sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a
分
即分分6.5
3
)cos(.54)cos(224,5
5
2)sin (sin )cos (cos ,552||2).sin sin cos (cos 22 =-∴=--=-+-∴=
---=-∴βαβαβαβαβαβαb a （Ⅱ）分7.0,02
,2
0 πβαβππα<-<∴<<-<<
分分
分
12.65
33
)135(53131254sin )cos(cos )sin(])sin[(sin 9.13
12
cos ,135sin 8.5
4
)sin(,53)cos( =-?+?=-+-=+-=∴=∴-==-∴=-ββαββαββααβββαβα 例2．分析：由向量n m ,的关系可得三角形三个内角的正弦值的等量关系，再利用正弦定理可以实现边角的互化，再联立三角形周长等量关系可求得边c ；角C 的范围可由其余弦值确定。
解:（I ）由n m ⊥得：0sin 2sin sin =-+C B A ，由正弦定理可得：c b a 2=+，又
12+=++c b a ，可解得1=c ； （II ）由（I ）2=+b a ，则：
01)
(2
12112)(2cos 2
22222=-+≥-=--+=-+=b a ab ab c b a ab c b a C ，故20π≤ 例3.解：设n (, ),m n 1, 1.x y x y =?=-+=由有①……（1分） m 与n 夹角为 43π，有m ·n ＝|m |·|n |·43cos π， |n | 1∴=则1y x 2 2=+②……（3分） 由①②解得???=-=01y x 或???-==1 y x ∴即n (1, 0)=-或n (0, 1)=-……（6分） （Ⅱ）由n 与q 垂直知n (0, 1)=-……（7分） 由2B ＝A ＋C 知B ＝3π ，A ＋C ＝32π,3 2A 0π<< 若n (0, 1)=-,则n ＋p ＝)12 C cos 2,A (cos 2- ＝)C cos ,A (cos ∴222 1cos 21cos 2|n p | cos cos 22 A C A C +++=+=+ ＝)3 A 2cos(211)]A 234cos(A 2[cos 211π ++=-π++……（10分） ∵,353A 23,32A 0π<π+<ππ< < ∴当1)3 A 2cos(-=π+时,|n p |+取得最小值 即2 min 1|n p |,2 +=∴min 2|n p |2+=…………（12分） 三、热身冲刺 1．解:（I ）在△ABC 中有B+C=π－A ，由条件可得： 4[1－cos(B+C)]－4cos 2 A+2=7 又∵cos(B+C)=－cosA ∴4cos 2 A －4cosA+1=0 解得.3 ),,0(,21cos ππ=∴∈= A A A 又 解：（II ）由bc a c b bc a c b A 3)(,2 1 221cos 22222=-+=-+=即知 ) 12(.1 22123) 10(.2,3,3分或由分代入得又???==???==????==+==+=c b c b bc c b bc c b a 2．解:(1)(8,),820AB n t AB a n t =-⊥∴-+= 又 2225||||,564(3)5OB AB n t t =∴?=-+=,得8t =±（4分） (24,8)OB ∴=或(8,8)OB =-- (2)(sin 8,)AC k t θ=- AC 与a 向量共线,2sin 16t k θ∴=-+ 232sin (2sin 16)sin 2(sin )4k t k k k θθθθ=-+=--+ 4,104k k ∴>∴> >,∴当sin 4k θ=时，sin t θ取最大值为32 k （8分） 由 324k =，得8k =，此时,(4,8)6 OC π θ== (8,0)(4,8)32OA OC ∴?=?=（12分） 专题四不等式、数列 二、考题剖析 例1.分析：对于（2）注意到我们解决含参不等式问题的经验——特殊不等式与等式的等价性：|a+b|≤0|a+b|=0a+b=0； 前事不忘后事之师，又注意到上述不等式的特征：右边为0，所以这里欲由一个不等式确定两个实数a,b 的值，在运用特取手段时，首先选择使右式等于零的x 的值，解题的局面便是由此打开的。 解：（1）当a=-2,b=-8时，所给不等式左边=x 2+ax+b|=|x 2 -2x-8| ≤2|x 2-2x-8| =|2x 2 -4x-16|=右边 ∴此时所给不等式对一切x ∈R 成立 （2）注意到2x 2-4x-16=0x 2 -2x-8=0(x+2)(x-4)=0x=-2或x=4 ∴当x=-2或x=4时 |2x 2 -4x-16|=0 ∴在不等式|x 2+ax+b|≤|2x 2 -4x-16|中分别取x=-2，x=4得 又注意到（1）知当a=-2，b=-8时，所给不等式互对一切x R 均成立。 ∴满足题意的实数a,b 只能a=-2,b=-8一组 （3）由已知不等式x2-2x-8≥(m+2)x-m-15 对一切x>2成立 x2-4x+7≥m(x-1)对一切x>2成立 ① 令 ② 则（1）m ≤g(x)的最小值 又当x>2时，x-1>0 （当且仅当时等号成立） ∴g(x)的最小值为6（当且仅当x=3时取得） ③ ∴由②③得 m ≤2 ∴所求实数m 的取值范围为（-∞，2] 点评：对于（2），应注意品悟，取特殊值的目的性；对于（3）应注意品悟不等式当x>2时恒成立的转化的等价性。 例2．解：表示比例系数，其中的质量分数，则表示流出的水中该杂质设0>=k ab k y y ，欲求y 的最小值，只需求ab 的最大值。 由已知，得，24260ab b a a b R ++=∈+()∴b a a a = -+<<302030() 2 64) 2(234)2642(342302++-≤+++-=+-=a a a a a a a ab ·∴=-=341618 当且仅当，即时，上式取等号，a a a +=+=264 2 6相应地，，b a ==36 ∴当a=6米，b=3米时，经该箱沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。 例3．解：（I ）}{n a 为等差数列，5243a a a a +=+∴=22. 011722,,11724343=+-∴=?x x a a a a 是方程 的两实根， .,043a a d <∴>公差 .13,943==∴a a 34,41 1339 2111 -=∴? ??==???=+=+n a d a d a d a n . ……………4分 （II ）由（I ）知c n n n c n S b n n n n n S n n n +-=+=∴-=?-+=22 2,242)1( }{.315 ,26,11321n b c b c b c b +=+=+=∴是等差数列，,2212b b b +=∴ ),,0(2 1 ,02,315112262舍去即=-==++++=?+c c c c c c c .2 1 -=∴c 故 ………………8分 （III ）由（II ）得 ,22 122n n n n b n =- -= 221()36(36)2(1)(36)(1)373637n n n f n n n n n n n n n ∴= === +?++++++ +1,49 ≤= ∴当且仅当6,36== n n n 即时取“等号”..49 1 )(max =∴n f …………12分 三、热身冲刺 1．解：}{n a 为等差数列，∵184251=+=+a a a a ， 又6542=?a a ，∴2a ，4a 是方程065182 =+-x x 的两个根 又公差0>d ，∴42a a <，∴52=a ，134=a . ∴11 5,313,a d a d +=??+=?∴11, 4.a d ==∴34-=n a n .…………5分 （2）由121i <<,211,,a a a i 是某等比数列的连续三项，2 211i a a a =?∴， 即2 )34(811-=?i ，解得3=i . （3）由(1)知，n n n n n S n -=?-+ ?=2242 ) 1(1, 假设存在常数k ，使数列为等差数列， 【法一】由2231231?+?=?++?+k S k S k S ， 得26231511?+?=?++?+k k k ,解得1=k . n n kn S n 222==+∴, 易知数列为等差数列. 【法二】假设存在常数k ，使数列 为等差数列，由等差数列通项公式可知 an b =+， 得222(1)2n k n an abn b +-=++恒成立，可得2,0,1a b k ===. n n kn S n 222==+∴, 易知数列为等差数列. 【说明】本题考查等差、等比数列的性质，等差数列的判定，方程思想、特殊与一般思想、待定系数法. 2．（1）证：1211 1111 [1()] 112[1()]1321() 2 n n n a S S S a S ----=+=-----≤，当n=1时，等号成立 2322212 1 [1()] 112[1()]1621() 2 n n n a S S S a S ----=+=+----≥，当n=2时，等号成立 ∴S 2≤S n ≤S 1． （2）解：1121112||||2011 ||||||2n n n n n n n T a a a a a T a a a +++=== ∵ 1110 20112011 122<<，∴当n ≤10时，|T n+1|>|T n |，当n ≥11时，|T n+1|<|T n | 故|T n |max =|T 11| 又T 10<0，，T 11<0，T 9>0，T 12>0，∴T n 的最大值是T 9和T 12中的较大者 ∵1031210111291 [2011()]12 T a a a T ==->，∴T 12>T 9 因此当n=12时，T n 最大． （3）证：∵11 2011()2 n n a -=-，∴|a n |随n 增大而减小，a n 奇数项均正，偶数项均负 ①当k 是奇数时，设{a n }中的任意相邻三项按从小到大排列为12k k k a a a ++，，，则 1111111()()222k k k k k a a a a a -++=-+-=，11 21 122()22 k k k a a a ++=-=， ∴122k k k a a a +++=，因此12k k k a a a ++，，成等差数列， 公差112111311 [()()]222 k k k k k k a d a a a ++++=-=---= ②当k 是偶数时，设{a n }中的任意相邻三项按从小到大排列为21k k k a a a ++，，，则 1111111()()222k k k k k a a a a a -++=-+-=-，1 121 122()22k k k a a a ++=-=-， ∴122k k k a a a +++=，因此21k k k a a a ++，，成等差数列， 公差111211311 [()()]222 k k k k k k a d a a a +-++=-=---= 综上可知，{}n a 中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，且11 32 k k a d +=∵12n n d d -=，∴数列{d n }为等比数列． 专题五立体几何解析几何 二、考题剖析 例1．分析：本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。 解：（1）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，BC ?平面ABCD ，所以PD ⊥BC 。 由∠BCD=900 ，得CD ⊥BC ， 又PD DC=D ，PD 、DC ?平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD 。 因为PC ?平面PCD ，故PC ⊥BC 。 （2）（方法一）分别取AB 、PC 的中点E 、F ，连DE 、DF ，则： 易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D 、E 到平面PBC 的距离相等。 又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍。 由（1）知：BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC ， 因为PD=DC ，PF=FC ，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥平面PBC 于F 。 易知DF= 2 2 ，故点A 到平面PBC 的距离等于2。 （方法二）体积法：连结AC 。设点A 到平面PBC 的距离为h 。 因为AB ∥DC ，∠BCD=900，所以∠ABC=900 。 从而AB=2，BC=1，得ABC ?的面积1ABC S ?=。 由PD ⊥平面ABCD 及PD=1，得三棱锥P-ABC 的体积1133 ABC V S PD ?=?=。 因为PD ⊥平面ABCD ，DC ?平面ABCD ，所以PD ⊥DC 。 又PD=DC=1，所以222PC PD DC = +=。 由PC ⊥BC ，BC=1，得PBC ?的面积2 2 PBC S ?=。 由A PBC P ABC V V --=，11 33 PBC S h V ?==，得2h =， 故点A 到平面PBC 的距离等于2。 例2.解：（1）由题意可知，可行域是以12(2,0),(2,0)A A -及点(1,3)M 为顶点的三角形， ∵12A M A M ⊥，∴12A A M ?为直角三角形， ∴外接圆C 以原点O 为圆心，线段A 1A 2为直径，故其方程为2 2 4x y +=． ∵2a =4，∴a =2． 又2 e = ，∴2=c ，可得2b =． ∴所求椭圆C 1的方程是22 142 x y +=． （2）直线PQ 与圆C 相切． 设000(,)(2)P x y x ≠±，则22 004y x =-． 当02x =时，1),0,22(),2,2(-=?±PQ OP k k Q P ，∴OP PQ ⊥； 当02x ≠时，0 0002 ,2 y x k x y k OQ PF -- =∴-= ∴直线OQ 的方程为00 x y x y =- ． 因此，点Q 的坐标为)4 22,22(0 0x y x -- ． ∵,) 22()22() 22(422224 20 0000002 00 00y x x y x x x y y x x y y x k PQ - =--= -+-= ---- = ∴当00x =时，0PQ k =，OP PQ ⊥； 当00x ≠时候，0 OP y k x = ，∴1,PQ OP k k OP PQ =-⊥． 综上，当02x ≠±时候，OP PQ ⊥，故直线PQ 始终与圆C 相切． 例3．解：建立如图所示的直角坐标系，⊙O 的方程为2 2 4x y +=， 直线L 的方程为4x =。 （1）∵∠PAB=30°，∴点P 的坐标为 ，∴ :2)AP l y x =+ ，:2)BP l y x =-。将x=4 代入，得(4,(4,M N -。∴MN 的中点坐标 为（4，0）， MN=MN 为直径的圆的方程为 22(4)12x y -+=。 同理，当点P 在x 轴下方时，所求圆的方程仍是 22(4)12x y -+=。 （2）设点P 的坐标为00(,)x y ，∴22 004 x y +=（00y ≠），∴2 2 004y x =-。 ∵0000:(2),:(2)22PA PB y y l y x l y x x x = +=-+-，将x=4代入，得0 062 M y y x =+， 0022N y y x = -。∴000062(4,),(4,)22y y M N x x +-，MN=000 000 446222x y y x x y --= +-。MN 的中点坐标为00 4(1) (4,)x y -- 。 以MN 为直径的圆/ O 截x 轴的线段长度为= 0= == ∴⊙/ O 必过⊙O 内定点(4-。 三、热身冲刺 1．解：（1）依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线4x -=的距离， 即 2r = =． 得圆O 的方程为22 4x y +=． （2）不妨设1212(0)(0)A x B x x x <，， ，，．由24x =即得 (20)(20)A B -，，，． 设()P x y ，，由PA PO PB ，，成等比数列，得 2 222(2)x x y -+=+， 即 2 2 2x y -=． (2)(2)PA PB x y x y =-----，， 222 42(1). x y y =-+=- 由于点P 在圆O 内，故22 22 42. x y x y ?+ 由此得2 1y <． 所以PA PB 的取值范围为[20)-，． 2．解：（1）因为BD //平面EFGH ，BDC EFGH FG =平面平面，所以BD //FG ． 同理BD //EH ，又因为EH FG =， 所以四边形EFGH 为平行四边形， 所以HG //EF ，又HG ABC ?平面， 所以HG ABC 平面．……………………………………………………6分 （2）在ABC 平面内过点E 作EP AC ⊥，且交AC 于P 点， 在ACD 平面内过点P 作PQ AC ⊥，且交AD 于Q 点， 连结EQ ，则EQ 即为所求线段．………………………………………………10分 证明如下： EP AC AC EPQ PQ AC EQ AC EQ EPQ EP PQ P ⊥? ?⊥? ?⊥?⊥?????=? 平面平面…………………………………14分 专题五应用题 二、考题剖析 例1．解：设中间区域矩形的长、宽分别为x 、y ，中间的矩形区域面积为S ． 则半圆的周长为 2 y π，因为操场周长为400，所以224002 y x π+? =，即 2400x y π+=． ∴211220000 (2)()()222x y S xy x y πππππ +==??≤?= ， 由22400x y x y ππ=??+=?，，解得100200x y π=???=??，．当100200x y π=???=?? ， 时等号成立． 设计矩形的长为100m 宽约为200 π （637≈．）m 时，矩形面积最大． 例2．解：轮船从C 到B 用时80分钟，从B 到E 用时20分钟， 而船始终匀速前进，由此可见：BC=4EB ，设EB=x ，则 则BC=4x ，由已知得0 30,150BAE EAC ∠=∠= 在△AEC 中，由正弦定理得： sin sin sin sin EC AE AE EAC C EAC C EC ?∠=∴= ∠0 5sin150152x x == 在△ABC 中，由正弦定理得： 0sin120sin BC AB C = 01 4sin sin1202 x BC C AB ? ?∴= ==在△ABE 中，由余弦定理得：22202cos30BE AB AE AB AE =+-?? 16312525,3323BE =+ -??==故 所以船速3BE v t = == 例3.解：（Ⅰ）对于函数sin()y A x ωφ=+,由图象知 ,224(85)6 A T πππω====-4分 将B 代入到sin()6y x πφ=+中,得52()62k k Z ππφπ+=+∈,又||2π φ<, 所以 π φ=-,故sin()63y x ππ=-………………………………………7分 (Ⅱ)在sin()6 3 y x ππ=-中令4x =,得(4,4)A ,得曲线OA 的方程为2 4(04)y x x =≤≤9分 设点2(,)(04)4t P t t ≤≤,则矩形PMFE 的面积为2 (4)4 t S t =-(04)x ≤≤…… 11分 因为2 344 t S '=-,由0S '=, 得t ,且当t ∈时,0S '>,S 递增;当4) t ∈ 时,0S '<,S 递减, 所以当3t = 时,S 最大,此时点P 的坐标为4(, 33 ………14分 三、热身冲刺 1．解：（1）在221(1)(0)20y kx k x k =- +>中，令0y =，得221 (1)=020 kx k x -+。 由实际意义和题设条件知00x>k >，。 ∴2202020===10112 k x k k k ≤++，当且仅当=1k 时取等号。 ∴炮的最大射程是10千米。 （2）∵0a >，∴炮弹可以击中目标等价于存在0k >，使221 (1)=3.220 ka k a -+成立， 即关于k 的方程222 2064=0a k ak a -++有正根。 由()() 2 22=204640a a a ?--+≥得6a ≤。 此时， 0k （不考虑另一根） 。 ∴当a 不超过6千米时，炮弹可以击中目标。 2．解：（1）设投资为x 万元，A 产品的利润为f(x)万元，B 产品的利润为g(x)万元． 由题设x k x g x k x f 21)(,)(== 由图知4 14 1 )1(1=∴= k f 255(4),24g k = ∴=又，1:()(0)()0)4f x x x g x x =≥=≥从而， （2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入10－x 万元；设企业利润为y 万元。 ()(10)(010)4x y f x g x x =+-= ≤≤， 221051565 ,()(0444216 t t y t t t -==+=--+≤≤则 max 56525,4,10 3.752164 t y x ==≈=-=当时此时 答：当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元时,企业获得最大利润约4万元。 3．解：（1） tan tan H H AD AD ββ=?=，同理：tan H AB α =，tan h BD β=。 AD —AB=DB ，故得tan tan tan H H h βαβ-=，解得：tan 4 1.24124tan tan 1.24 1.20 h H αβα?===--。 因此，算出的电视塔的高度H 是124m 。 （2）由题设知d AB =，得tan ,tan H H h H h d AD DB d αβ-= === ， 2tan tan tan()()1tan tan ()1H H h hd h d d H H h H H h d H H h d d d αβαβαβ-- --==== --+?+-+ ?+ ()H H h d d -+ ≥ （当且仅当d = = 故当d =tan()αβ-最大。 因为02 π βα<<< ，则02 π αβ<-< ，所以当d =时，α-β最大。 故所求的d 是。 2019届高三数学《考前指导》参考答案 专题二 函数、导数 二、考题剖析 例1．解 (1)方程f(x)＝|m|，即|x －m|＝|m|. 此方程在x ∈R 时的解为x ＝0和x ＝2m.(2分) 要使方程|x －m|＝|m|在x ∈[－4，＋∞)上有两个不同的解． ∴2m≥－4且2m≠0. 则m 的取值范围是m≥－2且m≠0.(5分) (2)原 f(x 1)min ＞g(x 2)min .(7分) 对于任意x 1∈(－∞，4]，f(x 1)min ＝? ?? ?? ， m －＞ 对于任意x 2∈[3，＋∞)，g(x 2)min ＝???? ? m 2 －10m ＋9 ＜ ， m 2 － (9分) ①当m ＜3时，0＞m 2 －10m ＋9.(11分) ∴1＜m ＜3. ②当3≤m≤4时，0＞m 2 －7m.(13分) ∴3≤m≤4. ③当m≥4时，m －4＞m 2 －7m.(15分) ∴4≤m＜4＋2 3 综上所述1＜m ＜4＋2 3.(16分) 例2．解: （I ）,2)(x a x x f - ='依题意]2,1(,0)(∈>'x x f ,即22x a <,]2,1(∈x . ∵上式恒成立,∴2≤a ① ………………2分 又x a x g 21)(-=',依题意)1,0(,0)(∈<'x x g ,即x a 2>,)1,0(∈x . ∵上式恒成立,∴.2≥a ② …………4分 由①②得2=a . ∴.2)(,ln 2)(2x x x g x x x f -=-= …………5分 （II ）由(1)可知,方程2)()(+=x g x f ,.022ln 22=-+--x x x x 即 设22ln 2)(2-+--=x x x x x h ,,1122)(x x x x h +--='则 令0)(>'x h ,并由,0>x 得,0)222)(1(>+++-x x x x x 解知.1>x 令,0)(<'x h 由.10,0<<>x x 解得 列表分析 知)(x h 在∴0)(=x h 在(0,+∞)上只有一个解. 即当x ＞0时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解. …………10分 （III ）设2 ' 23 122()2ln 2()220x x x bx x x b x x x ??=--+ =---<则, ()x ?∴在(0,1]为减函数min ()(1)1210x b ??∴==-+≥ 又1b >- 所以：11≤<-b 为所求范围. …………16分 2010年高考数学考前提醒100条 1. 注意区分集合中元素的形式：① {}x x y x -=2 |，②{ }x x y y -=2|，③{}x x y y x -=2 |),(，④{}02 =-x x ⑤ {}0|2 =-x x x 如⑴{|3}M x y x ==+， N ＝{ }2 |1,y y x x M =+∈，则M N =___（答：[1,)+∞） ；⑵{|(1,2)(3,4)} M a a R λλ==+∈，{|(2,3)(4,5)N a a λ==+，}R λ∈，则=N M _____（答：)}2,2{(--） 2. 遇到B A ?或 ?=B A 不要遗忘了?=A 的情况，如：⑴}0158|{2=+-=x x x A ，，}01|{=-=ax x B 若 A B ?，求实数a 的值.(不要遗忘a =0的情况)⑵}012|{2=--=x ax x A ，如果φ=+R A ，求a 的取值。（答：a ≤ 0） ⒊ ⑴{x|x=2n-1，n ∈Z}={x|x=2n+1，n ∈Z}={x|x=4n ±1，n ∈Z}⑵{x|x=2n-1，n ∈N}≠{x|x=2n+1，n ∈N} 4. C U (A ∩B)=C U A ∪C U B; C U (A ∪B)=C U A ∩C U B 5. A ∩B=A ?A ∪B=B ?A ?B ?C U B ?C U A ?A ∩C U B=??C U A ∪B=U ⒍ 原命题: p q ?;逆命题: q p ?;否命题: p q ???；逆否命题: q p ???；互为逆否的两个命题是等价的. 如：“βα sin sin ≠”是“β α≠”的 条件。（答：充分非必要条件） ⒎ 注意命题 p q ?的否定与它的否命题的区别: 命题p q ?的否定是p q ??；否命题是p q ??? 命题“p 或q ”的否定是“┐p 且┐q ”，“p 且q ”的否定是“┐p 或┐q ” ⒏ 注意下面几个命题的真假：⑴“一定是”的否定是“一定不是”（真）；⑵若|x|≤3，则x ≤3；（真）⑶若x+y ≠ 3，则x ≠1或y ≠2；（真）⑷若p 为lgx ≤1，则┐p 为lgx>1；（假）⑸若A={x|x ≠1}∪{y|y ≠2},B=(-∞,1)∪(1,2)∪(2,+∞),则A=B.(假) ⒐ 在映射f ：A →B 中满足两允许，两不允许：允许B 中有剩余元素，不允许中有剩余元素A ；允许多对一，不允许一对多. 10. ⑴A={(x,y)|x=a},B={(x,y)|y=f(x)},则A ∩B 中至多有一个元素;⑵若f(x)存在反函数,则方程f(x)=a 至多有一个实根. 11. 函数的几个重要性质：①如果函数()x f y =对于一切R x ∈，都有()()x a f x a f -=+，那么函数()x f y =的图象关 于直线a x =对称?()y f x a =+是偶函数； ②若都有()()x b f x a f +=-，那么函数()x f y =的图象关于直线2 b a x +=对称；函数()x a f y -=与函数()x b f y +=的图象关于直线2 b a x -= 对称；③函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=x 对称；函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=y 对称；函数()x f y =与函数()x f y --=的 图象关于坐标原点对称；④若奇函数()x f y =在区间()+∞,0上是增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上也是增函数；若偶函 数 ()x f y =在区间()+∞,0上是增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上是减函数； 12. 求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？ 13 函数与其反函数之间的一个有用的结论： ()().b f 1a b a f =?=-原函数与反函数图象的交点不全在y=x 上，如y=1+2x-x 2 （x ≥1）和其反函数图象的交点有3个：（1，2），（2，1），（ 2 51+， 2 5 1+）. 14 原函数 ()x f y =在区间[]a a ,-上单调递增，则一定存在反函数，且反函数()x f y 1-=也单调递增；但一个函数存在反函 数，此函数不一定单调． 15 判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？奇偶性：f(x)是偶函数 ?f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数?f(-x)=-f(x); 高考考前数学120个提醒 一、集合与逻辑 1、（Ⅰ）区分集合中元素的形式：如：{}x y x lg |=—函数的定义域；{}x y y lg |=—函数的值域； {}x y y x lg |),(=—函数图象上的点集，如（1）设集合{|3}M x y x ==+，集合N ＝ {}2 |1,y y x x M =+∈，则M N =___（答：[1,)+∞） ；（2）设集合{|(1,2)(3,4),}M a a R λλ==+∈，{|(2,3)(4,5)N a a λ==+，}R λ∈，则=N M _____（答：)}2,2{(--）（Ⅱ）（1） M ={}R a x ax y a 的定义域为)lg(2+-=，求M ；（2）N ={} R a x ax y a 的值域为)lg(2+-=。 解：（1）02 >+-a x ax 在R x ∈恒成立，①当0=a 时，0>-x 在R x ∈不恒成立；②当0≠a 时， 则???<->04102a a ??? ???>-<>21210a a a 或?21>a ∴M =??? ??+∞,21；（2）a x ax +-2能取遍所有的正实数。①当0=a 时，x -R ∈；②当0≠a 时，则???≥->04102a a ??????≤≤->212 10a a ?210≤c f ，求实数p 的取值范围。 （答：3 (3,)2 -） 4、充要条件与命题：（1）充要条件：①充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件。②必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件。③充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件。注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然。（2）四种命题：①原命题：p q ?；②逆命题：q p ?；③否命 题：p q ???；④逆否命题：q p ???；互为逆否的两个命题是等价的。 如：“βαsin sin ≠”是“βα≠”的 条件。（答：充分非必要条件）（3）若p q ?且q p ≠；则p 是q 的充分非必要条件（或q 是p 的必要非充分条件）；（4）注意命题p q ?的否定与它的否命题的区别：① 命题p q ?的否定是p q ??；②否命题是p q ???；③命题“p 或q ”的否定是“┐P 且┐Q ”；④“p 且q ”的否定是“┐ P 或┐Q ”。（5）注意：如 “若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是“若a 和b 不都是偶数，则b a +是奇数”；否定是“若a 和b 都是偶数，则b a +是奇数”。 2019年高考数学考前3小时提醒 1、相信自己，相信我们平时的复习都是很全面、很扎实的！遇到设问新颖的试题，千万不要着急， 2、开考前5分钟，全面浏览一下试卷，做到心中有数儿，然后看选择题前5道和填空题前3道，争取口算、默算出结果或者找到思路、方法，开考铃声一响就能将这8道题秒杀！！！ 3、对于第8题、第14题，读完题能够有思路就做，最多给5分钟时间，还做不出结果，一定要先放弃！赶快做前三个解答。 4、第一题无论考什么类型的题，都是第一题的难度！ 5、三角函数热点公式：2222cos2cos sin 2cos 112sin θθθθθ=-=-=-，其变形： 21cos2sin 2θθ-=，21cos2cos 2 θθ+=；注意44sin cos θθ-和44sin cos θθ+的化简， 6、三角函数图象变换：sin 2sin(2)3x x π→-如何变换：沿x 轴向右平移6π个单位， 注意：“要得到········，只需将······平移······”注意“是由谁变到谁？” 7、基本不等式链： 2 min{,}max{,}112a b a b a b a b +≤≤≤≤≤+，知道其中一个的值，就可以求其它式子的范围或最值。但凡用到均值不等式求最值，一定要写“当且仅当·····”，包括解答题中！ 想到平面向量中的两个不等式式：||||||||||-≤±≤+a b a b a b （注意等号成立的条件！） ||||||||-?≤?≤?a b a b a b （数量积小于等于模之积）注意等号成立条件！ 8、遇到函数问题，先考虑定义域； 求极值、最值、零点问题，先利用导数分析函数的单调性！ 遇到不等式恒成立问题时，要先变形不等式，再设新函数，如果参变分离时就得讨论参数范围，还不如不参变分离； 遇到证明不等式，一定要先分析后构造：“要证·····，只需证····，只需证·····” 直到能轻松构造函数为止。 9、设直线y kx m =+时，要注意斜率不存在的情况，根据问题决定“先一般后特殊”还是“先特殊后一般”； 遇到动直线过x 轴上一点(,0)m 时，可以考虑设直线：“x h y m =+”，但是要思考该直线与 x 重合时的情形，看题目中有没有“不与x 轴重合”等字样，然后再思考“先一般后特殊”还是“先特殊后一般”； 10、立体几何的折叠问题：一定要注意：折叠前后的“变”与“不变”都哪些位置关系和数量关系；注意求“直线与平面所成角的正弦时，要先设线面角为θ，然后有 s i n |c o s ,||||| A B n A B n A B n θ?=??=?” 对于应用题、数学文化题、创新题，一定要读题三遍！！！ 注意：做选择题的方法与技巧：排除法、特殊值特殊图形法、代入检验法！！！ 祝你成功！轻松突破130分！加油！优秀的经纶毕业生！！！2019届高三数学考前指导答案
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