线面、面面平行的判定和性质随堂练习[附含答案解析]

线面、面面平行的判定与性质

基础巩固强化

1.(文)(2011·北京海淀期中)已知平面α∩β＝l，m是α内不

同于l的直线，那么下列命题中错误

．．的是( )

A．若m∥β，则m∥l B．若m∥l，则m∥β

C．若m⊥β，则m⊥l D．若m⊥l，则m⊥β

[答案] D

[解析]A符合直线与平面平行的性质定理；B符合直线与平面平行的判定定理；C符合直线与平面垂直的性质；对于D，只有α⊥β时，才能成立．

(理)(2011·泰安模拟)设m、n表示不同直线，α、β表示不同平面，则下列命题中正确的是( )

A．若m∥α，m∥n，则n∥α

B．若m?α，n?β，m∥β，n∥α，则α∥β

C．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β

D．若α∥β，m∥α，n∥m，n?β，则n∥β

[答案] D

[解析]A选项不正确，n还有可能在平面α内，B选项不正确，平面α还有可能与平面β相交，C选项不正确，n也有可能在平面β内，选项D正确．

2．(文)(2011·邯郸期末)设m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是( )

A．若m?α，n?α，且m∥β，n∥β，则α∥β

B．若m∥α，m∥n，则n∥α

C．若m∥α，n∥α，则m∥n

D．若m，n为两条异面直线，且m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β

[答案] D

[解析]选项A中的直线m，n可能不相交；选项B中直线n可能在平面α内；选项C中直线m，n的位置可能是平行、相交或异面．(理)(2011·浙江省温州市测试)已知m，n，l为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A．α∥β，m?α，n?β?m∥n

B．l⊥β，α⊥β?l∥α

C．m⊥α，m⊥n?n∥α

D．α∥β，l⊥α?l⊥β

[答案] D

[解析]对于选项A，m，n平行或异面；对于选项B，可能出现l?α这种情形；对于选项C，可能出现n?α这种情形．故选D.

3．(2011·宁波模拟)已知直线l、m，平面α、β，则下列命题中的假命题是( )

A．若α∥β，l?α，则l∥β

B．若α∥β，l⊥α，则l⊥β

C．若l∥α，m?α，则l∥m

D．若α⊥β，α∩β＝l，m?α，m⊥l，则m⊥β

[答案] C

[解析]对于选项C，直线l与m可能构成异面直线，故选C.

4．(2011·广东揭阳模拟)若a不平行于平面α，且a?α，则下列结论成立的是( )

A．α内的所有直线与a异面

B ．α内与a 平行的直线不存在

C ．α内存在唯一的直线与a 平行

D ．α内的直线与a 都相交 [答案] B

[解析] 由条件知a 与α相交，故在平面α内的直线与a 相交或异面，不存在与a 平行的直线．

5．(2012·石家庄二模)三棱锥的三组相对的棱(相对的棱是指三棱锥中成异面直线的一组棱)分别相等，且长分别为2、m 、n ，其中

m 2＋n 2＝6，则该三棱锥体积的最大值为( )

A.12

B.8327

C.33

D.23

[答案] D

[解析] 令m ＝n ，由m 2＋n 2＝6得m ＝n ＝3，取AB 的中点E ，则BE ＝22，PB ＝3，∴PE ＝102，CE ＝10

2

，∴EF ＝2，

∴V P －ABC ＝13S △PEC ·AB ＝13×(12×2×2)×2＝23，∵23>12，∴23>33，

23>83

27

，故选D.

6．(2011·苏州模拟)下列命题中，是假命题的是( )

A．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面

B．平面α∥平面β，a?α，过β内的一点B有唯一的一条直线b，使b∥a

C．α∥β，γ∥δ，α、β与γ、δ的交线分别为a、b和c、d，则a∥b∥c∥d

D．一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件

[答案] D

[解析]三角形的任意两边必相交，故三角形所在的平面与这个平面平行，从而第三边也与这个平面平行，∴A真；假设在β内经过B点有两条直线b、c都与a平行，则b∥c，与b、c都过B点矛盾，故B真；∵γ∥δ，α∩γ＝a，α∩δ＝b，∴a∥b，同理c∥

d；又α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝c，∴a∥c，∴a∥b∥c∥d，故

C真；正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与平面AA1D1D和平面CC1D1D所成角相等，但平面AA1D1D∩平面CC1D1D＝DD1，故D假．

7．(2012·北京东城区综合练习)在空间中，有如下命题：

①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；

②若平面α∥平面β，则平面α内任意一条直线m∥平面β；

③若平面α与平面β的交线为m，平面α内的直线n⊥直线m，则直线n⊥平面β；

④若平面α内的三点A、B、C到平面β的距离相等，则α∥β.

其中正确命题的序号为________．

[答案]②

[解析]①中，互相平行的两条直线的射影可能重合，①错误；

②正确；③中，平面α与平面β不一定垂直，所以直线n就不一定垂直于平面β，③错误；④中，若平面α内的三点A、B、C在一条直线上，则平面α与平面β可以相交，④错误．

8．(2011·福建文，15)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．

[答案] 2

[解析]∵EF∥平面AB1C，

平面ABCD经过直线EF与平面AB1C相交于AC，∴EF∥AC，

∵E为AD的中点，∴F为CD的中点，

∴EF＝1

2AC＝

1

2

×22＝ 2.

9．(2011·郑州一检)已知两条不重合的直线m、n，两个不重合的平面α、β，有下列命题：

①若m∥n，n?α，则m∥α；

②若n⊥α，m⊥β，且n∥m，则α∥β；

③若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；

④若α⊥β，α∩β＝m，n?β，n⊥m，则n⊥α.

其中正确命题的序号是________．

[答案]②④

[解析]对于①，直线m可能位于平面α内，此时不能得出m ∥α，因此①不正确；对于②，由n⊥α，m∥n，得m⊥α，又m⊥

β，所以α∥β，因此②正确；对于③，直线m ，n 可能是两条平行

直线，此时不一定能得出α∥β，因此③不正确；对于④，由“如果两个平面相互垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面”可知，④正确．综上所述，其中正确命题的序号是②④.

10．(文)(2012·辽宁文，18)如图，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA ′＝1，点M 、N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．

(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′；

(2)求三棱锥A ′－MNC 的体积(锥体体积公式V ＝1

3Sh ，其中S 为

底面面积，h 为高)．

[分析] (1)欲证MN ∥平面A ′ACC ′，须在平面A ′ACC ′内找到一条直线与MN 平行，由于M 、N 分别为A ′B ，B ′C ′的中点，B ′C ′与平面A ′ACC ′相交，又M 为直三棱柱侧面ABB ′A ′的对角线A ′B 的中点，从而M 为AB ′的中点，故MN 为△AB ′C ′的中位线，得证．(2)欲求三棱锥A ′－MNC 的体积，注意到直三棱柱的特殊性和点M 、N 为中点，可考虑哪一个面作为底面有利于问题的解决，视A ′MC 为底面，

则S△A′MC＝1

2

S△A′BC，∴V A′－MNC＝

1

2

V N－A′BC，又V N－A′BC＝V A′－NBC，易知A′N

为三棱锥A′－NBC的高，于是易得待求体积．

[解析](1)连结AB′，AC′，由已知∠BAC＝90°，

AB＝AC，三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱，

所以M为AB′中点．

又因为N为B′C′的中点，

所以MN∥AC′.

又MN?平面A′ACC′，

AC′?平面A′ACC′，

因此MN∥平面A′ACC′.

(2)连结BN，由题意A′N⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B′BCC′＝B′C′，所以A′N⊥平面NBC.

又A′N＝1

2

B′C′＝1，

故V A′－MNC＝V N－A′MC＝1

2

V N－A′BC＝

1

2

V A′－NBC＝

1

6

.

[点评] 本题考查了线面平行的证明，锥体的体积两方面的问题，对于(1)还可以利用面面平行(平面MPN∥平面A′ACC′，其中P 为A′B′的中点)来证明；

(2)还可利用割补法求解．

(理)(2012·浙江文，20)如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD －A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，BC＝4，AA1＝2，E 是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．

(1)证明：①EF∥A1D1；

②BA1⊥平面B1C1EF；

(2)求BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值．

[分析] (1)①欲证EF∥A1D1，∵B1C1∥A1D1，∴只需证EF∥B1C1，故由线面平行的性质定理“线面平行?线线平行”可推证．

②要证BA1⊥平面B1C1EF，需证BA1⊥B1C1，BA1⊥B1F，要证BA1⊥B1C1，只需证B1C1⊥平面AA1B1B，要证BA1⊥B1F，通过在侧面正方形AA1B1B 中计算证明即可．

(2)设BA1与B1F交于点H，连结C1H，则∠BC1H就是所求的角．

[解析](1)①∵C1B1∥A1D1，C1B1?平面ADD1A1，

∴C1B1∥平面A1D1DA.

又∵平面B1C1EF∩平面A1D1DA＝EF，

∴C 1B 1∥EF ，∴A 1D 1∥EF .

②∵BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，∴BB 1⊥B 1C 1，

又∵B 1C 1⊥B 1A 1，∴B 1C 1⊥平面ABB 1A 1.∴B 1C 1⊥BA 1. 在矩形ABB 1A 1中，F 是AA 1的中点， tan ∠A 1B 1F ＝tan ∠AA 1B ＝2

2，即

∠A 1B 1F ＝∠AA 1B ， ∴BA 1⊥B 1F .又∵BA 1⊥B 1C 1， 所以BA 1⊥平面B 1C 1EF .

(2)设BA 1与B 1F 交点为H ，连结C 1H .

由(1)知BA 1⊥平面B 1C 1EF ，所以∠BC 1H 是BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角．

在矩形AA 1B 1B 中，由AB ＝2，AA 1＝2，得BH ＝4

6.

在Rt △BHC 1中，由BC 1＝25，BH ＝

4

6

得， sin ∠BC 1H ＝BH BC 1＝30

15

.

所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是

30 15

.

[点评] 本题主要考查空间点、线、面的位置关系，线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力.

能力拓展提升

11.(文)(2011·北京模拟)给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：

①若l与m为异面直线，l?α，m?β，则α∥β；

②若α∥β，l?α，m?β，则l∥m；

③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.

其中真命题的个数为( )

A．3 B．2 C．1 D．0

[答案] C

[解析]①设α∩β＝a，当l，m都与a相交且交点不重合时，满足①的条件，故①假；②中分别在两个平行平面内的两条直线可能平行，也可能异面，故②假；由三棱柱知③真；故选C.

(理)

如图，在三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，点E 、F 、H 、K 分别为AC ′、

CB ′、A ′B 、B ′C ′的中点，G 为△ABC 的重心．从K 、H 、G 、B ′中

取一点作为P ，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF 平行，则P 为( )

A ．K

B ．H

C ．G

D ．B ′

[答案] C

[解析] 假如平面PEF 与侧棱BB ′平行则和三条侧棱都平行，不满足题意，而FK ∥BB ′，排除A ；假如P 为B ′点，则平面PEF 即平面A ′B ′C ，此平面只与一条侧棱AB 平行，排除D.

若P 为H 点，则HF 为△BA ′C ′的中位线，∴HF ∥A ′C ′；EF 为△ABC ′的中位线，∴EF ∥AB ，HE 为△AB ′C ′的中位线，∴HE ∥

B ′

C ′，显然不合题意，排除B.

[点评] 此题中，∵EF 是△ABC ′的中位线，∴EF ∥AB ∥A ′B ′，故点P 只要使得平面PEF 与其他各棱均不平行即可，故选G 点．

12．(文)(2012·江西文，7)若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为( )

A.11

2 B ．5 C.92

D ．4

[答案] D

[解析]由三视图知该几何体为直六棱柱．其底面积为S＝2×[1 2

×(1＋3)×1]＝4，高为1.所以体积V＝4.

(理)(2012·四川文，6)下列命题正确的是( )

A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

[答案] C

[解析]本题考查了线面角，面面垂直，线面平行，面面平行等位置关系的判定与性质，

对于A选项，两条直线也可相交，B选项若三点在同一条直线上，平面可相交．D选项这两个平面可相交(可联系墙角)，而C项可利用线面平行的性质定理，再运用线面平行的判定与性质可得．本题需要我们熟练掌握各种位置关系的判定与性质．

13．(2012·南昌二模)若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则下列命题中假命题的序号是________．

①过点P有且仅有一条直线与l，m都平行；②过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直；③过点P有且仅有一条直线与l，m都相交；

④过点P有且仅有一条直线与l，m都异面．

[答案]①③④

[解析]①是假命题，因为过点P不存在一条直线与l，m都平行；②是真命题，因为过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直，这

条直线与两异面直线的公垂线平行或重合；③是假命题，因为过点P 也可能没有一条直线与l ，m 都相交；④是假命题，因为过点P 可以作出无数条直线与l ，m 都异面，这无数条直线在过点P 且与l ，m 都平行的平面上．

[点评] 第③个命题易判断错误．当点P 与l 确定的平面α∥m 时，或点P 与m 确定的平面β∥l 时，过点P 与l 、m 都相交的直线不存在．

14．(2012·佛山一模)过两平行平面α、β外的一点P 作两条直线，分别交α于A 、C 两点，交β于B 、D 两点，若PA ＝6，AC ＝9，PB ＝8，则BD ＝________.

[答案] 12

[解析] 由面面平行的性质定理可知AC ∥BD ，又由平行线分线

段成比例定理可得PA PB ＝AC BD ，即68＝9

BD

，得BD ＝12.

15．(文)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AB ⊥BB 1，AC ＝BC ＝BB 1＝2，D 为AB 的中点，且CD ⊥DA 1.

(1)求证：BB 1⊥平面ABC ； (2)求证：BC 1∥平面CA 1D ；

(3)求三棱锥B 1－A 1DC 的体积．

[解析] (1)∵AC ＝BC ，D 为AB 的中点，∴CD ⊥AB ， 又∵CD ⊥DA 1，∴CD ⊥平面ABB 1A 1，∴CD ⊥BB 1， 又BB 1⊥AB ，AB ∩CD ＝D ， ∴BB 1⊥平面ABC .

(2)连接BC 1，连接AC 1交CA 1于E ，连接DE ，易知E 是AC 1的中点，又D 是AB 的中点，则DE ∥BC 1，又DE ?平面CA 1D ，BC 1?平面CA 1D ，

∴BC 1∥平面CA 1D .

(3)由(1)知CD ⊥平面AA 1B 1B ， 故CD 是三棱锥C －A 1B 1D 的高，

在Rt △ACB 中，AC ＝BC ＝2，∴AB ＝22，CD ＝2， 又BB 1＝2，∴V B 1

－A 1

DC ＝V C －A 1B 1

D ＝1

3

S △A 1B 1

D ·CD

＝16A 1B 1×B 1B ×CD ＝16×22×2×2＝43

. (理)如图，PO ⊥平面ABCD ，点O 在AB 上，EA ∥PO ，四边形ABCD 为直角梯形，BC ⊥AB ，BC ＝CD ＝BO ＝PO ，EA ＝AO ＝12

CD .

(1)求证：BC⊥平面ABPE；

(2)直线PE上是否存在点M，使DM∥平面PBC，若存在，求出点M；若不存在，说明理由．

[解析](1)∵PO⊥平面ABCD，

BC?平面ABCD，∴BC⊥PO，

又BC⊥AB，AB∩PO＝O，AB?平面ABP，PO?平面ABP，∴BC⊥平面ABP，

又EA∥PO，AO?平面ABP，

∴EA?平面ABP，∴BC⊥平面ABPE.

(2)点E即为所求的点，即点M与点E重合．

取PO的中点N，连结EN并延长交PB于F，

∵EA＝1，PO＝2，∴NO＝1，

又EA与PO都与平面ABCD垂直，∴EF∥AB，

∴F为PB的中点，∴NF＝1

2

OB＝1，∴EF＝2，

又CD＝2，EF∥AB∥CD，

∴四边形DCFE为平行四边形，∴DE∥CF，

∵CF?平面PBC，DE?平面PBC，∴DE∥平面PBC.

∴当M与E重合时，DM∥平面PBC.

16.

(2012·北京海淀区二模)在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱AB、BB′、B′C′、C′D′的中点分别为E、F、G、H，如图所示．

(1)求证：AD′∥平面EFG；

(2)求证：A′C⊥平面EFG；

(3)判断点A、D′、H、F是否共面，并说明理由．

[解析]

(1)证明：连结BC′.

在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝C′D′，AB∥C′D′.

所以四边形ABC′D′是平行四边形．

所以AD′∥BC′.

因为F、G分别是BB′、B′C′的中点，

所以FG∥BC′，所以FG∥AD′.

因为EF、AD′是异面直线，所以AD′?平面EFG.

因为FG?平面EFG，所以AD′∥平面EFG.

(2)证明：连结B′C.

在正方体ABCD－A′B′C′D′中，A′B′⊥平面BCC′B′，BC′?平面BCC′B′，

所以A′B′⊥BC′.

在正方体BCC′B′中，B′C⊥BC′，

因为A′B′?平面A′B′C，

B′C′?平面A′B′C，A′B′∩B′C′＝B′，

所以BC′⊥平面A′B′C.

因为A′C?平面A′B′C，所以BC′⊥A′C.

因为FG∥BC′，所以A′C⊥FG.

同理可证：A′C⊥EF.

因为EF?平面EFG，FG?平面EFG，EF∩FG＝F，

所以A′C⊥平面EFG.

(3)点A、D′、H、F不共面．理由如下：

假设A、D′、H、F共面．连结C′F、AF、HF.

由(1)知，AD′∥BC′，

因为BC′?平面BCC′B′，AD′?平面BCC′B′.

所以AD′∥平面BCC′B′.

因为C′∈D′H，所以平面AD′HF∩平面BCC′B′＝C′F.

因为AD′?平面AD′HF，所以AD′∥C′F.

所以C′F∥BC′，而C′F与BC′相交，矛盾．

所以A，D′、H、F点不共面．

1．设m、l是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )

A．若l⊥m，m?α，则l⊥α

B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α

C．若l∥α，m?α，则l∥m

D．若l∥α，m∥α，则l∥m

[答案] B

[解析]两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于

这个平面，故选B.

2.

如图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝2a，点E在PD上，且PE:ED＝2:1.

(1)证明：PA⊥平面ABCD；

(2)在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？如果存在，请求出此时PF FC的值；如果不存在，请说明理由．

[解析](1)因为底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，所以AB＝AD ＝AC＝a.

在△PAB中，由PA2＋AB2＝2a2＝PB2，知PA⊥AB.

同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.

(2)连结BD，则平面PBD与平面AEC的交线为EO，在△PBD中作BM∥OE交PD于M，则BM∥平面AEC，在△PCE中过M作MF∥CE交PC 于F，则MF∥平面AEC，故平面BFM∥平面AEC，所以BF∥平面AEC，F点即为所求的满足条件的点．由条件O为BD的中点可知，E为MD 的中点．

又由PE:ED＝2:1，∴M为PE的中点，

又FM∥CE，故F是PC的中点，∴此时PF:FC＝1.

3．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在平面互相垂直，EF∥