惯性矩 概念

第五章

截面的几何性质

5.1基本概念和主要公式

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一、静矩与形心

静矩二、惯性矩 惯性积

形心三、形心主惯性轴与形心主惯性矩惯性矩四、平行移轴公式

惯性积

主惯性矩

一、静矩与形心

(1) 静矩

设任意截面如图5-1所示，面积为A ，c点为截面形的截面对x 、y 轴的静矩（面积矩）为：

(5-1a)

(5-1b)

同一截面对不同轴的静矩值是不同的，可能为正值、负值或为零。 （2）形心

设截面形心C 在任意参考坐标系xoy 中的坐标为x c 、y c

，由式（5-1）可得截

面形心的位置x c

、y c

计算公式：

(5-2)

由上式可知：若截面对某轴的静矩为零，则该轴必通过截面形心；截面对任一形心轴的静矩为零。

通过截面形心的坐标轴称为形心轴。 （3）组合截面的静矩和形心

由简单截面组合而成的截面称为组合截面。组合截面对某一轴的静矩，等于

各简单截面对同一轴静矩之代数和，即

(5-3)

同理，组合截面的形心坐标x c

、y c

为

(5-4)

二、惯性矩 惯性积

（1）惯性矩

设任意截面如图5-2所示，其面积为A ，xoy 为任意直角坐标系。则截面对x 、y 轴的惯性矩为

(5-5)

截面对坐标原点0点的极惯性矩

(5-6)

截面对x 、y 轴的惯性积

(5-7)

（3）惯性矩、惯性积的性质

1）惯性矩、惯性积、极惯性矩的量纲均为长度的四次方。

2）截面的惯性矩是对某一坐标轴而言的，极惯性矩是对某一点（称为极点）而言的，惯性矩、极惯性矩恒为正值。惯性积是对某一对坐标轴而言的，其值可能为正，可能为负，也可能为零。

3）截面对某一点的极惯性矩恒等于以该点为原点的任一对直角坐标轴的惯

性矩之和。即

(5-8)

4）若一对坐标轴中有一轴为截面的对称轴，则截面对这对坐标轴的惯性积必为零；但截面对某一对坐标轴的惯性积为零，这对坐标中却不一定是截面的对称轴。

5）由惯性矩、惯性积及极惯性矩的定义可知：

组合截面对任一轴的惯性矩等于各简单截面对该轴惯性矩之和。即

(5-9)

组合截面对任一对坐标轴的惯性积，等于各简单截面对该对坐标轴的惯性积之和，即

(5-10)

组合截面对任一点的极惯性矩，等于各简单截面对该点极惯性矩之和，即

(5-11)

6) 常用截面的惯性矩

矩形截面：

(5-12)

圆形截面

(5-13)

空心圆截面：

(5-14)

三、形心主惯性轴与形心主惯性矩

主轴：若截面图形对任意一对正交坐标轴（x 、y ）的惯性积I xy

=0，则该对

坐标轴称为主惯性轴，简称主轴。若该对坐标轴通过截面形心，则称该对主轴为形心主轴。

主惯性矩：截面图形对主轴的惯性矩称为主惯性矩。

形心主惯性矩：截面图形对一对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。 形心主惯性矩是截面图形对通过形心C 点所有轴的惯性矩中的最大值（I max

）

和最小值（I min

）。

截面图形对于过形心C 点的任意一对直角坐标轴x、y 的两个惯性矩之和为常数，即

(5-15)

四、平行移轴公式

任意截面图形，面积为A ，形心为C ，x o 、y o 为形心轴，如图5-4所示，截面

对形心轴x o 、y o 的惯性矩、惯性积分别为

I xo 、I yo 、I xoyo

。设x 、y 轴分别与形心轴x o

、y o 平行，相距为a、b ，截面对x 、y 轴的惯性矩、惯性积I x 、I y 、I xy

分

别为 (5-16)

(5-17)

式（5-16）为截面惯性矩的平行移轴公式，式（5-17）为截面惯性积的平行移轴公式。