线性代数复习题汇总

线性代数复习题一

一、填空题

1．=---3

811411

02 。

2．四阶行列式中项42342311a a a a 的符号为。

3．矩阵???

??---145243121的逆矩阵为。

4．矩阵????

??-----1143301322125

3332311的行最简形为。 5．矩阵???

? ??--852*********的秩为。

6．线性方程组???

??=-++=-++=++-0

268305420

2108432143214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系为。

7．齐次线性方程组???

??=-+=-+=++-0)4(20)6(2022)5(z a x y a x z y x a 有非零解，则=a 。

8．某工厂向三个商店发送三种产品的数量可列成矩阵????

? ??=236125273A ，

其中ij a 为工厂向第i 店发送第j 种产品的数量。这三种产品的单价及单件重量也可列成

矩阵???

??=6120011150083000B ，其中1i b 为第i 种产品的单价（单位；元），2i b 为第i 种

产品的单件重量（单位；kg ）。该工厂发送的产品总价为，总重量为．

9．设A 为3阶矩阵，2

A ，则()=--*

152A A ． 10．设向量组???

??????? ??????? ??????? ??132,121,35,32b a 的秩为2，则=a ，=b ．

11．设?

??=101λA ，=10

A ． 12．设四元线性非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ηηη是它的三个解向量，

且??????? ??=54321η，????

??=+432132ηη，则该方程组的通解可表示为．

二、解答题

1．求行列式的值34

124

4321

1111

x x x x x x x x x x x x D =

2．设???

?? ??-=321011330A ，B A AB 2+=，求B

3．λ取何值时，非齐次线性方程组???

??=++=++=++2

321

3213211

λλλλλx x x x x x x x x

（1）有唯一解（2）无解（3）有无穷解？

4．已知向量组4321,,,αααα线性无关，

211ααβ+=，322ααβ+=，433ααβ+=，144ααβ+=

证明：向量组4321,,,ββββ线性相关．

5．设矩阵????

? ??--=21034011a A ，2是A 的一个特征值，

（1）求a 的值；

（2）求A 的其它特征值；

（3）求A 的属于特征值2的特征向量。

6．热传导研究中的一个重要问题是，已知金属薄片边界附近的温度，确定其上稳态温度的分布。假设下图所示的金属片表示一根金属柱的横截面，并且忽略与盘片垂直方向上的热量传递。设4321,,,t t t t 表示图中4个内部网格节点的温度（单位：°C ）。一个节点的温度等于四个相邻节点（上、下、左、右）的平均温度。求4321,,,t t t t 的值。

线性代数复习题二

一、填空题

1．=b

a c a c

b c

b a 。

2．五阶行列式中项5542342311a a a a a 的符号为。

3．矩阵???

? ??--14524

312

1的逆矩阵为。 4．矩阵??

??-114630134212563

321的行最简形为。 5．矩阵???

? ??852*********的秩为。

6．线性方程组???

??=+++=-++=++-0

6830420

284321

43214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系为。

1t 2t 3

t 4

t 10

4040

7．齐次线性方程组???

??=-++=+-+=+--0

)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解，则=λ 。

8．某工厂向三个商店发送三种产品的数量可列成矩阵???

??=732627223A ，其中ij

a 为工厂向第i 店发送第j 种产品的数量。这三种产品的单价及单件重量也可列成矩阵???

??=918006120072000B ，其中1i b 为第i 种产品的单价（单位；元），2i b 为第i 种

产品的单件重量（单位；kg ）。该工厂发送的产品总价为，总重量为．

9．设A 为3阶矩阵，3

A ，则()=--*

152A A ． 10．设向量组??

??????? ??????? ??????? ??132,21,352,12y x 的秩为2，则=x ，=y

．

11．设???

? ??=101a A ，=-10

A ．

12．设三元线性非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，已知321,,ηηη是它的三个解向量，

且????? ??=3211η，???

? ??=+43232ηη，则该方程组的通解可表示为．

二、解答题

1．求行列式的值2

3333

1111

d c b a d c b a

d c b a

D =

2．设????

? ??=101020101A ，B A E AB +=+2

，求B

3．λ取何值时，非齐次线性方程组???

??=-+=+--=++-2

321

3213212222λλx x x x x x x x x 有解？求出它的通

解。

4．已知向量组4321,,,αααα线性无关，

211ααβ+=，322ααβ+=，433ααβ+=，144ααβ-=

证明：向量组4321,,,ββββ线性无关．

5．设矩阵????

??--=20134011λA ，2是A 的一个特征值，

（1）求λ的值；

（2）求A 的其它特征值；

（3）求A 的不属于特征值2的特征向量。 6．在风洞试验中，射弹的推动力取决于在不同的速度v 下测量到的空气阻力F 。一次试验中测得的数据如下：

v （100米/秒）

0 1 2 3 F （1000牛顿）

若假设F 与v 之间的关系可用函数332210v a v a v a a F +++=表示，（1）求系数3210,,,a a a a ；

（2）当射弹以400米/秒的速度飞行时，遇到的空气阻力为多少？

线性代数复习题三

一、填空题

1．=+++y

x y x y y x x

x y x 。 2．四阶行列式中项42332411a a a a 的符号为。

3．矩阵???

? ??---125223111的逆矩阵为。

4．矩阵????

?----13

8550132212533

64622的行最简形为。 5．矩阵???

??-852*********的秩为。

6．线性方程组???

??=-++=-++=++-0

26830540

210432143214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系为。

7齐次线性方程组???

??=+++=+++=+-+0

)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解，则=λ 。

8．某工厂向三个商店发送三种产品的数量可列成矩阵???

??=782643625A ，其中ij

a 为工厂向第i 店发送第j 种产品的数量。这三种产品的单价及单件重量也可列成矩阵???

??=712008100062500B ，其中1i b 为第i 种产品的单价（单位；元），2i b 为第i 种

产品的单件重量（单位；kg ）。该工厂发送的产品总价为，总重量为．

9．设A 为4阶矩阵，2

A ，则()=--*

12A A ． 10设向量组???

? ??????? ??????? ??????? ??132,12,352,12μλ的秩为2，则=λ ，=μ ．

11设?

? ??=011a A ，=8

A ． 12设四元线性齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，已知21,ηη是它的两个线性无关的解向量，则该方程组的通解可表示为．

二、解答题

1．求行列式的值1

222

121

111

---=n n

n n n

n x x x x x x x x x D

2．设???

? ??-=321011330A ，B A AB 2-=，求B

3．

3．λ取何值时，非齐次线性方程组???

??=-+=-+=-+2

321

3213211λλλλλx x x x x x x x x

（1）有唯一解（2）无解（3）有无穷解？

4．已知向量组r a a a ,,,21 线性无关，

11a b =，212a a b +=，…， r r a a a b +++= 21

证明：向量组r b b b ,,,21 线性无关．

5．设矩阵???

? ??--=20134011λA ，1是A 的一个特征值，

（1）求λ的值；

（2）求A 的其它特征值；

（3）求A 的属于特征值1的特征向量。

6．化学方程式表示化学反应中消耗和产生的物质的量。当磷酸钠溶液和硝酸钡溶液混合后，产生磷酸钡和硝酸钠。其方程式为：

342433232431)()(NaNO x PO Ba x NO Ba x PO Na x +→+

方程式两端的钠原子)(Na 、磷原子)(P 、钡原子)(Ba 、氮原子)(N 和氧原子

)(O 的总数应相等。用尽可能小的整数来配平该方程式。

线性代数复习题四

一、填空题

1．=--3

811413

02 。

2．五阶行列式中项5342342511a a a a a 的符号为。

3．矩阵????

??----125223111的逆矩阵为。 4．矩阵???

?-114

730135212583

32341的行最简形为。

5．矩阵???

??--852*********的秩为。

6．线性方程组???

??=-++=--+=++-0

26830320

2432143214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系为。

7．齐次线性方程组??

??=-+=-+=++-0)6(20)4(2022)5(z a x y a x z y x a 有非零解，则=a 。

8．某工厂向三个商店发送三种产品的数量可列成矩阵???

??=733825326A ，其中ij

a 为工厂向第i 店发送第j 种产品的数量。这三种产品的单价及单件重量也可列成矩阵???

??=38006120031000B ，其中1i b 为第i 种产品的单价（单位；元），2i b 为第i 种

产品的单件重量（单位；kg ）。该工厂发送的产品总价为，总重量

为．

9．设A 为4阶矩阵，2

A ，则()=--*

13A A ． 10．设向量组???

??????? ??????? ??????? ??132,21,32,132y x 的秩为2，则=x ，=y

． 11．设?

??=101x A ，=200

A ． 12．四元线性非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ηηη是它的三个解向量，

且??????? ??=54321η，????

? ??=+4321232ηη，则该方程组的通解可表示为．

二、解答题

C D

300300500

400

600

x 2

x 3

x 4

x 100

200

1．求行列式的值a

a a x a a x a a

x a a x a a a D =

2．设????

? ??-=101020101A ，B A E AB +=+2

2，求B

3．λ取何值时，非齐次线性方程组???

??=-+-=+---=++2

321

3213212222λλx x x x x x x x x 有解？求出它的通

解。

4．已知向量组321,,a a a 线性无关，

11a b =，212a a b +=，3213a a a b ++=

证明：向量组321,,b b b 线性无关．

5．设矩阵????

? ??--=31402112λA ，1-是A 的一个特征值，

（1）求λ的值；

（2）求A 的其它特征值；

（3）求A 的属于特征值1-的特征向量。

6．某城市一些单行道路的交通流量（以每小时经过的汽车数量来表示）如下图

所示：

其中D C B A ,,,为四个路口，每个路口流入和流出的总量相等。求未知流量4321,,,x x x x 。

线性代数复习题五

一、填空题

1．=++b

c b b a a c b

b a 。 2．五阶行列式中项5142342315a a a a a 的符号为。

3．矩阵????

? ??--21522311

1的逆矩阵为。 4．矩阵???

??-11463039126125

6332321的行最简形为。

5．矩阵???

? ??852*********的秩为。

6．线性方程组???

??=+++=-++=++-0

63020

24321

43214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系为。

7．齐次线性方程组???

??=-+=-+=++-0)3(20)2(2022)3(z a x y a x z y x a 有非零解，则=a 。

8．某工厂向三个商店发送三种产品的数量可列成矩阵???

? ??=702637213A ，其中ij

a 为工厂向第i 店发送第j 种产品的数量。这三种产品的单价及单件重量也可列成矩阵????

??=638002120071000B ，其中1i b 为第i 种产品的单价（单位；元）

，2i b 为第i 种产品的单件重量（单位；kg ）。该工厂发送的产品总价为，总重量为．

9．设A 为3阶矩阵，3

1=A ，则()=+--*

12A A ．

10．设向量组???

? ??????? ??????? ??????? ??13,21,352,132μλ的秩为2，则=λ ，=μ

．

11．设?

? ??=1031A ，=100

A ． 12．A 为4阶矩阵，3)(=A R ，已知21,αα是方程组0=Ax 的两个非零解向量，

则=),(21ααR ．二、解答题

1．求行列式的值x

a a a

x a a

a x D =

2．设???

?? ??---=321011330A ，B A AB +=2，求B

3．λ取何值时，非齐次线性方程组???

??=++=++=++2

321

3213211

λλλλλx x x x x x x x x

（1）有唯一解（2）无解（3）有无穷解？

4．已知向量组4321,,,αααα线性无关，

211ααβ+=，322ααβ+=，433ααβ+=，134ααβ-=

证明：向量组4321,,,ββββ线性相关．

5．设矩阵???

?? ??--=31420112a A ，1-是A 的一个特征值，（1）求a 的值；

（2）求A 的其它特征值；

（3）求A 的不属于特征值1-的特征向量。

6．某个经济系统由农业、能源、制造、通信四个行业组成，每个行业的产出在各个行业中的分配如下表示，

每一列中的元素表示占该行业总产出的比例，以第三列为例：制造业的总产出分配如下：30%分配到农业，15%分配到能源行业，40%分配到通信行业，余下的15%分配到制造业（制造业把这15%当作部门营运所需的投入）。假设每个产业的投入和产出都是相等的，若已知通信业的总产出是2000亿元，求其它三个行业的总产出。

线性代数复习题六

一、填空题

1．=---y

x x x y y x x

y y

x 。 2．四阶行列式中项42342113a a a a 的符号为。

3．矩阵????

? ??--121223111的逆矩阵为。 4．矩阵????

?---13

85501322125

3364321的行最简形为。 5．矩阵???

??852*********的秩为。

6．线性方程组???

??=-++=-++=++-0

2830530

24321

43214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系为。

7．齐次线性方程组???

??=+++=+++=+-+0

)3(0)5(2042)3(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解，则=λ 。

8．某工厂向三个商店发送三种产品的数量可列成矩阵????

??=713138222A ，

其中ij a 为工厂向第i 店发送第j 种产品的数量。这三种产品的单价及单件重量也可列成矩阵???

??=915002100033100B ，其中1i b 为第i 种产品的单价（单位；元），2i b 为第i 种

产品的单件重量（单位；kg ）。该工厂发送的产品总价为，总重量为．

9．设A 为3阶矩阵，2

A ，则()=+-*

152A A ．行业

购买方农业能源制造通信

农业 0.65 0.3 0.3 0.2 能源 0.1 0.1 0.15 0.1 制造 0.25 0.35 0.15 0.3 通信

0 0.25 0.4 0.4

10．设向量组???

? ??????? ??????? ??????? ??132,121,32,13b a 的秩为2，则=a ，=b ．

11．设?

? ??=101a A ，=20

A ． 12．A 为3阶矩阵，2)(=A R ，已知21,αα是方程组0=Ax 的两个非零解向量，

则=),(21ααR ．

二、解答题

1．求行列式的值a

a a D 111

111=

2．设????

? ??--=101020101A ，B A E AB 22

+=+，求B

3．λ取何值时，非齐次线性方程组??

??=++-=+--=-+2

3213213212222λλx x x x x x x x x 有解？求出它的通

解。

4．已知向量组4321,,,αααα线性无关，

211ααβ+=，322ααβ+=，433ααβ+=，414ααβ-=

证明：向量组4321,,,ββββ线性无关．

5．设矩阵???

? ??--=31420

112a A ，2是A 的一个特征值，（1）求a 的值；

（2）求A 的其它特征值；

（3）求A 的属于特征值2的特征向量。

6．现有一个木工、一个电工、一个油漆工、一个泥瓦匠，四人计划彼此相互装修他们自己的房子．约定每人工作13天（包括给自己家干活），每人的日工资根据市价定在50～70元（每人工资均为整数），且日工资数应使得每人的总收入与总支出相等．下表是他们协商后制定的工作天数分配方案．他们每人应得的工资和每人房子的装修费（只计工钱，不含材料费）是多少？

工作天数分配方案

工种

天数

木工电工油漆工泥瓦匠在木工家工作的天数 4 3 2 3 在电工家工作的天数 5 4 2 3 在油漆工家工作的天数 2 5 3 3 在泥瓦匠家工作的天数 2

线性代数期末试题及答案

工程学院2011年度（线性代数）期末考试试卷样卷一、填空题（每小题2分，共20分） 1.如果行列式233 32 31 232221 131211 =a a a a a a a a a ，则=---------33 32 31 232221 13 1211222222222a a a a a a a a a 。 2.设2 3 2 6219321862 131-= D ，则=+++42322212A A A A 。 3.设1 ,,4321,0121-=??? ? ??=???? ??=A E ABC C B 则且有= 。 4.设齐次线性方程组??? ?? ??=????? ??????? ??000111111321x x x a a a 的基础解系含有2个解向量，则 =a 。、B 均为5阶矩阵，2,2 1 == B A ，则=--1A B T 。 6.设T )1,2,1(-=α,设T A αα=，则=6A 。 7.设A 为n 阶可逆矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若λ是矩阵A 的一个特征值，则*A 的一个特征值可表示为。 8.若31212322 212232x x x tx x x x f -+++=为正定二次型，则t 的范围是。

9.设向量T T )1,2,2,1(,)2,3,1,2(-=β=α，则α与β的夹角=θ 。 10. 若3阶矩阵A 的特征值分别为1，2，3，则=+E A 。

二、单项选择（每小题2分，共10分） 1.若齐次线性方程组??? ??=λ++=+λ+=++λ0 00321 321321x x x x x x x x x 有非零解,则=λ（） A .1或2 B . －1或－2 C .1或－2 D .－1或2. 2.已知4阶矩阵A 的第三列的元素依次为2,2,3,1-，它们的余子式的值分别为 1,1,2,3-，则=A （） A .5 B .-5 C .-3 D .3 3.设A 、B 均为n 阶矩阵，满足O AB =，则必有（） A .0=+ B A B .））B r A r ((= C .O A =或O B = D .0=A 或0=B 4. 设21β,β是非齐次线性方程组b X A =的两个解向量，则下列向量中仍为该方程组解的是（） A ．21+ββ B ． ()21235 1 ββ+ C ．()21221ββ+ D ．21ββ- 5. 若二次型3231212 3222166255x x x x x x kx x x f -+-++=的秩为2，则=k （） A . 1 B .2 C . 3 D . 4 三、计算题 (每题9分，共63分) 1.计算n 阶行列式a b b b a b b b a D n Λ ΛΛΛΛΛΛ=

线性代数考试题库及答案(五)

线性代数考试题库及答案一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分） 1.在111 ()111111 x f x x x -+=-+-展开式中，2x 的系数为（） (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 2.A 是m ×n 矩阵，(),r A r B =是m 阶可逆矩阵，C 是m 阶不可逆矩阵，且 ()r C r <，则（） (A) BAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (B) BAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 (C) CAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (D) CAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 3.设n 阶矩阵,A B 有共同的特征值，且各自有n 个线性无关的特征向量，则（） (A) A B = (B) ,0A B A B ≠-=但 (C) A B (D) A B 与不一定相似，但 A B = 4.设,,A B C 均为n 阶矩阵，且AB BC CA E ===，其中E 为n 阶单位阵，则 222A B C ++= （） (A) O (B) E (C) 2E (D) 3E 5．设1010,0203A B ???? == ? ????? ，则A B 与（） (A)合同，且相似 (B)不合同，但相似 (C)合同，但不相似（D ）既不合同，又不相似

二、填空题（共二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分） 1．已知11 122 233 30a b c a b c m a b c =≠，则1111 22223333 232323a b c c a b c c a b c c ++=+ 。 2．设 1 010 2010 1A ?? ?= ? ?? ? ，若三阶矩阵Q 满足2,AQ E A Q +=+则Q 的第一行的行向量是。 3．已知β为n 维单位列向量， T β为β的转置，若T C ββ= ，则 2C = 。 4．设12,αα分别是属于实对称矩阵A 的两个互异特征值12,λλ的特征向量，则 12T αα= 。 5．设A 是四阶矩阵，A * 为其伴随矩阵，12,αα是齐次方程组0AX =的两个线性无关解，则()r A *= 。 6．向量组1 23(1,3,0,5,0),(0,2,4,6,0),(0,3,0,6,9)T T T ααα===的线性关系是。 7．已知三阶非零矩阵B 的每一列都是方程组1231231 23220 2030 x x x x x x x x x λ+-=?? -+=??+-=?的解，则 λ= 。 8．已知三维向量空间3R 的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα===，则向量 (2,0,0)T β=在此基底下的坐标是。 9．设21110012100,112004A a a ?? ?? ? ?== ? ? ? ????? 则。 10．二次型2 2 2 123123121323(,,)222222f x x x x x x x x x x x x =++++-的秩为。

《线性代数》习题集(含答案)

《线性代数》习题集（含答案）第一章【1】填空题（1）二阶行列式 2a ab b b =___________。（2）二阶行列式 cos sin sin cos αα α α -=___________。（3）二阶行列式 2a bi b a a bi +-=___________。（4）三阶行列式x y z z x y y z x =___________。（5）三阶行列式 a b c c a b c a b b c a +++=___________。答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2 a b -；4.3 3 3 3x y z xyz ++-；5.4abc 。【2】选择题（1）若行列式12 5 1 3225x -=0，则x=（）。 A -3； B -2； C 2； D 3。（2）若行列式11 1 1011x x x =，则x=（）。 A -1 ， B 0 ， C 1 ， D 2 ，

（3）三阶行列式2 31 503 2012985 23 -=（）。 A -70； B -63； C 70； D 82。（4）行列式 000 000 a b a b b a b a =()。 A 4 4 a b -；B () 2 2 2a b -；C 4 4 b a -；D 44 a b 。（5）n 阶行列式0100 0020 0001000 n n - =（）。 A 0； B n ！； C （-1）·n ！； D () 1 1!n n +-?。答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。【3】证明 33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b z x y bz ax bx ay by az y z x ++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性：（1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。（2）τ（217986354）=18，此排列为偶排列。（3）τ（987654321）=36，此排列为偶排列。【5】计算下列的逆序数：（1）135 （2n-1）246 （2n ）；（2）246 （2n ）135 （2n-1）。答案：（1） 12n （n-1）；（2）1 2 n （n+1）【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号：

线性代数B复习题(2012)

线性代数B 复习资料（2012） (一)单项选择题 1．设A ，B 为n 阶方阵，且()E AB =2 ，则下列各式中可能不成立的是（ A ） (A )1-=B A (B)1-=B ABA (C)1-=A BAB (D)E BA =2 )( 2．若由AB=AC 必能推出B=C （A ，B ，C 均为n 阶矩阵）则A 必须满足（ C ） (A)A ≠O (B)A=O (C )0≠A (D) 0≠AB 3．A 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵B ，使AB=BA=A ，则（ D ） (A) B 为单位矩阵 (B) B 为零方阵 (C) A B =-1 (D ) 不一定 4．设A 为n ×n 阶矩阵，如果r(A)

(完整版)线性代数期末测试题及其答案.doc

线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题 5 分，共 25 分） 1 3 1 1.若0 5 x 0 ，则__________。 1 2 2 x1 x2 x3 0 2．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。 x1x2x30 3．已知矩阵 A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。 4．已知矩阵A 为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。 5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。二、选择题（每小题 5 分，共 25 分） 6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（） A. 4 0 B. 4 4 C. 0 t 4 4 1 t 5 t D. t 2 5 5 5 5 1 4 2 1 2 3 7．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（） 0 4 3 0 0 5 A.3 B.-2 C.5 D.-5 8 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（） A. A0 B. A 1 0 C.r (A) n D.A 的行向量组线性相关 9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（） 1

x y 2 z 4 A. 3 1 2 x y 2 z 4 C. 3 1 2 x y 2 z 4 B. 3 2 2 x y 2 z 4 D. 3 2 2 10 3 1 ．已知矩阵 A , 其特征值为（） 5 1 A. 1 2, 2 4 B. C. 1 2, 2 4 D. 三、解答题（每小题 10 分，共 50 分） 1 1 2, 2, 2 2 4 4 1 1 0 0 2 1 3 4 0 2 1 3 0 1 1 0 11.设B , C 0 2 1 且矩阵满足关系式 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 2 T X (C B) E ，求。 a 1 1 2 2 12. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？ 1 1 1 , 2 a , 3 。 2 1 2 1 a 2 2 x 1 x 2 x 3 3 13. 为何值时，线性方程组 x 1 x 2 x 3 2 有唯一解，无解和有无穷多解？当方 x 1 x 2 x 3 2 程组有无穷多解时求其通解。 1 2 1 3 14.设 1 4 , 2 9 , 3 0 , 4 10 . 求此向量组的秩和一个极大无关 1 1 3 7 0 3 1 7 组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。 15. 证明：若 A 是 n 阶方阵，且 AA A1，证明 A I 0 。其中 I 为单位矩阵 I ， 2

线性代数复习题及答案

《线性代数复习提纲及复习题》理解或掌握如下内容：第一章 n 阶行列式 .行列式的定义，排列的逆系数，行列式性质，代数余子式，行列式的计算，三角化法及降阶法，克莱姆法则。第二章矩阵及其运算矩阵的线性运算，初等变换与初等矩阵的定义，方阵的逆矩阵定义及性质方阵的逆矩阵存在的充要条件，用初等变换求逆矩阵，矩阵方程的解法，矩阵的秩的定义及求法；齐次线性方程组只有零解、有非零解的充要条件，；非齐次线性方程组有解的充要条件，解的判定。第三章线性方程组ｎ维向量的线性运算，向量组线性相关性的定义及证明，向量空间，向量组的极大线性无关组、秩；齐次线性方程组的基础解系，解的结构，方程组求解；非齐次线性方程组解的结构，用初等变换解方程组，增广矩阵含有字母元素的方程组的求解。复习题：一、填空（1）五阶行列式的项5441352213a a a a a 前的符号为负；（2）设)3,3,2(2),3,3,1(-=+-=-βαβα，则α= （1，0，0）；（3）设向量组γβα,,线性无关，则向量组γβαβα2,,+-线性无关；（4）设* A 为四阶方阵A 的伴随矩阵，且*A =8，则12)(2-A = 4 ；（5）线性方程组054321=++++x x x x x 的解空间的维数是 4 ；（6）设???? ? ??=k k A 4702031，且0=T A 则k = 0或6 ；（7）n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩r(A)秩是r,则其解空间的维数是 n-r ；（8）的解的情况是：方程组b Ax b A R A R 2),,()3(== 有解；（9）方阵A 的行向量组线性无关是A 可逆的充要条件；

线性代数复习题

共10页第 1 页线性代数复习题一．填空题 1．求下列各排列的逆序数t ： 3 5 2 1 4 ，t = ；3 4 2 5 1 ，t = ；2 5 4 3 1 ，t = 。 2．计算三阶行列式 ==0 142012k k D ；当=k 、时，得8-=D 。 3．已知矩阵?? ? ???=??????=c b b a B y x A ,。 =T A ，=B A T ，=BA A T 。 4．已知二阶方阵 )0(≠??????--+=a b a b b b a A 。=A ，=*A ，=-1A 。 5．设A 、B 都是三阶方阵，已知2,3=-=B A 。 =A 2 ，=B 3 ，=AB 2 。 6．已知三阶方阵 ?? ?? ? ?????--=507312123A 。=A ，=)(A R ，一个最高阶非零子式。 7．n 元线性方程组b Ax =无解的充要条件是)(A R ，有唯一解的充要条件是)(A R ，有无限多解的充要条件是)(A R 。 8．已知向量组A 构成的矩阵为 A ?? ?? ? ?????---==k k k a a a 111111),,(321。当≠k 、、时，向量组A 线性无关。 9．已知向量组T T a a A ),2(,)3,1(:21α=-=；向量T b )3,(β=。当α 、β 时，b 不能由A 线性表示；当α 时，b 可由A 线性表示且表示式唯一。

10．已知三阶方阵 ?? ?? ??????---=80202020 1A 。计算：一阶主子式= ，二阶主子式= ，三阶主子式= 。 11．求下列各排列的逆序数t ： 1 2 3 4 ，t = ；3 4 2 1 ，t = ；2 4 1 3 ，t = 。 12．计算三阶行列式 =-=k k k k D 111 11 ；当=k 、时，得4=D 。 13．已知三阶方阵 ?? ?? ??????--=??????????--=150421321 ,111111111B A 。 =AB ，=-A AB 23 ，=B A T 。 14．已知二阶方阵 ? ?? ???-=a a A 12。=A ，=*A ，=-1A 。 15．设A 、B 都是三阶方阵，已知1,2-=-=B A 。 =A 3 ，=B 2 ，=AB 。 16．已知三阶方阵 ?? ?? ??????--=43121101 3A 。=A ，=)(A R ，一个最高阶非零子式。 17．n 元齐次线性方程组O Ax =有非零解的充要条件是)(A R ，线性方程组b Ax =有解的充要条件是)(A R ，矩阵方程B AX =有解的充要条件是 )(A R 。

大学线性代数必过复习资料

复习重点：第一部分行列式 1. 排列的逆序数（P.5例4; P26第2、4题） 2. 行列式按行（列）展开法则（P.21例13；P.28第9题） 3. 行列式的性质及行列式的计算（P.27第8题）第二部分矩阵 1. 矩阵的运算性质 2. 矩阵求逆及矩阵方程的求解（P.56第17、18题；P.78第5题） 3. 伴随阵的性质（P.41例9; P56第23、24题；P.109第25题）、正交阵的性质（P.116） 4. 矩阵的秩的性质（P.69至71; P100例13、14、15）第三部分线性方程组 1. 线性方程组的解的判定（P71定理3; P.77定理4、5、6、7）,带参数的方程组的解的判定（P.75 例13 ; P80 第16、17、18 题） 2. 齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系） 3. 非齐次线性方程组的解的结构（通解）第四部分向量组（矩阵、方程组、向量组三者之间可以相互转换）1?向量组的线性表示 2. 向量组的线性相关性 3. 向量组的秩第五部分方阵的特征值及特征向量 1. 施密特正交化过程 2. 特征值、特征向量的性质及计算（P.120例8、9、10; P.135第7至13题） 3. 矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化（P.135第15、16、19、23题）要注意的知识点：线性代数 1、行列式 1. n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、A j和a j的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0; ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 A ; 3. 代数余子式和余子式的关系：M j （ 1y j A j A j （ 1/ j M j 4. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

线性代数期末考试试卷答案合集

×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。二、判断正误（正确的在括号填“√”，错误的在括号填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（） 3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ￡ s ￡ n ）线性无关的充要条件是（）。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示

(完整word版)线性代数考试题及答案解析

WORD 格式整理 2009－2010学年第一学期期末考试《线性代数》试卷答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。 2、闭卷考试。评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【】2.设A 为3阶方阵，数2-=λ，3=A ，则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【】3.已知,,B A 为n 阶方阵，则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ，则=*A (A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a __ __ ___ __ __ ___ __ __ 系_ __ __ ___ __ 专业_ __ __ ___ __ _班级姓名_ __ ___ __ __ ___ __ 学号__ ___ __ __ ___ __ _ ………… … … … … … … … … （密） … … … … … … … … … … … … （封） … … … …… … … … … … … … （线） … … … … … … … … … … … …

(A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R > (C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小【】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解的充分必要条件是 (A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r > 【】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是 (A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量 (B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例 (C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示 (D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示【】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是 (A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值 (C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵二、填空题。(每小题3分,共15分) 1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-，它们的余子式分别为2,1,1-，则=D 。 2.设矩阵方程??????-=???? ??12640110X ，则=X 。 3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21,ξξ为对应齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系，则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ?矩阵A 的秩r A R =)(，则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组S 的秩=R 。

线性代数B复习题

线性代数B 复习资料 (一)单项选择题 1．设A ，B 为n 阶方阵，且()E AB =2 ，则下列各式中可能不成立的是（ A ） (A )1-=B A (B)1-=B ABA (C)1-=A BAB (D)E BA =2 )( 2．若由AB=AC 必能推出B=C （A ，B ，C 均为n 阶矩阵）则A 必须满足（ C ） (A)A ≠O (B)A=O (C )0≠A (D) 0≠AB 3．A 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵B ，使AB=BA=A ，则（ D ） (A) B 为单位矩阵 (B) B 为零方阵 (C) A B =-1 (D ) 不一定 4．设A 为n ×n 阶矩阵，如果r(A)

线性代数总复习题

复习题 1.计算下列各行列式（）： (1),其中对角线上元素都是，未写出的元素都是0； (2); (3) ; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) (5),. 2.有非零解？解，齐次线性方程组有非零解，则即得不难验证，当该齐次线性方程组确有非零解. 3．设方阵满足,证明及都可逆,并求及 . 证明由得两端同时取行列式: 即　,故　所以可逆,而故也可逆. 由又由 4．设,,求. 解由可得 5．(1)　设,求使; (2) 设,求使. 解 (1) (2)

．故 6．取何值时,非齐次线性方程组 (1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解? 解　(1)　,即时方程组有唯一解. (2)　由得时,方程组无解. (3)　,由, 得时,方程组有无穷多个解. 7．求下列齐次线性方程组的基础解系: (1) 解　(1) 所以原方程组等价于取得取得因此基础解系为 8．设,求一个矩阵,使,且 . 解由于,所以可设则由可得 ,解此非齐次线性方程组可得唯一解，　故所求矩阵． 9．求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为 . 解显然原方程组的通解为 ,() 即消去得此即所求的齐次线性方程组. 10．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知是它

的三个解向量．且，求该方程组的通解．解由于矩阵的秩为3，，一维．故其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量，且由于均为方程组的解，由非齐次线性方程组解的结构性质得为其基础解系向量，故此方程组的通解：， 11．设都是阶方阵，且，证明．证明设的秩为，的秩为，则由知，的每一列向量都是以为系数矩阵的齐次线性方程组的解向量． (1) 当时,该齐次线性方程组只有零解,故此时, ，，结论成立． (2)　当时,该齐次方程组的基础解系中含有个向量,从而的列向量组的秩,即,此时,结论成立。综上,． 12．求下列向量组的秩和一个最大无关组: (1) .(1)　，，，，解 (1) A=(,,,,)= ，所以第1、2、3列构成一个最大无关组，秩为3． 13．设,且向量组线性无关,证明向量组线性无关. 证明设则因向量组线性无关,故因为故方程组只有零解则所以线性无关 14．设是非齐次线性方程组的一个解,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证明:

线性代数期末复习题

线性代数一. 单项选择题 1。设A 、B 均为n 阶方阵，则下列结论正确的是 . （a)若A 和B 都是对称矩阵，则AB 也是对称矩阵（b ）若A ≠0且B ≠0,则AB ≠0 (c)若AB 是奇异矩阵，则A 和B 都是奇异矩阵 (d ）若AB 是可逆矩阵,则A 和B 都是可逆矩阵 2. 设A 、B 是两个n 阶可逆方阵，则()1-?? ????'AB 等于（）（a ）()1-'A ()1-'B (b ） ()1-'B ()1-'A （c ）() '-1B )(1'-A （d ）() ' -1B ()1-'A 3.n m ?型线性方程组AX=b,当r(A ）=m 时，则方程组。（a ）可能无解 (b)有唯一解 (c)有无穷多解（d ）有解 4.矩阵A 与对角阵相似的充要条件是。 (a ）A 可逆 (b)A 有n 个特征值 (c) A 的特征多项式无重根（d) A 有n 个线性无关特征向量 5。A 为n 阶方阵,若02 =A ，则以下说法正确的是。 (a ） A 可逆 (b ） A 合同于单位矩阵 (c ） A =0 (d ） 0=AX 有无穷多解 6．设A ,B ，C 都是n 阶矩阵，且满足关系式ABC E =,其中E 是n 阶单位矩阵，则必有（）（A ）ACB E = (B)CBA E = (C ）BAC E = (D ） BCA E = 7．若233 32 31 232221 131211 ==a a a a a a a a a D ，则=------=33 32 3131 2322 212113 1211111434343a a a a a a a a a a a a D ( ）（A ）6- （B ）6 （C ）24 （D ）24- 二、填空题 1.A 为n 阶矩阵，|A ｜=3,则|AA '｜= ，｜ 1 2A A -* -|= . 2．设???? ??????=300120211A ,则A 的伴随矩阵=*A ； 3．设A ＝? ? ?? ??--1112，则1 -A ＝。

线性代数期末考试试卷答案合集

线性代数期末考试试卷答案合集文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（）。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，，， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆，则 A ，B 均可逆 5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（） ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量四、计算题 ( 每小题9分，共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。

线性代数期末考试试题

《线性代数》重点题一．单项选择题 1.设A 为3阶方阵，数 = 3，|A | =2，则 | A | =（）. A ．54； B ．-54； C ．6； D ．-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵，λ为实数，则|λA |=（） A 、λ|A |； B 、|λ||A |； C 、λn |A |； D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =（）. 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0； B. ()2,2-； C. 22?? ?-??； D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量，矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4，则|-2A |=（）. A 、-32； B 、-4； C 、4； D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是（）. A .一个零向量一定线性无关； B .一个非零向量一定线性相关； C .含有零向量的向量组一定线性相关； D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关；不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关；不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关；对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα

线性代数总复习大纲及复习题

04-05(2) 线性代数总复习大纲及复习题：一、概念 1、行列式的定义 2、向量组相关与无关的定义 3、对称阵与反对称阵 4、可逆矩阵 5、矩阵的伴随矩阵 6、基与向量的坐标 7、矩阵的特征值与特征向量 8、正定矩阵 9、矩阵的迹 10、矩阵的秩 11、矩阵的合同 12、二次型与矩阵 13、齐次线性方程组的基础解系二、性质与结论 1、与向量组相关与无关相关的等价结论 2、行列式的性质 3、克莱姆规则（齐次线性方程组有非零解的充要条件） 4、矩阵可逆的充要条件及逆矩阵的性质 5、初等变换与初等矩阵的关系 6、 A A A A A E **== 7、 n 维向量空间坐标变换公式 8、相似矩阵的性质 9、合同变换 10、矩阵正定的充要条件 11、线性方程组解的性质与结构定理三、复习题及参考答案 1．若三阶行列式1 23 11 22 331 2 3 2226a a a b a b a b a c c c ---=，则 1 23 1 231 2 3 a a a b b b c c c = 12 2．若方程组12312312 3000 tx x x x tx x x x tx ++=?? ++=??++=?有非零解，则t=????1???。

3．已知齐次线性方程组32023020x y x y x y z λ+=?? -=??-+=? 仅有零解，则λ≠ 0 4．已知三阶行列式D=123 312231，则元素12a =2的代数，余子式12A = -1 ； 3.若n 阶矩阵A 、B 、C 满足ABC=E （其中E 为n 阶可逆阵），则BCA=E 。（对） 4.行列式 0020 023 16.02342345 = （对） 5.对向量1234,,,αααα，如果其中任意两个向量都线性无关，则1234,,,αααα线性无关。（错） 6. 如果A 是n 阶矩阵且0A =，则A 的列向量中至少有一个向量是其余各列向量的线性组合。（对） 7. 向量组s ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是其中任一部分向量组都线性无关。（对） 8 矩阵212111215A ?? ? = ? ??? 是正定的。（对） 9. n 阶矩阵A 与B 相似，则A 与B 同时可逆或同时不可逆。（对） 10．已知向量组123(1,2,1),(,1,1),(1,,1).a a ααα===则当a= 1 或a= 2 时向量组321,,ααα线性相关。（对） 11．n 阶矩阵A 满足2320,A A E -+=则A-3E 可逆，A-2E 可逆。（对） 12．阵A 与其转置T A 具有相同的行列式和特征值。（对） 13．如果n 阶矩阵 A 的行列式┃A ┃=0，则A 至少有一个特征值为零。（对） 14. 设A 为n 阶方阵，k 为常数，则kA k A =。（ B ） 15.设6阶方阵A 的秩为3，则其伴随矩阵的秩也是3。（ B ）

线性代数复习题带参考答案(2)

线性代数考试题库及答案第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数10 3 23211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2

7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 734111113263478 ----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 40 3 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题

8线性代数练习题(带解题过程)

０线性代数试题一填空题 ◆1．设 A 为3阶方阵且 2 =A ，则 = -*-A A 231 ；【分析】只要与* A 有关的题，首先要想到公式， E A A A AA ==**，从中推你要的结论。这里1 1* 2--==A A A A 代入 A A A A A 1)1(231311-= -=-=---*- 注意：为什么是3 )1(- ◆2．设1 33322211 ,,α+α=βα+α=βα+α=β，如 3 21,,ααα线性相关，则3 21,,βββ线性 ______(相关) 如 3 21,,ααα线性无关，则 3 21,,βββ线性 ______(无关) 【分析】对于此类题，最根本的方法是把一个向量组由另一个向量表示的问题转化为矩阵乘

１法的关系，然后用矩阵的秩加以判明。 ?? ?? ? ?????=110011101],,[],,[321321αααβββ，记此为AK B = 这里)()()(A r AK r B r ==，切不可两边取行列式！！因为矩阵不一定是方阵！！ ◆3．设非齐次线性方程b x A m =?4 ，2)(=A r ，3 2 1 ,,ηη η是它的三个解，且 T T T )5,4,3,2(,)4,3,2,1(,)7,6,4,3(133221=+=+=+ηηηηηη 求该方程组的通解。(答案： T T T k k x )2,2,1,1()1,1,1,1()6,5,3,2(2 1 21++= ，形式不唯一) 【分析】对于此类题，首先要知道齐次方程组基础解系中向量的个数（也是解空间的维数）是多少，通解是如何构造的。其次要知道解得性质（齐次线性方程组的任意两解的线性