可能你会说我怎么知道这种题要代入n?1情形时的递推关系式？这儿就借用一个关于压缩映射的结论。如果数列a n=f(a n?1)，a n∈[a,b]（区间还可以为无穷区间），f(x)的导数的绝对值小于1，在[a,b]上的值域在[a,b]内，则|a n?a n?1|≤α|a n?1?a n?2|，0≤α<1，α和a n有关，如果对于分式递推式，是肯定。显然，证明其单调时，绝对值就可以去掉了。
上面那个运用了单调性。但比较难的题，数列不具有单调性，但是我在前面说了，这类题一般也是压缩映射。数值是摆动的也有可能，这种是比较难的。
这类高难度题型的一般解法：
若a n=f(a n?1)，先通过这个递推公式求出a n的粗略范围（即x的范围，值域），若f(x)绝对值小于1，且值域在定义域内，则这个递推数列是个压缩映射，所以代入低一阶的递推关系式，构造出a n?a n?1≤α|a n?1?a n?2|，0≤α<1。如果是单调的，则很简单，如果是摆动的，则还需讨论。
比如下面这道题非常典型。我们同样可以用上面那种思路。
例2：已知x1=1，x n=1n?1，证明：
(1){x2n}的单调性
(2)|x n+1?x n|≤1?2?n?1
(3)x n<23
证明：(1)令x2n=a n，显然带入递推关系很容易得到a n=1?1a n?1+2
（分析：易知其是一个压缩映射，故用上面那一道题的方法，代入n?1时的递推公式。）
根据递推式显然可知a n >0 a n ?a n?1=a n?2?a n?1(n?1)(n?2) a 2?a 1=16<0，所以a 3?a 2<0，……，a n ?a n?1<0，所以{a n }递减，即{x 2n }递减 （同理，我们很容易知道{x 2n?1}递增。说这个帮你理解什么叫做压缩映射。） （2）（分析：如果令b n =|x n+1?x n |，不等式右边显然是个等比数列，所以b n 放缩成一个等比数列，所以重点是证明 b n n?1<2，即|x n+1?x n ||n n?1|≤2 技巧：一般绝对值不好讨论时，两边平方去掉。但一般会增加计算复杂程度，刚好这个题不用会更简单。 如果我们强行进行放缩仍然是一件复杂的事情，估计到这一步95％的人已经无法继续了。但我们仍然可以借用上面那个关于压缩映射的结论。） 证明：|x n+1?x n |=|1n ?1n?1+1|=|x n ?x n?1|(x n )(n?1) 又x n =1x n?1+1<1，所以x n =1x n?1+1>12，(n ≥2) 所以x n =1n?1<2，(n ≥3) 用分析法(x n +1)(x n?1+1)=(x n +1)x n >52，得到x n <23 ，而这在上面已经证明。 又n =2时，|x n+1?x n |=25|x n ?x n?1| 所以|x n+1?x n |=|x n ?x n?1|(x n +1)(x n?1+1)≤25|x n ?x n?1|（n =2时取等号） 所以根据b n n?1≤2，用叠乘法立即得到b n ≤(b 2?b 1)?2?n?2=1?2?n?2 所以即证明|x n+1?x n |≤1?2?n?1 (3)x n ?x 1= x n ?x n?1+x n?1?x n?2+?+x 2?x 1 <|x n ?x n?1|+|x n?1?x n?2|+?+|x 2?x 1|
≤1?2?n?2+16?25?n?3+?+16=5?1??2?n?1?<5 所以x n ?1<518，即x n <2318 （由此可知，{x n }前后两项无限接近，是个典型的压缩映射，只不过是个摆动压缩映射。 容易求出其极限为√5?12，数列值在这个极限之间奇偶摆动。） 假如这个题，直接问第(3)问，你能够证明吗？（步骤都是先进行(2)那样的证明）
对于这类题，总结一些小技巧：
1.判断不动点，即令x n=x n?1=x求出不动点，不动点可能是其极限，若存在极限，通过lim
n→∞x n=lim n→∞x n?1=x若可以求出极限，则一般为压缩映射问题。
求出的x可能是其精确界限。
（*判定极限存在的一个常用的充分条件是单调有界数列必有极限。）
2..善于运用分析法。找到需要证明的方向，分析法是非常好的突破口。
3.当思维实在短路时，如果可以求出通项公式则最好求出通项公式。我在第一节里面几乎把所有能考的递推形式的最简求解方法给出了，所以要拿高分，一步一步来吧。
一般的压缩映像形式为分式递推式和二次递推式，一般这2种皆可求出通项公式，实在不行就把通项公式求出来吧。
每年的高考题都出现这些类型，大家用这些思路去练习练习，很快就会掌握其中诀窍。
有兴趣研究一下分式递推的值分布情况吗？
由于高考太喜欢考这个，我就废话几句。分式递推不是前面提到（我只说两个不动点的情况）?a n?x1n2?是个等比数列，公比为q
两个不动点x1x2的上区
初值a1的分布与a n的分布有一些关系，有兴趣的同学可以坐标图。
分式递推式a n一定收敛，但是收敛于哪个不动点与a1无关
1.若q<0，则a n一定是摆动的
2.若a1到极限值之间间隔另外一个不动点，则a n一定要跳区，最后趋近极限值
3.若a1到极限值之间没有间隔另外一个不动点，而且q>0，那么a n是单调的
4.q>0，那么a n从某项起一定是单调的
推论：a2n或a2n?1从某项起一定是单调的（公比变成了q2）
附：不动点
若存在x0=f(x0)，则称x0是函数的不动点，对于数列a n+1=f(a n)，即变量中没有n，很容易知道，这种递推数列的极限就是数列的不动点，反之则不是。
建议在做这种题时把不动点求出来帮助判断个大概。
下面来做做这个题，高考不会考，但可以帮助理解。
已知：2，1+√1+?1+√2，1+?1+?1+√2，……
显然可知递推公式a n+1=1+?a n
（也可以由a n+2?a n+1=?a n+1??a n，可知，a2>a1，……，a n+2>a n+1）
易知有上界（假设a n<9，a n+1<4<9，从这个特点出发，显然也可以用数学归纳法证明）也易知其有上界，故lim
n→∞a n+1=lim n→∞a n=x
x=1+√x，解得x1=3+√5，x2=3?√52<1（舍去），故极限为3+√5（从而精确范围都求出来了，2≤a n<3+√52）
做题前用不动点去估计一下数列的精确范围是很有用的。
最后给有兴趣的同学补充一点，怎么证明分式递推式有极限除了单调有界还有什么方法？
比如那个例2，要证明lim
n→∞x n＝√5?1，该怎么办？
其实直接用
x n?√5?1=?√5?1?x n?1?√5?12?
n?1，?x n?
√5?1?=√5?1?x n?1?√5?12
n?1?
显然x n>0，所以必有
?x n?√5?12?=√5?12?x n?1?√5?12
1+x n?1?<√5?12?x n?1?√5?12?
所以?x n?√5?1?
n→∞，?x n?√5?12?→0
数列难题放缩法的技巧
数列难题放缩法的技巧 一、基本方法 1.“添舍”放缩 通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。 例1. 设a ，b 为不相等的两正数，且a 3 －b 3 ＝a 2 －b 2 ，求证143 ＜＋＜a b 。 例2. 已知a 、b 、c 不全为零，求证： a a b b b b c c c ac a a b c 22222232 ++++++++++＞（） [变式训练]已知* 21().n n a n N =-∈求证： *12 231 1...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 2. 分式放缩 一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分 母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。 例3. 已知a 、b 、c 为三角形的三边，求证：12＜＋＋＜a b c b a c c a b +++。 3. 裂项放缩 若欲证不等式含有与自然数n 有关的n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。 例4. 已知n ∈N*，求n 2n 13 12 11＜…+ ++ + 。 例5. 已知* N n ∈且)1n (n 3221a n +++?+?=Λ，求证：2 )1(2)1(2 +< <+n a n n n 对所有正整数n 都成立。 4. 公式放缩 利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。 例6. 已知函数1212)(+-=x x x f ，证明：对于* N n ∈且3≥n 都有1 )(+>n n n f 。 例7. 已知2x 1)x (f +=，求证：当a b ≠时f a f b a b （）（）-<-。 5. 换元放缩 对于不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，然后随机进行放缩，可达解题目
基本不等式知识点归纳.
基本不等式知识点归纳 1．基本不等式2 b a a b +≤ (1)基本不等式成立的条件：.0,0>>b a (2)等号成立的条件：当且仅当b a =时取等号． [探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？ 提示：①当b a =时，ab b a ≥+2取等号，即.2 ab b a b a =+?= ②仅当b a =时， ab b a ≥+2取等号，即.2 b a ab b a =?=+ 2．几个重要的不等式 ).0(2);,(222>≥+∈≥+ab b a a b R b a ab b a ),(2 )2();,()2(2 222R b a b a b a R b a b a ab ∈+≤+∈+≤ 3．算术平均数与几何平均数 设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为2 b a +，几何平均数为a b ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知,0,0>>y x 则 (1)如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时，y x +有最小值是.2p (简记：积定和最小)． (2)如果和y x +是定值,p ，那么当且仅当y x =时，xy 有最大值是.4 2 p (简记：和定积最大)． [探究] 2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？ 提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解．例如，x x y 1 +=在2≥x 时的最小值，利用单调性，易知2=x 时.2 5min = y [自测·牛刀小试] 1．已知,0,0>>n m 且,81=mn 则n m +的最小值为( ) A ．18 B ．36 C ．81 D ．243 解析：选A 因为m >0，n >0，所以m ＋n ≥2mn ＝281＝18.
九类常见递推数列求通项公式方法
递推数列通项求解方法举隅 类型一：1n n a pa q +=+（1p ≠） 思路1（递推法）：()123()n n n n a pa q p pa q q p p pa q q q ---??=+=++=+++=?? ……121(1n p a q p p -=++++…211)11n n q q p a p p p --??+=+ ?+ ? --??。 思路2（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1 q p μ= -，数列{}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1 111n n q q a a p p p -??+ =+ ?--?? ，即1111n n q q a a p p p -??=++ ? --?? 。 例1 已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：方法1（递推法）： ()123232(23)3222333n n n n a a a a ---??=+=++=+++=??…… 1223(122n -=++++ (211) 332)12232112n n n --+??+=+?+=- ? --?? 。 方法2（构造法）：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=，∴数列{}3n a +是以134a +=为首项、2为公比的等比数列，则1 1342 2n n n a -++=?=，即123n n a +=-。 类型二：1()n n a a f n +=+ 思路1（递推法）： 123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-= …1 11 ()n i a f n -==+ ∑。
数列与不等式知识点及练习唐
数列与不等式 一、看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=--②211-++=n n n a a a (2≥n )③b kn a n +=(k n ,为常数). 二、看数列是不是等比数列有以下两种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ②112 -+?=n n n a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a ) (2)在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足?? ? ≤≥+0 01m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. （2）当1a <0,d>0时,满足?? ?≥≤+0 1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值.在解含绝对 值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 四.数列通项的常用方法： （1）利用观察法求数列的通项.（2）利用公式法求数列的通项：①?? ?≥-==-) 2()111n S S n S a n n n （；② {}n a 等差、等比数列{}n a 公式.（3）应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：① )(1n f a a n n +=+；②).(1n f a a n n =+（4）造等差、等比数列求通项：q pa a n n +=+1；②n n n q pa a +=+1；③)(1n f pa a n n +=+；④n n n a q a p a ?+?=++12.第一节通项公式 常用方法题型1 利用公式法求通项 例1：1.已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。 2.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，求下列数列{}n a 的通项公式： ⑴ 1322 -+=n n S n ； ⑵12+=n n S .总结:任何一个数列，它的前n 项和n S 与通项n a 都存在关系： ???≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 若1a 适合n a ，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示. 题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项 例2：⑴已知数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式； ⑵已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11=a ，n n a n S ?=2 ，求数列{}n a 的通项公式. 总结：⑴迭加法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n +=+”； 迭乘法适用于求递推关系形如 “ ) (1n f a a n n ?=+“；⑵迭加法、迭乘法公式：① 1 1232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=-----
用用放缩法证明与数列和有关的不等式
用放缩法证明与数列和有关的不等 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 一．先求和后放缩 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+= n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1 a a ，又由条
基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1 2x x + ≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若* ,R b a ∈，则22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式 （1）若,,,a b c d R ∈，则2 2 2 2 2 ()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 222 222 2 1 2311 23112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有 22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ b a 112+ 2、已知 c b a ,,为两两不相等的实数，求证： ca bc ab c b a ++>++222 3、已知1a b c ++=，求证：222 13 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证： abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 5、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证： 1111118a b c ??????---≥ ??????????? 6、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）选修4—5：不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明: (Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)222 1a b c b c a ++≥. 7、（2013年江苏卷（数学）选修4—5：不等式选讲 已知0>≥b a ，求证:b a ab b a 2 2 3 3 22-≥- 题型二：利用不等式求函数值域 1、求下列函数的值域 （1）2 2 21 3x x y += （2）)4(x x y -=
数列与不等式的综合问题
数列与不等式的综合问题 测试时间： 120分钟 满分：150分 解答题（本题共9小题，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 1. [2016 ?银川一模]（本小题满分15分）在等差数列｛刘中，a i = 3,其前n 项和为S, 等比数 列｛b n ｝的各项均为正数，b 1 = 1，公比为q （q z 1），且b 2+ S 2= 12, q = f 2. b 2 （1） 求 a n 与 b n ； …1 1 1 1 2 （2） 证明：3< S +§+…+ S <§. b 2 + S 2= 12 , 1 1 1 故 S +S +…+ s n = 1 —百.（12 1 1 因为n >2所以0<市三$于 1 2 1 2 所以21 —市＜2, 1 1 1 1 2 即 3= S 1 + S 2+…+ s n <2.（15 分） 3 3a 2. [2017 ?黄冈质检]（本小题满分15分）已知数列｛◎｝的首项a 1= , a n +1 = 二,n 5 2a n + 1 a 1 a 2 a n 2 1 1 （2） 记S = + — + ???+—，若$<100，求最大正整数 n . （1）设｛a n ｝的公差为d ,因为 q + 6 + d = 12, 所以 6 + d q = 解得 q = 3 或 q =— 4（舍），d = 3.（4 分） 故 a n = 3+ 3（ n — 1） = 3n , b n = 3n 1 .（6 分） ⑵证明：因为S n = n 3+ 3n （8分） 1 所以S n 3+ 3n 1 1 n n +1 .（10 分） 1 1 - 2 1 1 2- 3 1 1 3-4 + … + 1 1 n n +1
基本不等式(很全面)
基本不等式 【知识框架】 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则22 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若* ,R b a ∈，则22111 2 2b a b a ab +≤ +≤≤+
6、柯西不等式 （1）若,,,a b c d R ∈，则2 2 2 2 2 ()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有 22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 【题型归纳】 题型一：利用基本不等式证明不等式 题目1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ b a 112+ 题目2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222 题目3、已知1a b c ++=，求证：2 2 2 13 a b c ++≥
用递推法求数列通项公式的几种常见类型
用递推法求数列通项公式的几种常见类型 贵州省沿河县官舟中学 田明（565311） 数列的第n 项n a 与前面相邻一项1-n a （或相邻几项）所满足的关系式叫递推公式.给出数列的前几项（初始值）和递推公式的数列叫递推数列. 求数列的通项公式相当于求函数的解析式，在数列的相关问题中占有相当的重要地位，是每年的必考内容.由于求通项公式解时渗透多种数学思想方法，因此，求解过程中往往显得方法多，灵活度大，技巧性强.数列问题对能力要求高，特别是运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑思维能力更为突出.其中归纳、猜想通项公式是难点,其关键在于观察分析数列的前几项的特征、特点,找到数列的一个构成规律.根据此规律和递推关系便可得出一个相应的通项公式. 类型1：形如“)(1n f a a n n =-+”的递推式 由此类递推式给出的数列，求通项公式，采用“累加法”. ∑ =-+ =++++=-++-+-+=n k n n n k f a n f f f a a a a a a a a a 1 11123121) () ()2()1()()()( 例1.（08高考天津卷·文20题） 已知数列{}n a 中，11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-(20)n q ≠≥，． （Ⅰ）设1()n n n b a a n +=-∈*N ，证明{}n b 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）（略） 【解析】（Ⅰ）证明：由题设11(1)(2)n n n a q a qa n +-=+-≥，得 11()n n n n a a q a a +--=-，即 12n n b qb n -=，≥． 又1211b a a =-=，0q ≠，所以{}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）， 211a a -=， 32a a q -=， …… 2 1(2)n n n a a q n ---=≥． 将以上各式相加，得211(2)n n a a q q n --=+++…≥．所以当2n ≥时，
数列与不等式的综合问题突破策略1
数列与不等式的综合问题突破策略 类型1：求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题 求数列与不等式相结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1)若函数f (x )在定义域为D ，则当x ∈D 时，有f (x )≥M 恒成立?f (x )min ≥M ；f (x )≤M 恒成立?f (x )max ≤M ；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得. 【题1】 等比数列{a n }的公比q ＞1，第17项的平方等于第24项，求使a 1＋a 2＋…＋a n ＞ 1231111 n a a a a ++++……恒成立的正整数n 的范围. 【题1】 利用条件中两项间的关系，寻求数列首项a 1与公比q 之间的关系，再利用等比数列前n 项公式和及所得的关系化简不等式，进而通过估算求得正整数n 的取值范围. 【解】 由题意得：(a 1q 16)2＝a 1q 23，∴a 1q 9＝1. 由等比数列的性质知数列{ 1n a }是以11a 为首项，以1q 为公比的等比数列，要使不等式成立， 则须1(1)1n a q q --＞111(1) 11n a q q --，把a 2 1＝q -18代入上式并整理，得q -18(q n －1)＞q (1－1n q )， q n ＞q 19，∵q ＞1，∴n ＞19，故所求正整数n 的取值范围是n ≥20. 【点评】 本题解答数列与不等式两方面的知识都用到了，主要体现为用数列知识化简，用不等式知识求得最后的结果.本题解答体现了转化思想、方程思想及估算思想的应用. 【题2】设数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a 1＝a ，a n +1＝S n ＋3n ，n ∈N *． (1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式；（2）若a n +1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围． 【题2】 第（1）小题利用S n 与a n 的关系可求得数列的通项公式；第（Ⅱ）小题将条件a n +1≥a n 转化为关于n 与a 的关系，再利用a ≤f (n )恒成立等价于a ≤f (n )min 求解． 【解】 (1)依题意，S n +1－S n ＝a n +1＝S n ＋3n ，即S n +1＝2S n ＋3n ， 由此得S n +1－3 n +1＝2(S n －3n )． 因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)2 n -1，n ∈N *, ① (2)由①知S n ＝3n ＋(a －3)2 n -1，n ∈N *， 于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n -1＝3n ＋(a －3)2 n -1－3n -1－(a －3)2 n -2＝2×3n -1＋(a －3)2 n -2， a n +1－a n ＝4×3 n -1＋(a －3)2 n -2＝2 n -2·[12·(32 )n -2 ＋a －3]， 当n ≥2时，a n +1≥a n ，即2 n -2·[12·(32)n -2＋a －3]≥0，12·(32 )n -2 ＋a －3≥0， ∴a ≥－9， 综上，所求的a 的取值范围是[－9，＋∞) 【点评】 一般地，如果求条件与前n 项和相关的数列的通项公式，则可考虑S n 与a n 的关系求解.本题求参数取值范围的方法也一种常用的方法，应当引起重视. 类型2：数列参与的不等式的证明问题 此类不等式的证明常用的方法：(1)比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；(2)分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；(3)放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的. 【题3】 数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，a 3＝7，S 4＝24． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设p 、q 都是正整数，且p ≠q ，证明：S p +q ＜1 2 (S 2p ＋S 2q )． 【题3】 根据条件首先利用等差数列的通项公式及前n 项公式和建立方程组即可解决第(1)小题；第(2)小题利用差值比较法就可顺利解决. 【解】 （1）设等差数列{a n }的公差是d ，依题意得，??? a 1＋2d ＝74a 1＋6d ＝24，解得??? a 1＝3 d ＝2 ，
基本不等式完整版(非常全面)
2 8 基本不等式专题辅导 2 2 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若 a,b R ,则 a b 2 ab 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若 a,b R *，则 2 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数 的和为定植时，它们的积有最小值； a b 6、柯西不等式 （1）若 a, b,c, d R ，则（a 2 b 2）（c 2 d 2） （ac bd ）2 (2) 若 a 1, a 2, a 3, bi, b 2, b 3 R ，则有： 2 2 2 2 2 2 2 (a 1 a 2 a 3 )(柑 b ? b 3 ) (aQ a ?b 2 a s b s ) (3) 设a 1,a 2, ,a n 与 db, ,b 是两组实数，则有 2 2 2 p22 2 佝 a 2 a . )(0 b 2 b n )(日山 a 2b 2 a n b n ) 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 (1)若 a,b R ，则 a 2 b 2 2ab 1、设a,b 均为正数，证明不等式：、.ab 二 (2)右 a, b R ，则 ab a,b,c 为两两不相等的实数， (2)若 a, b R ,则 ab b 2 ab bc ca 4、求最值的条件：“一正， 二定，三相等” 5、常用结论 1 (1)若 x 0，则 x — 2 （当且仅当 x 1时取“=”) x 1 (2)若 x 0,则 X - 2 （当且仅当 x 1时取 “=”) X (3)若 ab 0,则-- 2 （当且仅当 a b 时取 “=”) b a 2 2 (4)若 a, b R ，则 ab （ 旦 b)2 a b 2 2 (5)若 a, b R ，贝U 1 . a ab b a 2 b 2 v ------ 1 1 2 2 (1 已知a a,b,c a )(1 1, 求证: b)(1 c) 8abc a, b, c R
高中数学几种常见的数列递推关系式专题辅导
高中数学几种常见的数列递推关系式 数列的递推关系是指数列中的前一项（前几项）与后一项的关系式。递推数列是数列中的重要内容，通过递推关系，观察，探求数列的规律，进而可求出整个数列的通项公式。通过递推关系的学习，可以培养学生的观察能力，归纳与转化能力，综合运用知识等能力，因此，是近几年高考与竞赛的热点。 下面针对几种高中常见的递推形式及处理方法做一总结。 一. 定义法 常见形式： 已知：a a a a d n n 11==++， ① 或a a a a q n n 110=≠=+， ② （其中，d 常数，q ≠0为常数） 定义法即高中所学的两大基本数列——等差数列与等比数列的基本定义式。 已知首项，与递推关系，数列的通项即知，在此不做赘述。但这两个基本数列的求通项公式的方法在后续学习中，在方法上起到了指导作用。即我们下面要介绍的方法。 二. 迭代法 常见形式：已知 a a a a f n n n 110=≠=++，() ③ 或a a a a f n f n n n 110=≠=+，，()()不恒为零 ④ （这里的f n ()是关于n 的关系式）。 这两个形式的递推关系式，虽然不是等差与等比数列，但表达方式上非常接近。我们可以利用迭代的方法来求出通项a n 也可以分别称为叠加法和叠乘法。 如：③a a f 211-=() a a f 322-=() …… a a f n n n N n n -=-≥∈-112()()*， 将以上n -1个式子叠加，可得 a a f f f n n n N n -=+++-≥∈11212()()()()*…， 这里，我们只须已知数列的首项a 1利用求和求出上述等式右端的和，即可求出数列 {}a n 的通项公式来。 如：④的具体例子： 例1. （2006年东北三省三校一模试题21）已知数列{}a n ，S n 是数列的前n 项和， a S n a n n 212 ==，。求S n 。 解：因为S n S S n n N n n n =-≥∈-2 21()()*， 所以n S n S n n 22 21-=- S S n n n n N n n -= -≥∈123()*， S S S S S S S S n n n n n n N n n n n 324312131425364132 3·…····… ·，---=---≥∈()*
2019高考数学二轮复习专题三数列与不等式第1讲等差数列与等比数列学案
第1讲 等差数列与等比数列 [考情考向分析] 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.等差、等比数列的判定及综合应用也是高考考查的重点，注意基本量及定义的使用，考查分析问题、解决问题的综合能力． 热点一 等差数列、等比数列的运算 1.通项公式 等差数列：a n ＝a 1＋(n －1)d ； 等比数列：a n ＝a 1·q n －1 . 2．求和公式 等差数列：S n ＝ n (a 1＋a n ) 2 ＝na 1＋ n (n －1) 2 d ； 等比数列：S n ＝????? a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)，na 1(q ＝1). 3．性质 若m ＋n ＝p ＋q ， 在等差数列中a m ＋a n ＝a p ＋a q ； 在等比数列中a m ·a n ＝a p ·a q . 例1 (1)(2018·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5等于( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．12 答案 B 解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4， 得3???? ??3a 1＋3×(3－1)2×d ＝2a 1＋2×(2－1)2×d ＋4a 1＋4×(4－1)2×d ，将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3， 故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.故选B. (2)(2018·杭州质检)设各项均为正数的等比数列{a n }中，若S 4＝80，S 2＝8，则公比q ＝________，a 5＝________. 答案 3 162
高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结
1. 均值不等式法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n Λ求证 .2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 例2 已知函数 bx a x f 211 )(?+= ，若5 4)1(= f ，且 )(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证： .2 1 21)()2()1(1 -+ >++++n n n f f f Λ 例3 求证),1(22 1321 N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++-Λ. 例4 已知222121n a a a +++=L ，222 121n x x x +++=L ，求证：n n x a x a x a +++Λ2 211≤1. 2．利用有用结论 例5 求证.12)1 21 1()511)(311)(11(+>-+++ +n n Λ 例6 已知函数 .2,,10,)1(321lg )(≥∈≤x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。 例7 已知1 1211 1,(1).2 n n n a a a n n +==+ ++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥； )(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828e ≈L ） 例8 已知不等式 21111 [log ],,2232 n n N n n *+++>∈>L 。2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤ >=--n a n na a b b a n n n 求证.3,] [log 222≥+递推数列常十种方法
求递推数列通项公式的十种策略例析 递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决，亦可采用不完全归纳法的方法，由特殊情形推导出一般情形，进而用数学归纳法加以证明，因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法策略，它们是：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法。仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键。 一、利用公式法求通项公式 例1 已知数列}a {n 满足n n 1n 23a 2a ?+=+，2a 1=，求数列}a {n 的通项公式。 解：n n 1n 23a 2a ?+=+两边除以1n 2+，得 23 2a 2a n n 1 n 1n + = ++，则232 a 2a n n 1n 1n =-++， 故数列}2a { n n 是以1222 a 1 1==为首，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得23) 1n (12a n n -+=，所以数列}a {n 的通项公式为n n 2)2 1 n 23(a -=。 评注：本题解题的关键是把递推关系式n n 1n 23a 2a ?+=+转化为 2 3 2a 2a n n 1 n 1n = -++，说明数列}2a {n n 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出23)1n (12 a n n -+=，进而求出数列}a {n 的通项公式。 二、利用累加法求通项公式 例2 已知数列}a {n 满足1a 1 n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。 解：由1n 2a a n 1n ++=+ 得1n 2a a n 1n +=-+ 则112232n 1n 1n n n a )a a ()a a ()a a ()a a (a +-+-++-+-=---Λ
【数学】数列与不等式的交汇题型分析及解题策略
数列与不等式的交汇题型分析及解题策略 【命题趋向】 数列与不等式交汇主要以压轴题的形式出现，试题还可能涉及到与导数、函数等知识综合一起考查.主要考查知识重点和热点是数列的通项公式、前n项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、数学归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的应用.此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能．近年来加强了对递推数列考查的力度，这点应当引起我们高度的重视．如08年北京文20题(12分)中档偏上，考查数列与不等式恒成立条件下的参数问题、08年湖北理21题(12分)为中档偏上，考查数列与不等式交汇的探索性问题、08年江西理19题(12分)中等难度，考查数列求和与不等式的交汇、08年全国卷Ⅰ理22(12分)压轴题，难说大，考查数学归纳法与不等式的交汇，等等.预计在2009年高考中,比较新颖的数列与不等式选择题或填空题一定会出现.数列解答题的命题热点是与不等式交汇,呈现递推关系的综合性试题.其中,以函数与数列、不等式为命题载体,有着高等数学背景的数列与不等式的交汇试题是未来高考命题的一个新的亮点,而命题的冷门则是数列与不等式综合的应用性解答题. 【考试要求】 1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项． 2．理解等差数列的概念．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题． 3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。 4．理解不等式的性质及其证明． 5．掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． 6．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． 7．掌握简单不等式的解法及理解不等式│a│－│b│≤│a+b│≤│a│+│b│． 【考点透视】 1．以客观题考查不等式的性质、解法与数列、等差数列、等比数列的简单交汇. 2．以解答题以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇，还有可能涉及到导数、解析几何、三角函数的知识等，深度考查不等式的证明(主要比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法)和逻辑推理能力及分类讨论、化归的数学思想，试题新颖别致，难度相对较大. 3．将数列与不等式的交汇渗透于递推数列及抽象数列中进行考查，主要考查转化及方程的思想. 【典例分析】
递推公式求通项公式的几种方
由递推公式求通项公式的常用方法 由数列的递推公式求通项公式是高中数学的重点问题，也是难点问题，它是历年高考命题的热点题。对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。 方法一：累加法 形如a n +1－a n ＝f (n )（n ＝2,3,4,…）,且f (1)＋f (2)＋…＋f (n -1)可求，则用累加法求a n 。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后利用这种方法求解。 例1：（07年北京理工农医类）已知数列{a n }中，a 1＝2,a n ＋1＝a n ＋cn (c 是常数，n ＝1,2,3,…)且a 1,a 2,a 3成公比不为1的等比数列 （1）求c 的值 （2）求{a n }的通项公式 解：（1）a1,a2,a3成公比不为1的等比数列 2 022)2(2)() ,3,2,1(111113 12 2===++?=+∴=+=?=∴+c c a c c a a c a n cn a a a a a n n 因此（舍去）或解得又 （2）由（1）知n a a n a a n n n n 2,211=-+=++即，将n ＝1,2, …,n －1,分别代入 ) 1(2322 2121342312-=-?=-?=-?=--n a a a a a a a a n n 将上面n －1个式子相加得a n －a 1＝2(1＋2＋3＋…＋n －1)＝n 2 －n 又a 1＝2,a n ＝n 2 －n ＋2 方法二：累乘法 形如 a n +1 a n ＝g (n )（n ＝2,3,4…），且f (1)f(2)…f (n －1)可求，则用累乘法求a n .有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。
数列与不等式的综合问题
数列与不等式的综合问题
数列与不等式的综合问题 测试时间：120分钟 满分：150 分 解答题(本题共9小题，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 1．[2016·银川一模](本小题满分15分)在等差数列{a n }中，a 1＝3，其前n 项和为S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，b 1＝1，公比为 q (q ≠1)，且b 2＋S 2＝12，q ＝S 2 b 2 . (1)求a n 与b n ； (2)证明：13≤1S 1＋1S 2＋…＋1S n <2 3 . 解 (1)设{a n }的公差为d ，因为 ???? ? b 2＋S 2＝12，q ＝S 2 b 2 ，
所以? ???? q ＋6＋d ＝12，q ＝6＋d q .解得q ＝3或q ＝ －4(舍)，d ＝3.(4分) 故a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，b n ＝3n －1 .(6分) (2)证明：因为S n ＝ n 3＋3n 2 ，(8分) 所以1 S n ＝2n 3＋3n ＝23? ?? ??1 n － 1n ＋1.(10分) 故1 S 1＋1 S 2＋…＋1 S n ＝ 23???? ??? ????1－12＋? ????12－13＋? ???? 13－14＋…＋? ????1n －1n ＋1 ＝23? ? ???1－ 1n ＋1.(12分) 因为n ≥1，所以0<1n ＋1≤12，于是1 2≤1－ 1 n ＋1 <1，
所以13≤23? ? ???1－ 1n ＋1<23， 即13≤1S 1＋1S 2＋…＋1S n <2 3 .(15分) 2．[2017·黄冈质检](本小题满分15分)已知数列{a n }的首项a 1＝35，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1 ，n ∈N *. (1)求证：数列???? ?? 1a n －1为等比数列； (2)记S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1 a n ，若S n <100，求最 大正整数n . 解 (1)证明：因为1 a n ＋1＝23＋1 3a n ， 所以1 a n ＋1－1＝13a n －13＝13? ?? ??1 a n －1. 又因为1a 1－1≠0，所以1 a n －1≠0(n ∈N * )， 所以数列???? ?? 1a n －1为等比数列．(7分)
几种分式型递推数列的通项求法
几种分式型递推数列的通项求法 李云皓 (湖北省宜昌市夷陵中学，湖北 宜昌 443000) 1.1 引言 数列是高中数学中的重要内容之一，是高考的热点，而递推数列又是数列的重要内容。数列中蕴含着丰富的数学思想，递推数列的通项问题也具有很强的逻辑性和一定的技巧性，因此此类问题也经常渗透在高考试题和数学竞赛中。本文对分式型递推数列求通项问题作一些探求，希望对大家有所启发。 2.1基本概念 设数列{a n }的首项为a 1，且 a n +1=α1a n +β1 α2a n +β2 n =1,2,? ① 其中αi 、βi i =1,2,? 为常数，同时α2≠0,α1α2 ≠β 1β2 ，我们称这个递推公式为 分式递推式，而数列{a n }称为由分式递推式给定的数列。显然，该数列的递推式也可写成 a n +1a n +αa n +1+βa n +γ=0 n =1,2,? ② 2.2递推式的特征方程与特征根 我们先来看一个引例： 首项为a 1，由递推式a n +1a n +αa n +1+βa n =0 (n =1,2,?)给定的数列{a n }的通项公式我们是会求的： a n +1a n +αa n +1+βa n =0 ∴1+αa n +βa n +1 =0 即 1a n +1=?αβa n +1 β 为常系数等比差数列（由递推式a n +1=αa n +β给定的数列，其中α、β为常数），该数列的通项是熟知的，为 a n =αn?1(a 1? β1?α)+β 1?α 于是考虑能不能变型后让②中的γ没有，即让①中的β1没有。我们可以利用递推式的特征方程来解决这个问题。 下面给出特征方程推导过程： 数列的递推式为 a n +1=α1a n +β1 2n 2 两边同时减去x 得
